Chuyên đề: Hệ phơng trình I- Lí thuyết. Hệ pt tổng quát: 1. Các phơng pháp giải: + Cộng đại số. + Thế. + Đặt ẩn phụ. + Hình học. 2. Điều kiện để hệ pt có nghiệm duy nhất, vô nghiệm, vô số nghiệm: + Có nghiệm duy nhất: + Vô nghiệm: + Vô số nghiệm: II- Bài tập. A - Hệ hai phơng trình bậc nhất hai ẩn: Dạng 1: Giải hệ phơng trình cơ bản và đa đợc về dạng cơ bản Bài 1: Giải các hệ phơng trình = = = =+ =+ =+ =+ =+ = = =+ = 1815y10x 96y4x 6) ; 142y3x 35y2x 5) ; 142y5x 024y3x 4) 106y4x 53y2x 3) ; 53y6x 32y4x 2) ; 5y2x 42y3x 1) Bài 2: Giải các hệ phơng trình sau: =+ =+ ''' cybxa cbyax '' b b a a ''' c c b b a a = ''' c c b b a a == ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = + + −= + + − =+ + − + =+ −+=−+ +−=+ =−+ =−+ 5 6y5x 103y-6x 8 3yx 2-5y7x 4) ; 7 5x6y y 3 1x 2x 4 27y 5 3 5x-2y 3) ; 121x3y33y1x 543y4x42y3-2x 2) ; 4xy5y54x 6xy32y23x 1) D¹ng 2: Gi¶i hÖ b»ng ph¬ng ph¸p ®Æt Èn phô Gi¶i c¸c hÖ ph¬ng tr×nh sau ( ) ( ) =++++ =+ =++ =++ = + = + + + = + + = + + = + + = + + + 13.44yy548x4x2 72y31x5 5) ; 071y22xx3 01y2xx2 4) ; 4 2y 5 1x 2 7 2y 3y 1x 1x 3) ; 9 4y 5 1x 2x 4 4y 2 1x 3x 2) ; 1 2xy 3 2yx 4 3 2xy 1 2yx 2 1) 22 2 2 Dạng 3: Xác định giá trị của tham số để hệ có nghiệm thoả mãn điều kiện cho trớc Bài 1: a) Định m và n để hệ phơng trình sau có nghiệm là (2 ; - 1). ( ) ( ) =++ =+ 32m3nyx2m nmy1n2mx b) Định a và b biết phơng trình: ax 2 - 2bx + 3 = 0 có hai nghiệm là x = 1 và x = -2. Bài 2: Định m để 3 đờng thẳng sau đồng quy: a) 2x y = m ; x = y = 2m ; mx (m 1)y = 2m 1 b) mx + y = m 2 + 1 ; (m + 2)x (3m + 5)y = m 5 ; (2 - m)x 2y = - m 2 + 2m 2. Bài 3: Cho hệ phơng trình số) thamlà (m 4myx m104ymx =+ =+ a) Giải hệ phơng trình khi m = 2 . b) Giải và biện luận hệ theo m. c) Xác định các giá tri nguyên của m để hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) sao cho x > 0, y > 0. d) Với giá trị nguyên nào của m thì hệ có nghiệm (x ; y) với x, y là các số nguyên dơng. e) Định m để hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) sao cho S = x 2 y 2 đạt giá trị nhỏ nhất. (câu hỏi tơng tự với S = xy). f) Chứng minh rằng khi hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) thì điểm M(x ; y) luôn nằm trên một đờng thẳng cố định khi m nhận các giá trị khác nhau. Bài 4: Cho hệ phơng trình: ( ) += = 5my2x 13mmyx1m a) Giải và biện luận hệ theo m. b) Với các giá trị nguyên nào của m thì hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) sao cho x > 0, y < 0. c) Định m để hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) mà P = x 2 + y 2 đạt giá trị nhỏ nhất. d) Xác định m để hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) thoả mãn x 2 + 2y = 0. (Hoặc: sao cho M (x ; y) nằm trên parabol y = - 0,5x 2 ). e) Chứng minh rằng khi hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) thì điểm D(x ; y) luôn luôn nằm trên một đờng thẳng cố định khi m nhận các giá trị khác nhau. Bài 5: Cho hệ phơng trình: = =+ 12ymx 2myx a) Giải hệ phơng trình trên khi m = 2. b) Tìm các số nguyên m để hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) mà x > 0 và y < 0. c) Tìm các số nguyên m để hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) mà x, y là các số nguyên. d) Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) mà S = x y đạt giá trị lớn nhất. B - Một số hệ bậc hai đơn giản: Dạng 1: Hệ đối xứng loại I Ví dụ: Giải hệ phơng trình ( ) =+++ =++ 28yx3yx 11xyyx 22 Bài tập tơng tự: Giải các hệ phơng trình sau: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 xy x y 19 x y x y 8 x 3xy y 1 x xy y 4 1) 2) 3) 4) x xy y 2 x y xy 84 x y xy 7 3x xy 3y 13 x 1 y 1 8 x 5) 6) x x 1 y y 1 xy 17 + + = + + + = + = + + = + + = + = + + = + = + + = + + + + + = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 y 1 10 x xy y 2 3 2 7) x y 6 x y xy 1 3 x y x y 6 x y y x 30 x xy y 19 x y 8) 9) 10) 5 x y 5xy x xy y 7 x y x x y y 35 + = + + = + + = + = = + = + + = + = + = + = Dạng 2: Hệ đối xứng loại II Ví dụ: Giải hệ phơng trình =+ =+ x21y 2y1x 3 3 Bài tập tơng tự: Giải các hệ phơng trình sau: 2 2 2 3 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 x 1 3y x y 2 y x 2x y x xy y 1 1) 2) 3) 4) y 1 3x xy 2 x y 2y x x xy y 1 y x 3y 4 x 2y 2x y x 5) 6) x y 2x 2y x y 3x 4 y + = + = = + + + = + = + = = + + + = = = + = + = 3 3 1 3 2x x 3x 8y y x 7) 8) 1 3 y 3y 8x 2y x y + = = + = + + = += += = = 3x7yy 3y7xx 10) x3yy y3xx 9) 3 3 2 2 Dạng 3: Hệ bậc hai giải bằng phơng pháp thế hoặc cộng đại số Giải các hệ phơng trình sau: ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 1 0 12 2 4 4 1) 2) 3) 3 0 8 2 5 4 2 2 11 0 2 3 4) 5) 4 x y x xy y xy x x x xy xy x y x xy y x x y xy x y x y xy y x + = = + = + + = + = + = + + = + + + = ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 5 0 5 3 8 6) 5 0 2 3 12 2 2 0 2 1 0 7) 8) 9) 2 0 2 0 2 2 2 0 x y x y x y x y x y x y xy x y y x x y x y xy y = + = = + = + = + = = = + = + = ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 3x 2y 36 2x 3y 5 xy 2x y 2 0 10) 11) 12) x 2 y 3 18 xy 3x 2y 0 x y 40 xy x y 1 x y 4x 4y 8 0 13) 14) xy 3x y 5 x y 4x 4y 8 0 + = = + = = + = = + = + = + = + + + = ( ) ( ) ( ) ( ) x x 8 3y y 1 6 15) 2x x 8 5y y 1 14 + + = + + = 1. Xác định a, b để hệ pt sau: a) có nghiệm x=1, y=-2 b) có nghiệm x=3, y=2 2. Cho hệ pt: Tìm m, n để hệ có nghiệm (x; y) = (3; 2) 3. xđ a, b để pt x 2 ax + b = 0 có 2 nghiệm: a) x 1 = 1; x 2 = 3 b) x 1 = -3; x 2 = 2 4. Tìm m để 3 đờng thẳng sau đồng quy: (d 1 ): 2x - 3y = 8; (d 2 ): 7x - 5y = -5; (d 3 ): y = (2m + 3,2)x + 5m 5. Tìm m để hệ pt sau có nghiệm: 6. Cho hệ pt: = =+ 5 42 aybx byx = =+ 3 13 ayx byax =+ = 643 1 mynx nymx no vo---------* no so vo-----------* nhatduy no co he de m tim* 2 52 =+ =+ myx ymx =+ =+ =+ 672 072 073 2 mymx yx yx 7. Cho hệ pt: a) Giải hệ khi m =1 b) Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất 8. Cho hệ pt: a) Giải hệ khi a=2 b) Tìm a để hệ có nghiệm duy nhất 9. Cho hệ phơng trình. a) Giải hệ khi m = 1 b) Tìm m nguyên để hệ có nghiệm duy nhất x, y là các số nguyên. 10. Cho hệ phơng trình. a. Giải hệ khi m = 2 b. Tìm m nguyên để hệ có nghiệm duy nhất x, y mà x > 0, y < 0 11. Cho hệ phơng trình. a. Giải hệ khi m = 1 b. Tìm m nguyên để hệ có nghiệm duy nhất x, y mà x > 0, y < 0 12. Cho hệ phơng trình. a. Giải hệ khi m = 1 b. Tìm m nguyên để hệ có nghiệm duy nhất x, y thoả mãn hệ thức: 13. Cho hệ phơng trình. a. Giải hệ khi m = 2 b. Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất x, y thoả mãn hệ thức: 3x 2y = 0. 14. Cho hệ phơng trình. a. Giải hệ khi m = 3 b. Tìm m sao cho hệ pt có nghiệm (x,y) thỏa mãn x = y 15. Cho hệ pt: a) Giải hệ khi m =2 b) Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất thỏa mãn: x - y = 1 16. Cho hệ pt: a) Giải hệ khi m =1 b) Tìm mZ để hệ có nghiệm (x; y) thoả mãn: x < 0, y > 0. 17. Cho hệ pt: a) Giải hệ khi m = 2 b) Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất thỏa mãn: 3(3x + y -7) = m 18. Cho hệ pt: a) Giải hệ khi m =-1 b) Gọi nghiệm của hệ pt là (x;y). Tìm m để E = x 2 + y 2 đạt giá trị nhỏ nhất. =+ =+ 12 12 ymx myx = =+ 12 2 ymx myx = =+ 523 2 yx myx =+ = 53 2 myx ymx 3 1 2 2 + =+ m m yx =+ = myx ymx 1 = =+ 523 yx myx +=+ = 12 2 myx mymx =+ = 43 32 ymx myx += = 64 2 mymx mmyx = = 334 32 1 yx ymx =+ =+ 2 1 yax ayx +=+ = )2(32 32 myx myx . m104ymx =+ =+ a) Giải hệ phơng trình khi m = 2 . b) Giải và biện luận hệ theo m. c) Xác định các giá tri nguyên của m để hệ có nghiệm duy nhất (x ; y). 4: Cho hệ phơng trình: ( ) += = 5my2x 13mmyx1m a) Giải và biện luận hệ theo m. b) Với các giá trị nguyên nào của m thì hệ có nghiệm duy nhất (x ; y)