Phương pháp giải hình học không gian trong kì thi đại học

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01/ Chuyên đề luyện thi đại học PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC BÀI TẬP HÌNH KHÔNG GIAN TRONG KỲ THI TSĐH Biên soạn: GV Nguyễn Trung Kiên 0988844088 Trong kỳ thi TSĐH toán hình không gian dạng tập gây khó khăn cho học sinh Nguyên nhân học sinh chưa biết phân biệt rõ ràng dạng tập để lựa chọn công cụ, phương pháp giải cho phù hợp Bài viết giúp học sinh giải vướng mắc Phần 1: Những vấn đề cần nắm tính toán - Trong tam giác vuông ABC (vuông A) đường cao AH ta có: A B b=ctanB, c=btanC; C H 1 = = 2 AH AB AC b2 + c2 − a2 - Trong tam giác thường ABC ta có: a = b + c − 2bc cos A;cos A = Tương 2bc tự ta có hệ thức cho cạng b, c góc B, C: 1 - S ∆ABC = ab sin C = bc sin A = ac sin B 2 - V(khối chóp)= B.h (B diện tích đáy, h chiều cao) - V(khối lăng trụ)=B.h - V(chóp S(ABCD)= (S(ABCD).dt(ABCD)) - Tính chất phân giác AD tam giác ABC: AB.DC = AC.DB - Tâm đường tròn ngoại tiếp giao điểm trung trực Tâm vòng tròn nội tiếp giao điểm phân giác tam giác Phương pháp xác định đường cao loại khối chóp: - Loại 1: Khối chóp có cạnh góc vuông với đáy chiều cao - Loại 2: Khối chóp có mặt bên vuông góc với đáy đường cao đường kẻ từ mặt bên đến giao tuyến - Loại 3: Khối chóp có mặt kề vuông góc với đáy đường cao giao tuyến mặt kề 2 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01/ Loại 4: Khối chóp có cạnh bên cạnh bên tạo với đáy góc chân đường cao tâm vòng tròn ngoại tiếp đáy - Loại 5: Khối chóp có mặt bên tạo với đáy góc chân đường cao tâm vòng tròn nội tiếp đáy Sử dụng giả thiết mở: - Hình chóp có mặt bên kề tạo với đáy góc α chân đường cao hạ từ đỉnh rơi vào đường phân giác góc tạo cạnh nằm mặt đáy mặt bên (Ví dụ: Hình chóp SABCD có mặt phẳng (SAB) (SAC) tạo với đáy góc α chân đường cao hạ từ đỉnh S thuộc phân giác góc BAC) - Hình chóp có cạnh bên hai cạnh bên tạo với đáy góc α chân đường cao hạ từ đỉnh rơi vào đường trung trực đoạn thẳng nối đỉnh cạnh cạnh nằm mặt đáy mặt bên mà hai đỉnh không thuộc giao tuyến mặt bên (Ví dụ: Hình chóp SABCD có SB=SC SB SC tạo với đáy góc α chân đường cao hạ từ S rơi vào đường trung trực BC) Việc xác định chân đường cao yếu tố quan trọng để tìm góc tạo đường thẳng mặt phẳng góc tạo mặt phẳng - Ví dụ: Cho khối chóp SABCD có mặt bên SAD vuông góc (ABCD), góc tạo SC (ABCD) 600, góc tạo (SCD) (ABCD) 450, đáy hình thang cân có cạnh đáy a, 2a; cạnh bên a Gọi P,Q trung điểm SD,BC.Tìm góc tạo PQ mặt phẳng (ABCD).Tính V khối chóp? Rõ ràng khối chóp thuộc dạng Từ ta dễ dàng tìm đường cao xác định góc sau: - Kẻ SH vuông góc với AD SH đường ˆ ;( SM , ( ABCD )) = HMS ˆ ) , với M chân đường cao kẻ từ H lên cao(SC,(ABCD))= SCH CD ˆ - Từ P hạ PK vuông góc với AD ta có ( PQ, ( ABCD)) = PQK S P K A D H M B Q C Phần 3: Các toán tính thể tích www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01/ A Tính thể tích trực tiếp cách tìm đường cao: Câu 1) (TSĐH A 2009) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình thang vuông A D., có AB=AD=2a; CD=a Góc mặt phẳng (SCB) (ABCD) 600 Gọi I trung điểm AD biết mặt phẳng (SBI) (SCI) vuông góc với (ABCD) Tính thể tích khối chóp SABCD? HD giải: Vì mặt phẳng (SBC) (SBI) vuông góc với (ABCD) mà (SBI) (SCI) có giao tuyến SI nên SI đường cao Kẻ IH vuông góc với BC ta có góc tạo mặt phẳng ˆ = 600 Từ ta tính được: (SBC) (ABCD) SHI IC = a 2; IB = BC = a 5; S ( ABCD) = AD( AB + CD) = 3a 2 a 3a IH BC = S ( IBC ) = S ( ABCD) − S ( ABI ) − S (CDI ) = 3a − a − = nên 2 2 S ( IBC ) 3 15 IH = = a Từ V(SABCD)= a BC 5 S A D I C B H Câu 2) (TSĐH D 2009) Cho lăng trụ đứng ABCA’B’C’ có đáy ABC tam giác vuông B, AB=a; AA’=2a; A’C=3a Gọi M trung điểm đoạn A’C’, I trung điểm AM A’C’ Tính V chóp IABC theo a? HD giải: - ABC A’B’C’ lăng trụ đứng nên mặt bên vuông góc với đáy Vì I∈ (ACC’) ⊥ (ABC), từ I ta kẻ IH ⊥ AC IH đường cao I trọng tâm tam giác IH CI 4a = = ⇒ IH = AA’C’ ⇒ AA′ CA′ 3 Có AC = A′C − AA′2 = 9a = 4a = a ⇒ BC = AC − AB = 2a www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01/ 1 4a V(IABC)= IH dt ( ABC ) = 2a.a = a ( đvtt) 3 B’ M C’ A’ I C B A H B Tính thể tích cách sử dụng công thức tỉ số thể tích phân chia khối đa diện thành khối đa diện đơn giản Khi gặp toán mà việc tính toán gặp khó khăn ta phải tìm cách phân chia khối đa diện thành khối chóp đơn giản mà tính trực tiếp thể tích sử dụng công thức tính tỉ sốthể tích để tìm thể tích khối đa diện cần tính thông qua khối đa diện trung gian đơn giản Các em học sinh cần nắm vững công thức sau: V ( SA′B′C ′) SA′.SB′.SC ′ = (1) Công thức dung cho khối chóp tam giác V ( SABC ) SA.SB.SC www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01/ S C’ A’ B’ C A B ˆ = 600 , SA vuông góc với Câu 1) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a, BAD đáy(ABCD), SA=a Gọi C trung điểm SC, mặt phẳng (P) qua AC song song với BD cắt cạnh SB, SD hình chóp B’, D’ Tính thể tích khối chóp HD giải: Gọi O giao đường chéo ta suy AC’ SO cắt trọng tâm I tam giác SAC Từ I thuộc mặt phẳng (P)(SDB) kẻ đường thẳng song song với BD cắt SB, SD B’, D’ giao điểm cần tìm SC ′ SD′ SB′ SI Ta có: = ; = = = SC SD SB SO V ( SAB′C ′D′) V ( SAB′C ′) SA.SB′.SC ′ = = = Dễ thấy V( SAB′C ′D′) = 2V( SAB′C ′) ;V( SAB′C ′) = 2V( SABC ) ⇒ V ( ABCD) V ( SABC ) SA.SB.SC 1 3 = a3 Ta có V( SABCD ) = SA.dt ( ABCD) = SA AD AB.sinDABˆ = a.a.a 3 3 V( SAB′C ′D′) = a (đvtt) 18 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01/ S C’ D’ B’ A D O B C Câu 2) (Dự bị A 2007) Cho hình chóp SABCD hình chữ nhật AB=a, AD=2a, cạng SA vuông góc với đáy, cạnh SB a Mặt phẳng BCM cắt DS hợp với đáy góc 600 Trên cạnh SA lấy M cho AM= N Tính thể tích khối chóp SBCMN HD giải: Từ M kẻ đường thẳng song song với AD cắt SD N giao điểm cần tìm, góc tạo SB (ABCD) SBAˆ = 600 Ta có SA=SBtan600=a 3 SM SN =a ⇒ = = 3 SA SD = 2V( SABC ) = 2V( SACD ) Từ suy SM=SA-AM= a − a Dễ thấy V( SABCD ) = V( SABC ) + V( SACD ) V( SBCMN ) = V( SMBC ) + V( SMCN ) V ( SMBCN ) V ( SMBC ) + V ( SMCN ) V ( SMCN ) V ( SMCN ) 1.SM SB.SC 1.SM SC.SN = = + = + V ( SABCD) V ( SABCD) 2V ( SABC ) 2V ( SACD) 2.SA.SB.SC 2.SA.SC.SD = + = 9 1 3 10 3 a ⇒ V( SMBCN ) = a Mà V( SABCD ) = SA.dt ( ABCD) = a 3a 2a = 3 27 ⇒ www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01/ S N M A B D C Phần 4: Các toán khoảng cách không gian A Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Về chất tìm khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng ta tìm hình chiếu vuông góc điểm lên mặt phẳng Tuy nhiên số trường hợp tìm hình chiếu trở nên vô khó khăn, việc sử dụng công thức tính thể tích trở nên hiệu 3V Ta có V(khối chóp)= B.h ⇒ h = B Câu 1) Cho hình chóp SABC có góc tạo mặt phẳng (SBC) (ABC) 600, ABC,SBC tam giác cạnh a Tính khoảng cách từ đỉnh B đến mp(SAC).(Đề dự bị khối A 2007) HD: Cách 1: Coi B đỉnh khối chóp BSAC từ giả thiết ta suy BS=BA=BC=a Gọi O chân đường cao hạ từ B xuống mp(SAC) O tâm vòng tròn ngoại tiếp tam giác SAC Gọi M trung điểm BC ta có SM ⊥ BC ; AM ⊥ BC Nên góc tạo (SBC) (ABC) a SMAˆ = 600 ⇒ SM = AM = AS= Bây ta tìm vị trí tâm vòng ngoại tiếp tam giác SAC Tam giác SAC cân C nên tâm vòng tròn ngoại tiếp nằm trung trực SA CN (N trung diểm SA) Kẻ trung trực SC cắt trung trực SA O điểm cần tìm  SA  3a 2 SC −  a −    16 = 13 = SC a NC = SC SC 2a 4a 3a 2 2 ⇒ OC = = ; BO = BC − OC = a − = ˆ 13 cos SCN 13 13 cos SNC = www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01/ S N P O A C M B 2a dt ( SAC ) AM MS sin 600 = a Cách 2: V( SABCD ) = 2V( SABM ) = BM dt ( SAM ) = 3.2 16 1 13 39a 3V ( SABC ) 3a CN AS= a a= ⇒ d ( B, ( SAC ) = = = 2 16 dt ( SAC ) 13 ˆ = 900 , BA=BC=2a, ˆ = BAD Câu 2) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình thang ABC AD=2a Cạnh bên SA vuông góc với đáy SA= a , gọi H hình chiếu A lên SB Chứng minh tam giác SCD vuông tính theo a khoảng cách từ H đến mp(SCD) (TSĐH D 2007) HD giải: Ta có AC = a 2; SD = SA2 + AD = a 6; SC = SA2 + AC = 2a Ta dễ dàng tính CD = a Ta có SD = SC + CD nên tam giác SCD vuông C AB.AS a.a 1 = + ⇒ AH = = =a 2 AH AB AS a + 2a AB2 + AS2 a SH 2 2 a⇒ ⇒ SH = SA − AH = = = SB a 3 dt ( BCD) = dt ( ABCD) − dt ( ABD) = SC.CD = a 2 V ( SHCD) SH SC.SD = = V ( SBCD) SB.SC.SD dt ( SCD) = AB.( BC + AD) a2 − AB AD = ; 2 2 1.a 2.a 2 = ;V ( SBCD) = SA.dt ( BCD) = a 3 3.2 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01/ V ( SHCD) = a 3V ( SHCD) a Ta có d ( H /( SCD)) = = a = dt ( SCD) 9 a S H A D B C B Khoảng cách đường thẳng chéo không gian Khi tính khoảng cách đường thẳng chéo a b không gian ta tìm đoạn vuông góc chung đường thẳng đó, Nếu việc tìm đoạn vuông góc chung gặp khó khăn ta tiến hành theo phương pháp sau: - Dựng (tìm) mặt phẳng trung gian (P) chứa a song song với b sau tính khoảng cách từ điểm b đến mp(P) ngược lại dựng mp(P) chứa b song song với a sau tính khoảng cách từ điểm a đến (P) - Khi tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng ta vận dụng phương pháp trình bày mục A Câu 1) Cho lăng trụ đứng ABCA’B’C’ có đáy ABC tam giác vuông AB=BC=a, cạnh bên AA′ = a Gọi M trung điểm BC Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABCA′B′C ′ khoảng cách đường thẳng AM, B’C.(TSĐH D2008) Gọi N trung điểm BB’ ta có B’C song song với HD giải: V ( ABCA′B′C ′) = S h = a mp(AMN) Từ ta có: d ( B′C , AM ) = d ( B′, ( AMN )) = d ( B, ( AMN )) N trung điểm BB’ Gọi H hình chiếu vuông góc B lên (AMN), tứ diện BAMN tứ diện vuông B nên ta a 1 1 = + + ⇒ BH = khoảng cách AM B’C có 2 2 BH BA BN BM www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01/ B’ A’ C’ N B H M K A C (Chú ý:1) Trong toán ta dựng mặt phẳng trung gian mp(AMN) để tận dụng điều kiện B’C song song với (AMN) Tại không tìm mặt phẳng chứa B’C em học sinh tự suy nghĩ điều Chú ý 2) Nếu mặt phẳng (P) qua trung điểm M đoạn AB khoảng cách từ A đến (P) khoảng cách từ B đến (P)) Câu 2) Cho hình chóp tứ giác SABCD có đáy hình vuông cạnh a Gọi E điểm đối xứng D qua trung điểm SA, M trung điểm AE, N trung điểm BC Chứng minh MN vuông góc với BD tính khoảng cách đường thẳng MN AC.(TSĐH B 2007) HD giải: Gọi P trung điểm SA, ta có tứ giác MPNC hình bình hành Nên MN// PC Từ suy MN//(SAC) Mặt khác BD ⊥ mp(SAC) nên BD ⊥ PC ⇒ BD ⊥ MN 1 Ta có: d(MN, AC)=d(N,(SAC))= d ( B, ( SAC )) = BD = a 2 10 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01/ S E M P D A B N C ( Việc chuyển tính khoảng cách từ N đến (SAC) sang tính khoảng cách từ B đến (SAC) giúp ta đơn giản hoá toán nhiều Các em học sinh cần nghiên cứu kỹ dạng toán để vận dụng) Chú ý 2) Nếu mặt phẳng (P) qua trung điểm M đoạn AB khoảng cách từ A đến (P) khoảng cách từ B đến (P)) Phần 5: Các toán tính góc đường thẳng chéo không gian Khi cần tính góc đường thẳng chéo a b không gian ta phải tìm đường thẳng trung gian c song song với a c cắt b Khi góc tạo a b góc tạo b c Hoặc ta dựng liên tiếp đường thẳng c d cắt song song với a b Sau ta tính góc c d theo định lý hàm số côsin theo hệ thức lượng tam giác vuông Câu 1) Cho lăng trụ đứng ABCA’B’C’ có độ dài cạnh bên 2a , đáy ABC tam giác vuông A AB = a , AC = a hình chiếu vuông góc A’ lên mp (ABC) trung điểm cạnh BC , Tính theo a thể tích khối chóp A’ABC tính côsin góc tạo AA’ B’C’ (TSĐH A2008) HD giải :Gọi H trung điểm BC Suy A’H ⊥ (ABC) 1 AH = BC = a + 3a = a Do A’H = A ' A2 − AH = a 2 a3 V(A’ABC) = A’H.dt (ABC) = Trong tam giác vuông A’B’H ta có HB’= A ' B + A ' H = 2a nên tam giác B’BH cân B’ Đặt α góc tạo AA’ B’C’ ˆ ⇒ cos α = a = α = B ' BH 2.2a (Trong Bài toán ta chuyển tính góc tạo AA’ B’C’ sang tính góc tạo hai đường thẳng song song với AA’ B’C’ BB’và BC ) Tel 0988844088 11 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01/ A’ C’ B’ C A B H B Câu 2:Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh 2a , SA = a, SB = a mp (SAB) vuông góc với mặt phẳng đáy Gọi M,N trung điểm cạnh AB,BC Tính theo a thể tích khối chóp SBMDN tính cosin góc tạo SM DN Hd giải: Từ S hạ SH vuông góc AB SH vuông góc với mp (ABCD) SH đường cao khối chóp SBMDN Ta có SA2 + SB2 = 4a2 = AB2 ⇒ ∆SAB vuông AB a S ⇒ SM = = a ⇒ ∆SAM tam giác ⇒ ABCH = 2 3a Dễ thấy đường thẳng(BMDN)=1/2dt(ABCD)=2a2 Do V(SBMDN)= SH dt ( BMDN ) = 3 a Kẻ ME song song với DN ( E thuộc AD) suy AE = giả sử (SM,DN)= α ⇒ α = ( SM , ME ) Ta có SA vuông góc với AD (Định lý đường vuông góc ) suy SA ⊥ AE ⇒ SE = SA2 + AE = a a , ME = AM + ME = Tam giác SME cân E 2 SM nên cos α = = ME 12 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01/ S A E D M B N C MỘT SỐ BÀI TẬP Câu 1) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình vuông tâm O, SA vuông góc với hình chóp Cho AB=a, SA= a Gọi H K hình chiếu A lên SB, SD Chứng minh SC ⊥ (AHK) tính thể tích hình chóp OAHK Câu 2) Cho lăng trụ đứng ABCA1B1C1 có tất cạnh a M trung điểm đoạn AA1 Chứng minh BM ⊥ B1C tính d(BM,B1C) ˆ = 1200 Gọi M Câu 3) Cho lăng trụ đứng ABCA1B1C1 có AB=a, AC=2a, AA1=2a BAC trung điểm cạnh CC1 Chứng minh MB ⊥ MA1 tính khoảng cách từ C tới mp(A1BM) Câu 4) Cho lăng trụ đứng ABCA1B1C1 có đáy ABC tam giác vuông AB=AC=a, AA1=a Gọi M, N trung điểm đoạn AA1 BC1 Chứng minh MN đường vuông góc chung đường thẳng AA1 BC1 Tính VMA1BC1 Câu 5) Cho tứ diện ABCD có cạnh a Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD Gọi M trung điểm CD Tính góc AC BM Câu 6) Cho hình chóp SABC có đáy ABC tam giác vuông A, BC=a, a Tính khoảng cách từ S đến (ABC) Tính góc tạo đường thẳng SA SA=SB=SC= mp(ABC) Câu 7) Cho khối lăng trụ đứng ABCA’B’C’ có đáy ABC tam giác cạnh a, AA’=a Tính góc tạo mp(ABC’) mp(BCA’) Câu 8) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD nửa lục giác nội tiếp đường tròn đường kính AB=2a, SA=a vuông góc với mp(ABCD) Tính góc tạo mp(SAD) mp(SBC) Tính góc tạo mp(SBC) mp(SCD) 13 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01/ Câu 9) Cho hình lăng trụ ABCA’B’C’có đáy ABC tam giác tâm O Hình chiếu vuông góc C’ (ABC) trùng với O Biết khoảng cách từ O đến CC’ a Góc tạo mặt phẳng (AA’C’C) (BB’C’C) 1200 Chứng minh ABB’A’ hình chữ nhật Tính thể tích lăng trụ góc tạo mặt bên (BCB’C’) đáy (ABC) Câu 10) Cho tứ diện ABCD, có đáy tam giác cân ABC DA vuông góc với (ABC) AB=AC=a, BC= a Gọi M trung điểm BC Vẽ AH vuông góc với MD (H thuộc MD) a) Chứng minh AH vuông góc với mặt phẳng (BCD) b) Cho AD= a Tính góc hai đường thẳng AC DM c) Gọi G1 G2 trọng tâm tam giác ABC tam giác DBC Chứng minh G1G2 vuông góc với mặt phẳng (ABC) Câu 11) Cho hình chóp SABC có mặt phẳng (SAB) (SBC) vuông góc với SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), SB = a ; BSˆC = 45 , ASˆB = α a) Chứng minh BC vuông góc với SB b) Tìm giá trị α để mặt phẳng (SCA) (SCB) tạo với góc 60 Câu 12) Cho hình vuông ABCD Gọi S điểm không gian cho SAB tam giác (SAB) vuông góc với (ABCD) a) Chứng minh (SAB) vuông góc với (SAD) (SAB) vuông góc với (SBC) b) Tính góc tạo bới mặt phẳng (SAD) (SBC) c) Gọi H,I trung điểm AB, BC Chứng minh mặt phẳng (SHC) vuông góc với mặt phẳng (SDI) Câu 13) Cho cho hình lăng trụ ABCA'B'C' có cạnh đáy a, Chiều cao h Điểm M MA = thuộc AB’ cho MB' a) Tính góc tạo AC BC’ b) Mặt phẳng (P) qua M song song với đường thẳng A’C BC’ cắt đường thẳng DC CC’ D Tính tỷ số DC ' Câu 14) Cho cho hình lăng trụ tam giác ABCA'B'C' có tất cạnh a Gọi C trung điểm CC’ Tính góc tạo C1 B A’B’ góc tạo mặt phẳng ( C1 AB) )(ABC) Câu 15) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a, SA vuông góc với (ABCD) SA=a Tính a) Tính khoảng cách từ S đến (ECD) E trung điểm SA b) Tính khoảng cách AC SD Câu 16) Cho hình hộp đứng ABCDA’B’C’D’ có đáy hình thoi cạnh a, Aˆ = 60 , A’C tạo với (ABCD) góc 600 a) Tính đường cao hình hộp b) Tìm đường vuông góc chung A’C BB’.Tính độ dài đoạn vuông góc chung Câu 18) Cho hình chóp SABCD có đáy hình thoi ABCD có A=1200 , BD=a, cạnh bên SA vuông góc với đáy , Góc tạo (SBC) (ABCD) 600.Tính 14 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01/ a) Đường cao kẻ từ S b) Khoảng cách hai đường thẳng AC SD; BC SD Câu 19) Cho hình chóp SABCD có cạnh a Gọi M,N trung điểm SA, SC Biết BM tạo với ND góc 600 Tính thể tích khối chóp Câu 20) Cho hình chóp SABCD có cạnh a đáy tâm O Gọi M, N trung điểm SA, BC Biết góc tạo MN (ABCD) 600 a) Tính MN, SO b) Tính góc tạo MN mặt phẳng (SAO) c) Tính thể tích khối chóp SABCD Câu 21) Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’ cạnh a Tính góc tạo (BA’C) (DA’C) Câu 22) Cho lăng trụ tam giác ABCA’B’C’ có hình chiếu vuông góc đỉnh A’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với tâm vòng tròn ngoại tiếp tam giác ABC Biết tam giác ABC tam giác cân ˆ = 1200,AB = a; Góc tạo mặt phẳng (A’BC) (ABC) 600 Tính thể tích A ABC khối lăng trụ ABCA’B’C’ khoảng cách từ A lên mặt phẳng (A’BC) Câu 23) Cho lăng trụ tam giác ABCA’B’C’ có đáy ABC tam giác vuông A,AB = a ; AC = a cạnh A’A,A’B,A’C hợp với đáy góc Góc tạo mặt phẳng (A’AC) đáy (ABC) 600 a) Tính thể tích khối lăng trụ ABCA’B’C’ b) Trên A’C’ lấy điểm M cho M trung điểm A’C’ đường thẳng A’C’ cắt AM I Tính thể tích khối chóp IABC c) Gọi O trung điểm AM tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng (A’BC) d) Tìm tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp A’ABC Câu 24) Cho hình chóp SABCD có ABCD hình vuông cạnh a Cạnh SA vuông góc với đáy , góc tạo mặt phẳng (SBD) đáy 600 Gọi M trung điểm SA ,N trunh điểm SD Tính thể tích khối chóp SABCD cosin góc tạo BM AN Câu 25) Cho khối chóp SABCD có SA = x cạnh lại Tính thể tích VSABCD khối chóp tìm x để VSABCD lớn Câu 26) Cho tứ diện DABC Biết tam giác ABC vuông A, AB = a, BC = 2a Các mặt (DAB) (DAC) hợp với (ABC) góc α ,mặt bên (DBC) vuông góc với (ABC) a) Tính thể tích khối tứ diện theo a α 2a 3 b) Xác định góc α biết VABCD= Câu 27) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình bình hành ,một mp( α ) qua AB cắt SC, SM để ( α ) chia hình chóp thành hai phần tích SD M,N Tính SC Câu 28) Cho hình chóp tứ giác SABCD có tất cạnh a Gọi M P trung điểm SA SC, mặt phẳng (DMP) cắt SB N Tính thể tích khối chóp SDMNP SM SN Câu 29) Trên cạnh SA,SB tứ diện SABC lấy điểm M,N cho = , = MA NB Một mặt phẳng ( α )đi qua MN song song với SC chia tứ diện thành phần Tính tỉ số thể tích hai phần ˆ = 600 Biết mặt Câu 30) Cho hình chóp SABC có ABC tam giác vuông A ABC bên hình chóp hợp với mặt đáy góc 30 diện tích xung quanh hình chóp a2 a) Tính thể tích khối chóp SABC theo a b) Tính khoảng cách từ đỉnh C đến mặt bên (SAB) theo a 15 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01/ Câu 31) Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác cạnh a , cạnh bên AA’hợp với mặt đáy góc 600 Hình chiếu A’ lên mp(ABC) trùng với trọng tâm G tam giác ABC Tính thể tích khối lăng trụ cho Câu 32) Cho khối lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác Biết A’A = AB = a Tính thể tích khối lăng trụ biết mặt bên (A’AB) (A’AC) hợp với mặt đáy (ABC) góc 600 Câu 33) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình thang vuông A, hai đáy AD = 2a , BC = a Biết AB = a , SA = a SA ⊥ (ABCD) a) Tính thể tích khốichóp SACD b) Tính thể tích khối chóp SBCD khoảng cách d(B; (SCD)) Câu 34) Cho khối chóp SABC có đáy ABC tam giác vuông A,BC = a ,SA = SB = SC = 2a ABC = α Gọi H hình chiếu S BC a) Tính thể tích khối chóp SABC theo a b) Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SAH) c) Cho (P) mặt phẳng qua A , trọng tâm tam giác SBC song song với BC chia khối chóp SABC thành phần Tính thể tích phần Câu 35) Cho khối chóp DABC có mặt (DBC) vuông góc với đáy , mặt bên (DAB) (DAC) hợp với đáy góc α (α p 900 ) Tính thể tích khối chóp trường hợp sau a) ABC tam giác vuông A có AB = a , AC = 2a ; b) ABC tam giác có cạnh a MỘT SỐ BÀI TẬP CHỌN LỌC VỀ HÌNH KHÔNG GIAN THƯỜNG DÙNG TRONG KỲ THI TSĐH BIÊN SOẠN GV NGUYỄN TRUNG KIÊN 0988844088 Câu 1) Khối chóp SABCD có đáy hình bình hành, M trung điểm SC Mặt phẳng (P) qua AM, song song với BD chia khối chóp làm phần Tính tỉ số thể tích hai phần Câu 2) Cho hình chóp tứ giác SABCD có cạnh a a) Tính thể tích khối chóp b) Tính khoảng cách từ tâm mặt đáy đến mặt hình chóp Câu 3) Khối chóp SABCD có đáy hình vuông cạnh a SA ⊥ (ABCD); SA=2a Gọi E, F hình chiếu A SB SD I giao điểm SC (AEF) Tính thể tích khối chóp SAEIF Câu 4) Cho lăng trụ đứng ABCA1B1C1 đáy tam giác Mặt phẳng (A1BC) tạo với đáy góc 300 tam giác A1BC có diện tích Tính thể tích khối lăng trụ Câu 5) Khối lăng trụ ABCA1B1C1 có đáy tam giác vuông cân, cạnh huyền AB= Mặt phẳng (AA1B) vuông góc với mặt phẳng (ABC), AA1= ; góc A1AB nhọn, góc tạo (A1AC) mặt phẳng (ABC) 600 Tính thể tích khối lăng trụ Câu 6) Khối lăng trụ tứ giác ABCDA1B1C1D1 có khoảng cách đường thẳng AB A1D 2, độ dài đường chéo mặt bên a) Hạ AH ⊥ A1D (K ∈ A1D) chứng minh AK=2 b) Tính thể tích khối lăng trụ ABCDA1B1C1D1 Câu 7) Cho hình tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc với mặt phẳng (ABC), AC=AD=4cm; AB=3cm; BC=5cm Tính khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng (BCD) 16 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01/ Câu 8) Cho hình chóp tam giác SABC đỉnh S, độ dài cạnh đáy a GỌi M, N trung điểm cạnh SB SC Tính theo a diện tích tam giác AMN, biết mặt phẳng (AMN) vuông góc với mặt phẳng (SBC) Câu 9) Cho hình chóp SABC có SA=3a SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) Tam giác ABC có AB=BC=2a, góc ABC=1200 Tính khoảng cách từ đỉnh A đến mặt phẳng (SBC) Câu 10) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a, tam giác SAB nằm mặt phẳng vuông góc với đáy Tính góc mặt phẳng (SAB) (SCD) Câu 11) Cho hình chóp tam giác SABC có đáy ABC tam giác cạnh a, SA=2a SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) Gọi M N hình chiếu vuông góc A đường thẳng SB SC a) Tính khoảng cách t A đến mặt phẳng (SBC) b) Tính thể tích khối chóp ABCMN Câu 12) Hình chóp tam giác SABC có cạnh bên SA=SB=SC=a, góc ASB=1200, góc BSC=600, góc ASC=900 Chứng minh tam giác ABC vuông tính thể tích hình chóp SABC theo a Câu 13) Cho hình chóp tứ giác SABCD Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) 2a Góc mặt bên mặt đáy α a) Tính thể tích khối chóp theo a α b) Xác định α để thể tích khối chóp nhỏ Câu 14) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB=a, AD= a , SA=a SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Gọi M N trung điểm AD SC, I giao điểm BM AC a) Chứng minh mặt phẳng (SAC) vuông góc với mặt phẳng (SMB) b) Tính thể tích khối tứ diện ANIB Câu 15) Cho lăng trụ đứng ABCA’B’C’ có đáy ABC tam giác vuông B, AB=a, AA’=2a, A’C=3a Gọi M trung điểm đoạn thẳng A’C’, I giao điểm AM A’C a) Tính theo a thể tích khối tứ diện IABC b) Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (IBC) Câu 16) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình thang vuông A D, AB=AD=2a, CD=a, góc mặt phẳng (SBC) (ABCD) 600 Gọi I trung điểm cạnh AD Biết mặt phẳng (SBI) (SCI) vuông góc với mặt phẳng (ABCD), tính thể tích khối chóp SABCD theo a Câu 17) Cho hình lăng trụ tam giác ABCA’B’C’ có BB’=a, góc tạo BB’ mặt phẳng (ABC) 600, tam giác ABC vuông C góc BAC=600 Hình chiếu vuông góc điểm B’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm tam giác ABC Tính thể tích khối tứ diện A’ABC theo a Câu 18) Trong không gian cho hình chóp tam giác SABC có SC = a Góc tạo (ABC) (SAB) =600 Tính thể tích khối chóp SABC theo a Câu 19) Trong không gian cho hình chóp SABCD với ABCD hình thoi cạnh a, góc ABC=600, a SO vuông góc với đáy ( O tâm mặt đáy), SO = M trung điểm AD (P) mặt phẳng qua BM song song với SA, cắt SC K Tính thể tích khối chóp KABCD Câu 20) Cho hình chóp SABC có đáy ABC tam giác cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với a đáy (ABC) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) theo a biết SA = 17 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01/ Câu 21) Cho hình chóp SABCD có đáy hình chữ nhật, AD = a 2, CD = 2a Cạnh SA vuông góc với đáy SA = 2a Gọi K trung điểm AB a) Chứng minh (SAC) vuông góc với (SDK) b) Tính thể tích khối chóp CSDK theo a; tính khoảng cách từ K đến (SDC) Câu 22) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a Mặt phẳng (SAC) vuông góc với đáy, góc ASC=900, SA tạo với đáy góc 600 Tính thể tích khối chóp Câu 23) Cho lăng trụ ABCA’B’C’ có đáy ABC tam giác cạnh a, hình chiếu vuông góc A’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với tâm O tam giác ABC Một mặt phẳng (P) chứa BC a2 Tính thể tích khối lăng trụ vuông góc với AA’ cắt lăng trụ theo thiết diện có diện tích a Câu 24) Cho hình chóp SABC có AB=AC=a; BC = ; SA = a ; góc SAB góc SAC 300 Tính thể tích khối chóp theo a Câu 25) Cho hình chóp tứ giác SABCD cạnh đáy a Gọi G trọng tâm tam giác SAC a khoảng cách từ G đến mặt bên (SCD) a) Tính khoảng cách từ tâm mặt đáy đến mặt bên (SCD) b) Tính thể tích khối chopSABCD Câu 26) Cho hình chóp SABC có đường cao AB=BC=a; AD=2a Đáy tam giác vuông cân B Gọi B’ trung điểm SB, C’ chân đường cao hạ từ A xuống SC.Tính thể tích khối chóp SAB’C’ Câu 27) Cho lăng trụ đứng ABCA’B’C’ có đáy ABC tam giác vuông, AB=BC=a, cạnh bên AA’= a Gọi M trung điểm cạnh BC a) Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABCA’B’C’ b) Tính khoảng cách đường thẳng AM B’C Câu 28) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh 2a; SA=a; SB= a mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng đáy M N trung điểm cạnh AB BC Tính thể tích khối chóp SBMDN góc (SM;ND) Câu 29) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình thang, góc BAD góc ABC 900; AB=BC=a; AD=2a SA vuông góc với đáy SA=2a Gọi M, N trung điểm SA; SD Tính thể tích khối chóp SABCD khối chóp SBCMN Câu 30) Cho lăng trụ ABCA’B’C’ có độ dài cạnh bên 2a, đáy ABC tam giác vuông A, AB=a; AC= a hình chiếu vuông góc A’ (ABC) trung điểm cạnh BC Tính theo a thể tích khối chóp A’ABC cosin góc đường thẳng AA’ B’C’ Câu 31) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a, mặt bên SAD tam giác nằm mặt phẳng vuông góc với đáy Gọi M, N, P trung điểm cạnh SB, BC, CD Chứng minh AM vuông góc với BP tính thể tích khối tứ diện CMNP Câu 32) Cho lăng trụ đứng ABCA1B1C1 có AB=a; AC=2a; AA1= 2a góc BAC=1200 Gọi M trung điểm cạnh CC1 Chứng minh MB ⊥ MA1 tính khoảng cách d từ điểm A đến mặt phẳng (A1MB) Câu 33) Cho hình chóp SABC có góc mặt phẳng (SBC) (ABC) 600 Các tam giác ABC SBC tam giác cạnh a Tính theo a khoảng cách từ đỉnh B đến mặt phẳng (SAC) 18 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01/ Câu 34) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình vuông tâm O, SA vuông góc với đáy Cho AB=a; SA= a Gọi H K hình chiếu A lên SB; SC Chứng minh SC ⊥ (AHK) tính thể tích khối chóp OAHK Câu 35) Trong mặt phẳng (P) cho nửa đường tròn đường kính AB=2R điểm C thuộc nửa vòng (SAB;SBC)=600 Gọi H, K hình chiếu A SB, SC Chứng minh tam giác AHK vuông tính VSABC Câu 36) Lăng trụ đứng ABCA1B1C1 có đáy tam giác vuông AB=AC=a; AA1= a Gọi M, N trung điểm AA1 BC1 Chứng minh MN đoạn vuông góc chung AA1 BC1 Tính thể tích khối chóp MA1BC1 Câu 37) Cho lăng trụ đứng ABCA1B1C1 có tất cạnh a M trung điểm đoạn AA1 Chứng minh BM ⊥ B1C tính d( BM ; B1C ) Câu 38) Cho hình chóp tứ giác SABCD có đáy hình vuông cạnh a E điểm đối xứng D qua trung điểm SA, M trung điểm AE, N trung điểm BC Chứng minh MN vuông góc với BD tính khoảng cách MN AC theo a Câu 39) Cho hình chóp SABCD có đáy hình thang, góc ABC= góc BAD= 900; AD=2a; BA=BC=a Cạnh bên SA vuông góc với đáy SA= a Gọi H hình chiếu vuông góc A SB a) Chứng minh tam giác SCD vuông b) Tính khoảng cách từ H đến mặt phẳng (SCD) Câu 40) Cho hình chóp SABC mà mặt bên tam giác vuông SA=SB=BS=a Gọi M, N, E trung điểm cạnh AB, AC, BC D điểm đối xứng S qua E, I giao điểm AD (SMN) a) Chứng minh AD vuông góc với SI b) Tính theo a thể tích khối tứ diện MBSI a Câu 41) Cho hình hộp đứng ABCDA’B’C’D’ có cạnh AB=AD=a; AA’= góc BAD=600 Gọi M N trung điểm A’D’ A’B’ Chứng minh AC’ vuông góc với mặt phẳng (BDMN) tính thể tích khối chóp ABDMN Câu 42) Hình chóp SABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB=a, AD=2a, cạnh SA vuông a , góc với đáy, cạnh SB tạo với mặt phẳng đáy góc 600 Trên cạnh SA lấy M cho AM = mặt phẳng (BCM) cắt SD N Tính thể tích khối chóp SBCNM Câu 43) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a Góc BAD=600 SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD), SA=a Gọi C’ trung điểm SC, mặt phẳng (P) qua AC’ song song với BD, cắt cạnh SB, SD hình chóp B’, D’ Tính thể tích khối chóp SAB’C’D’ Câu 44) Cho lăng trụ ABCA’B’C’ có A’ABC hình chóp tam giác đều, cạnh đáy AB=a, cạnh bên AA’=b Gọi α góc mặt phẳng (ABC) (A’BC) Tính tan α thể tích khối chóp A’BB’CC’ Câu 45) Cho hình chóp tứ giác SABCD có cạnh đáy =a Gọi SH đường cao hình chóp Khoảng cách từ trung điểm I SH đến mặt phẳng (SBC) b Tính thể tích khối chóp SABCD 19 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01/ Câu 46) Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’ có cạnh =a điểm K thuộc cạnh CC’ 2a cho: CK = Mặt phẳng α qua A, K song song với BD chia khối lập phương thành khối đa diện Tính thể tích khối đa diện Câu 47) Cho hình trụ tròn xoay hình vuông ABCD cạnh a có đỉnh liên tiếp A; B nằm đường tròn đáy thứ nhất, đỉnh lại nằm đường tròn đáy thứ cùa hình trụ Mặt phẳng (ABCD)tạo với đáy hình trụ góc 450 Tính diện tích xung quanh thể tích hình trụ Câu 48) Cho hình nón đỉnh S, đáy đường tròn tâm O, SA SB đường sinh Biết SO=3a, khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SAB) bẳng a, diện tích tam giác SAB=18a2 Tính thể tích diện tích xung quanh Câu 49) Cho hình trụ có đáy hình tròn tâm O O’ Bán kính đáy chiều cao a Trên đường tròn đáy tâm O lấy điểm A, đường tròn đáy tâm O’ lấyđiểm B cho AB=2a a) Tính diện tích toàn phần hình trụ thể tích khối trụ b) Tính thể tích tứ diện OO’AB Câu 50) Cho hình chóp cụt tam giác ngoại tiếp hình cầu bán kính r cho trước Tính thể tích khối chóp cụt biết cạnh đáy lớn gấp đôi cạnh nhỏ (Hình chóp ngoại tiếp hình cầu hình cầu tiếp xúc với tất mặt hình chóp) Câu 51) Cho hình chóp tam giác SABC có độ dài cạnh bên a Các mặt bên hợp với mặt phẳng đáy góc α Tính thể tích khối cầu nội tiếp hình chóp Câu 52) Cho hình chóp SABCD Hai mặt bên (SAB) (SAD) vuông góc với mặt đáy Đáy ABCD tứ giác nội tiếp đường tròn tâm O, bán kính R Xác định tâm tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp SABCD biết SA=h Câu 53) Hình cầu đường kính AB=2R Lấy H AB cho AH=x ( 0[...]... 18) Trong không gian cho hình chóp tam giác đều SABC có SC = a 7 Góc tạo bởi (ABC) và (SAB) =600 Tính thể tích khối chóp SABC theo a Câu 19) Trong không gian cho hình chóp SABCD với ABCD là hình thoi cạnh a, góc ABC=600, a 3 SO vuông góc với đáy ( O là tâm mặt đáy), SO = M là trung điểm của AD (P) là mặt 2 phẳng qua BM và song song với SA, cắt SC tại K Tính thể tích khối chóp KABCD Câu 20) Cho hình. .. Cho hình hộp xiên ABCDA’B’C’D’ có đáy ABCD là hình thoi cạnh a BAD AA’=A’B=AD và cạnh bên tạo với đáy góc α Xác định góc α và chân đường cao vẽ từ A’ Tính thể tích V của hình hộp theo a và α 8) Cho ABCDA’B’C’D’ hình lập phương cạnh a Lấy M trên cạnh AB với AM=x (0 ... a Câu 18) Trong không gian cho hình chóp tam giác SABC có SC = a Góc tạo (ABC) (SAB) =600 Tính thể tích khối chóp SABC theo a Câu 19) Trong không gian cho hình chóp SABCD với ABCD hình thoi... có cạnh a MỘT SỐ BÀI TẬP CHỌN LỌC VỀ HÌNH KHÔNG GIAN THƯỜNG DÙNG TRONG KỲ THI TSĐH BIÊN SOẠN GV NGUYỄN TRUNG KIÊN 0988844088 Câu 1) Khối chóp SABCD có đáy hình bình hành, M trung điểm SC Mặt phẳng... Cho hình chóp cụt tam giác ngoại tiếp hình cầu bán kính r cho trước Tính thể tích khối chóp cụt biết cạnh đáy lớn gấp đôi cạnh nhỏ (Hình chóp ngoại tiếp hình cầu hình cầu tiếp xúc với tất mặt hình