NW359 360 DẠNG 28 VECTO CHỈ PHƯƠNG của ĐƯỜNG THẲNG GV

NHĨM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TỐN THEO MỨC ĐỘ DẠNG 28: TÌM VECTƠ CHỈ PHƯƠNG CỦA ĐƯỜNG THẲNG KIẾN THỨC CẦN NHỚ: A  xA ; yA ; z A  B  xB ; yB ; z B  C  xC ; yC ; zC   Trong không gian Oxyz , cho ba điểm , uuu r AB   xB  x A ; y B  y A ; z B  z A  Ta có: � x A  xB �xI  � y  yB � I �yI  A � � z A  zB �zI  Tọa độ trung điểm I đoạn thẳng AB , � x A  xB  xC � �xG  � y  yB  yC � G �yG  A � z A  z B  zC � �zG  Tọa độ trọng tâm G tam giác ABC , � r r r r r u   x ; y ; z  � u  xi  y j  zk  Nếu �x1  kx2 r r � u  kv � �y1  ky2 r r r r �z  kz v   x2 ; y2 ; z2  v �0 u   x1 ; y1 ; z1  �1  phương với uuu r uuu r  Đường thẳng  qua hai điểm A B  có vectơ phương AB BA r r ku  k �0  vectơ phương  ,  Nếu u vectơ phương    đường thẳng có vơ số vectơ phương  Nếu hai đường thẳng song song với vectơ phương đường thẳng vectơ phương đường thẳng uur   u   Nếu đường thẳng vng góc với mặt phẳng vectơ phương  đường thẳng  uur uur uur    n u  n vectơ pháp tuyến  mặt phẳng , tức   Đường thẳng  qua điểm M  x0 ; y0 ; z0  có vectơ phương r u   a ;b ;c  có phương �x  x0  at �  : �y  y0  bt �z  z  ct � trình tham số phương trình tắc : x  x0 y  y0 z  z0    abc �0  a b c TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA Trang NHĨM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ �x  x0  at �  : �y  y0  bt �z  z  ct M  x0  at ; y0  bt ; z0  ct  �  Điểm M thuộc đường thẳng  có PTTS  Cho hai mặt phẳng    : Ax  By  Cz  D  x  B� y  C� z  D� 0  �  : A� : B� : C � Điều kiện chứng tỏ hai mặt phẳng cắt Gọi d đường Với điều kiện A : B : C �A� M  x; y; z     vừa thuộc   �  thẳng giao tuyến chúng Đường thẳng d gồm điểm vừa thuộc �Ax  By  Cz  D  uu r r ur r � � � � u  n , n n � � � � A x  B y  C z  D  d � � với   A; B; C  , nên tọa độ M nghiệm hệ � Khi ur n�   A� ; B� ; C�  vectơ phương đường thẳng d r i   1;0;0  Ox  Một vectơ phương đường thẳng song song chứa trục r j   0;1;0   Một vectơ phương đường thẳng song song chứa trục Oy r k   0; 0;1  Một vectơ phương đường thẳng song song chứa trục Oz DẠNG TOÁN TƯƠNG TỰ:  Xác định vectơ phương đường thẳng biết phương trình đường thẳng  Xác định vectơ phương đường thẳng biết yếu tố liên quan với mặt phẳng, đường thẳng, điểm  Viết phương trình đường thẳng  Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến đường thẳng BÀI TẬP MẪU (ĐỀ MINH HỌA - BDG 2020-2021) Trong không gian Oxyz , vectơ vectơ M  1; 2;1 phương đường thẳng qua gốc tọa độ O điểm A ur u1   1;1;1 B uu r u2   1; 2;1 C uu r u3   0;1;0  D uu r u4   1;  2;1 Phân tích hướng dẫn giải DẠNG TỐN: Đây dạng tốn tìm tọa độ vectơ phương đường thẳng qua hai điểm không gian Oxyz uuuu r uuuu r HƯỚNG GIẢI: Đường thẳng qua hai điểm O M nhận vectơ OM MO làm vectơ phương Từ đó, ta giải toán cụ thể sau: TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ Lời giải Chọn B uuuu r OM   1; 2;1 Ta có: vectơ phương đường thẳng OM Bài tập tương tự phát triển  Mức độ Câu A  1; 2;3 Trong không gian Oxyz , vectơ phương đường thẳng qua hai điểm B  3; 2; 1 A có tọa độ  1; 2;  B  1; 2;   2; 4;  C Lời giải D  2;0;1 Chọn A uuur uuu r r r AB   2; 4; 4  � AB  2u u   1; 2;  Ta có: với r A  1; 2;3 u   1; 2;  Ta chọn vectơ phương đường thẳng qua hai điểm B  3; 2; 1 Câu A  3; 2;  , B  0; 1;  , C  1;1;3  Trong không gian Oxyz , cho ba điểm , vectơ phương đường thẳng  qua C song song với AB có tọa độ A  3;3;3 B  1;  1;0   1; 1;1 C Lời giải �3 �  ; ;2� � D � 2 � Chọn B uuu r Vì  song song với AB , nên AB vectơ phương  uuur uuu r r r AB   3; 3;0  � AB  3u u   1;  1;0  Ta có: với r u   1;  1;0  Ta chọn vectơ phương đường thẳng  Câu A  1;3; 5 Trong không gian Oxyz , vectơ phương đường thẳng  qua điểm    : x  y  3z   có tọa độ vng góc với mặt phẳng  5;3;1  1;3; 4   1; 2;3 A B C Lời giải Chọn C uur  n   1; 2;3  Mặt phẳng có vectơ pháp tuyến uur uur    � u  n   1; 2;3 Vì vectơ phương  :  TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA D  2;3; 4  Trang NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU Câu 50 BÀI TỐN THEO MỨC ĐỘ Trong khơng gian Oxyz , cho đường thẳng thẳng  có tọa độ A  1; 0; 1 B  0;1;1 �x  �  : �y  t �z   t � Một vectơ phương đường  0;1;  C Lời giải D  0; 2; 2  Chọn D Dựa vào phương trình tham số đường thẳng  , ta thấy  có vectơ phương uur ur uu r u   0;1; 1 u�  2u   0; 2; 2  Chọn vectơ phương khác  Câu Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng đường thẳng  có tọa độ A  1; 3;3 B  1;3; 3 : x 1 y    z 3 3 Một vectơ phương  2; 3;  C Lời giải D  2; 3;1 Chọn D x 1 y  x 1 y  z    z 3 �   3 3 Dựa vào phương trình tắc đường Ta có: uur u   2; 3;1 thẳng, ta thấy  có vectơ phương  Câu Câu Trong không gian Oxyz , vectơ phương đường thẳng chứa trục Oy có tọa độ  0;1; 2020   1;1;1  0; 2020;0   1;0;0  A B C D Lời giải Chọn C r j   0;1;  Oy Ta có, vectơ phương đường thẳng chứa trục r r u  2020 j   0; 2020;0  Chọn làm vectơ phương đường thẳng chứa trục Oy �x  t �  : �y   2t �z   3t � Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng Một vectơ phương đường thẳng d song song với đường thẳng  có tọa độ A  0;1;  B  1; 2; 3  1; 2;3 C Lời giải D  1;1;  Chọn B uur u   1; 2; 3  Đường thẳng có vectơ phương uu r uur u  u   1; 2; 3 Vì d song song với  nên vectơ phương d d TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU Câu Câu 50 BÀI TỐN THEO MỨC ĐỘ r Trong khơng gian Oxyz , vectơ phương u đường thẳng  phương với vectơ r r r r a  3i  j  4k có tọa độ  3; 5;   4;  5;3  3; 0;   3; 5;  A B C D Lời giải Chọn D r r r r r a  3i  j  4k � a   3; 5;  Ta có r r r r u  a   3; 5;  Vì u phương với a , nên ta chọn vectơ phương  A  1;1;1 , B  1;1;0  , C  1;3;  Trong không gian Oxyz , cho tam giác ABC với Đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh A tam giác ABC nhận vectơ làm vectơ phương?  1;1;0   0; 2;1  2;1;0   2021; 2021;0  A B C D Lời giải Chọn D 1  � �xM   � 1 � M �yM   � M  0; 2;1 � 02 � uuuu r �zM   AM   1;1;0  BC � Gọi M trung điểm , suy r uuuu r u   2021 AM   2021; 2021;0  Ta có đường thẳng AM nhận làm vectơ phương A  1;0; 2  , B  2; 3; 4  , C  3;0; 3  Câu 10 Trong không gian Oxyz , cho tam giác ABC với Gọi G trọng tâm tam giác ABC Vectơ sau vectơ phương đường thẳng OG ? A  2;1;3 B  3;  2;1  2;1;3 C Lời giải D  1; 3;  Chọn C � 1  2 �xG  � 03 � ABC � G �yG   1 � 2   �  3 �zG  G  2; 1; 3 G � Vì trọng tam tam giác Vậy uuur OG   2; 1; 3  Ta có: r uuur u   OG   2;1;3  Ta có đường thẳng OG nhận làm vectơ phương  Mức độ TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU Câu 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ P  6;7;8  Trong không gian Oxyz , gọi P1 , P2 hình chiếu vng góc điểm lên  Oxz  Vectơ vectơ phương đường thẳng trục Oy mặt phẳng P1 P2 A  6;  8;7  B  6;  7;8  6;7;8  C Lời giải D  6;  7;8 Chọn B Ta có: P1 hình chiếu vng góc điểm P  6;7;8  lên trục Oy � P1  0;7;  P2 hình chiếu vng góc điểm P  6;7;8  lên mặt phẳng  Oxz  � P2  6; 0;8  uuuu r PP P P   6; 7;8  Chọn vectơ phương đường thẳng Câu T  4;5;6  Trong không gian Oxyz , gọi T1 , T2 hình chiếu vng góc điểm lên trục Oy trục Oz Vectơ vectơ phương đường thẳng T1T2 A  0;  5;6  B  0;  6;5   4;  5; 6  C Lời giải D  0;5;6  Chọn A Ta có: T1 hình chiếu vng góc điểm T  4;5;  lên trục Oy � T1  0;5;  T2 hình chiếu vng góc điểm T  4;5;6  lên trục Oz � T2  0;0;6  uuur T T   0; 5;6  T T Chọn vectơ phương đường thẳng Câu A  1;3;  , B  2; 1;5  , C  3; 2; 1 Trong không gian Oxyz , cho ba điểm Đường thẳng  qua A vng góc với mặt phẳng qua ba điểm A , B , C có phương trình là? x 1 y    A 15 x 1 y    C 15 z 2 z 2 x 1 y    9 B 15 x 1 y    D 15 z 2 z2 Lời giải Chọn D uuu r uuur uuu r uuur � AB   1; 4;3 , AC   2; 1; 3  � � AB � , AC �  15;9;7  Ta có Vì đường thẳng  vng góc với mặt phẳng qua ba điểm A , B , C , nên ta chọn môt vectơ uur u   15;9;7  phương TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU Vậy đường thẳng  qua A  1;3;  50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ nhận uur u   15;9;7  làm vectơ phương có x 1 y  z    phương trình tắc là: 15 Câu A  0; 2;5  Trong không gian Oxyz , đường thẳng  qua đồng thời vng góc với hai đường �x  t � d : �y  2  2t x 1 y  z  d1 :   �z  � 1 2 thẳng có phương trình �x  t �x  t �x  4t �x  4 � � � �  : �y   t  : �y   2t  : �y   2t  : �y  2  2t �z   2t �z  �z   t �z   5t � � � � A B C D Lời giải Chọn C ur d1 có vectơ phương u1   1;1; 2  ur uu r uu r � u , u d có vectơ phương u2   1; 2;0  Ta có: � � �  4; 2;1 Vì đường thẳng  vng góc với hai đường thẳng d1 d nên ta chọn môt vectơ phương uur ur uu r � u  � u , u �1 �  4; 2;1 uu r A  0; 2;5  u   4; 2;1  Vậy đường thẳng qua nhận làm vectơ phương có �x  4t �  : �y   2t �z   t � phương trình tham số là: Câu Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho đường thẳng r u  a ; 2; b  A 8 làm vectơchỉ phương Tính a  b B C Lời giải d: x 1 y  z 1   2 nhận vectơ D 4 Chọn B Đường thẳng d có vectơ phương r u  a ; 2; b  r v  2;1;  �a  a b   �� r r b4 � làm vectơ phương d suy u v phương nên 2 TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU Câu 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ Trong không gian Oxyz , tọa độ sau tọa độ vectơ phương đường �x   4t �  : �y   6t ,  t �� ? � z  9t � thẳng �1 1 � �; ; � A �3 � �1 � �; ; �  2;1;0  B �3 � C Lời giải D  4;  6;0  Chọn A r �1 1 � u   4;  6;9   12 � ; ; � � �   Từ phương trình suy vectơ phương Câu M  1;  2;1 N  0;1; 3 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm , Phương trình đường thẳng qua hai điểm M , N x 1 y  z 1 x 1 y  z      2 A 1 B x y 1 z  x y 1 z      2 C 1 D Lời giải Chọn C uuuu r MN   1; 3;  Đường thẳng MN qua N nhận x y 1 z    1 Câu uuuu r MN   1; 3;  làm vectơ phương có phương trình E  1;0;  F  2;1; 5  Trong khơng gian Oxyz , cho Phương trình đường thẳng EF x 1 y z  x 1 y z      7 7 A B x 1 y z  x 1 y z      3 C D Lời giải Chọn B Ta có: uuur EF  (3;1; 7) Đường thẳng EF qua điểm E (1; 0; 2) có VTCP x 1 y z  r uuur   u  EF  (3;1; 7) có phương trình: 7 Câu    : x  y  z  Trong đường Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng thẳng sau, đường thẳng vng góc với TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA  Trang NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU A d1 : x y 1 z   1 B d2 : 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ x y 1 z x y 1 z   d3 :   1 1 C 1 1 D Lời giải �x  2t � d : �y  �z  t � Chọn A Gọi VTCP đường thẳng cần tìm  Đường thẳng vng góc với r a   a1; a2 ; a3  2 với a1  a2  a3  r r � a1  a2  a3 � a phương n 1 Chọn a1  a2  1 a3  Câu 10 Trong không gian với hệ trục Oxyz , cho điểm M  1;  3;  mặt phẳng  P  : x  y  z   Tìm phương trình đường thẳng d x 1 y  z    3 A x y z   C 3  P qua M vuông góc với x 1 y  z    3 B x 1 y  z    3 D Lời giải Chọn B r n   1;  3;  có VTPT r  P  nên d nhận n   1;  3;  VTCP Vì d vng góc với  P Mặt phẳng Đường thẳng d qua M nhận r n   1;  3;  x 1 y  z    3 VTCP có phương trình:  Mức độ Câu A  1;0;  Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm đường thẳng Đường thẳng  qua A , vng góc cắt d có phương trình x  y 1 z 1   1 1 A x  y 1 z 1 :   2 C : d: x 1 y z 1   1 x 1 y z    1 B x 1 y z  :   3 D Lời giải : Chọn A uu r uuu r B t  1; t ; t  u  AB   t , t , 2t  3    d Gọi giao điểm  Khi uu r u   1,1,  Vì đường thẳng  vng góc với đường thẳng d có d thì: uu r t  t   2t  3  � t  � u   1,1, 1 TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA Trang NHĨM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ Phương trình đường thẳng  thỏa mãn yêu cầu toán Câu Cho điểm : M  2;1;0  : x  y 1 z 1   1 1 x 1 y  z   1 Gọi d đường thẳng qua M , đường thẳng cắt vng góc với  Khi đó, vectơ phương d r r r u   0;3;1 u   2;  1;  u   3;0;  A B C Lời giải D r u   1;  4;   Chọn D Gọi ( P) mặt phẳng qua M vng góc với d ( P) :  x    1 y  1  1 z    � x  y  z   �x   2t �  : �y  1  t �z  t � PTTS Gọi ( P ) �  M ' suy tọa độ M ' nghiệm hệ �x   2t �y  1  t � �7 2 �  :� � M '� ;  ; � �3 3 � �z  t � �2 x  y  z   uuuuur �1 � MM '  � ;  ;  � �3 3 �bà véc Khi đường thẳng d qua MM ' VTCP d véc tơ r u tơ  (1;  4;  2) VTCP d Câu A  1;0;  Trong không gian Oxyz , gọi d đường thẳng qua , cắt vng góc với đường d1 : x 1 y z    1 2 Điểm thuộc d ? thẳng P  2;  1;1 A B Q  0;  1;1 C Lời giải N  0;  1;  M  1;  1;1 D Chọn B �x   t � d1 : �y  t  t �� r �z   2t u   1;1;   � Phương trình tham số đường thẳng , với vectơ phương B   t ; t ;5  2t  Giả sử đường thẳng d cắt đường thẳng d1 B Khi uuu r AB   t ; t ;3  2t  uuur r AB  d � AB.u  d Vì đường thẳng d vng góc với đường thẳng nên TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA Trang 10 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ � t  t    2t   2   � t  Khi B  2;1;3 Phương trình đường thẳng d qua A  1;0;  có vectơ phương uuu r AB   1;1;1 là: x 1 y z    1 Nhận thấy Câu Q  0;  1;1 �d Trong không gian  P : x  y  z   Oxyz , cho mặt phẳng đường thẳng x y 1 z    1 Đường thẳng d ' đối xứng với d qua mặt phẳng  P  có phương trình x 1 y 1 z 1 x 1 y 1 z 1     2 2 A B x 1 y 1 z 1 x 1 y 1 z 1     C D d: Lời giải I  d � P  � I  1;1;1 Lấy A  0; 1;  �d Tìm A ' ? Đường thẳng AH qua A có vectơ phương r u AH �x  t � � AH : �y  1  t r �z   t  n P   1;1;1 � � H  t ; 1  t;  t  � t  H � P  � t   1  t     t    Mà �2 1 � �H�; ; � �3 3 � r �1 2 � �4 10 � uuu x 1 y 1 z 1 A ' � ; ; �� IA '  � ; ; �� d ' :   �3 3 � 2 Ta có �3 3 � Câu    : x  y  z      : x  y  z   Trong không gian Oxyz , cho hai mặt phẳng       có phương trình tắc là? Đường thẳng  giao tuyến hai mặt phẳng �x  2t � �y  1  3t x y 1 z    �z   t 3 A � B TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 11 NHĨM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TỐN THEO MỨC ĐỘ x  y  z 1   1 C x y  z 1   3 D Lời giải Chọn B   có vectơ pháp tuyến uur n   2;1; 1 có vectơ pháp tuyến uur n   1;1;1 uur uur � n , n �  2; 3;1 Ta có: �  �       nên  có vectơ Vì đường thẳng  giao tuyến hai mặt phẳng phương uur uur uur u  � n , n � � �  2; 3;1       , M � tọa độ M nghiệm hệ Gọi M giao điểm hai mặt phẳng �2 x  y  z   � phương trình: �x  y  z   , cho x  ta hệ sau: Vậy M  0; 1;  uur M  0; 1;  u   2; 3;1  Đường thẳng qua nhận làm vectơ phương có phương trình tắc là: Câu �x  �x  � � �y  z   � �y  1 �y  z   �z  � � : x y 1 z    3 M  1; 2;  Trong không gian Oxyz , đường thẳng  qua điểm , song song với mặt phẳng  P : x  y  z   A �x   t � �y   t �z  � x 1 y  z    1 có phương trình là? đồng thời cắt đường thẳng �x   t �x  1  t �x  � � � �y   t �y  1  2t �y   t �z  �z  2t �z   t B � C � D � Lời giải d: Chọn A Đường thẳng d có phương trình tham số  P Mặt phẳng có vectơ pháp tuyến �x   t � d : �y   t �z   t � uur n   1; 1;1 A � A   t ;  t ;3  t  Giả sử  cắt d uuur MA   t ; t ;1  t  uuur r uuur r  P  � MA  n � MA.n  � t    t  song song với mặt phẳng Vì đường thẳng  uuur � t  1 � MA   1; 1;0  TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Chọn vectơ phương  uu r u   1; 1;0  Trang 12 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU Câu Đường thẳng  qua M  1; 2;  phương trình tham số �x   t � �y   t �z  � nhận 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ uu r u   1; 1;0  làm vectơ phương có Trong khơng gian Oxyz , cho tam giác ABC có phương trình đường phân giác góc A là: x y 6 z 6   4 3 Biết điểm M  0;5;3 thuộc đường thẳng AB điểm N  1;1;0  r thuộc đường thẳng AC Một vectơ phương u đường thẳng AC có tọa độ r r r r u   0;1; 3 u   0;1;3 u   1; 2;3  u   0; 2;6  A B C D Lời giải Chọn B �x  t � A ,  d  : �y   4t �z   3t � Phương trình tham số đường phân giác góc d:  d  Khi D �AC � đường thẳng AC có vectơ Gọi D điểm đối xứng với M qua uuur phương ND  d * Ta xác định điểm D Gọi K giao điểm MD với uuuu r K  t ;6  4t ;6  3t  ; MK   t ;1  4t ;3  3t  Ta có Vì uuuu r uu r MK  ud , với uu r ud   1; 4; 3 t    4t     3t   � t  nên �xD  xK  xM �xD  � � �yD  yK  yM � �yD  9� �1 � K � ; 4; � � �z  D  1;3;6  �, mà K trung điểm MD nên �z D  z K  z M �D �2 hay uuur r r ND   0; 2;6    0;1;3  2u u   0;1;3 AC Một vectơ phương , với Câu A  0;1;1 Trong không gian Oxyz , đường thẳng  qua , vng góc với đường thẳng �x  t � d : �y  t x  y  z 1 d1 :   �z  � 2 cắt đường thẳng có phương trình �x  t �x  t �x  t �x  � � � �  : �y   3t  : �y   3t  : �y   3t  : �y   t �z   4t �z   4t �z   4t �z  4  t � � � � A B C D Lời giải TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 13 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ Chọn B ur d1 có vectơ phương u1   2; 2;1 uuur B � B t ;  t ; AB   t ; t  1;1   d Giả sử  cắt Vì đường thẳng  vng góc với đường thẳng uuu r ur uuu r ur d � AB  u1 � AB.u1  � 2t  2t    � t   uuu r �1 � 1r r AB  �  ;  ;1�   1;3; 4    u u , với   1;3; 4  �4 � Suy r A 0;1;1 u   1;3; 4    Vậy đường thẳng  qua nhận làm vectơ phương có �x  t �  : �y   3t �z   4t � phương trình tham số là: Câu  P  : x  y  z  , cắt Trong không gian Oxyz , đường thẳng  vng góc với mặt phẳng �x  1  2t � d : �y   t x y 1 z  d1 :   �z  � 1 hai đường thẳng có phương trình tắc �x   7t �  : �y  t x  y z 1 :   �z  1  4t � 7 1 A B x  y  z 1 x  y 1 z  :   :   7 1 5 1 C D Lời giải Chọn A  P Mặt phẳng có vectơ pháp tuyến r n   7;1;  �x  2m � d1 : �y   2m �z  2  m d1 có phương trình tham số: � A � A  2m ;1  2m ; 2  m  Giả sử  cắt d1 B � B  1  2t ;1  t ;3 Giả sử  cắt d uuur AB   2t   2m ; t  m ;5  m  Suy Vì đường thẳng  uuu r  P  � AB vng góc với mặt phẳng TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA r phương với n Trang 14 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ 2t   2m  7k t  2 � � 2t   2m t  m  m � �   k �� tm k �� m 1 4 � �  m  4k k  1 � � Tức uuu r A  2;0; 1 , B  5; 1;3  � AB   7; 1;  Suy r uuu r A 2;0;  u  AB   7; 1;    Vậy đường thẳng  qua nhận làm vectơ phương có phương trình tắc : x  y z 1   7 1  P  : x  y  z  10  , điểm A  1;3;  đường Câu 10 Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng �x  2  2t � d : �y   t �z   t �  P  d hai điểm M N cho thẳng Đường thẳng  cắt A trung điểm MN có phương trình tắc A C : x  y 1 z    7 1 : x  y 1 z    1 �x  6  7t �  : �y  1  4t �z   t � B x  y 1 z  :   7 4 D Lời giải Chọn D M � M  2  2t ;1  t ;1  t  Ta có  cắt d �xN  x A  xM   2t � N : �y N  y A  yM   t �z  z  z  t  N   2t ;5  t ; t  3 A M �N Vì A trung điểm MN nên hay  P  N � N � P  �   2t     t     t   10  � t  2 Vì  cắt uuuu r M  6; 1;3 AM   7; 4;1 Do r uuuu r M  6;  1;3 u  AM   7; 4;1   Vậy đường thẳng  qua nhận làm vectơ phương có phương trình tắc : x  y 1 z    4 1  Mức độ TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 15 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU Câu 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng d2 : d1 : x3 y 3 z2   1 2 ; x  y 1 z    3 mặt phẳng  P  : x  y  3z   Đường thẳng vng góc với  P  , cắt d1 d có phương trình x  y  z 1   A x 1 y 1 z   C x3 y3 z2   B x 1 y 1 z   D Lời giải Chọn C Gọi  đường thẳng cần tìm Gọi M   �d1 ; N   �d M   t ;3  2t ;   t  Vì M �d1 nên , N   3s ;   s ;2  s  N �d nên uuuu r MN    t  3s ;   2t  s ;4  t  s  Vì    P  P , có vec tơ pháp tuyến r n   1;2;3 ; r uuuu r n , MN nên phương, đó: �2  t  3s 4  2t  s  � � � �M  1;  1;  �s  � � � �4  2t  s   t  s � � t2 �N  2;1;3 � � uuur MN   1; 2;3  qua M có vecto phương x 1 y 1 z   Do  có phương trình tắc Câu A  1; 1;1 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , viết phương trình đường thẳng qua , vng góc cắt đường thẳng x 1 y 1 z 1   8 A d: x4 y2 z5   1 1 x 1 y 1 z 1   4 C x 1 y 1   B x 1 y    1 D z 1 4 z 1 Lời giải Chọn B Ta có d: x4 y2 z5 uur   u 1 1 � vectơ phương d   1;1;1 TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA Trang 16 NHĨM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ d� �d   H  Gọi đường thẳng cần tìm d �và H �d � H   t ;  t ;   t  Vì uuur AH    t ;3  t ;   t  uuur uu r uuur uu r AH  ud � AH ud  � t    t   t  � 3t   � t  Ta có uuur AH  1;5; 4  A 1;  1;1   Phương trình d � qua nhận làm vectơ phương x 1 y 1 z 1 d� :   4 Câu Oxyz Trong không gian cho hai điểm A  –1;3; –2   P  : x – y  z   Phương trình đường thẳng , B  –3; 7; –18  mặt phẳng d �là hình chiếu vng góc AB lên mp  P A �x   t � �y   3t �z  1  2t � B �x   t � �y  �z   2t � C Lời giải �x   t � �y  �z  1  2t � D �x   t � �y   2t �z   2t � Chọn C  P Mặt phẳng có vecto pháp tuyến r n P    2; –1;1  P Gọi A� B�lần lượt hình chiếu vng góc A B lên mp  P  có phương trình tham số + Đường thẳng qua A vng góc với �x  1  2t � �y   t �z  2  t � Tọa độ A� �x  1  2t �y   t � � �z  2  t � �  1  2t  –   t    2  t    nghiệm hệ phương trình �2 x – y  z   � t  � A�  1; 2; 1 TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 17 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ �x  3  2t � � �y   t �  P  có phương trình tham số � �z  18  t � + Đường thẳng qua B vng góc với Tọa độ B� nghiệm hệ phương trình � t  � B�  7; 2; 13 �x  3  2t � �y   t � � � �z  18  t � �  –   t�    18  t �  1  �2 x – y  z   �  3  2t � + Đường thẳng d �là đường thẳng qua hai điểm A�và B� , nhận uuuur A�� B   6;0; 12  làm vecto �x   t � �y  �z  1  2t phương, có phương trình tham số � Câu Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d: x 1 y 1 z    1 mặt phẳng ( P) : x  y  z   Gọi d ' hình chiếu đường thẳng d lên mặt phẳng ( P) , véctơ phương đường thẳng d ' uu r u  (5;  16; 13) A uu r u  (5;16;13) C uu r u  (5;  4; 3) B uu r u  (5;16; 13) D Lời giải Chọn D d: x 1 y 1 z    � d qua điểm M (1;1; 2) có véctơ phương 1 Ta có r u  (1; 2; 1) uur ( P ) : x  y  z   � n P  (2;1; 2) Ta có Gọi (Q) mặt phẳng chứa đường thẳng d vng góc với mặt phẳng ( P) uur r uur nQ  [u , nP ]  (5; 4; 3) Ta có uur nQ  (5; 4; 3) ( Q ) M (1;1; 2) Mặt phẳng qua điểm có véctơ pháp tuyến Suy (Q) : x  y  z   Ta có ( P) �(Q )  d ' x  y  3z   � � Xét hệ phương trình �2 x  y  z   TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 18 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ � �x   13  13 t � 15 16 � z  t � d ' : �y   t , t �� 13 13 � t �z  � � Đặt uu r u  (5;16; 13) véctơ phương đường thẳng d ' Câu Trong không  S  :  x  3 gian Oxyz cho   y     z    36 2 đường thẳng d: x y z 3   2 1 mặt cầu A  2;1;3 Gọi  đường thẳng qua , vng góc với  S  hai điểm có khoảng cách lớn Khi đường thằng  có đường thẳng d cắt r u   1; a; b  véctơ phương Tính a  b  A B 2 C D Lời giải Chọn D Gọi    mặt phẳng qua A vuông góc d Suy    : x  y  z    qua A vuông với d nên  nằm     S  hai điểm có khoảng cách lớn nên  qua tâm K đường trịn giao Vì  cắt tuyến     S  �23 14 47 � K� ; ; �    nên �9 9 � Ta có: K hình chiếu vng góc tâm I mặt cầu lên uuur �5 20 � r AK  � ; ; �� u   1;1;  �9 9 � Khi đó: Câu Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , viết phương trình đường vng góc chung hai x 2 y 3 z  x 1 y  z  d� :     5 2 1 đường thẳng x y z 1 x2 y 2 z 3     A 1 B d: x2 y 2 z 3   2 C x y 2 z 3   1 D Lời giải Chọn A TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA Trang 19 NHĨM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ M   2m;3  3m; 4  5m  N �d � Tương tự suy uuuu r N  1  3n;  2n;  n  MN   3  3n  2m;1  2n  3m;8  n  5m  Từ ta có Ta có M �d suy ra �MN  d � � Mà MN đường vng góc chung d d � nên �MN  d  3  3n  2m     2n  3m     n  5m   � � m  1 �38m  5n  43 � �� �� ��  3  3n  2m     2n  3m   1  n  5m   n 1 � �5m  14n  19 � Suy Ta có Câu M  0;0;1 , N  2; 2;3  uuuu r MN   2; 2;  x y z 1   nên đường vng góc chung MN 1 A  0;1; 2   P  : x  y  z   mặt cầu Trong không gian Oxyz , cho điểm , mặt phẳng  S  : x  y  z  x  y   Gọi  P cắt mặt cầu tâm mặt cầu �x  t � �y  �z  2  t A �  S  đường thẳng qua A  nằm mặt phẳng hai điểm B , C cho tam giác IBC có diện tích lớn nhất, với I  S  Phương trình đường thẳng �x  t � �y   t �z  2  t B �  �x  t � �y   t �z  2 C � Lời giải �x  t � �y   t �z  2 D � Chọn C  S I  1; 2;0  R  12  22   có tâm bán kính uur AI   1;1;  � AI   R � A  S  A nằm dây cung BC  1 nằm mặt cầu 2 R2 �  R sin BIC � �R S IBC  IB.IC.sin BIC 2 nên diện tích IBC đạt giá trị lớn �  � BIC �  90�� IBC � sin BIC vuông cân I � BC  IC  R  BC IJ    2 Gọi J trung điểm BC Ta có IJ  BC TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA Trang 20 NHĨM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ AIJ vuông J � AI �IJ , kết hợp thêm với  1   ta có IJ  AI trung điểm BC IA  BC A J � A r n  P    1;1;1  P có vectơ pháp tuyến có giá vng góc với  r r uur u� n  P  , AI � � �  1; 1;  làm vectơ phương qua A  0;1; 2  Vậy  nhận �x  t � �  : �y   t �z  2 � Câu M  3;3;  3 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm thuộc mặt phẳng    : x  y  z  15  qua M , nằm trình đường thẳng x 3 y 3   A  S  :  x  2 mặt cầu mặt phẳng  z3  cắt  S   y  3   z    100 2 Đường thẳng  A, B cho độ dài AB lớn Viết phương x3 y 3 z 3   B x3 y3 z3   D x 3 y 3 z 3   11 10 C 16 Lời giải Chọn B Ta có: Mặt cầu d  I,      S có tâm I  2;3;5  2.2  2.3   15 22   2   12 , bán kính R  10 6R �    � S   C  H ; r  H  , hình chiếu I lên uur  u  2; 2;1   1 �  Gọi đường thẳng qua I vuông góc với có VTCP 1  �x   2t �y   2t �x   2t �x  2 � � � � 1 : �y   2t � �y  �z   t �z   t �z  � x  y  z  15  � � � PTTS Tọa độ H nghiệm hệ: � � H  2;7;3  C  �  �MH Ta có AB có độ dài lớn � AB đường kính uuuu r M  3;3;  MH   1; 4;    Đường thẳng MH qua có VTCP Suy phương trình : x3 y 3 z 3   TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 21 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU Câu 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ M  3;1;1    : x  y  z   tạo với Đường thẳng  qua điểm , nằm mặt phẳng �x  � d : �y   3t �z  3  2t � đường thẳng góc nhỏ phương trình  �x  �x   5t � �x   2t � �x   5t � � � � � �y  t � �y  3  4t � �y   t � �y   4t � �z  2t � �z   t � �z   2t � �z   2t � A � B � C � D � Lời giải Chọn B Đường thẳng d có vectơ phương r u   0;3;    Mặt phẳng r n   1;1;  1 Vì có vectơ pháp tuyến rr u.n  0.1  3.1   2   1  �0  nên d cắt Gọi d1 đường thẳng qua M d1 // d , suy d1 có phương trình: �x  � �y   3t �z   2t � N  3; 4;  1 �d1   Lấy Gọi K , H hình chiếu vng góc N mặt phẳng đường thẳng  � d ,    NMH � Ta có: Do d,  � sin � NMH  NH NK � MN MN nhỏ K �H hay  đường thẳng MK �x   t � �y   t �z  1  t Đường thẳng NK có phương trình: � Tọa độ điểm K ứng với t nghiệm phương trình: TÀI LIỆU ƠN THI THPT QUỐC GIA Trang 22 NHÓM WORD – BIÊN SOẠN TÀI LIỆU 50 BÀI TOÁN THEO MỨC ĐỘ   t     t    1  t    � t   �4 � K�; ; � Suy �3 3 � Câu 10 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng n d:  P : x  y  4z  , đường thẳng x 1 y 1 z    1 điểm A  1; 3; 1 thuộc mặt phẳng  P  Gọi  đường thẳng qua A , nằm mặt phẳng  P  cách đường thẳng d khoảng cách lớn Gọi r u   a; b; 1 véc tơ phương đường thẳng  Tính a  2b A a  2b  3 B a  2b  C a  2b  D a  2b  Lời giải Chọn A ur M  1;  1;  u1   2;  1; 1 d Đường thẳng qua có véc tơ phương d � P   I  7; 3;  1 Nhận xét rằng, A �d Gọi  Q d  , d   d  ,  Q    d  A,  Q   mặt phẳng chứa d song song với  Khi  Q  d Ta có AH �AK Gọi H , K hình chiếu vng góc A lên d A,  Q   H K Suy AH lớn �  lớn � AH max đoạn vng góc chung d  uuur uuuu r ur � n  AM R   chứa A d có véc tơ pháp tuyến  R  � , u1 � �  2; 4;  Mặt phẳng Do đó, d  , d  Mặt phẳng  Q   12; 18;   chứa d vuông góc với  R nên có véc tơ pháp tuyến uuur uuur ur � n Q   � n � R  , u1 �  P  song song với mặt phẳng  Q  nên có véc tơ Đường thẳng  chứa mặt phẳng r uuur uuur � u� n � P  , n R  �  66;  42;    11;  7; 1 phương Suy ra, a  11; b  7 Vậy a  2b  3 TÀI LIỆU ÔN THI THPT QUỐC GIA Trang 23 ... 0;1  Một vectơ phương đường thẳng song song chứa trục Oz DẠNG TOÁN TƯƠNG TỰ:  Xác định vectơ phương đường thẳng biết phương trình đường thẳng  Xác định vectơ phương đường thẳng biết yếu tố... ur n�   A� ; B� ; C�  vectơ phương đường thẳng d r i   1;0;0  Ox  Một vectơ phương đường thẳng song song chứa trục r j   0;1;0   Một vectơ phương đường thẳng song song chứa trục Oy... , với vectơ phương B   t ; t ;5  2t  Giả sử đường thẳng d cắt đường thẳng d1 B Khi uuu r AB   t ; t ;3  2t  uuur r AB  d � AB.u  d Vì đường thẳng d vng góc với đường thẳng nên TÀI