Các bài toán được trình bày ở chuyên đề này được phân ra hai dạng chính, đó là: Dạng thứ nhất: Dãy số với các số hạng là số nguyên, phân số (hoặc số thập phân) cách đều.. Dạng thứ hai: [r]
(1)(2)* Bài tập lự luyện:
Bài 1: Cho dãy số: 1, 4, 7, 10,… a Nêu quy luật dãy
b Số 31 có phải số hạng dãy khơng? c Số 2009 có thuộc dãy khơng? Vì sao? Bài 2: Cho dãy số: 1004, 1010, 1016,…, 2012.
Hỏi số 1004 1760 có thuộc dãy số hay không? Bài 3: Cho dãy số: 1, 7, 13, 19,…,
a Nêu quy luật dãy số viết tiếp số hạng b Trong số 1999 2009 số thuộc dãy số? Vì sao? Bài 4: Cho dãy số: 3, 8, 13, 18,……
Có số tự nhiên có chữ số tận mà thuộc dãy số không? Bài 5: Cho dãy số: 1, 3, 6, 10, 15,……, 45, 55,……
(3)Dạng 3: Tìm số số hạng dãy
* Cách giải dạng là:
Đối với dạng toán này, ta thư ờng sử dụng ph ương pháp giải toán khoảng cách (toán trồng cây) Ta có cơng thức sau :
Số số hạng dãy = số khoảng cách+ 1.
Đặc biệt, quy luật dãy : Mỗi số hạng đứng sau số hạng liền trư ớc cộng với số khơng đổi d thì:
Số số hạng dãy = ( Số hạng lớn – Số hạng nhỏ ) : d + 1.
Các ví dụ:
Bài 1: Cho dãy số 11; 14; 17; ;65; 68. Hãy xác định dãy số có số hạng?
Lời giải :
Ta có : 14 - 11= 3; 17 - 14 = 3;
(4)Bài 2: Cho dãy số: 2, 4, 6, 8, 10,……, 1992
Hãy xác định dãy số có số hạng?
Giải:
Ta thấy: – = ; – =
– = ; ………
Vậy, quy luật dãy số là: Mỗi số hạng đứng sau số hạng đứng trước cộng với Nói khác: Đây dãy số chẵn dãy số cách đơn vị
Dựa vào công thức trên:
(Số hạng cuối – số hạng đầu) : khoảng cách + 1 Ta có: Số số hạng dãy là:
(5)Bài 3: Cho 1, 3, 5, 7, ……… dãy số lẻ liên tiếp đầu tiên; hỏi 1981 số hạng thứ bao nhiêu dãy số này? Giải thích cách tìm?
(Đề thi học sinh giỏi bậc tiểu học 1980 – 1981)
Giải:
Ta thấy:
Số hạng thứ bằng: = + x Số hạng thứ hai bằng: = + x Số hạng thứ ba bằng: = + x ………
Còn số hạng cuối cùng: 1981 = + x 990
(6)a Tìm số hạng thứ 100 dãy
b Số 11703 số hạng thứ dãy?
Giải:
a Số hạng thứ nhất: = + 15 x Số hạng thứ hai: 18 = + 15 x
Số hạng thứ ba: 48 = + 15 x + 15 x
Số hạng thứ tư: 93 = + 15 x + 15 X + 15 x
Số hạng thứ năm: 153 = + 15 x + 15 x + 15 x + 15 x ………
Số hạng thứ n: + 15 x1 + 15 x +15 x + …… + 15 x (n - 1) Vậy số hạng thứ 100 dãy là:
3 + 15 x + 15 x + …… + 15 x (100 - 1)
= + 15 x (1 + + + …… + 99) (Đưa số nhân với tổng = + 15 x (1 + 99) x 99 : = 74253
b Gọi số 11703 số hạng thứ n dãy: Theo quy luật phần a ta có:
3 + 15 x + 15 x + 15 x + …… x (n – 1) = 11703
3 + 15 x (1 + + + ……+ ( n – 1)) = 11703 + 15 x (1 + n – 1) x (n – 1) : = 11703
15 x n x (n – 1) = (11703 – 3) x = 23400 n x (n – 1) = 23400 : 15 = 1560 Nhận xét: Số 1560 tích hai số tự nhiên liên tiếp 39 40 (39 x 40 = 1560)
(7)Bài 5: Trong số có ba chữ số, có số chia hết cho 4?
Lời giải:
Ta nhận xét : Số nhỏ có ba chữ số chia hết cho 100 số lớn có ba chữ số chia hết cho 996 Như số có ba chữ số chia hết cho lập thành dãy số có số hạng nhỏ 100, số hạng lớn 996 số hạng dãy ( kể từ số hạng thứ hai ) số hạng đứng liền trư ớc cộng với
(8)* Bài tập tự luyện:
Bài 1: Cho dãy số: 3, 8, 13, 23, ……,2008
Tìm xem dãy số có số hạng ? Bài 2: Tìm số số hạng dãy số sau:
a 1, 4, 7, 10, ……,1999
b 1,1 ; 2,2 ; 3,3 ; ; 108,9 ; 110,0 Bài 3: Xét dãy số: 100, 101, ………, 789.
Dãy có số hạng?
Bài 4: Có số chia cho dư mà nhỏ 2010 ?
(9)Dạng 4: Tìm số hạng thứ n dãy số
Bài toán 1: Cho dãy số: 1, 3, 5, 7, Hỏi số hạng thứ 100 dãy số số Giải:
Số khoảng cách từ số đầu đến số hạng thứ 100 là: 98 - = 99
Mỗi khoảng cách - = - = Số hạng thứ 100 + 99 = 199
Công thức tổng quát:
(10)Bài tốn 2: Tìm số hạng thứ 100 dãy số viết theo quy luật: 3, 8, 15, 24, 35,… (1)
3, 24, 63, 120, 195,… (2) 1, 3, 6, 10, 15,… (3)
Giải: a) Dãy (1) viết dạng: 1x3, 2x4, 3x5, 4x6, 5x7,…
Mỗi số hạng dãy (1) tích hai thừa số, thừa số thứ hai lớn thừa số thứ đơn vị Các thừa số thứ làm thành dãy: 1, 2, 3, 4, 5, …; Dãy có số hạng thứ 100 100
Số hạng thứ 100 dãy (1) bằng: 100x102 = 10200
b) Dãy (2) viết dạng: 1x3, 4x6, 7x9, 10x12, 13x15,…
Mỗi số hạng dãy (2) tích hai thừa số, thừa số thứ hai lớn thừa số thứ đơn vị Các thừa số thứ làm thành dãy: 1, 4, 7, 10, 13, …; Số hạng thứ 100 dãy 1, 4, 7, 10, 13,… là: + (100 – ) x = 298
Số hạng thứ 100 dãy (2) bằng: 298 x 300 = 89400 c) Dãy (3) viết dạng:
Số hạng thứ 100 dãy (3) bằng:
100 101
(11)* Bài tập tự luyện:
Bài 1: Cho dãy số : 101, 104, 107, 110, Tìm số hạng thứ 1998 dãy số
Bài 2: Cho dãy số : 5, 8, 11, 14, a.Tìm số hạng thứ 200 dãy số
b Nếu viết tiếp số : 1000 ; 2009 ; 5000 có số hạng dãy khơng ? Tại Bài 3: Một bạn học sinh viết liên tiếp số tự nhiên mà chia cho dư bát đầu
(12)Dạng 5: Tìm số chữ số dãy biết số số hạng
Bài toán 1: Cho dãy số: 1, 2, 3, 150 Hỏi để viết dãy số người ta phải dùng bao nhiêu chữ số
Giải:
Dãy số cho có : ( - 1) : + = số có chữ số Có ( 99 - 10 ) : + = 90 số có chữ số
Có ( 150 - 100) : + = 51 số có chữ số Vậy số chữ số cần dùng :
(13)Bài toán 2: Một sách có 234 trang Hỏi để đánh số trang sách người ta phải dùng chữ số
Giải:
Để đánh số trang sách người ta phải viết liên tiếp số tự nhiên từ đến 234 thành dãy số Dãy số có
( - 1) : + = số có chữ số
Có: ( 99 - 10) : + = 90 số có chữ số Có: ( 234 - 100) : + = 135 số có chữ số Vậy người ta phải dùng số chữ số là:
(14)* Bài tập tự luyện:
Bài 1: Một bạn học sinh viết liên tiếp số tự nhiên từ 101 đến 2009 thành số lớn Hỏi số có chữ số
Bài 2: Trường Tiểu học Thành Cơng có 987 học sinh Hỏi để ghi số thứ tự học sinh trường người ta phải dùng chữ số
Bài 3: Cần chữ số để đánh số trang sách có tất là: a.752 trang
(15)Dạng 6: Tìm số số hạng biết số chữ số
Bài toán 1: Để đánh số trang sách người ta dùng hết 435 chữ số Hỏi sách có trang?
Giải:
Để đánh số trang sách đó, người ta phải viết liên tiếp số tự nhiên thành dãy số Dãy số có
số có chữ số có 90 số có chữ số
Để viết số cần số chữ số + 90 = 189 chữ số
Số chữ số lại là: - 189 = 246 chữ số
Số chữ số lại dùng để viết tiếp số có chữ số 100 Ta viết 246 : = 82 số
(16)Bài toán 2:
Để đánh số trang sách người ta phải dùng tất 600 chữ số Hỏi sách có trang?
Giải: 99 trang đầu cần dùng 9x1 + 90x2 = 189 chữ số.
999 trang đầu cần dùng: 9x1 + 90x2 + 900x3 = 2889 chữ số
Vì: 189 < 600 < 2889 nên trang cuối phải có chữ số Số chữ số để đánh số trang có chữ số la: 600 - 189 = 411 (chữ số)
(17)Bài toán 3: Để ghi thứ tự nhà đường phố, người ta dùng số chẵn 2, 4, 6, để ghi nhà dãy phải số lẻ 1, 3, 5, để ghi nhà dãy trái đường phố Hỏi số nhà cuối dãy chẵn đường phố bao nhiêu, biết đánh thứ tự nhà dãy này, người ta dùng 367 lượt chữ số thảy
Giải:
Số nhà có số thứ tự ghi chữ số chẵn là: (8 - 2) : + = (nhà) Số nhà có số thứ tự ghi chữ số chẵn là: (98 - 10) : + = 45 (nhà) Số lượt chữ số để đánh số thự tự nhà có chữ số là:
+ 45 = 94 (lượt)
Số lượt chữ số để đánh số thứ tự nhà có chữ số là: 367 - 94 = 273 (lượt) Số nhà có số thứ tự chữ số là: 273 : = 91 (nhà)
(18)Bài toán 4: Cho dãy số: 1, 3, 5, 7, , n Hãy tìm số n để số chữ số dãy gấp lần số số hạng dãy
Giải:
Để tìm số n cho số chữ số dãy gấp ba lần số số hạng dãy đó, ta giả sử trung bình số lẻ liên tiếp dãy có chữ số Do đó:
- Từ đến gồm số lẻ có chữ số là: (9 - 1): + = (số)
Môi số cần phải viết thêm chữ số nên số chữ số cần phải viết thêm là: x = 10 (chữ số)
Các số lẻ gồm hai chữ số (99 - 11): + = 45 (số)
Mỗi số cần phải viết thêm chữ số nên số chữ số cần phải viết thêm là: x 45 = 45 (chữ số)
Các số lẻ gồm chữ số là: ( 999 - 101) : + = 450 (số)
Các số có chữ số đảm bảo số chữ số dãy gấp ba lần số số hạng dãy
Từ 1001 trở đi, số cần bớt chữ số Số chữ số cần thêm phải số chữ số cần bớt bằng:
10 + 45 = 55 (chữ số)
Vì số phải bớt chữ số nên số số lẻ có chữ số là: 55 : = 55 (số)
Ta có:
(19)* Bài tập tự luyện:
Bài 1: Để viết dãy số tự nhiên liên tiếp người ta dùng hết 756 chữ số Hỏi số hạng cuối dãy số
Bài 2: Để ghi số thứ tự học sinh trường Tiểu học, người ta phải dùng 1137 chữ số Hỏi trường có học sinh ?
Bài 3: Tính số trang sách Biết để đánh số trang sách người ta phải dùng 3897 chữ số?
(20)Dạng 7: Tìm chữ số thứ n dãy
Bài toán 1: Cho dãy số 1, 2, 3, Hỏi chữ số thứ 200 chữ số ? Giải:
Dãy số cho có số có chữ số Có 90 số có chữ số
Để viết số cần
+ 90 = 189 chữ số
Số chữ số lại
200- 189 = 11 chữ số
Số chữ số lại dùng để viết số có chữ số 100 Ta viết 11 : = số (dư chữ số)
Nên có số có chữ số viết liên tiếp đến 99 + = 102
(21)Bài toán 2: Cho dãy số 2, 4, 6, 8, Hỏi chữ số thứ 2010 dãy chữ số nào? Giải:
Dãy số cho có số có chữ số
Có (98 - 10) : + = 45 số có chữ số Có (998 - 100) : + = 450 số có chữ số Để viết số cần:
+ 45 + 450 x = 1444 chữ số
Số chữ số lại là:
2010 - 1444 = 566 chữ số
Số chữ số lại dùng để viết số có chữ số 1000 Ta viết được: 566 : = 141 số (dư chữ số)
Nên có 141 số có chữ số viết , số có chữ số thứ 141 là: (141 - 1) x + 1000 = 1280
(22)Bài tốn 3: Tìm chữ số thứ 2010 phần thập phân số thập phân phân số Giải:
Số thập phân phân số là: : = 0,14285714285
Đây số thập phân vơ hạn tuần hồn Ta thấy chữ số lập thành nhóm 142857 Với 2010 chữ số có số nhóm là:
(23)Bài tốn 4: Cho số có chữ số, dãy số tạo nên cách nhân đôi chữ số hàng đơn vị số cộng với chữ số hàng chục, ghi lại kết quả; tiếp tục với số vừa nhận (Ví dụ dãy: 59, 23, 8, 16, 13, ) Tìm số thứ 2010 dãy số thứ 14
Giải:
Ta lập dãy số sau:
14, 9, 18, 17, 15, 11, 3, 6, 12, 5, 10, 1, 2, 4, 8, 16, 13, 7, 14, 9, 18, 17, 15, Ta thấy hết 18 số dãy số lại lặp lại dãy 18 số đầu
Với 2010 số có số nhóm là:
2010 : 18 = 111 nhóm (dư12 số)
(24)* Bài tập tự luyện:
Bài 1: Cho dãy số: 2, 5, 8, 11, Hãy tìm chữ số thứ 200 dãy số đó.
Bài 2: Cho dãy số: 2, 4, 6, 8, Bạn Minh tìm chữ số thứ 2010 dãy chữ số 0, hỏi bạn tìm hay sai?
(25)Dạng 8: Tìm số hạng thứ n biết tổng dãy số
Bài toán 1: Cho dãy số: 1, 2, 3, , n Hãy tìm số n biết tổng dãy số 136 Giải:
Áp dụng cơng thức tính tổng ta có : + + + + n =136
Do đó: (1 + n ) n = 136
= 17
= 16 17
(26)Bài toán 2: Cho dãy số: 21, 22, 23, , n
Tìm n biết: 21 + 22 + 23 + + n = 4840 Giải:
Nếu cộng thêm vào tổng tổng số tự nhiên liên tiếp từ đến 20 ta có tổng sau: + + + + 21 + 22 + 23 + + n
Áp dụng cơng thức tính tổng ta có
(1 + n) n : = + + + 20 + 4840
= ( + 20) 20 : + 4840
= 210 + 4840 = 5050 ( 1+ n) n = 5050
= 10100
= 101 100
(27)* Bài tập tự luyện:
Bài 1: Cho biết: + + + + n = 345 Hãy tìm số n. Bài 2: Tìm số n biết rằng
98 + 102 + + n = 15050
(28)Dạng 9: Tính tổng dãy số
Các tốn trình bày chuyên đề phân hai dạng chính, là: Dạng thứ nhất: Dãy số với số hạng số nguyên, phân số (hoặc số thập phân) cách
(29)Dạng 1: Dãy số mà số hạng cách đều.
Xuất phát từ Toán sau:
Tính: A = + + + + 98 + 99 + 100
Ta thấy tổng A có 100 số hạng, ta chia thành 50 nhóm, nhóm có tổng 101 sau: A = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + + (50 + 51) = 101 + 101 + + 101 = 50 x 101 = 5050
Đây Toán mà lúc lên tuổi nhà Toán học Gauxơ tính nhanh tổng số Tự nhiên từ đến 100 trước ngạc nhiên thầy giáo bạn bè lớp
(30)Cách giải:
Nếu số hạng dãy số cách tổng hai số hạng cách đầu số hạng cuối dãy số Vì vậy:
Tổng số hạng dãy tổng cặp hai số hạng cách đầu số hạng đầu cuối nhân với số hạng dãy chia cho
Viết thành sơ đồ:
Tổng dãy số cách = (số đầu + số cuối) x (số số hạng : 2)
Từ sơ đồ ta suy ra:
Số đầu dãy = tổng x : số số hạng – số hạng cuối Số cuối dãy = tổng x : số số hạng – số đầu
(31)Bài 1: Tính tổng 19 số lẻ liên tiếp đầu tiên.
Giải:
19 số lẻ liên tiếp là: 1, 3, 5, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 31, 33, 35, 37
Ta thấy: + 37 = 38 ; + 33 = 38
1 + 35 = 38 ; + 31 = 38
Nếu ta xếp cặp số từ hai đầu số vào, ta cặp số có tổng số 38 Số cặp số là:
19 : = (cặp số) dư số hạng
Số hạng dư số hạng dãy số số 19 Vậy tổng 19 số lẻ liên tiếp là:
39 x + 19 = 361
Đáp số: 361.
(32)Vậy ta làm cách sau:
Ta bỏ lại số hạng số dãy số có: 19 - = 18 (số hạng) Ta thấy: + 37 = 40 ; + 33 = 40
5 + 35 = 40 ; + 31 = 40
……… ………
Khi đó, ta xếp cặp số từ đầu dãy số gồm 18 số hạng vào cặp số có tổng 40
Số cặp số là: 18 : = (cặp số) Tổng 19 số lẻ liên tiếp là:
1 + 40 x = 361
(33)Bài 2: Tính tổng số tự nhiên từ đến n.
Giải:
Ghép số: 1, 2, ……, n – 1, n thành cặp (không thứ tự) : với n, với (n – 1), với (n – 2), ……
Khi n chẵn, ta có S = n x (n + 1) : Khi n lẻ, n – chẵn ta có:
1 + + …… + (n – 1) = (n – 1) x n : Từ ta có:
S = (n – 1) x n : + n
= (n - 1) x n : + x n : = [(n – 1) x n + x n] : = (n – + 2) x n :
= n x (n + 1) :
Khi học sinh làm quen thực thành thạo hướng dẫn học sinh áp dụng cơng thức ln mà khơng cần nhóm thành cặp số có tổng
(34)Bài 3: Tính E = 10,11 + 11,12 + 12,13 + + 98,99 + 100
Lời giải
Ta đưa số hạng tổng dạng số tự nhiên cách nhân hai vế với 100, ta có:
100 x E = 1011 + 1112 + 1213 + + 9899 + 1000 Áp dụng cơng thức tính tổng ta tính tổng E = 4954,95 Hoặc giải sau:
Ta thấy: 11,12 - 10,11 = 12,13 - 11,12 = = 1,01 Vậy dãy số cách 1,01 đơn vị
(35)Bài 4: Cho dãy số: 1, 2, 3, …… 195 Tính tổng chữ số dãy?
Giải:
Ta viết lại dãy số bổ sung thêm số: 0, 196, 197, 198, 199 vào dãy: 0, 1, 2, 3, ……,
10, 11, 12, 13, ……, 19
90, 91, 92, 93, ……, 99
100, 101, 102, 103, ……, 109
Vì có 200 số dịng có 10 số, nên có 200 : 10 = 20 (dịng) Tổng chữ số hàng đơn vị dòng là:
1 + + + …… + = x 10 : = 45 Vậy tổng chữ số hàng đơn vị là:
45 x 20 = 900
(36)Ngoài dễ thấy tổng chữ số hàng trăm là: 10 x 10 = 100 Vậy tổng chữ số dãy số là:
900 + 900 + 100 = 1900 Từ suy tổng chữ số dãy ban đầu là:
1900 – (1 + + + + + + + + + + + 9) = 1830
(37)Bài 5: Tính tổng tất số thập phân có phần nguyên 9, phần thập phân có chữ số:
Giải:
Các số thập phân có phần nguyên 9, phần thập phân có chữ số là:
9,000; 9,001; 9,002; 9,003; 9,004; 9,005; 9,006; 9,007; 9,008; …… ; 9,999 tức có 1000 số
Tổng tất số dãy số là: (9,000 + 9,999) x 1000 : = 9499,5
(38)Bài 6: Phải thêm vào tổng số hạng dãy số: 2, 4, 6, 8, , 246 đơn vị để số chia hết cho 100 ?
Giải:
Đây dãy số chẵn liên tiếp hay dãy số cách đơn vị Dãy số có số số hạng là: (246 - 2) : + = 123 số hạng Tổng dãy số là: (246 + 2) x 123 : = 12252
(39)Dạng 2: Dãy số mà số hạng khơng cách đều.
Bài tốn 1: Tổng nhiều phân số có tử số mẫu số phân số liền sau gấp mẫu số phân số liền trước lần
Ví dụ:
64 32
1 16
1
(40)64 32 16 1 4 8 64 32 4 2 1 64 32 4 2
1
64 64 63 64 64 64 64 63
Bước 2: Ta thấy:
Bước 3: Vậy A =
A =
A = -
A =
(41)64 32 16 1 1 4 1 8 Cách 2:
Bước 1: Đặt A =
Bước 2: Ta thấy: 64
1 32 16 64 64 63 64 64 64
Bước 3: Vậy A =
= -
(42)486 162 54 18 5 486 162 54 18 5 162 54 18 5 15
Bài tốn 2: Tính tổng nhiều phân số có tử số mẫu số phân số liền sau gấp mẫu số phân số liền trước n lần (n > 1)
Ví dụ: B =
Cách giải:
Bước 1: Tính B x n (n = 3) B x = x
(43) 162 54 18 5 15 486 162 54 18 5 162 54 18 5 15 486 162 54 18 5 486 15 486 3645 486 3640 : 3640 Bước 2: Tính B x n - B B x - B =
-
B x (3 - 1) =
-
B x =
B x =
B x
(44)6 5 4 3 x x x
x
6 5 4 3 2 x x x x 5 6 4 5 3 4 2 3 x x x x x x x
x
6 5 4 3 6 6
Bài tốn 3: Tính tổng nhiều phân số có tử số n (n > 0); mẫu số tích thừa số có hiệu n thừa số thứ mẫu phân số liền trước thừa số thứ mẫu phân số liền sau:
Ví dụ 1: A =
Cách giải:
A =
=
=
(45)14 11 11 8 5 x x x
x
14 11 11 14 11 8 11 5 2 x x x x 14 11 11 14 11 14 11 8 11 11 5 8 2 5 x x x x x x x
x
14 11 11 8 5 1
Ví dụ 2:
(46)27 23 23 19 19 15 15 11 11 7 x x x x x
x
110 42 30 20 12 340 138 154 88 40 10
* Bài tập tự luyện: Bài 1: Tính tổng:
a) Của tất số lẻ bé 100 b) + + + 16 + …… + 169
Bài 2:
a) Tính nhanh tổng tất số có chữ số b) 1, 2, 3, 6, 12, 24, 48, 96, 192, 384
Dãy số có mười số hạng
Tổng bao nhiêu, mời bạn tính nhanh Đố em, đố chị, đố anh
Tìm phương pháp tính nhanh tài.
Bài 3: Tính nhanh: a)
b)
(47)2 + + 1024 + 2048 + 4096
= ?
Phép cộng phân số khó gì? Kê đủ số hạng uổng cơng Cách tỏ thông
Cộng nhanh đáp lại không tốn giờ Đố bạn hiền em thơ
Đố ai biết nhờ giải mau.
Bài 5: Hãy tính tổng dãy số sau: a) 1, 5, 9, 13, 17, …Biết dãy số có 80 số hạng b) , 17, 27, 44, 71, 115 Biết dãy số có số hạng
(48)42
1 , 30
1 , 20
1 , 12
1 , ,
10200
Bài 6: Tính nhanh:
a) 1,27 + 2,77 + 4,27 + 5,77 + 7,27 + … + 13,27 + 14,77
b) 0,1 + 0,2 + 0,3 + 0,4 + … + 0,9 + 0,10 + 0,11 + 0,12 + … + 0,19
Bài 7: Cho dãy số:
a)Hãy tính tổng 10 số hạng dãy số b) Số
(49)Dạng 10: Dãy chữ
Khác với dạng toán khác, toán dạng dãy chữ khơng địi hỏi học sinh phải tính tốn phức tạp Ngược lại để giải tốn dạng này, địi hỏi học sinh phải biết vận dụng sáng tạo kiến thức toán học đơn giản, hiểu biết xã hội, từ mà vận dụng dạng tốn vào đời sống hàng ngày môn học khác
Các ví dụ:
Bài tốn 1: Người ta viết liên tiếp nhóm chữ: HOCSINHGIOITINH thành dãy chữ liên tiếp: HOCSINHGIOITINHHOCSINHGIOI…… hỏi chữ thứ 2009 dãy chữ nào?
Giải:
Ta thấy nhóm chữ: HOCSINHGIOITINH gồm 15 chữ Giả sử dãy chữ có 2009 chữ có:
2009 : 15 = 133 (nhóm) cịn dư 14 chữ
(50)Bài toán 2: Một người viết liên tiếp nhóm chữ THIXAHAIDƯƠNG thành dãy THIXAHAIDƯƠNGTHIXAHAIDƯƠNG …… Hỏi:
a Chữ thứ 2002 dãy chữ gì?
b Nếu người ta đếm dãy số có 50 chữ H dãy có chữ A? Bao nhiêu chữ N?
c Bạn Hải đếm dãy có 2001 chữ A Hỏi bạn đếm hay đếm sai? Giải thích sao?
(51)Giải:
a Nhóm chữ THIXAHAIDƯƠNG có 13 chữ cái: 2002 : 13 = 154 (nhóm)
Như vậy, kế từ chữ đến chữ thứ 2002 dãy, người ta viết 154 lần nhóm THIXAHAIDƯƠNG, chữ thứ 2002 dãy chữ G tiếng DƯƠNG
b Mỗi nhóm chữ THIXA HAIDƯƠNG có chữ H có chữ A chữ N Vì vậy, người ta đếm dãy có 50 chữ H tức người viết 25 lần nhóm nên dãy phải có 50 chữ A 25 chữ N
c Bạn đếm sai, số chữ A dãy phải số chẵn d Ta nhận xét:
+ 2001 chia cho dư
+ Những chữ dãy có số thứ tự chia cho dư tơ màu XANH
(52)Bài toán 3: Bạn Hải cho viên bi vào hộp theo thứ tự là: bi xanh, bi đỏ, bi vàng lại đến bi xanh, bi đỏ, bi vàng Hỏi:
a) Viên bi thứ 100 có màu gì?
b) Muốn có 10 viên bi đỏ phải bỏ vào hộp viên bi?
Giải:
a) Ta thấy, viên bi lập thành nhóm màu: xanh, đỏ, vàng 100 viên bi có số nhóm là: 100 : = 33 nhóm (dư viên bi)
Như vậy, bạn Hải cho vào hộp 33 nhóm, cịn dư viên nhóm thứ 34 viên bi nhóm Vậy viên bi thứ 100 có màu xanh
b) Một nhóm có viên bi, muốn có 10 viên bi đỏ cần bỏ vào hộp:
(53)* Bài tập tự luyện:
Bài 1: Một người viết liên tiếp nhóm chữ: TOANNAM thành dãy: TOANNAMTOANNAMTOAN…… Hỏi:
a Chữ thứ 2010 dãy chữ gì?
b Nếu người ta đếm dãy có 50 chữ N dãy có chữ A? Bao nhiêu chữ O?
c Một người đếm dãy có 2009 chữ A, hỏi người đếm hay sai? Giải thích sao?
d Người ta tô màu chữ dãy theo thứ tự XANH, ĐỎ, TÍM, VÀNG, XANH, ĐỎ, TÍM…… hỏi chữ thứ 2009 dãy tô màu gì? Bài 2: Người ta viết chữ D, A, Y, T, O, T, H, O, C, T, O, T,…… thành dãy:
(54)Bài 3: Bạn Dương viết liên tiếp nhóm chữ DIENBIENPHU thành dãy: DIENBIENPHUDIENBIENPHU Hỏi:
a) Chữ thứ 1954 chữ gì?
b) Nếu dãy viết có 2010 chữ E có chữ H?
Bài 4: Một người viết liên tiếp nhóm chữ TOQUOCVIETNAM thành dãy TOQUOCVIETNAM TOQUOCVIETNAM … Hỏi:
a) Chữ thứ 1975 dãy chữ gì?
b) Người ta đếm dãy có 50 chữ T dãy có chữ O? Bao nhiêu chữ I?
c) Bạn An đếm dãy có 1945 chữ O Hỏi bạn đếm hay sai? Vì sao?
(55)Trong tốn dãy số thường người ta khơng cho biết dãy số (vì dãy số có nhiều số khơng thể viết hết được) vậy, phải tìm quy luật dãy (mà có nhiều quy luật khác nhau) tìm số mà dãy số khơng cho biết Đó quy luật dãy số cách đều, dãy số không cách dựa vào dấu hiệu chia hết để tìm quy luật
Ở dạng 2: Muốn kiểm tra số A có thoả mãn quy luật dãy cho hay không? Ta cần xem dãy số cho trước số cần xác định có tính chất hay khơng? (Có chia hết cho số có số dư) số thuộc dãy cho
Ở dạng 4: Học sinh phải tự tìm cơng thức tổng qt, vận dụng cách thành thạo biết biến đổi cơng thức để làm tốn khác
Ở dạng 9: Có u cầu:
+ Tìm tổng số hạng dãy + Tính nhanh tổng
Khi giải: Sau tìm quy luật dãy, ta xếp số theo cặp cho có tổng nhau, sau tìm số cặp tìm tổng số hạng dãy Chú ý: Khi tìm số cặp số mà cịn dư số hạng tìm tổng ta phải cộng số dư vào