Trần Thành Minh - Phan Lưu Biên – Trần Quang Nghóa PHÂN TÍCH CÁC ĐỀ Hình học phẳng đề thi ĐH 2003-2010 ban A-B-D www.saosangsong.com.vn LTĐH: Chun đề HÌNH HỌC PHẲNG PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ PHẲNG §1.ĐƯƠNG THẲNG G Phương trình đường thẳng qua M0( x0 ; y0 ) có VTPT n = (a ; b) : a(x – x0) + b(y –y0) • Phương trình tổng qt đường thẳng có dạng : ax + by + c = G n G n = (a ; b) VTPT • G a ∆ qua A(a ; 0) B(0 ; b) Ù∆: x y + =1 a b ∆ • Phương trình đường thẳng có hệ số góc k : y = kx + m với k = tanφ góc hợp tia Mt ∆ phía Ox tia Mx • Phương trình đường thẳng AB : φ M x - xA y − yA = xB - xA yB − yA M Khỏang cách từ M (xo ; yo ) đến đường thẳng ∆ : ax + by + c = : d(M, Δ ) = MH = | ax + by o + c | H a2 + b ∆ 3.Góc ( khơng tù ) tạo ∆1: a1x + b1y + c1 = ∆2 : a2x + b2y + c = : cos(∆1 ; ∆2 ) = | a1 a + b b | a1 + b a 2 + b 2 ∆1 ┴ ∆2 Ù a1a2 + b1b2 = 4.Phương trình tham số đường thẳng • • Phương trình tắc đường thẳng qua M0 ( a1 ≠ a2 ≠ 0) • G ⎧ x = x o + ta1 a = (a1 ; a2 ) : ⎨ ⎩ y = yo + ta G x − x o y − yo = (x0 ; y0) có VTCP a = (a1 ; a2 ) : a1 a2 Phương trình tham số đường thẳng qua M0 (x0 ; y0) có VTCP G Nếu n = (a; b) VTPT ∆ G a = (b ; - a) hay ( - b ; a) VTCP ∆ y § ĐƯỜNG TRỊN Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , phương trình đường trịn tâmI(h ; k) bán kính R : (x – h)2 + (y – k)2 = R2 • Phương trình đường tròn (O, R) : x2 + y2 = R2 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , phương trình có dạng : x2 + y2 - 2ax - 2by + c = với a2 + b2 – c > phương trình đường trịn : tâm I( a ; b), bán kính R = a + b − c Tiếp tuyến với đường trịn • (x – h)2 + (y – k)2 = R2 tiếp điểm T(x0 ; y0) : I O x IT = ( x − h; y − k ) có phương trình : (x0 – h)(x – x0) + (y0 – k)(y – y0) = T đường thẳng qua T vng góc R ∆ I • Đường thẳng ∆ tiếp tuyến đường tròn (I, R) Ù d(I, ∆) = R &3 CÔNIC y Elip a Định nghĩa Cho hai điểm cố định F1 , F2 với F1 F2 = 2c độ dài không đổi 2a ( a > c) Elip tập hợp điểm M cho : B2 M x F1M + F2M = 2a F1 , F2 : tiêu điểm , F1F2 : tiêu cự , A1 F1 F2 O A2 ; F1M , F2M : bán kính qua tiêu e = c/a : tâm sai B1 Phương trình tắc Với F1( - c ; 0) , F2(c ; 0) : M(x ; y) ∈ (E) Ù x2 y2 + = với b2 = a2 - c a2 b * Hình chữ nhật giới hạn đường x = ± a , y = ± b gọi hình chữ nhật sở hypebol F1M = a + cx M cx M = a + exM ; F2M = a − = a - exM a a Hypebol a Định nghĩa Cho hai điểm cố định F1 , F2 với F1 F2 = 2c độ dài không đổi 2a ( a > c) Hypebol tập hợp điểm M cho : F1 M - F2 M = 2a F A1 A2 F F1 , F2 : tiêu điểm ; F1 F2 : tiêu cự F1M , F2M : bán kính qua tiêu; e = c/a : tâm sai b Phương trình tắc Với F1( - c ; 0) , F2(c ; 0) : M(x ; y) ∈ (H) Ù x2 y2 = với b2 = c2 - a 2 a b * Hình chữ nhật giới hạn đường x = ± a , y = ± b gọi hình chữ nhật sở hypebol * Đường thẳng y = ± b x gọi hai tiệm cận a ⎧c ⎧c ⎪⎪ a x M + a , M ∈ nhánh phải ⎪⎪ x M − a , M ∈ nhánh phải * F2 M = ex M − a = ⎨ a * F1M = ex M + a = ⎨ ⎪ − c x − a , M ∈ nhánh trải ⎪ − c x + a , M ∈ nhaùnh traùi ⎪⎩ a M ⎪⎩ a M Parabol a Định nghĩa : Cho điểm F đường thẳng (∆) không chứa F Parabol tập hợp y M điểm M cho : MF = d(M , (∆)) K F : tiêu điểm; (∆) : đường chuẩn parabol p = d(F, Δ ) : tham số tiêu b Phương trình tắc parabol p p Với F( ; 0) ∆ : x = 2 x M(x ; y) ∈ (P) Ù y = 2px O F FM = p/2 + xM PHÂN TÍCH CÁC DẠNG TỐN HÌNH PHẲNG: Phương pháp Thơng thường ta gặp dạng sau giải đề thi đại học mơn hình phẳng : Dạng 1: Tìm toạ độ điểm thỏa tính chất cho trước Dạng : Viết phương trình đường thẳng , đường trịn hay cơnic thỏa tính chất cho trước Dạng 1: Tìm toạ độ điểm thỏa tính chất cho trước Có cách: Cách 1: Sử dụng cơng thức toạ độ trung điểm , trọng tâm, điều kiện nhau, phương, vng góc hai vectơ để tìm toạ độ điểm cần tìm cách trực tiếp Cách 2: Từ tính chất điểm , ta thiết lập phương trình (có ẩn hồnh độ, tung độ ) hay hệ phương trình (có ẩn toạ độ điểm cần tìm) Giải phương trình hay hệ phương trình, ta toạ độ điểm cần tìm Các công thức toạ độ, điều kiện phương, vng góc, khoảng cách , phương trình đường chứa điểm cung cấp cho ta phương trình xác định D2004 Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC với A(- 1; 0), B(4; 0) C(0, m) Xác định m để tam giác GAB vuông G với G trọng tâm tam giác ABC Giải JJJG JJJG Ta thiết lập phương trình ẩn m để tìm m Tính chất GA GB vng góc Phương trình điều kiện vng góc hai vectơ x A + xB + xc ⎧ =1 JJJG JJJG ⎪⎪ xG = Tọa độ G: ⎨ => GA = (- 2; - m/3); GB = (3 ; - m/3) ⎪ y = y A + yB + yc = m ⎪⎩ G 3 JJJG JJJG Tam giác GAB vuông G Ù GA GB = Ù - + m2/9 = Ù m = ±3 B2003 Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC vuông cân A, điểm M(1; - 1) trung điểm BC G(2/3; 0) trọng tâm ABC Tình toạ độ A, B, C Giải JJJG JJJJG C Theo tính chất trọng tâm: MA = 3.MG ⎧ xA − = 3.(−1/ 3) Ù⎨ => A= (0; 2) ⎩ y A + = 3.(1) M B, C nằm đường thẳng qua M(1 ; - 1) vuông góc JJJG G MA = ( −1;3) có phương trình : - 1(x – 1) + 3(y + 1) = Ù - x + 3y + = (1) Mặt khác MB = MC = MA = 10 , nên toạ độ B, C B A ⎧(1) nghiệm hệ: ⎨ 2 ⎩( x − 1) + ( y + 1) = (2) Giải hệ ta toạ độ B C (4 ; 0) (-2 ; - 2) Cách khác: Nếu nhớ tính chất sau ta khơng cần phải giải hệ để tìm toạ độ B, C G G G “Cho u v hai vectơ vng góc , có độ dài u = ( A; B ) G G v = ( B; − A) hay v = (− B; A) Qui tắc rút từ liên hệ vectơ phương vectơ pháp tuyến đường thẳng ” JJJG JJJJG JJJG JJJJG JJJG ⎡ MB = (3;1); MC = (−3; −1) Vì MB ; MC vng góc MA = ( −1;3) có độ dài MA đó: ⎢ JJJG JJJJG ⎢⎣ MB = (−3; −1); MC = (3;1) Từ ta tính toạ độ B C D2009 Trong mặt phẳng Oxy , cho đường tròn ©: (x – 1)2 + y2 = Gọi I tâm (C) Xác định toạ độ điểm M thc (C) cho thuộc cho góc IMO=300 Giải Nếu bạn nhận đường trịn có tâm I(1 ; 0), bán kính R = 1, M qua gơc O việc giải dễ dàng 0 Vì góc IMO = 30 nên góc IOM = 30 (tam giác IOM cân I), suy Do phương đường thẳng OM có hệ số góc ± tan 300 = ± x Thế vào phương trình đường trình đường thẳng OM y = ± I O tròn, ta phương trình tính hồnh độ điểm I Cách khác: Dùng định lí hàm cosin tam giác OIM: OM2 = IO2 + IM2 – 2.IO IM.cos1200 Mà IO = IM = 1, ta suy : OM2 = => OM = Ù x2 + y2 = (x; y) toạ độ M M lại thuộc đường trịn , ta có hệ phương trình tính toạ độ điểm M D2006 Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C): x2 + y2 - 2x - 2y + = đường thẳng d: x – y + = Tìm tọa độ điểm M nằm d cho đường tròn tâm M, có bán kính gấp đơi bán kính đường trịn (C), tiếp xúc ngồi với đường trịn (C) Giải M thuộc d: x – y + = => M = (x ; x + 3) (C) có tâm I(1 ; 1), bán kính R = Đường trịn tâm M có bán kính R’ = (C) (M) tiếp xúc Ù IM = R + R’= Ù (x – 1)2 + (x + 2)2 = Ù 2x2 + 2x – = Ù x = hay x = - Vậy M(1 ; 4) hay M(- 2; 1) Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác cân ABC, cân A(0 ; - 3), có trọng tâm G thuộc đường thẳng x + 2y = đường thẳng BC qua điểm D(1 ; 2) Tìm toạ độ trung điểm M BC A Giải Gọi (x; y) toạ độ điểm M Ta thiết lập hệ phương trình ẩn x, y cách khai thác hai tính chất điểm M G B M D C • Trước hết tam giác ABC cân A nên trung tuyến AM đường cao Suy ra: JJJJG JJJJG AM DM = ( x − 0)( x − 1) + ( y + 3)( y − 2) = x + y − x + y − = (1) x A + xB + xC x ⎧ = ⎪⎪ xG = 3 • Trọng tâm G có toạ độ : ⎨ ⎪ y = y A + yB + yC = −3 + y ⎪⎩ G 3 2x −3 + y G thuộc đường thẳng x + 2y = Ù + = x + y − = (2) 3 • Giải hệ (2) (3) ta toạ độ điểm M Từ (2): x = - 2y + Thế vào (1): (-2y + 3)2 + y2 – (- 2y + 3) + y – = Ù 5y2 – 10y = Ù y = ; y = • y = => x = ; y = => x = - Vậy M(3 ; 0) hay M(- 1; 2) Nếu phải tính toạ độ nhiều điểm (các đỉnh tam giác , tứ giác) thường ta chọn toạ độ điểm làm ẩn số, Từ giả thiết tốn, ta tìm toạ độ điểm cịn lại theo ẩn số lập phương trình hay hệ phương trình để tìm ẩn số 6.A2005 Trong mặt phẳng Oxy cho hai đường thẳng d1: x- y = d2 : 2x + y - = 0, tìm đỉnh hình vuông ABCD biết A thuộc d1 , C thuộc d2 B, D thuộc Ox Giải (Hình vẽ có tính tương đối) Vì A thuộc d1: x – y = nên có toạ độ (a; a) Do A, C đối xứng qua BD mà B, D thuộc Ox nên A, C đối xứng qua Ox Suy C = (a ; - a) Mà C thuộc d2: 2x + y – = nên 2a + ( - a) – = Ù a = Vậy A(1 ; ), C(1 ; - 1) Suy toạ độ trung I tâm hình vng (1 ; 0) Do IB = ID = , ta B(0; 0) D(2 ; 0) hay ngược lại A d1 I B D d2 C Trong ví dụ sau, ta phải đặt ẩn số hoành độ B C Từ giả thiết ta lập hệ phương trình theo ẩn số chọn B2007 Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm A(2; 2) đường thẳng: d1: x + y – = 0, d2: x + y – = Tìm tọa độ điểm B C thuộc d1 d2 cho tam giác ABC vuông cân A Giải JJJG B thuộc d1:x + y – = => B = (b; – b) => AB = (b − 2; −b) JJJG C thuộc d2: x + y – = => C = (c ; – c) => AC = (c − 2; − c ) (1) B A C JJJG JJJG JJJG Vì AB ; AC hai vectơ vng góc có độ dài mà AB = (b − 2; −b) nên ⎡ ⎧b = c − ⎢⎨ ⎩b − = − c ⎢ JJJG ⎡ (b; b − 2) (2) Từ (1) (2) suy ra: ⎢ −b = c − AC = ⎢ ⎢ ( ; ) − b − b ⎣ ⎢2 − b = − c ⎢ ⎣ ⎡b = 3; c = Giải hệ ta : ⎢ ⎣b = −1; c = Vậy B(- 1; 3), C(3 ; 5) hay B(3 ; - 1), C(5 ; 3) Nhận xét: Trong cách giải ta sử dụng qui tắc toạ độ hai vectơ vuông góc có độ dài nhau, lấy từ qui tắc toạ độ hai vectơ pháp tuyến phương đường thẳng Ax + By + C = 0, G G n = ( A; B ) vectơ pháp tuyến u = ( B; − A) hay ( − B; A) vectơ phương Nếu khơng ta sẽJJJ giGải hệ sau: JJJG Đặt AB = ( X ; Y ) ; AC = ( X '; Y ') , ta có: JJJG JJJG ⎧⎪| AB |=| AC | ⎧ X + Y = X '2 + Y '2 (1) ⎨ ⎨ JJJG JJJG ⎩ XX '+ YY ' = (2) ⎩⎪ AB AC = Từ (2): Y’ = - XX’/Y Thế vào (1): X2 + Y2 = X’2 + (XX’)2/Y2 Ù (X2 + Y2)Y2 = X’2(X2 + Y2) Ù X’2 = Y2 Ù X’ = Y hay X’ = -Y * X’ = Y => Y’ = - X * X’ = - Y => Y’ = X Ta tìm lại qui tắc B2008 Trong mặt phẳng Oxy, xác định tọa độ đỉnh C tam giác ABC biết hình chiếu vng góc C đường thẳng AB điểm H(- 1; -1), đường phân giác góc A có phương trình x - y + = đường cao kẻ từ B có phương trình 4x + 3y – = Giải Đây khó ta phải tìm toạ độ điểm trung gian đến toạ độ điểm C cần tìm Bài tốn giải theo A nước ván cờ d’ : 4x+3y-1=0 • Trước hết ta tìm toạ độ điểm K, đối xứng H qua phân giác d qua A: K H(-1;-1) Phương trình HK qua H(- 1; - 1) vng góc d: x – y + = là: (x + 1) + (y + 1) = Ù x + y + = => K = (x ; - x – 2) => toạ độ trung điểm HK x −1 −x − B C ) Điểm thuộc d nên : ( ; 2 d: x-y+2=0 x −1 −x − − + = Ù x = - => K(- 3; 1) 2 • Tiếp theo ta viết phương trình AC qua K(- 3; 1) vng góc d’ : 4x + 3y – = : 3(x + 3) – 4(y – 1) = Ù 3x – 4y + 13 = • • ⎧x − y + = Suy toạ độ A nghiệm hệ : ⎨ Ù A(5; 7) ⎩3x − y + 13 = JJJG Nhờ ta viết phương trình CH qua H(- 1; -1) vng góc HA = (6; 8) : 6(x + 1) + 8(y + 1) = Ù 3x + 4y + = Từ ta tìm toạ độ C, giao điểm đường thẳng CH AC, nghiệm hệ : ⎧3x + y + = Ù C = (- 10/3 ; ¾) ⎨ ⎩3x − y + 13 = Trong tiếp ta tìm điểm thỏa tính chất hình học mà ta giải hình học đại số D2007 Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C): (x – 1)2 + (y + 2)2 = đường thẳng d:3x 4y + m = Tìm m để d có điểm P mà từ kẻ hai tiếp tuyến PA, PB tới (C) (A, B tiếp điểm) cho tam giác PAB Giải Nhận xét: Ở ta khơng dại mà tìm toạ độ A, B, điều vô phức tạp Ta sử dụng tình chất hai tiếp tuyến đường trịn vẽ từ điểm P, để thấy : ∆PAB Ù ∆PAI nửa Ù IP = 2IA = 2R = Bài tốn thành tìm m cho d có điểm P cho IP = Cách hình học : u cầu tốn Ù d(I, d) = | 3(1) − 4(−2) + m | Ù = với I(1 ; - 2) Ù |m + 11| = 30 Ù m = 19 hay m = - 41 3x + m ) Cách đại số : P thuộc d : 3x – 4y + m = => P = (x ; ⎛ 3x + m ⎞ IP = Ù (x – 1)2 + ⎜ + ⎟ = 36 (*) ⎝ ⎠ Yêu cầu toán Ù (*) có nghiệm Ù ∆ = P A I B Một dạng tìm điểm có dạng tìm điểm cố định họ đường cong Ví dụ cho họ đường tròn (Cm) : x2 + y2 – 2mx + 4my + 2m – 10 = 0, chứng minh Họ (Cm) qua hai điểm cố định m thay đổi Giải : Ta có : a2 + b2 – c = 5m2 – 2m + 10 > với m => (Cm) đường tròn với m Gọi (xo ; yo) toạ độ điểm cố định cần tìm, ta có : xo2 + yo2 – 2mxo + 4myo + 2m – 10 = thỏa với m Ù 2m(- xo + 2yo + ) + xo2 + yo2 – 10 = thỏa với m ⎧⎪− xo + yo + = ⎧⎪ xo = yo + ⎧⎪ xo = yo + Ù ⎨ Ù Ù ⎨ ⎨ 2 ⎪⎩ xo + yo − 10 = ⎪⎩(2 yo + 1) + yo − 10 = ⎪⎩5 yo + yo − = Giải hệ ta : (3 ; 1) (-13/5; 9/5) Vậy họ (Cm) qua hai điểm cố định (3 ; 1) (-13/5; 9/5) Tuy nhiên ta có họ đường thẳng phụ thuộc hai tham số , ta giải sao? 10 D2008 Trong mặt phẳng Oxy, cho parabol (P) : y = 16x điểm A(1; 4) Hai điểm phân biệt B, C (B C khác A) di động (P) cho góc BAC = 900 Chứng minh đường thẳng BC qua điểm cố định Giải Vì B C thuộc (P): y2 = 16x => B = (b2/16 ; b) C = (c2/16; c), với b, c ≠ JJJG JJJG JJJG JJJG Ta có: AB AC = với AB = (b / 16 − 1; b − 4) ; AC = (c / 16 − 1; c − 4) Ù b − 16 c − 16 + (b − 4)(c − 4) = 16 16 Chia hai vế cho (b – 4)(c – 4) , ta : (b + 4)(c + 4) + = Ù bc + 4(b + c) + 274 = (1) 256 b2 y −b Phương trình đường thẳng BC : 162 = Ù 16x – (b + c)y + bc = (2) c b c−b − 16 16 x− Từ (1) (2), ta thấy cho 16x = 274 – y = (2) (1), tức (2) thỏa với giá trị b, c thỏa (1) x = 17 y = - , hay đường thẳng BC qua điểm cố định I(17 ; - 4) Cách khác: Nếu ta chọn tham số hệ số góc m đường thẳng AB phương trình AB: y = m(x – 1)+ đường thẳng AC vng góc AB y = − ( x − 1) + m Giải hệ ta tìm toạ độ B C theo m Từ viết phương trình đường thẳng BC phụ thuộc m Ta có tốn tìm điểm cố định họ đường thẳng mà ta giải ví dụ Tuy nhiên khơng phải đường trơn tru dễ dàng Mời bạn” phiêu lưu” DẠNG Viết phương trình đường thẳng , đường trịn thỏa đặc tình cho trước : Cách 1: Tìm điểm xác định đường thẳng , đường trịn : Ví dụ với đường thẳng tìm hai điểm mà qua , hay điểm vectơ pháp tuyến Với đường trịn phải tìm tâm bán kính 11 D2010 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A(0; 2) Δ đường thẳng qua O Gọi H hình chiếu vng góc A Δ Viết phương trình đường thẳng Δ, biết khoảng cách từ H đến trục hoành AH Giải Nhận xét: Vì ∆ qua O nên cần biết toạ độ H viết phương trình ∆ ⎧⎪ AH = b Gọi H(a ; b), khoảng cách từ H đến Ox |b|, ta có hệ: ⎨ JJJG JJJG ⎪⎩ AH OH = A Δ H O 10 JJJG JJJG ⎧⎪a + (b − 2) = b ⎧⎪ a − 4b + = (1) Với AH = ( a; b − 2) ; OH = ( a; b) : ⎨ ⎨ 2 ⎪⎩a + b(b − 2) = ⎪⎩ a + b − 2b = (2) (2) – (1): b2 + 2b – = Ù b = − ; − − Thế vào (1): a2 = 4( − ) hay 4(- − ) : loại Suy a = ±2 5−2 Phương trình đường thẳng (∆) qua O H(a ; b) : bx – ay = Ù ( − 1) x ± − 2) y = 12.B2009 Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C): (x – 2)2 + y2 = 4/5 hai đường thẳng Δ1: x – y = ∆2 : x – 7y = Viết phương trình đường trịn (C1) biết đường tròn (C1) tiếp xúc với đường thẳng ∆1, ∆2 có tâm K thuộc đường trịn (C) Giải Nhận xét: Đây tóan ba ẩn số : toạ độ tâm K bán kính R1 , ta phải thiết lập phương trình để có hệ giải Nhớ đường tròn (I, R) tiếp xúc với ∆ Ù d(I, ∆) = R ⎧(a − 2) + b = / ⎪ Gọi K(a ; b) tâm R1 bán kính (C1), ta có: ⎨d ( K , Δ1 ) = R1 ⎪d ( K , Δ ) = R ⎩ ⎧ ⎪(a − 2) + b = / (1) ⎪ ⎪| a − b | = R1 (2) Ù ⎨ ⎪ ⎪ | a − 7b | = R1 (3) ⎪ ⎩ ⎡5(a − b) = a − 7b ⎡ b = −2 a | a − 7b | Từ (2) (3): | a − b |= ⎢ ⎢ ⎣5(a − b) = − a + 7b ⎣ a = 2b * Thế b = - 2a vào (1) : 25a – 20a+ 16 = (VN) * Thế a = 2b vào (1): 25b2 – 40b + 16 = Ù b = 4/ => a = 8/5 2 Thế vào (2) : R1 = Phương trình đường trịn (C1) : (x – 8/5)2 + (y – 4/5)2 = 8/25 Cách 2: Tìm hệ số xác định đường bang cách giải hệ dựa vào điều kiện cho • Phương trình đường thẳng có dạng ax + by + c = , phương trình đường trịn (x – a)2 + (y – x2 y 2 2 b) = R hay x + y – 2ax – 2by + c = ; phương trình elip : + = a b 13 A2008 Trong mặt phẳng Oxy, viết phương trình tắc elíp (E) biết (E) có tâm sai /3 hình chữ nhật sở (E) có chu vi 20 Giải 10 11 Phương trình elip có dạng: x2 y + = (a > b > 0) Hình chữ nhật sở có độ dài 2a 2b, tâm sai a b2 c a2 − b2 e= = a a ⎧ a − b2 ⎧a = 10 − b ⎧a = 10 − b ⎪ = Ta có hệ: ⎨ ⎨ a ⎨ 2 2 ⎩9(a − b ) = 5a ⎩4a = 9b ⎪a + b = 10 ⎩ x2 y2 + = Giải hệ này, ta :a = , b = , phương trình (E): 14.A2007 Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có A(0; 2), B(−2; −2) C(4; −2) Gọi H chân đường cao kẻ từ B; M N trung điểm cạnh AB BC Viết phương trình đường trịn qua điểm H, M, N A Giải Nhận xét: Ta dễ dàng tìm toạ độ H, M, N, tốn quen thuộc viết phương trình H đường trịn qua điểm Tọa độ M ( - 1; 0), N(1 ; - 2) M x−0 y−2 Phương trình đường thẳng AC: = − −2 − Ùx+y–2=0 Phương trình đường thẳng BH qua B(-2 ; - 2) N JJJG B C vng góc AC = (4; −4) = 4(1 ; - 1): 1.(x + 2) - 1.(y + 2) = Ù x -y =0 ⎧x + y − = Toạ độ H nghiệm hệ : ⎨ Ù H = (1; 1) ⎩x − y = Phương trình đường trịn có dạng: x2 + y2 – 2ax – 2by + c = Thế toạ độ điểm M, N, H, ta ⎧2a + c = −1 ⎪ hệ: ⎨2a − 4b − c = Ù a = ½; b = - ½, c = - ⎪2a + 2b − c = ⎩ Phương trình đường trịn : x2 + y2 – x + y – = Cách 3: Tìm đẳng thức f(x ; y) =0 toạ độ (x ; y) điểm thuộc đường f(x; y) = phương trình đường cần tìm 15 Cho hai đường trịn (C): x2 + y2 – 2x – 4y – = (C’): x2 + y2 + 4x + 6y + 12 = Gọi TT’ đoạn tiếp tuyến chung số tiếp tuyến chung, M điểm thuộc đoạn TT’ cho MT = 2MT’ Có điểm M Chứng minh điểm M thuộc đường trịn viết phương trình đường trịn Giải (C) có tâm I(1 ; 2), bán kính R = 12 11 12 (C’) có tâm I’(- ; - 3), bán kính R’ = Gọi (x; y) toạ độ M, ta có; MT2 = 4MT’2 Ù IM2 – IT2 = 4( I’M2 – I’T’2) Ù (x – 1)2 + (y – 2)2 – 12 = 4[(x + 2)2 + (y + 3)2 – 1] Ù x2 + y2 – 2x – 4y – = 4(x2 + y2 + 4x + 6y +12) Ù x2 + y2 + 6x + (28/3)y + 55/3 = (*) điểm M có toạ độ thỏa (*) Mà (*) phương trình đường trịn , ta có điều phải chứng minh T M T’ I I’ 16 B2006 Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C): x + y - 2x - 6y + = điểm M( - 3; 1) Gọi T1 T2 tiếp điểm tiếp tuyến kẻ từ M đến (C) Viết phương trình đường thẳng T1T2 Giải Nhận xét: Đây phương trình đường thẳng qua hai điểm , ta tìm toạ độ hai điểm e việc tính tốn phức tạp Ta thiết lập đẳng thức bậc toạ độ hai tiếp điểm theo hướng phương pháp (C) có tâm I(1 ; 3), bán kính R = Gọi (x; y) toạ độ chung hai tiếp điểm T Điểm T có hai tính chất : T thuộc đường trịn JJG JJJG IT = ( x − 1; y − 3) ; MT = ( x + 3; y − 1) vng góc Do toạ độ T thỏa hệ: ⎧ x2 + y − x − y + = ⎨ ⎩( x − 1).( x + 3) + ( y − 3)( y − 1) = T1 M I H T2 ⎧⎪ x + y − x − y + = (1) ⎨ 2 (2) ⎪⎩( x + y + x − y = Suy toạ độ T thỏa phương trình (2) – (1): 4x + 2y – = Ù 2x + y – = Vậy hai tiếp điểm thuộc đường thẳng có phương trình 2x + y – = Do phương trình đường thẳng (T1T2) 2x + y – = Cách khác: Ta viết phương trình (T1T2) cách tìm toạ độ H, giao điểm (T1T2) IM IT12 IH IH IM = = = = Vì IM vng góc T1T2 nên 2 IM IM IM 20 JJJG JJJG JJJG JJJG Vì IH , IM = ( −4; − 2) hướng, suy : IH = IM = (− ; − ) 5 => H = (1/5 ; 17/5) JJJG Phương trình (T1T2) qua H vng góc IM = −2(2;1) 2(x – 1/5) + 1(y - 17/5) = Ù 2x + y - = Cách giải vừa trình bày ví dụ mơ tả phương pháp thứ ta thường gặp giải hình giải tích : Cách : Sử dụng kiến thức hình học để đơn giản hóa phép tính 12 13 Những năm sau, đề hình học có nhiều tính hình học cổ điển hơn, đơi phải vẽ hình cẩn thận để khai thác tính chất góc khiến việc tính tốn đỗ vất vả 17.B2010 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho điểm A(2; ) elip (E): 2x2+ 3y2 = Gọi F1 F2 tiêu điểm (E) (F1 có hồnh độ âm); M giao điểm có tung độ dương đường thẳng AF1 với (E); N điểm đối xứng F2 qua M Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ANF2 Giải Nhận xét: Đây phương trình đường trịn qua N A điểm toạ độ điểm A, N, F2 tìm khơng khó khăn Ta giải 13 Tuy M nhiên x2 y2 (E) : + =1 => F1 (- 1; 0), F2(1 ; 0) F1 F2 Phương trình đường thẳng AF1 : x +1 y − = Ùx= y -1 3 Thế vào phương trình êlip, ta phương trình hồnh độ M: 2(y - 1)2 + 3y2 = Ù 9y2 – y - = Ù y = /3 (vì y > 0) Suy : x = Vậy M(1 ; /3) Nhận xét MA = MF2 = /3 Như tam giác ANF2 có MN = MF2 = MA nên vng A đường trịn ngoại tiếp có tâm M bán kính /3 Phương trình cần tìm: ( x – 1)2 + (y – /3)2 = 4/3 Ghi : Nếu khơng có nhận xét tìm thêm toạ độ điểm N (1 ; 4/ ) lập phương trình để giải 13, vất vả khơng bấm máy được!!! 18 A2010 Trong mặt phẳng Oxy, cho hai đường thẳng d1: x + y = d2: x – y = Gọi (T) đường tròn tiếp xúc với d1 A, cắt d2 hai điểm B C cho tam giác ABC vuông B Viết phương trình (T), biết tam giác ABC có diện tích /2 điểm A có hoành độ dương Giải Nhận xét : Chú ý đường thẳng d1, d2 qua gốc O d1 có hệ số góc – tức góc mà tia Od1 (ở phía Ox) tạo với tia Ox 120o d2 có hệ số góc tức góc tia Od2 (ở phía Ox) tạo với tia Ox 60o Như góc nhọn tạo d1, d2 đặc biệt 600 Đây chìa khóa tốn Cũng nhớ đề có điều kiện điểm A có hồnh độ dương, thường gợi ý cho ta biết ta phải tìm toạ độ điểm A trước tiên, sau đến điểm khác | 3 − 1.1| d1 d2 cắt điểm gốc O : cos(d1, d2) = = + + y d1 O d2 x B A I C 13 14 => n AOB = 600 Tam giác OAB nửa Vì tam giác ABC vng B nên AC đường kính đường trịn (T) D1 n = 90o , suy BAC n = 60o tiếp xúc (T) nên OAC Ta có : A thuộc d1 => A(a ; − a 3) ; a > Lại có: SABC = ½ AB.ACsinA mà AB = OA /2 , AC = OA (∆OAC nửa đều) , suy ra: 3 Ù OA2 = = OA OA 2 2 1 ; −1 ) => A( Vậy : a2 + (a )2 = Ù a = 3 ) + (y + 1) = Ù x – 3y – = Vậy toạ Phương trình AC qua A vng góc d2: (x ⎧⎪ 3x − y = −2 Ù C ( ; −2) độ C nghiệm hệ: ⎨ ⎪⎩ 3x − y − = ; − ) có bán kính IA = (T) có đường kính AC nên có tâm I trung điểm AC, có toạ độ (− 2 ⎞ ⎛ 3⎞ ⎛ Suy phương trình (T): ⎜ x + ⎟ +⎜ y + ⎟ =1 3⎠ ⎝ ⎠ ⎝ THỰC TẬP 19 D2003 Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C): (x – 1)2 + (y - 2)2 = đường thẳng d: x – y – = Viết phương trình đường tròn (C’) đối xứng (C) qua d tìm toạ độ giao điểm (C), (C’) 20 D2005 Trong mặt phẳng Oxy, cho elip (E): x2 y2 + = C(2 ; 0) Tìm A, B thuộc elip cho A, B đối xứng qua Ox tam giác ABC 21 D2009 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho tam giác ABC có M(2; 0) trung điểm AB Đường trung tuyến đường cao qua đỉnh A có phương trình 7x – 2y – = 6x – y – = Viết phương trình đường thẳng AC 22 D2010 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(3 ; - 7) , trực tâm H(3 ; - 1), tâm đường tròn ngoại tiếp I(- 2; 0) Xác định toạ độ C biết C có hồnh độ dương 23.B2004 Trong mặt phẳng Oxy mặt phẳng Oxy, cho A(1; 1), B(4 ; - 3), tìm điểm C thuộc đường thẳng x – 2y - = cho khoảng cách từ C đến đường thẳng AB 24 B2005 Trong mặt phẳng Oxy cho A(2; 0), B(6; 4) Viết phương trình đường trịn (C) tiếp xúc với Ox A khoảng cách từ tâm (C) đến B 25 B2009 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho tam giác ABC cân A có đỉnh A (- 1;4 ), B, C thuộc đường thẳng Δ: x – y – = Xác định toạ độ B, C biết diện tích tam giác ABC 18 26 B2010 Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho tam giác ABC vng A, có đỉnh C(− 4; 1), phân giác góc A có phương trình x + y − = Viết phương trình đường thẳng BC, biết diện tích tam giác ABC 24 đỉnh A có hồnh độ dương 14 15 27 A2004 Trong mặt phẳng Oxy , cho A(0; 2) B( tròn ngoại tiếp tam giác OAB ; - 1).Tìm toạ độ trực tâm tâm đường 28.A2006 Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng: d1 :x + y + = 0, d2 : :x – y – 4= d3: x – y = Tìm tọa độ điểm M nằm đường thẳng d3 cho khoảng cách từ M đến đường thẳng d1 hai lần khoảng cách từ M đến đường thẳng d2 29 A2009 Trong mặt phẳng Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có tâm I(6; 2), điểm M(1; 5) thuộc đường thẳng AB trung điểm E CD thuộc đường thẳng d: x + y – = Viết phương trình đường thẳng AB 30 A2009 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho đường tròn (C): x2 + y2 + 4x + 4y + = đường thẳng x + my – 2m + = với m tham số thực Gọi I tâm đường tròn , tìm m để Δ cắt (C) hai điểm phân biệt A B cho diện tích tam giác IAB lớn 31 (A10)Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho tam giác ABC cân A có đỉnh A(6; 6); đường thẳng qua trung điểm cạnh AB AC có phương trình x + y − = Tìm toạ độ đỉnh B C, biết điểm E(1; −3) nằm đường cao qua đỉnh C tam giác cho GIẢI VẮN TẮT: 19 20 15 16 21 22 16 17 23 24 25 17 18 26 27 28 18 19 29 30 Lạm bàn: Ta thử giải toán “tương tự “: Cho đường trịn ©: x2 + y2 -2x – 2y – 15 = có tâm I đường thẳng ∆ : x + my + = Tìm cho ∆ cắt (C) điểm A, B diện tích tam giác IAB lớn Nếu lý luận cách giải ta đến việc định m : d(I, ∆) = Vì I(1 ; 1) R = 4, ta có: |2+m| R = 2 Ù (m + 2)2 = 8(m2 + 1) =0 1+ m Ù 7m – 4m + = : phương trình vơ nghiệm ??? 2 19 20 Tại thế? Lí ∆ đường thẳng di động luôn qua điểm cố định K(- 1; 0) Mà điểm nằm bên gần tâm nên có trường hợp tam giác IAB vng cân (hình 1) Cịn trước đường thẳng ∆ ln qua điểm cố định K ngồi đường trịn (hình 2) A I H K B Hình Hình Trong tình ta phải giải sau: (C) có tâm I(1 ; 1), bán kính R = ∆ ln qua điểm K( - 1; 0) Ta có : SIAB = ½ IA IB sinAIB = ½ R2 sinAIB Diện tích AIB lớn sinAIB lớn (Góc AIB trường hợp ln tù nên ta khơng thể sử dụng sinAIB ≤ đẳng thức không xãy ra) IH IK Kẻ IH vng góc ∆: cos(AIH) = => góc AIH > 450 => n AIB = 2.n AIH > 90o ≤ = < AI R n (π/2, π)) hay góc AIH nhỏ hay => sinAIB lớn AIB nhỏ (hàm số sinx giảm JJG cos(AIH) lớn , tức H = K hay ∆ vng góc IK = ( −2; −1) (vị trí đường màu xanh hình 1) m Khi đó: = , => m = −2 −1 31 20 ... M(x ; y) ∈ (P) Ù y = 2px O F FM = p/2 + xM PHÂN TÍCH CÁC DẠNG TỐN HÌNH PHẲNG: Phương pháp Thông thường ta gặp dạng sau giải đề thi đại học mơn hình phẳng : Dạng 1: Tìm toạ độ điểm thỏa tính chất... + y - = Cách giải vừa trình bày ví dụ mơ tả phương pháp thứ ta thường gặp giải hình giải tích : Cách : Sử dụng kiến thức hình học để đơn giản hóa phép tính 12 13 Những năm sau, đề hình học có... tọa độ điểm M nằm đường thẳng d3 cho khoảng cách từ M đến đường thẳng d1 hai lần khoảng cách từ M đến đường thẳng d2 29 A2009 Trong mặt phẳng Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có tâm I(6; 2), điểm M(1;