NW359 360 DẠNG 28 VECTO CHỈ PHƯƠNG của ĐƯỜNG THẲNG GV

NHĨM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TỐN THEO MỨC ĐỘ DẠNG 28: TÌM VECTƠ CHỈ PHƯƠNG CỦA ĐƯỜNG THẲNG KIẾN THỨC CẦN NHỚ: Oxyz A ( x A ; y A ; z A ) B ( xB ; y B ; z B ) C ( xC ; yC ; zC ) , cho ba điểm ,  Trong không gian uuu r AB = ( xB − x A ; y B − y A ; z B − z A ) Ta có: Tọa độ trung điểm I đoạn thẳng AB , x A + xB   xI =  y + yB  I  yI = A  z A + zB   zI =  x A + xB + xC   xG =  y + yB + yC  G  yG = A  z A + z B + zC   zG =  G ABC Tọa độ trọng tâm tam giác , r r r r r u = ( x ; y ; z ) ⇔ u = xi + y j + zk  Nếu  r u = ( x1 ; y1 ; z1 ) r r r v = ( x2 ; y2 ; z2 ) v ≠ ( phương với )  x1 = kx2 r r  u = kv ⇔  y1 = ky2  z = kz  uuu r AB uuu r BA ∆ A B ∆  Đường thẳng qua hai điểm có vectơ phương r r ku ( k ≠ ) u ∆ ∆  Nếu vectơ phương vectơ phương , đường thẳng có vơ số vectơ phương  Nếu hai đường thẳng song song với vectơ phương đường thẳng vectơ phương đường thẳng  Nếu đường thẳng ∆ vng góc với mặt phẳng vectơ pháp tuyến uur nα mặt phẳng TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA (α ) (α) vectơ phương , tức uur uur u∆ = nα uur u∆ đường thẳng ∆ Trang NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU  Đường thẳng trình tham số ∆ qua điểm  x = x0 + at  ∆ :  y = y0 + bt  z = z + ct  ∆: phương trình tắc  Điểm M Với điều kiện ∆ có PTTS ur n′ = ( A′; B′; C ′ )  x = x0 + at  ∆ :  y = y0 + bt  z = z + ct  ( α ) : Ax + By + Cz + D = M ( x0 + at ; y0 + bt ; z0 + ct ) ( α ′) : A′x + B′y + C ′z + D′ = Điều kiện chứng tỏ hai mặt phẳng cắt Gọi thẳng giao tuyến chúng Đường thẳng M có phương x − x0 y − y0 z − z0 = = ( abc ≠ ) a b c A : B : C ≠ A′ : B′ : C ′ , nên tọa độ có vectơ phương r u = ( a ;b ;c ) thuộc đường thẳng  Cho hai mặt phẳng M ( x0 ; y0 ; z0 ) 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ nghiệm hệ d M ( x; y; z ) gồm điểm  Ax + By + Cz + D =   A′x + B′y + C ′z + D ′ = vectơ phương đường thẳng Khi vừa thuộc uu r r ur ud =  n, n′ (α ) với d đường vừa thuộc ( α ′) r n = ( A; B; C ) d  Một vectơ phương đường thẳng song song chứa trục  Một vectơ phương đường thẳng song song chứa trục  Một vectơ phương đường thẳng song song chứa trục Ox Oy Oz là r i = ( 1;0;0 ) r j = ( 0;1;0 ) r k = ( 0; 0;1) DẠNG TOÁN TƯƠNG TỰ:  Xác định vectơ phương đường thẳng biết phương trình đường thẳng  Xác định vectơ phương đường thẳng biết yếu tố liên quan với mặt phẳng, đường thẳng, điểm  Viết phương trình đường thẳng  Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến đường thẳng TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ BÀI TẬP MẪU (ĐỀ MINH HỌA - BDG 2020-2021) Trong không gian phương đường thẳng qua gốc tọa độ A ur u1 = ( 1;1;1) B O điểm uu r u2 = ( 1; 2;1) Oxyz M ( 1; −2;1) C , vectơ vectơ uu r u3 = ( 0;1;0 ) D uu r u4 = ( 1; − 2;1) Phân tích hướng dẫn giải DẠNG TỐN: Đây dạng tốn tìm tọa độ vectơ phương đường thẳng qua hai điểm không gian Oxyz HƯỚNG GIẢI: Đường thẳng qua hai điểm O M nhận vectơ uuuur OM uuuu r MO làm vectơ phương Từ đó, ta giải toán cụ thể sau: Lời giải Chọn B uuuu r OM = ( 1; −2;1) OM Ta có: vectơ phương đường thẳng Bài tập tương tự phát triển  Mức độ Câu Trong không gian B ( 3; −2; −1) A ( −1; 2; ) Oxyz , vectơ phương đường thẳng qua hai điểm có tọa độ B ( 1; 2; ) ( 2; 4; ) C Lời giải D ( 2;0;1) A ( 1; 2;3) Chọn A uuur uuu r r r AB = ( 2; −4; −4 ) ⇒ AB = −2u u = ( −1; 2; ) Ta có: với r A ( 1; 2;3) u = ( −1; 2; ) Ta chọn vectơ phương đường thẳng qua hai điểm B ( 3; −2; −1) TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA Trang NHĨM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU Câu Trong không gian 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ A ( −3; 2; ) , B ( 0; −1; ) , C ( 1;1;3 ) Oxyz , cho ba điểm C ∆ AB phương đường thẳng qua song song với có tọa độ A ( −3;3;3) B Chọn B ( 1; −1;1) C Lời giải D    − ; ;2÷  2  uuu r AB ∆ song song với , nên vectơ phương uuur uuu r r r AB = ( 3; −3;0 ) ⇒ AB = 3u u = ( 1; − 1;0 ) Ta có: với r u = ( 1; − 1;0 ) ∆ Ta chọn vectơ phương đường thẳng Vì Câu ∆ ( 1; − 1; 0) , vectơ AB Trong không gian Oxyz , vectơ phương đường thẳng ( α ) : x − y + 3z − = vuông góc với mặt phẳng có tọa độ ( −5;3;1) ( 1;3; −4 ) ( 1; −2;3) A B C Lời giải Chọn C uur nα = ( 1; −2;3) (α ) Mặt phẳng có vectơ pháp tuyến uur uur ∆ ⊥ (α) ⇒ u ∆ ∆ = nα = ( 1; −2;3) Vì vectơ phương : Câu ∆ qua điểm D A ( 1;3; −5) ( −2;3; −4 ) x =  ∆ : y = t z = − t  Oxyz Trong không gian , cho đường thẳng Một vectơ phương đường ∆ thẳng có tọa độ ( 1;0; −1) ( 0;1;1) ( 0;1; ) ( 0; 2; −2 ) A B C D Lời giải Chọn D ∆ ∆ Dựa vào phương trình tham số đường thẳng , ta thấy có vectơ phương uur u∆ = ( 0;1; −1) Chọn ur uu r u ′ = 2u∆ = ( 0; 2; −2 ) TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA vectơ phương khác ∆ Trang NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU Câu Oxyz 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ ∆: Trong không gian , cho đường thẳng ∆ đường thẳng có tọa độ ( 1; −3;3) ( −1;3; −3) A B x −1 y + = = z −3 −3 ( 2; −3; ) C Lời giải Một vectơ phương D ( 2; −3;1) Chọn D x −1 y + x −1 y + z − = = z −3 ⇔ = = −3 −3 Ta có: Dựa vào phương trình tắc đường thẳng, ta thấy Câu ∆ có vectơ phương Trong không gian ( 0;1; 2020 ) A Oxyz uur u∆ = ( 2; −3;1) Oy , vectơ phương đường thẳng chứa trục có tọa độ ( 1;1;1) ( 0; 2020;0 ) ( 1;0;0 ) B C D Lời giải Chọn C Oy r j = ( 0;1; ) Ta có, vectơ phương đường thẳng chứa trục r r u = 2020 j = ( 0; 2020;0 ) Oy Chọn làm vectơ phương đường thẳng chứa trục Câu Câu x = t  ∆ :  y = − 2t  z = − 3t  Oxyz Trong không gian , cho đường thẳng Một vectơ phương đường d ∆ thẳng song song với đường thẳng có tọa độ ( 0;1; ) ( 1; −2; −3) ( −1; −2;3) ( 1;1; ) A B C D Lời giải Chọn B uur u ∆ = ( 1; −2; −3 ) ∆ Đường thẳng có vectơ phương uu r uur ud = u∆ = ( 1; −2; −3) d d ∆ Vì song song với nên vectơ phương Oxyz r u Trong không gian , vectơ phương đường thẳng r r r r a = 3i − j + 4k có tọa độ ( −3; −5; ) ( 4; − 5;3) ( 3; 0; ) A B C Lời giải TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA ∆ phương với vectơ D ( 3; −5;4 ) Trang NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ Chọn D r r r r r a = 3i − j + 4k ⇔ a = ( 3; −5; ) Ta có r r r r u = a = ( 3; −5; ) u a ∆ Vì phương với , nên ta chọn vectơ phương Câu Trong không gian Oxyz , cho tam giác ABC A tuyến xuất phát từ đỉnh tam giác phương? ( 1;1;0 ) ( 0; 2;1) A B với ABC A ( 1;1;1) , B ( −1;1;0 ) , C ( 1;3; ) Đường trung nhận vectơ làm vectơ ( −2;1;0 ) C Lời giải D ( 2021; −2021; ) Chọn D Gọi M trung điểm Ta có đường thẳng AM BC nhận −1 +   xM = =  1+  M  yM = = ⇒ M ( 0; 2;1)  0+2   zM = =  r uuuu r u = −2021AM = ( 2021; −2021;0 ) , suy uuuu r AM = ( −1;1;0 ) làm vectơ phương A ( 1;0; −2 ) , B ( 2; −3; −4 ) , C ( 3;0; −3) ABC G , cho tam giác với Gọi ABC OG trọng tâm tam giác Vectơ sau vectơ phương đường thẳng ? ( 2;1;3) ( 3; − 2;1) ( −2;1;3) ( −1; −3; ) A B C D Lời giải Chọn C 1+ +  =2  xG =  0−3+  ABC ⇒ G  yG = = −1  −2 − −  = −3  zG = G ( 2; −1; −3 ) G  Vì trọng tam tam giác Vậy uuur OG = ( 2; −1; −3 ) Ta có: r uuur u = − OG = ( −2;1;3 ) OG Ta có đường thẳng nhận làm vectơ phương Câu 10 Trong không gian Oxyz  Mức độ TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU Câu Trong không gian trục Oy Oxyz mặt phẳng , gọi ( Oxz ) P1 , P2 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ hình chiếu vng góc điểm P ( 6;7;8 ) lên Vectơ vectơ phương đường thẳng P1 P2 A ( 6; − 8;7 ) B ( 6; − 7;8 ) ( 6;7;8 ) C Lời giải D ( −6; − 7;8) Chọn B Ta có: P1 P2 hình chiếu vng góc điểm lên trục P ( 6; 7;8 ) Oy ⇒ P1 ( 0;7; ) ( Oxz ) ⇒ P2 ( 6; 0;8 ) lên mặt phẳng uuuu r PP P1 P2 = ( 6; −7;8 ) Chọn vectơ phương đường thẳng Câu hình chiếu vng góc điểm P ( 6;7;8 ) Trong không gian Oy Oxyz trục trục ( 0; − 5;6 ) A Oz , gọi T1 , T2 hình chiếu vng góc điểm T ( 4;5; ) Vectơ vectơ phương đường thẳng ( 0; − 6;5 ) ( 4; − 5; −6 ) ( 0;5;6 ) B C D Lời giải T1T2 lên Chọn A Ta có: T1 T2 hình chiếu vng góc điểm T ( 4;5; ) lên trục Oy ⇒ T1 ( 0;5; ) Oz ⇒ T2 ( 0;0;6 ) lên trục uuur T1T2 = ( 0; −5;6 ) T1T2 Chọn vectơ phương đường thẳng Câu hình chiếu vng góc điểm T ( 4;5; ) Trong không gian Oxyz , cho ba điểm A ( 1;3; ) , B ( 2; −1;5 ) , C ( 3; 2; −1) Đường thẳng ∆ A, B ,C vng góc với mặt phẳng qua ba điểm có phương trình là? x +1 y + z − x −1 y − z − = = = = 15 15 −9 A B x −1 y + z − x −1 y − z − = = = = −15 15 C D Lời giải Chọn D qua A TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang NHĨM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU Ta có uuur uuur uuur uuur AB = ( 1; −4;3) , AC = ( 2; −1; −3 ) ⇒  AB, AC  = ( 15;9;7 ) Vì đường thẳng phương ∆ ∆ d1 : thẳng A qua phương trình tắc là: Trong khơng gian Oxyz A ( 1;3; ) , đường thẳng d2 B có vectơ phương phương ∆ ∆ qua  x = −t  ∆ :  y = + 2t z =  có vectơ phương Vì đường thẳng nhận A ( 0; 2;5 ) x = t  d :  y = −2 − 2t z =  x −1 y − z + = = −1 −2  x = −t  ∆ : y = −t  z = + 2t  uur u∆ = ( 15;9;7 ) , nên ta chọn môt vectơ làm vectơ phương có x −1 y − z − = = 15 Chọn C d1 A, B , C vng góc với mặt phẳng qua ba điểm uur u∆ = ( 15;9;7 ) Vậy đường thẳng Câu 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ đồng thời vng góc với hai đường có phương trình  x = −4t  ∆ :  y = − 2t z = + t  C Lời giải ur u1 = ( −1;1; −2 ) uu r u2 = ( 1; −2;0 ) Ta có: vng góc với hai đường thẳng d1 D ur uu r u1 , u2  = ( −4; −2;1)   d2  x = −4  ∆ :  y = −2 + 2t  z = + 5t  nên ta chọn môt vectơ uur ur uu r u∆ = u1 , u2  = ( −4; −2;1) Vậy đường thẳng ∆ qua phương trình tham số là: A ( 0; 2;5 ) nhận uu r u∆ = ( −4; −2;1) làm vectơ phương có  x = −4t  ∆ :  y = − 2t z = + t  TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU Câu 50 BÀI TỐN THEO MỨC ĐỘ d: Oxyz Trong khơng gian với hệ trục tọa độ , cho đường thẳng r u ( a ; 2; b ) a+b làm vectơchỉ phương Tính −8 A B C Lời giải x −1 y − z +1 = = 2 D −4 nhận vectơ Chọn B Đường thẳng r u ( a ; 2; b ) Câu d có vectơ phương làm vectơ phương Trong không gian Oxyz , d r v ( 2;1; ) suy r u r v phương nên a = a b = = ⇔ 2 b = tọa độ sau tọa độ vectơ phương đường  x = + 4t  ∆ :  y = − 6t , ( t ∈ ¡ ) ?  z = 9t  thẳng  −1   ; ; ÷ 3 4 A B 1 3  ; ; ÷ 3 4 C Lời giải ( 2;1;0 ) D ( 4; − 6;0 ) Chọn A Từ phương trình Câu ∆ suy vectơ phương Oxyz Trong không gian với hệ tọa độ M N đường thẳng qua hai điểm , x +1 y − z +1 = = −1 A x y −1 z − = = −1 C ∆ r  −1  u = ( 4; − 6;9 ) = 12  ; ; ÷ 3 4 , cho hai điểm B D M ( 1; − 2;1) , N ( 0;1; 3) x +1 y − z − = = −2 x y −1 z − = = −2 Phương trình Lời giải Chọn C uuuu r MN = ( −1; 3; ) TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA Trang NHĨM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU MN Đường thẳng qua x y −1 z − = = −1 Câu N Oxyz Trong không gian x −1 y z + = = −7 A x −1 y z + = = 1 −3 C nhận , cho 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ uuuu r MN = ( −1; 3; ) E ( −1;0; ) làm vectơ phương có phương trình F ( 2;1; −5 ) Phương trình đường thẳng x +1 y z − = = −7 B EF x +1 y z − = = 1 D Lời giải Chọn B Ta có: uuur EF = (3;1; −7) r uuur u = EF = (3;1; −7) Câu Đường thẳng có phương trình: A x y −1 z = = −1 d2 : B (α) x y +1 z = = −1 −1 E (−1;0; 2) có VTCP , cho mặt phẳng thẳng sau, đường thẳng vng góc với d1 : qua điểm x +1 y z − = = −7 Oxyz Trong không gian với hệ tọa độ EF ( α ) : x − y + 2z = Trong đường d3 : C Lời giải x y −1 z = = −1 −1 D  x = 2t  d4 :  y =  z = −t  Chọn A Gọi VTCP đường thẳng cần tìm Đường thẳng vng góc với Chọn a1 = a = −1 (α) r ⇔a a3 = phương với a12 + a22 + a32 > r ⇔ a1 = a2 = a3 n −1 Câu 10 Trong không gian với hệ trục ( P ) : x − y + 2z −1 = r a = ( a1; a2 ; a3 ) Oxyz , cho điểm d M ( 1; − 3; ) M mặt phẳng Tìm phương trình đường thẳng qua vng góc với x +1 y − z + x −1 y + z − = = = = −3 −3 A B TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA ( P) Trang 10 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU Câu Trong không gian Oxyz 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ , cho hai mặt phẳng ( α ) : 2x + y − z + = (α) ∆ ( β ) : x + y + z −1 = (β) Đường thẳng giao tuyến hai mặt phẳng có phương trình tắc là?  x = 2t   y = −1 − 3t x y +1 z − = = z = + t  −3 A B x − y + z −1 x y − z +1 = = = = −1 2 −3 C D Lời giải Chọn B uur nα = ( 2;1; −1) (α) có vectơ pháp tuyến uur uur uur  nα , nβ  = ( 2; −3;1) nβ = ( 1;1;1) (β)   có vectơ pháp tuyến Ta có: Vì đường thẳng phương Gọi M giao tuyến hai mặt phẳng giao điểm hai mặt phẳng 2 x + y − z + =  x + y + z −1 = M ( 0; −1; ) Đường thẳng , cho ∆ (α) x=0 qua phương có phương trình tắc là: Trong không gian Oxyz ( P) : x − y + z + = , đường thẳng ∆ (β) (β) M ∈∆ ta hệ sau: nên ∆ có vectơ tọa độ M nghiệm hệ x = x =    y − z + = ⇔  y = −1  y + z −1 = z =   nhận uur u∆ = ( 2; −3;1) làm vectơ x y +1 z − = = −3 qua điểm d: đồng thời cắt đường thẳng TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA , M ( 0; −1; ) ∆: Câu (α) uur uur uur u∆ =  nα , nβ  = ( 2; −3;1) phương trình: Vậy ∆ M ( 1; 2; ) , song song với mặt phẳng x −1 y − z − = = 1 có phương trình là? Trang 14 NHĨM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU A x = 1− t  y = 2−t z =  B 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ x = 1− t  y = +t z =   x = −1 + t   y = −1 + 2t  z = 2t  C Lời giải D x =  y = 2−t z = − t  Chọn A d Đường thẳng Mặt phẳng Giả sử ∆ ( P) cắt d x = 1+ t  d : y = +t z = + t  có phương trình tham số có vectơ pháp tuyến uur nα = ( 1; −1;1) A ⇒ A ( + t ; + t ;3 + t ) uuur MA = ( t ; t ;1 + t ) uuur r uuur r ( P ) ⇒ MA ⊥ n ⇔ MA.n = ⇔ t − + + t = ∆ Vì đường thẳng song song với mặt phẳng uuur uu r ⇔ t = −1 ⇒ MA = ( −1; −1;0 ) u∆ = ( −1; −1;0 ) ∆ Chọn vectơ phương uu r M ( 1; 2; ) u∆ = ( −1; −1;0 ) ∆ Đường thẳng qua nhận làm vectơ phương có phương trình tham số Câu Trong không gian d: Oxyz x y −6 z −6 = = −4 −3 thuộc đường thẳng r u = ( 0;1; −3) A x = 1− t  y = 2−t z =  , cho tam giác Biết điểm AC ABC có phương trình đường phân giác góc M ( 0;5;3) r u thuộc đường thẳng Một vectơ phương đường thẳng r r u = ( 0;1;3) u = ( 1; 2;3 ) B C Lời giải AC AB điểm A là: N ( 1;1;0 ) có tọa độ r u = ( 0; −2;6 ) D Chọn B Phương trình tham số đường phân giác góc TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA x = t  A , ( d ) :  y = − 4t  z = − 3t  Trang 15 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU Gọi D điểm đối xứng với phương uuur ND Khi D ∈ AC ⇒ D K MD Gọi giao điểm uuuu r K ( t ;6 − 4t ;6 − 3t ) ; MK = ( t ;1 − 4t ;3 − 3t ) uuuu r uu r MK ⊥ ud Vì qua ( d) , với 9 1 ⇒ K  ; 4; ÷ 2 2 đường thẳng AC có vectơ * Ta xác định điểm Ta có M 50 BÀI TỐN THEO MỨC ĐỘ uu r ud = ( 1; −4; −3) t − ( − 4t ) − ( − 3t ) = ⇔ t = K MD Oxyz ∆  xD = x K − xM  xD =    yD = y K − yM ⇔  yD = z = 2z − z z =  D K M  D trung điểm nên hay uuur r r ND = ( 0; 2;6 ) = ( 0;1;3) = 2u u = ( 0;1;3) AC Một vectơ phương , với Câu , mà nên với ( d) Trong không gian d1 : A x − y − z −1 = = −2  x = −t  ∆ :  y = + 3t  z = − 4t  , đường thẳng có vectơ phương Giả sử ∆ cắt d2 Vì đường thẳng ∆ , vng góc với đường thẳng x = t  d :  y = −t z =  ur u1 = ( −2; 2;1) B ⇒ B ( t ; −t ; ) uuur AB = ( t ; −t − 1;1) vng góc với đường thẳng uuu r ur uuu r ur d ⇒ AB ⊥ u1 ⇔ AB.u1 = ⇔ −2t − 2t − + = ⇔ t = − Suy cắt đường thẳng có phương trình x = t x = t x =    ∆ :  y = + 3t ∆ :  y = − 3t ∆ : y = 3+ t  z = − 4t  z = − 4t  z = −4 + t    B C D Lời giải Chọn B d1 qua A ( 0;1;1) D ( 1;3;6 ) uuu r   1r AB =  − ; − ;1÷ = − ( 1;3; −4 ) = − u 4  4  TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA , với r u = ( 1;3; −4 ) Trang 16 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU Vậy đường thẳng ∆ qua phương trình tham số là: Câu Oxyz Trong không gian d1 : hai đường thẳng ∆: A ∆: C A ( 0;1;1) 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ nhận , đường thẳng x y −1 z + = = −1 ∆ B có phương trình tham số: Giả sử Giả sử Suy ∆ ∆ cắt d1 D Lời giải x + y +1 z − = = −5 −1 r n = ( 7;1; )  x = 2m  d1 :  y = − 2m  z = −2 + m  A ⇒ A ( 2m ;1 − 2m ; −2 + m ) B ⇒ B ( −1 + 2t ;1 + t ;3 ) d2 cắt uuur AB = ( 2t − − 2m ; t + m ;5 − m ) uuur Vì đường thẳng Tức có phương trình tắc  x = − 7t  ∆ :  y = −t  z = −1 + 4t  ∆: có vectơ pháp tuyến , cắt  x = −1 + 2t  d2 :  y = + t z =  x + y − z +1 = = −7 −1 Mặt phẳng ( P) : 7x + y − 4z = vng góc với mặt phẳng x − y z +1 = = −7 −1 ( P) làm vectơ phương có x = t  ∆ :  y = + 3t  z = − 4t  Chọn A d1 r u = ( 1;3; −4 ) ∆ vng góc với mặt phẳng ( P ) ⇒ AB phương với 2t − − 2m = k t = −2 2t − − 2m t + m − m   = = = k ⇔ t + m = k ⇔ m = −4 5 − m = −4k  k = −1   TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA r n Trang 17 NHĨM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TỐN THEO MỨC ĐỘ uuur A ( 2;0; −1) , B ( −5; −1;3 ) ⇒ AB = ( −7; −1; ) Suy Vậy đường thẳng ∆ qua A ( 2; 0; −1) ∆: phương có phương trình tắc Câu 10 Trong khơng gian Oxyz nhận làm vectơ x − y z +1 = = −7 −1 , cho mặt phẳng  x = −2 + 2t  d : y =1+ t z = 1− t  r uuu r u = AB = ( −7; −1; ) ( P ) : x − y + z − 10 = , điểm A ( 1;3; ) đường ( P) d N M Đường thẳng cắt hai điểm cho MN A trung điểm có phương trình tắc  x = −6 − 7t  ∆ :  y = −1 − 4t x + y +1 z − ∆: = = z = + t  −7 −1 A B x − y −1 z + x + y +1 z − ∆: = = ∆: = = −1 −7 −4 C D Lời giải Chọn D M ⇒ M ( −2 + 2t ;1 + t ;1 − t ) d ∆ Ta có cắt thẳng Vì Vì A ∆ trung điểm cắt Do ( P) MN nên  xN = x A − xM = − 2t  N :  y N = y A − yM = − t z = 2z − z = t + A M  N hay N ( − 2t ;5 − t ; t + ) N ⇒ N ∈ ( P ) ⇒ ( − 2t ) − ( − t ) + ( + t ) − 10 = ⇔ t = −2 M ( −6; −1;3) Vậy đường thẳng ∆ ∆ uuuur AM = ( −7; −4;1) qua M ( −6; −1;3) ∆: phương có phương trình tắc nhận r uuuu r u = AM = ( −7; −4;1) làm vectơ x + y +1 z − = = −4 −1  Mức độ TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 18 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU Câu 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ Oxyz Trong không gian với hệ tọa độ d2 : x − y +1 z − = = −3 ( P) d1 d1 : , cho hai đường thẳng ( P ) : x + y + 3z − = mặt phẳng x−3 y −3 z+2 = = −1 −2 ; Đường thẳng vng góc với d2 , cắt có phương trình x − y − z −1 = = A x −1 y +1 z = = C B D Lời giải x−3 y−3 z+2 = = x −1 y +1 z = = Chọn C Gọi Vì ∆ đường thẳng cần tìm Gọi M ∈ d1 nên M = ∆ ∩ d1 N = ∆ ∩ d ; M ( − t ;3 − 2t ; − + t ) , N ( − 3s ; − + s ;2 + s ) N ∈ d2 nên uuuu r MN = ( + t − 3s ; − + 2t + s ;4 − t + s ) Vì ∆ ⊥ ( P) nên r uuuu r n , MN , ( P) có vec tơ pháp tuyến r n = ( 1;2;3) ; phương, đó:  + t − 3s −4 + 2t + s =    s = ⇔  M ( 1; − 1; ) − + t + s − t + s   ⇔ = t =  N ( 2;1;3)   ∆ qua Do Câu ∆ M có vecto phương có phương trình tắc Trong khơng gian với hệ tọa độ d: góc cắt đường thẳng x −1 y +1 z −1 = = −8 A Oxyz uuur MN = ( 1; 2;3) x −1 y +1 z = = , viết phương trình đường thẳng qua x−4 y−2 z+5 = = −1 1 TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA A ( 1; −1;1) , vuông B x −1 y +1 z −1 = = −4 Trang 19 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU x −1 y +1 z −1 = = 5 −4 C 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ D Lời giải x −1 y + z −1 = = −1 Chọn B d: Ta có x−4 y −2 z +5 = = −1 1 ⇒ Gọi đường thẳng cần tìm d′ vectơ phương H ∈d ⇒ H ( − t;2 + t ;−5+ t) Vì uuur AH = ( − t ;3 + t ; − + t ) Ta có Câu uuur uu r uuur uu r AH ⊥ ud ⇒ AH ud = ⇔ t − + + t − + t = ⇔ 3t − = ⇔ t = Phương trình d′ : d′ ∩ d = { H} uur ud = ( −1;1;1) d′ A ( 1; −1;1) qua x −1 y +1 z −1 = = −4 Trong không gian ( P) : 2x – y + z +1 = nhận uuur AH ( 1;5; −4 ) làm vectơ phương Oxyz cho hai điểm A ( –1;3; –2 ) Phương trình đường thẳng d′ , B ( –3; 7; –18 ) mặt phẳng hình chiếu vng góc AB lên mp ( P) A x = 1+ t   y = + 3t  z = −1 − 2t  B x = 1+ t  y =  z = − 2t  C Lời giải x = 1+ t  y =  z = −1 − 2t  D x = 1+ t   y = − 2t  z = − 2t  Chọn C Mặt phẳng Gọi A′ ( P) B′ có vecto pháp tuyến r n( P ) = ( 2; –1;1) hình chiếu vng góc TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA A B lên mp ( P) Trang 20 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU + Đường thẳng qua A vng góc với nghiệm hệ phương trình ⇔ t = ⇒ A′ ( 1; 2; −1) + Đường thẳng qua B ( P) ( P) : x + y + z − = Gọi phương đường thẳng C uu r u4 = (5;16;13) A′  x = −3 + 2t ′   y = − t′  z = −18 + t ′  Tọa độ B′ Trong không gian với hệ tọa độ A có phương trình tham số A′ đường thẳng qua hai điểm uu r u3 = (5; − 16; −13) Tọa độ  x = −3 + 2t ′  y = − t′    z = −18 + t ′  x – y + z + = ⇒ ( −3 + 2t ′ ) – ( − t ′ ) + ( −18 + t ′ ) + = phương, có phương trình tham số Câu có phương trình tham số  x = −1 + 2t y = 3−t    z = −2 + t  x – y + z + = ⇒ ( −1 + 2t ) – ( − t ) + ( −2 + t ) + = vng góc với ⇔ t = ⇒ B′ ( 7; 2; −13) d′ ( P)  x = −1 + 2t  y = 3−t  z = −2 + t  nghiệm hệ phương trình + Đường thẳng 50 BÀI TỐN THEO MỨC ĐỘ d' d' Oxyz x = 1+ t  y =  z = −1 − 2t  B′ , nhận , cho đường thẳng hình chiếu đường thẳng B làm vecto d: uuuur A′B′ = ( 6;0; −12 ) x −1 y −1 z − = = −1 d lên mặt phẳng uu r u2 = (5; − 4; −3) uu r u1 = (5;16; −13) D Lời giải mặt phẳng ( P) , véctơ Chọn D TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 21 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU d: x −1 y −1 z − = = ⇒ d −1 Ta có r u = (1; 2; −1) Ta có Gọi 50 BÀI TỐN THEO MỨC ĐỘ qua điểm (Q ) mặt phẳng chứa đường thẳng uur r uur nQ = [u , nP ] = (5; −4; −3) Ta có Suy Ta có (Q ) qua điểm M (1;1; 2) (Q ) : x − y − z + = ( P) ∩ (Q) = d ' Xét hệ phương trình Đặt d có véctơ pháp tuyến khơng ( S ) : ( x − 3) ( P) uur nQ = (5; −4; −3) 5 x − y − z + =   2x + y + 2z −1 =   x = − 13 − 13 t  15 16  z = t ⇒ d ':  y = − t ,t ∈¡ 13 13  t z=   Trong vng góc với mặt phẳng véctơ phương đường thẳng Câu có véctơ phương uur ( P) : x + y + z − = ⇒ nP = (2;1; 2) Mặt phẳng M (1;1; 2) gian Oxyz d: cho + ( y − ) + ( z − ) = 36 d' uu r u1 = (5;16; −13) đường Gọi ∆ thẳng x y z +3 = = 2 −1 đường thẳng qua A ( 2;1;3) mặt cầu , vng góc với ( S) ∆ cắt hai điểm có khoảng cách lớn Khi đường thằng có r u = ( 1; a; b ) a+b véctơ phương Tính − −2 A B C D Lời giải đường thẳng d TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 22 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ Chọn D Gọi ∆ Vì (α) mặt phẳng qua qua ∆ cắt tuyến A vuông với ( S) d A d vng góc nên ∆ Suy (α) nằm ( α ) : 2x + y − z − = hai điểm có khoảng cách lớn nên (α ) ( S) ∆ qua tâm K đường tròn giao  23 14 47  K ; ; ÷ (α)  9  K I Ta có: hình chiếu vng góc tâm mặt cầu lên nên Khi đó: Câu uuur  5 20  r AK =  ; ; ÷⇒ u = ( 1;1; ) 9 9  Trong không gian với hệ tọa độ d: Oxyz x −2 y −3 z + = = −5 đường thẳng x y z −1 = = 1 A x −2 y + z −3 = = 2 C , viết phương trình đường vng góc chung hai d′ : x +1 y − z − = = −2 −1 B x −2 y −2 z −3 = = x y −2 z −3 = = −1 D Lời giải Chọn A Ta có M ∈d suy N ( −1 + 3n; − 2n; − n ) Mà MN M ( + 2m;3 + 3m; −4 − 5m ) Từ ta có Tương tự N ∈d′ uuuu r MN = ( −3 + 3n − 2m;1 − 2n − 3m;8 − n + 5m ) đường vng góc chung d d′ nên suy  MN ⊥ d   MN ⊥ d ′ 2 ( −3 + 3n − 2m ) + ( − 2n − 3m ) − ( − n + 5m ) =  −38m + 5n = 43  m = −1 ⇔ ⇔ ⇔ 3 ( −3 + 3n − 2m ) − ( − 2n − 3m ) − 1( − n + 5m ) =  −5m + 14n = 19 n = Suy M ( 0; 0;1) , N ( 2; 2;3 ) TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 23 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU Ta có Câu uuuu r MN = ( 2; 2; ) Trong khơng gian nên đường vng góc chung Oxyz , cho điểm ( S ) : x2 + y + z − 2x − y − = ( P) ( S) cắt mặt cầu tâm mặt cầu x = t  y =1  z = −2 − t  A ( S) 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ A ( 0;1; −2 ) ∆ Gọi hai điểm MN ( P) : x + y + z +1 = , mặt phẳng đường thẳng qua A ∆ mặt cầu nằm mặt phẳng IBC B C I , cho tam giác có diện tích lớn nhất, với Phương trình đường thẳng B x y z −1 = = 1 x = t   y = 1+ t  z = −2 + t  ∆ x = t   y = 1− t  z = −2  C Lời giải D x = t   y = 1+ t  z = −2  Chọn C ( S) I ( 1; 2;0 ) R = 12 + 22 + = bán kính uur có tâm AI = ( 1;1; ) ⇒ AI = < R ⇒ A ( S) A BC ( 1) nằm mặt cầu nằm dây cung 2 R R R · · S ∆IBC = IB.IC.sin BIC = sin BIC ≤ ∆IBC 2 2 nên diện tích đạt giá trị lớn · · ⇔ sin BIC = ⇒ BIC = 90° ⇒ ∆IBC I ⇒ BC = IC = R = vuông cân BC IJ = = ( 2) J BC IJ ⊥ BC Gọi trung điểm Ta có ( 1) ( ) ∆AIJ J ⇒ AI ≥ IJ IJ = AI ⇒ A ≡ J ⇒ A vuông , kết hợp thêm với ta có BC IA ⊥ BC trung điểm r n ( P ) = ( 1;1;1) ( P) ∆ có vectơ pháp tuyến có giá vng góc với TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA Trang 24 NHĨM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU Vậy ∆ nhận r r uur u =  n ( P ) , AI  = ( 1; −1;0 ) x = t  ⇒ ∆ :  y = 1− t  z = −2  Câu 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ làm vectơ phương qua Trong không gian với hệ trục tọa độ ( α ) : x − y + z + 15 = qua A ( 0;1; −2 ) , nằm mặt phẳng ∆ trình đường thẳng x +3 y −3 z +3 = = 1 A x +3 y −3 z +3 = = 16 11 −10 C (α) , cho điểm ( S ) : ( x − 2) mặt cầu M Oxyz cắt ( S) M ( −3;3; − 3) + ( y − 3) + ( z − ) = 100 A, B B D Lời giải cho độ dài thuộc mặt phẳng AB x+3 y −3 z +3 = = x+3 y−3 z+3 = = Đường thẳng ∆ lớn Viết phương Chọn B Ta có: Mặt cầu d ( I,( α ) ) = ( S) có tâm I ( 2;3;5 ) 2.2 − 2.3 + + 15 22 + ( −2 ) + 12 , bán kính R = 10 =6< R ⇒ (α ) ∩( S ) = C ( H ;r) H (α) I , hình chiếu lên uur α u ( ) ∆1 ⇒ ∆ ∆ = ( 2; −2;1) I Gọi đường thẳng qua vng góc với có VTCP ⇒ PTTS  x = + 2t  ∆1 :  y = − 2t z = + t  ⇒ H ( −2; 7;3) Tọa độ H nghiệm hệ:  x = + 2t  y = − 2t  x = −2    ⇒ y = z = + t z =  x − y + z + 15 =  có độ dài lớn ⇔ AB ( C) ⇔ ∆ ≡ MH đường kính uuuu r M ( −3;3; − ) MH = ( 1; 4; ) MH Đường thẳng qua có VTCP Ta có AB TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA Trang 25 NHĨM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU ∆: Suy phương trình Câu Đường thẳng đường thẳng x =   y = −t ′  z = 2t ′  A ∆ 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ x+3 y −3 z +3 = = qua điểm M ( 3;1;1) , nằm mặt phẳng x =  d :  y = + 3t  z = −3 − 2t  (α ) : x + y − z −3= góc nhỏ phương trình  x = + 5t ′  x = + 2t ′    y = −3 − 4t ′  y = 1− t′  z = + t′  z = − 2t ′   B C Lời giải ∆ tạo với D  x = + 5t ′   y = − 4t ′  z = + 2t ′  Chọn B Đường thẳng d có vectơ phương r u = ( 0;3; − ) r n = ( 1;1; − 1) (α) Mặt phẳng có vectơ pháp tuyến rr u.n = 0.1 + 3.1 + ( −2 ) ( −1) = ≠ (α) d Vì nên cắt Gọi Lấy d1 đường thẳng qua N ( 3; 4; − 1) ∈ d1 đường thẳng Ta có: ∆ M d1 d d1 // , suy có phương trình: x =   y = + 3t  z = − 2t  (α) N K H Gọi , hình chiếu vng góc mặt phẳng · (·d , ∆ ) = NMH sin ·NMH = TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA NH NK ≥ MN MN Trang 26 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU Do (·d , ∆ ) Đường thẳng Tọa độ điểm nhỏ NK K K≡H có phương trình: ứng với t 50 BÀI TỐN THEO MỨC ĐỘ hay ∆ đường thẳng x = + t  y = +t  z = −1 − t  MK nghiệm phương trình: ( + t ) + ( + t ) − ( −1 − t ) − = ⇔ t = − Oxyz Câu 10 Trong không gian với hệ tọa độ Suy , cho mặt phẳng 4 2 K ; ; ÷ 3 3 ( P ) : x + y − 4z = , đường thẳng n d: A x −1 y +1 z − = = −1 điểm , nằm mặt phẳng ( P) r u = ( a; b; 1) A ( 1; 3; 1) ( P) thuộc mặt phẳng cách đường thẳng d Gọi ∆ đường thẳng qua khoảng cách lớn Gọi a + 2b ∆ véc tơ phương đường thẳng Tính a + 2b = −3 a + 2b = a + 2b = a + 2b = A B C D Lời giải Chọn A Đường thẳng d Nhận xét rằng, Gọi ( Q) qua A∉ d M ( 1; − 1; ) và có véc tơ phương d ∩ ( P ) = I ( −7; 3; − 1) mặt phẳng chứa d song song với ur u1 = ( 2; − 1; 1) ∆ Khi d ( ∆, d ) = d ( ∆, ( Q ) ) = d ( A, ( Q ) ) ( Q) d H K A AH ≤ AK Gọi , hình chiếu vng góc lên Ta có TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA Trang 27 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU Do đó, d ( ∆, d ) ⇔ d ( A, ( Q ) ) lớn đoạn vng góc chung Mặt phẳng Mặt phẳng ( R) ( Q) = ( 12; 18; − ) A chứa chứa d 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ d d lớn ⇔ AH max ⇔ H ≡ K AH ∆ có véc tơ pháp tuyến vng góc với ( R) uuur uuuu r ur n( R ) =  AM , u1  = ( −2; 4; ) nên có véc tơ pháp tuyến uuur uuur ur n( Q ) =  n( R ) , u1  ( P) ∆ Đường thẳng chứa mặt phẳng song song với mặt phẳng r uuur uuur u =  n( P ) , n( R )  = ( 66; − 42; ) = ( 11; − 7; 1) phương Suy ra, Suy a = 11; b = −7 Vậy a + 2b = −3 TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA ( Q) nên có véc tơ Trang 28 ...  Xác định vectơ phương đường thẳng biết yếu tố liên quan với mặt phẳng, đường thẳng, điểm  Viết phương trình đường thẳng  Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến đường thẳng TÀI LIỆU ÔN... vectơ phương đường thẳng song song chứa trục Ox Oy Oz là r i = ( 1;0;0 ) r j = ( 0;1;0 ) r k = ( 0; 0;1) DẠNG TOÁN TƯƠNG TỰ:  Xác định vectơ phương đường thẳng biết phương trình đường thẳng. .. phương đường thẳng Khi vừa thuộc uu r r ur ud =  n, n′ (α ) với d đường vừa thuộc ( α ′) r n = ( A; B; C ) d  Một vectơ phương đường thẳng song song chứa trục  Một vectơ phương đường thẳng