Daïng toaùn naøy laø moät trong nhöõng daïng toaùn khoù trong boä moân Toaùn Soá , nhöõng phaàn maø toâi neâu ra döôùi ñaây chæ laø nhöõng daïng cô baûn nhaát.. Tuy nhieân, ñeå hieåu ñöô[r]
(1)Phương trình với nghiệm nguyên
Dạng tốn dạng tốn khó mơn Tốn Số , phần mà tơi nêu dưới đây dạng Tuy nhiên, để hiểu trước hết cần nắm Lý thuyết số Dạng
Phương trình ẩn - hệ số nguyên
Dạng tổng quaùt : anxn + an - 1xn - 1 + + a1x + ao = (1) Cách giải : vận dụng tính chất sau
Nếu x = b nghiệm phương trình (1) b ước ao
Nếu an = nghiệm hữu tỉ có (1) số nguyên
Qui tắc tìm nghiệm :
Tìm ước ao
Thử ước ao vào vế trái (1) Phương trình bậc hai ẩn ( Phương trình Diophante - Giải tíchDiophante)
{Diophante - Người nghiên cứu có hệ thống Phương trình vơ định , sống kỷ thứ III.Tập sách “Số học “ ông có ảnh hưởng lớn đến phát triển Lý thuyết Số}
Dạng tổng quát : ax + by = c (2)
Cách giải : vận dụng tính chất sau
Giả sử a, b, c Z ; a, b d = (a , b) Khi :
Phương trình (2) có nghiệm dƯ( c )
Nếu (xo , yo) nghiệm ax + by = với (a , b) = (cxo , cyo) nghiệm phương trình (2)
Nếu (xo , yo) nghiệm nguyên của (2) với (a , b) = nghiệm nguyên của xác định hệ thức :
x = xo + bt
y = yo - at ; với tZ
Thaät , (xo , yo) nghiệm nguyên cuûa (2) axo + byo = axo + byo = ax + by x = axoby by
a
o = xo + b y y
a
o
( )
{ (a , b) = y y
a t
o
Z y = yo - at } Phương trình vô định dạng x2 + y2 = z2( Phương trình Pithago )
Cách giải :
Phương trình vơ định dạng x2 + y2 = z2 có vơ số nghiệm nguyên xác định công thức
( Định lý tìm nghiệm biết từ Euclide ) :
x = u.v ;y =u2 2 v2 ;z = u2 2v2 với u , vZ ; u , v lẻ ; u > v ; (u, v) = 1 Ví dụ
* Khi u = ; v = x = ; y = ; z = 5 * Khi u = ; v = x = 15 ; y = ; z = 17
Phương trình vô định dạng x2 - Py2= (Phương trình Pell )( PZ+ , không số phương )
{ Đây dạng phương trình Diophante bậc 2, xuất phát từ toán Archimède đặt ra, tốn có ẩn số thỏa mãn phương trình, đưa đến việc tìm nghiệm nguyên phương trình : x2 -4729494y2 = (1) Năm 1880 người ta tìm nghiệm nguyên dương nhỏ (1) với x số có 45 chữ số , y có 38 chữ số }
Cách giải :
(2) Giả sử xo , yo số nguyên dương nghiệm phương trình Pell, cặp số (xo , -yo) ; (-xo , yo) ; (-xo , yo) nghiệm Do để tìm nghiệm khơng tầm thường phương trình Pell, ta cần tìm nghiệm nguyên dương phương trình Tất nghiệm ngun dương (xk ; yk ) phương trình xác định từ đẳng thức :
vớiù k = 1, 2, 3, (x1 , y1) nghiệm nguyên dương nhỏ
Với P nhỏ , việc tìm (x1 , y1) khơng khó khăn - việc thử y = 1, 2, 3, 4, để tìm x2 = Py2 + số phương
Tại P số ngun dương khơng phương ? Ta xét phương trình tổng qt hơn, phương trình : x2 - Py2 = (*) P số nguyên dương cho trước
Vì x, y có mặt vế trái (*) dạng bình phương nên ta hạn chế việc tìm nghiệm ngun khơng âm
Hiển nhiên x = ; y = nghiệm - gọi nghiệm tầm thường (*) Ta cịn phải tìm nghiệm khơng tầm thường (x, y > 0)
Nếu phương trình P số phương P = k2 (k
Z+) (*) có nghiệm tầm thường,
thật (*) có dạng x2 - (ky)2 = ý hiệu hai số phương hai số phương x2 = ; (ky)2 = x = ; y =
Như : Điều kiện cần để phương trình (*) có nghiệm khơng tầm thường P khơng phải
là số phương
@Để tìm thú vị nghiên cứu phương trình nghiệm nguyên , mời Bạn nghiên cứu kỹ dãy các minh họa sau:
Minh họa
Tìm nghiệm nguyên x2 - 5x + = 0
Nghiệm nguyên có phải ước 6, bao gồm số : ; ; ;
Đặt f( x ) = x2 - 5x +
f( ) = f( ) = Phương trình có nghiệm nguyên x = ; Tìm nghiệm hữu tỉ 3x2 - 5x + = (1)
Ta coù (1) 9x2 - 5.3x - = ; đặt 3x = t t2 - 5t - = (2)
Nghiệm nguyên có (2) phải ước ; dễ thấy (2) có hai nghiệm t = -1 , t = Khi t = -1 3x = -1 x = -1
3 Khi t = 3x = x = {Phương pháp đặt liên tiếp ẩn phụ }
Tìm nghiệm nguyên phương trình 8x + 11y = 73
Vì (8 , 11) = nên phương trình có nghiệm nguyên 8x = 73 - 11y x = - y + 1 y
8
Đặt 1 y
8 = t Z Ta coù : 3y + 8t = 3y = - 8t y = -3t + + t
3
Đặt + t
3 = u Z Ta coù : t = 3u -
Vậy : x = - y + t ; y = -3t + u ; t = 3u - x = 11u + ; y = -8u + với u Z Tìm nghiệm nguyên dương , nhỏ ( x , y ) phương trình 17x - 29y = 100 (1)
Vì (17 , 29) = phương trình có nghiệm nguyên
(1) x = + 2y - y
1
Đặt y
1
= t Z y = 3t + t -
5 ;đặt t -
5 = uZ t = 5u +
Vaäy : x = 29u + 11 ; y = 17u +
Vì x , y > 29u + 11 > vaø 17u + > u > -3
1 vaø uZu = , , ,
Nghiệm nguyên dương nhỏ x = 11 ; y = u = {Sử dụng tính chia hết đa thức }
Tìm nghiệm nguyên dương phương trình : zx x xy +1
2 2
(3)Neáu + 2y - x = yz = x - neân yz = 2y z = ; y = t N* ; x = + 2t
Neáu + 2y - x xy + 2y x(y + 1) hay x y + 12y 2 y212 x = ; y = ; z = 2 6) Tìm nghiệm (x , y) nguyên phương trình : y2 = x5 + 2x4 - 3x3 - 4x2 + 4x
Ta coù y2 = x.(x - 1)2(x + 2)2
x = t2 với t Z y = t.(t2 - 1)(t2 + 2) x = -2 y = 0
Với x nguyên dương, chứng minh đa thức sau chia hết cho đa thức x2 + x + 1 x11 + x28 + x1953 x7 + x11 + x1995
Ta coù x3 = x3 + x2 + x - x2 - x - + = (x2 + x + 1)(x - 1) +
(mod x2 + x + ) với k N : x3k 1k ; x3k + 1 x ; x3k + 2 x2 (mod x2 + x + )
với số a, b, c chia cho cho số dư khác đơi xa + xb + xc (mod x2 + x + )
{ Tương tự : Chứng minh x7 + x11 + x1995 chia hết cho đa thức x2 - x + } Cho p số nguyên tố , giải phương trình yx px
x
-2 1
1 tập Z Ta có y = x + + p + x-1p x - = ; p
Tồn hay không nghiệm nguyên phương trình : 2x - 3y = - 5xy + 39 Ta coù 2x - 3y = - 5xy + 39 2x = y.(3 - 5x) + 39 y = 23 5x 39x
Để y nguyên điều kiện cần ( chưa đk đủ ) 2x - 393 - 5x (2x - 39)2 (3 - 5x)2 (2x - 39)2 - (3 - 5x)2 ( -3x - 36)(7x - 42) -12 x
Tìm ngiệm nguyên phương trình 5x - 3y = 2xy - 11
Ta có y = 52xx113 để y Z , ta cần có 5x + 112x + 3 (5x + 11)2 (2x + 3)2 x x
8; Nhöng y =
5
2
x
x y nguyên x = -5 (x , y) = (-5 , 2) nghiệm Với x -5, ta thấy đkc để y nguyên x + 52x+ 3 3
8 x 2 x = -2 ; -1 ; ; ;
Chứng minh phương trình : 4x2 + 231y2 = 1613 vơ nghiệm tập số ngun
Đặt X = x2
; Y = y2 4X + 231Y = 1613 X = 1613 231Y 58Y Y
4
4 403
+ Y = 4t ( tZ ) Y = 4t - ; X = 403 - 58(4t - 1) + t = 461 - 231t
Ta thaáy Y t
4 ; X t 461
231 < để X , Y khơng âm t =
Nhưng t = Y = = y2
y Z ñpcm ! Tìm nghiệm nguyên phương trình : x2 - 81y2 = 1
Ta có y = x = Ta tìm nghiệm nguyên dương để suy nghiệm còm lại
Phương trình cho viết lại thành = (x + 9y)(x - 9y)
Do x , y > neân x + 9y > x - 9y > x + 9y = ; x - 9y = x =
2 ; y = : giá trị không
thỏa
phương trình cho có nghiệm : (x , y) = (1 , 0) ; (-1 , 0) Tổng quát :
Phương trình x2 - k2y2 = với k
N có nghiệm tầm thường x = 1 ; y = 0 Tìm nghiệm nguyên phương trình x2 + 3y2 = 6xy - (1)
(1) viết lại sau : x2 - 6xy + 3y2 + = 0
Để phương trình có nghiệm x nguyên điều kiện cần đủ (do hệ số x2 1)
= 6y2 - = m2 :
là số phương Rõ ràng m2 bội
m bội xem m = 6t với t Z y2 - 6t2 = : Phương trìnhPell
Nghiệm tầm thường (y , t) = (1 , 0) ; (-1 , 0) nghiệm nguyên dương nhỏ y1 = ; t1 =
(4)Xem (1) phương trình bậc II theo x : 3x2 - 30xy + 48y2 - 1003 = 0 ‘ = 81y2 + 3009 = k2 : số phương để có x nguyên ( kZ+) k2 - 81y2 = 3009 (k + 9y)(k - 9y) = 3.17.59 Vì k + 9y > k - 9y Xảy khả sau đây :
k y k y
9 1 9 3009
k y k y
9 3 9 1003 k y
k y
9 17 9 177
k y k y
9 51 9 59
Trong trường hợp ta thấy y không ngun Bài tốn vơ nghiệm !
{ Chú ý , dễ dàng kết luận tốn vơ nghiệm 1003 khơng chia hết cho 3 } Tìm nghiệm nguyên phương trình sau : 9x2 - 15xy + 4y2 + 38 = (1)
Xem (1) phương trình có ẩn x tham số y
Để x nguyên , điều kiện cần = 81y2 - 1368 = k2 : chính phương (k 0) (2)
Nhận thấy 81y2 - k2 = 1368 chứa lũy thừa bậc chẵn nên việc tìm nghiệm nguyên dương suy nghiện cịn lại Từ (2) viết lại : (9y + k)(9y - k) = 23.32.19 Vì y, k >
9y + k
> 9y - k > (9y + k) + (9y - k) = 18y Ta xét trường hợp tổng hai số bội 18 x = 15
18
15 51 18 y k
nghiệm laø (x , y) = (3 , 7) ; (-3 , -7)
9 228
9 6 13 111
y k
y k y k
;
x = 15 13 111
18 17
nghiệm (x , y) = (17 , 13) ; (-17 , -13) Tìm nghiệm nguyên phương trình : 2x2 + 3y2 - 5xy + 3x - 2y - = (1)
Xem phương trình bậc II x Khi (1) 2x2 + (3 - 5y)x + 3y2 - 2y - =
Để có x ngun điều kiện cần = y2 - 14y + 33 = k2 ( k ngun khơng âm) (2)
Xem (2) phương trình bậc II y { (2) y2 - 14y + 33 - k2 = } ‘(2) = 16 + k2 = m2
( m Z+)
Vì m > k ; 16 = (m + k)(m - k) mà m + k > m - k > Để ý (m + k) + (m - k) = 2m nên
chúng đồng thời chẵn hay lẻ Ta có bảng :
m k 8 m k 2
m = ; k =
( x , y ) = (15 , 12) ; (1 , 2)
m k m k
4 4
( x , y ) = (13 , 11) ; (3 , 3) ( Sử dụng tính chất số nguyên tố )
Tìm số nguyên tố khác biết tích số gấp lần tổng chúng
Gọi số nguyên tố a , b , c abc = 3( a + b + c ) abc 3 có số chia hết cho 3, giả
sử số a 3 Vì a nguyên tố nên a = b + c = + b + c b( c - ) = + c b c
c
= +
c - 14
Từ tính c = b = ; c = b =
Tìm nghiệm nguyên phương trình : x53 + y53 = 53z (1)
(5)Khi (1) 53z = (x53 - x) + (y53 - y) + (x + y) có nghiệm x + y = 53t ( t Z ) Nghiệm toán : x = u (u Z) ; y = 53t - u ; z = u (53t u)
53 53
53
Giải phương trình + p + p2 + p3 + p4 = x2 (1) ( p nguyên tố , x nguyên ) Ta có (1) 4x2 = + 4p + 4p2 + 4p3 + 4p4 (2)
Mặt khác : (2x)2 = 4x2 > 4p4 + 4p3 + p2 = ( 2p2 + p)2 vaø (2x)2 = 4x2 < 4p4 + p2 + + 4p3 + 8p2 + 4p = ( 2p2 + p + 2)2
(2x)2 = ( 2p2 + p + 1)2 (3) Từ (2) & (3) p2 - 2p - = p = -1 (loại) p =
Với p = x = 121 nghiệm phương trình ( p , x ) = ( , 11 ) ; ( , -11)
Có hay khơng số nguyên tố x , y , z thỏa mãn phương trình : x2 + y3 = z4 (1) ( Vô địch LX lần thứ 14 - 1980 )
Từ (1) , ta thấy số x, y, z khơng lẻ có số
Nếu z = x2 + y3 = 16
y < x2 = (vô lyù !)
Nếu y = = (z2 + x)(z2 - x) , maø z2 + x >
z2 - x > vaø (z2 + x) + (z2 - x) = 2z2 phân tích
= 2.4 , + = 2z2
z khơng ngun (loại)
Nếu x = y3 = (z2 + 2)(z2 - 2) vaø do(z2 + 2) - (z2 - 2) =
y = z2 - = 1(loại) x = y
= z chẵn z = : không nghiệm phương trình Bài tốn vơ nghiệm ! Tìm hai số x, y nguyên số nguyên tố p cho : x4 + 4y4 = p (1)
Ta thấy để p nguyên tố x hay y ; (1) chứa lũy thừa bậc chẵn x, y nên trước hết
ta xét x, y nguyên dương Ta có p = (x2 + 2y2)2 - 4x2y2 = [(x - y)2 + y2][(x + y)2 + y2] Vì (x + y)2 + y2 >
(x - y)2 + y2 = x = y = ; z = có nghiệm !
Tìm nghiệm nguyên phương trình : + x + x2 + x3 = y3 ( Thi Toàn quốc lớp - 1982 )
Nhận thấy : + x + x2 = (x + 1
2 )
2 + 3
4 > y
3 > x3
y > x y x +
Neáu y = x + + x + x2 + x3 = (x + 1)3
2x (x + 1) = (x , y) = (0 , 1) ; (-1 , 0)
Neáu y > x + 2x2 + 2x <
-1 < x < : loại !
Tìm nghiệm nguyên phương trình : x2 = y(y + 1)(y + 2)(y + 3)
Đặt a = y2 + 3y
x2 = (y2 + 3y)( y2 + 3y + 2) = a2 + 2a
Nếu a > a2 < x2 = a2 + 2a < a2 + 2a + = (a + 1)2
x2 : không phương ( Vô lý ! )
Vậy a y2 + 3y -3 y (x , y) = (0 , 0) ; (0 , -1) ; (0 , -2) ; (0 , -3) Tìm số (x , y , u , v) nguyên thỏa mãn đẳng thức :
1 x
1 y
1 u
1 v
2 1(1)
Deã thấy : x12 ;y12 ;u12 ;v12
4 Vế trái (1)
Vậy dấu ‘=‘ xảy x=y=u=v= x , y , u , v nhận giá trị tùy ý hoặc -2 Tìm nghiệm nguyên phương trình : 12x2 - 3x - 2= 5y - 8x - 2x2(1)
Từ (1) 5y
11x - 1 2 x 2 4x 5x x 1
2;x 2
2
khi
Xeùt x = 0, 1, 5y = 2, 13, 24 y không nguyên
Xét 5y = 4x2 + 5x -
4x2 - 4x2 - 2 2x2 (mod 10) x Z Bài tốn vơ nghiệm !
Tìm nghiệm nguyên phương trình : x3 = y3 + 2y2 + 3y + (1)
Từ (1) x3 + y2 = (y + 1)3 x y + Vì x3 - y3 = 2y2 + 3y + với y nguyên x y x = y x = y + nghiệm phương trình : ( x , y ) = (-1 , -1) ; (1 , )
(6)Ta có : (1) (4x - 1)(4y - 1) = 4z2 + Gọi p ước nguyên tố 4x - (hiển nhiên p
là ước 4z2 + 1)
4z2 -1 (mod p) (2z)p - 1 (mod p) {định lý nhỏ Fermat }
(4z )2 p 12 ( 1)p 12
(mod p)
Từ : ( 1)
p
(mod p) p - = 4k (kZ+) p = 4k + Vậy ước nguyên tố 4x
-1 có dạng 4k + -1 4x - có dạng 4k + hay 4x - = 4k + 4(x - k) = ( vô lý ! ) Vno !
Tìm nghiệm x , y nguyên dương phương trình : y2 = x2 + 12x + 1995 (1)
Từ phương trình (1), ta có y2 = (x + 6)2 + 1959
1959 y 45
Mặt khác -1959 = (x + 6)2 - y2 = (x + y + 6)(x - y + 6) với x + y +
52 1959 = 653 x + y + = 653 ; x - y + = -3 hoặc x + y + = 1959 ; x + - y = -1
nghiệm phương trình : ( x , y ) = ( 319 , 328) ; (937 , 944)
Tìm số tự nhiên n cho : k2 = n2 + 6n + 1989 (1) số phương
Từ (1) k 45 (n + k + 3)(n - k + 3) = -22.32.5.11
Mặt khác n + k + > n - k + vaø (n + k + 3) + (n - k + 3) số chẵn (n + k + , n - k + 3) =
(990 , -2) ; (330 , -6) ; (198 , -10) ; (110 , -18) ; (90 , -22) ; (66 , -30)
n { 491 , 159 , 91 , 43 , 31 , 15 } Giải phương trình tập Z :
xy.(y + 4) = 4.(289y - x) (1) Nếu x = y =
Nếu y (1) xy (y + 2)2 = 1156 = 22.172 x y (y + 2)2 ước phương 1156 (y + 2)2 = , , 172 có 6 nghiệm !
4x + = y3 + 8y (2)
Ta coù (2) 4(x - 2y) = y3 -
{ x - 2y nguyeân y - = 4t , tZ} y = 4t + 1
vaø x = 16t3 + 12t2 + 11t + ; t
Z
Giải phương trình nghiệm nguyên sau : x2 + y2 + z2 = x2y2(1)
{ Theo mod 4, neáu x2
y2 x2 y2 x2 + y2 + z2 z2 ( vô lý ! ) } x, y số lẻ x chẵn y chẵn x2 y2 x2 + y2 + z2 x = 2x1 ; y = 2y1 ; z = 2z1 x12 + y12 + z12 = 4x12y12 (2)
Như vậy, (x, y, z) nghiệm (1) x1 ; y1 ; z1 nghiệm (2) Tiếp tục vậy, ta coù :
x x
2 ( x4); y y
2 ( y4); z z
2 ( z4)
2 2 2 nghiệm x22 + y22 + z22 = 16x22y22 (2) Q trình tiếp tục số x
2 ; y 2 ;
z 2
k k k chẵn với k (x, y, z) (0, 0, 0)
Giải phương trình nghiệm nguyên sau :
x6 + 3x3 + = y4
Nếu x > (x3 + 1)2 < x6 + 3x3 + = y4 < x6 + 4x3 + = ( x3 + 2)2
y2 : (x3 + 1)2 <y2< ( x3 +2)2 y4 !
Neáu x - 2thì ( x3 + 2)2 < x6 + 3x3 + = y4 < x6 + 2x3
+ = (x3 + 1)2 : vô lý ! Nếu x = -1 y4 = -1 ( loại )
Vaäy x = ; y = : hai nghiệm !
(x + 2)4 - x4 = y3(1)
Ta có (1) y3 = 8(x3 + 3x2 + 4x + 2) = (2z)2 với z2 =
x3 + 3x2 + 4x + 2
với x (x + 1)3 < z3 < (x + 2)3 x + < z < x + vô lý !
với x -2 đặt x1 = -x -2 , y1 = -y x1 y1 thỏa mãn(x1 + 2)4 - x14 = x4 - (x + 2)4 = -y3 : điều khơng thể có với x1
Vậy -2 < x < x = -1 ; y = : nghiệm nhất ! 33) { Sử dụng Phương pháp xuống thang }
Chứng minh phương trình sau khơng có nghiệm ngun : 8x4 + 4y4 + 2z4 = t4(1)
Giả sử (1) có nguyệm nguyên (x, y, z, t) với x giá trị nhỏ giá trị có Từ (1), ta nhận thấy t chẵn - xem t = 2t1 ; vào (1) chia cho ta có :4x4 + 2y4 + z4 = 8t14(2) z chẵn - xem z = 2z1 ; thay vào (2) 2x4 + y4 + 8z14 = t14
(7)34) Tìm điều kiện cần đủ cho số k để phương trình : x2 - y2 = k có nghiệm ngun
x2 - y2 = k có nghim nguyeđn k 4t + (*) (soẩ dư sô phương phép chia cho 4) k 4t + :
k chaün
{ (*) k = 4m } x = m + ; y = m - nghiệm phương trình
k leû { (*)
k = 2n + } x = n + ; y = n nghiệm phương trình
Vậy : Phương trình x2 - y2 = k có nghiệm nguyên
k 4t + ( tZ )
35) Chứng minh phương trình x2 + y2 + z2 + t2 = 2xyzt (1) khơng có nghiệm ngun (khác tầm thường )
Giả sử phương trình có nghiệm ngun (x, y, z, t) Vì x2 + y2 + z2 + t2chẵn
số x,
y, z, t có số chẵn số lẻ ( hoặc hoặc hoặc ) Nếu tất lẻ x2 + y2 + z2 + t2
2xyzt khoâng chia hết cho
Nếu có hai số lẻ x2 + y2 + z2 + t2 không chia heát cho 2xyzt
Vậy x, y, z, t chẵn xem x = 2x1, y = 2y1, z = 2z1, t = 2t1 ; thay vào phương trình cho ta : x12 + y12 + z12 + t12 = 8x1y1z1t1 Lập luận tương tự cho phương trình này, ta nghiệm phải chẵn
x1 = 2x2 , y1 = 2y2 , z1 = 2z2 , t1 = 2t2ta được : x22 + y22 + z22 + t22 = 32.x2y2z2t2
Một cách tổng quát, xuất phát từ nghiệm (x, y, z, t) phương pháp “xuống thang” ta đến phương trình : xs2 + ys2 + zs2 + ts2 = 22s + 1.xsyszsts trong đó : [x , y , z , t]k = 2[x , y , z , t]k + ( k
) với số tự nhiên s : x
2 ; y 2 ;
z 2 ;
t 2
s s s s số nguyên - điều khơng thể có x,y,z,t
nguyên
35) Giải phương trình nghiệm nguyên sau : x14 + x24 + x34 + + x144 = 1599
Chú ý , với n = 2k n 4 = 16k4 16 với n = 2k + n4 - = (n2 - 1)(n2 + 1) 16
Như chia x14 + x24 + x34 + + x144cho 16 số dư có số số lẻ số
xi , tức không vượt 14 ; 1599 = 1600 - chia cho 16 có số dư -1 hay 15 Phương
trình vô nghiệm !
36) Tìm số x để A = 8x2 + 8x + số phương
Đặt A = y2 ( y
Z) Tìm nghiệm nguyên phương trình 8x2 + 8x + - y2 = 0
Điều kiện cần để có x nguyên ‘ = + 8y2 = k2 số phương k2 k - xem k
= 4t (tZ)
+ 8y2 = 16t2 y2 - 2t2 = -1 : phương trình đối Pell (Pt đốiPellkhơng có nghiệm tầm thường)
Vì x = 4 k
8
4 4t
1 t
2 nên x nguyên t lẻ
Ta biêt raỉng phương trình đôi Pell y2 - 2t2 = -1 có nghim nguyeđn dương nhỏ nhaẩt y
1 = t1 = neân
: x 1
2 0; 1
nghiệm nguyên dương khác xác định từ đẳng thức :
, từ suy xk 37) Tìm nghiệm ngun phương trình :
a) 2x = 7y + z b) 3x + 171 = y2
c) 10x - = 7y
d) px + = y ( p nguyên tố )
a) Xem x = 3k ; 3k + ; 3k + ( k )
Xét x = 3k : Lúc , dễ thấy 2x = 7m + ( m Z+) So sánh với phương trình cho
7y + z = 7m + : phương trình nghiệm với y = t ( t Z) z = 7m + - 7y = 8k - 7t Vậy phương trình có nghiệm : x = 3k ; y = t ; z = 8k - 7t
Xét x = 3k + : Theo , ta coù 14m = 2x - 7y + z = 14m + ; phương trình có
nghieäm y = t (tZ) ; z = 2x - 7y = 2.8k - 7y
Vậy phương trình có nghiệm : x = 3k + ; y = t ; z = 2.8k - 7t
(8)b) Phương trình cho 9(3x-2 + 19) = y2 { y nguyên 3x - 2 + 19 = k2 ( kZ+ ) } Nếu x - = 2m 19 = (k + 3m).(k - 3m) k + 3m =19 ; k - 3m = 1 k = 10 ; m = nghiệm phương trình cho : x = 2m + = ; y = 30
Neáu x - = 2m + ( m Z+) ta có :
k2 = 3x - 2 + 19 = 32m - 1 - + 20 = 20 + (3 - 1)( 32k 32k 1
2k
) = 20 + 2(2m + 1)
với m , k2 chẵn không chia hết cho bài tốn có nghiệm !
c) Vì 10x = + 7y
Z x vaø (x , y) = (0 , 0) laø nghiệm phương trình
Xét x > , ta coù 10x - = 99 99
x
lấy 99 99
x
chia cho số dương x nhỏ thỏa đề x = hay A = 999999 số AA AA số nghiệm phương trình y =
BB BB
n
, với B = 142857 (ứng vớix= 6) ; x = 6n ( n Z , n ) d) px = y2 - = (y + 1)(y - 1)
x ; p nguyên tố nên y + , y - lũy thừa p Xem y - = pk ; y + = pk + l ( k , l nguyên không âm )
Maø (y + 1) - (y - 1) = pk ( pl - )
p = ; k = ; l = Vaäy y = + pk = ; x = 38) Tìm nghiệm nguyên phương trình : (4x - 23 )2 + ( x
y )2 = (x2 +
5 )
2
Ta coù : x
y x x x x
2
2
2
5
3
( )( ) y2 = x2[(x + 2)2 - 3](x - 2)2
{ y nguyên x = x = (x + 2)2 - = k2 số phương ( k Z+ ) }
Xeùt (x + 2)2 - = k2
= (x + + k)(x + - k) : tích hai số nguyên dấu ; xét trường hợp
có thể xảy ra, có thêm nghiệm x = -4
Vậy nghiệm phương trình (x , y) { (0 , 0) ; (2 , 0) ; (-4 , 24) ; (-4 , -24) } 39) Tìm nghiệm nguyên phương trình : (2x + 1)2 - = 384y
(2x 1)2 1
(1)
Từ (1) 384y = (4x2 + 4x)(4x2 - 4x) 24y = x2.(x - 1)(x + 1)
Nếu x lẻ (x - 1)(x + 1) số x , x - , x + có số chia hết cho x2.(x - 1)(x +
1) = 24t ( t Z ) nghieäm x = 2k + ; y =
6 k.(k + 1).(2k + 1) 2 ( k
Z )
Nếu x chẵn x - , x + số lẻ điều kiện để phương trình có nghiệm x2 x2 Vậy : nghiệm phương trình : x = 4k ; y = =
6 k.(4k - 1).4k.(4k + 1)
40) Giải phương trình nghiệm nguyên : x3 + x2y + xy2 + y3 = 8(x2 + xy + y2 + 1) (Voâ ñòch Balan
-1981)
Nhận xét x , y tính chẵn - lẻ x = y phương trình trở thành x3 - 6x2 - =
nghiệm
ngun có (ước của -2) 1 ; 2 , khơng có giá trị thỏa mãn !
Do x , y tính chẵn - lẻ x - y (x - y)2 x2 + y2 + 2xy x2 + y22 + 2xy
(1)
( Pt cho ) (x2 + y2)(x + y) = 8(x2 + y2) + 8(xy + 1) (x2 + y2)(x + y - 8) = 8xy +
Pt hệ : (x2 + y2)(x + y - 8) = 4xy + 2 { (1) x + y - 8 < } < x + y < 12 x + y = , , 10
Với x + y = , vô nghiệm !
Với x = 10 xy = 14
x , y hai nghiệm phương trình : a2 - 10a + 16 = (x , y) = (2 , 8) ; (8 ; 2)
41)Tìm nghiệm nguyên phương trình sau : a) xy2 + 2y(x - 14045) + x = 0
b) 7x2 + 7y2 = 1820
( HSG Lớp - 1994 )
c) x2 - 38y = 23
d) y13x x x
6
51
5
2
a) Nếu y = x = ; xét y Khi phương trình đưa dạng : xy(y1)228090
(9) Neáu (y + 1)2 = y = -2 x = - 56180
Nếu (y + 1)2 = 53 y = 52 ; - 54 x = 53 10
53 10 520 540
2
; y
y
b) Nhận thấy 13 ước 1820 nên x2
13 x 13 ; y2 y
Xem x = 13u ; y = 7v ( u, v Z) 13u2 + 7v2 = 20 13u2 13 ; 7v2 13u2 + 7v2 20 đẳng thức xảy khi khi u2 = v2 = (x , y) = (13 , 7) ; (13 , -7) ; (-13 , 7) ; (-13 , -7)
c) Phương trình cho viết dạng : x2 - = 38y + 19 = 2(2y + 1)
(x + 2)(x - 2) = 19(2y + 1) x lẻ x + x - chia hết cho 19
Neáu x + = 19t ( t nguyên dương lẻ ) thì x = 19t - vaø y =
x2 23 t t2 t
38
19 23
38
19
2
( )
Neáu x - = 19t ( t nguyên dương lẻ ) thì x = 19t + y = 19
2
2
t t d) Ta coù : y = 13
6
51
5
2
x x x= 2x3 + 25x2 - 2x + x x( 1)(x2)
6 Z , với x Z
(Chú ý rằng : với x Z : x x( 1)(x2)luôn chia hết cho )
42) Chứng minh phương trình khơng có nghiệm y nguyên âm với m nguyên : 5y2 - 7y - 32 + 8m2 = 0
Nghiệm phương trình phải có dạng y = 710k với k = = 49 + 160(4 - m2) mà dễ thấy k Z+ ( k = y Z ) y =
10
k
vaø y = 10
k
< k > Khi = k2 > 49 m2 < m2 = ;
Neáu m2 =
= 689 : không phương y Z
Nếu m2 =
= 529 = 232 y = 23
10
Z ñpcm ! Áp dụng
Bài 65 : Tìm nghiệm nguyên phương trình
a) 12x - 5y = 21
b) 12x + 17y = 41
c) x + 3y = 0
d) 2x - y = 1
e) 3x + 2y = 4
a) x = + 5t ; y = + 12t , t Z
b) x = + 17t ; y = - 12t , t Z
c) x = -3t ; y = t , t Z
d) x = t ; y = 2t - , t Z
e) x = 2t ; y = - 3t , t Z Bài 66 : Tìm nghiệm nguyên dương , nhỏ phương trình
f) 16x - 25y = 1
g) 41x - 37y = 187
a) x = 11 ; y = 7
b) x = 19 ; y = 16 Baøi 67 : Tìm nghiệm nguyên phương trình
h)x2 - 6xy + 5y2 = 121
i) x4 + 2x7y - x14 - y2 = (x, y
Z+)
j)2x2 + 2xy - x + y = 112 (x, y
Z+)
k)xy2 + 2xy - 243y + x = (x, y
Z+)
l) 6x2 + 5y2 = 74
m) xy + 3x - 5y = -3
n)x2 = y2 + 2y + 13
o)19x2 + 28y2 = 729
a) (x - 5y)(x - y) = 121
b) (x2 - x7 + y)(x2 + x7 - y) = 7
c) y = -x + + 111 : (2x + 1)
d) x.(y + 1)2 = 243y
e) 6(x2 - 4) = 5(10 - y2)
f) (x - 5)(y + 3) = -18
g) (x - y - 1)(x + y + 1) = 12
h) Vô nghiệm !
Bài 68 : Giải phương trình sau tập số nguyên :
a) -6x2 - 2y2 + 6xy + 8x + 3y = 168
b) 1987x2 + 1988y2 = 3000 - 2x2y2
c) 2x2 + 3y2 = 19 - 4x
d) 6x2 - 5y2 = -40x - 3
a) (x) = -3[(y - 7)2 + 5:3] < 0
b) Vô nghiệm ! c) 6y2 = 42 - k2
y2 = - k2 : k2 = 36 d) 3(2x2 + 1) = 5(y2 - 8x)
(10)e) 4x2 + 231y2 = 1631
f) x2 - 100y2 = 1
g) (x2 + y2)2 = 8x2y2 + 4xy + 1
h) x2 + x3 + x4 + x5 = 271440
i) x + y + z + t = xyzt (x, y, z, tZ+)
a) Vô nghiệm !
b) (x , y) = (1 , 0) ; (-1 , 0) c) Dẫn đến pt Pell đối Pell
d) x = 12
e) (x, y, z, t) = (4, 2, 1, 1) hốn vị
Bài 70 : Giải phương trình sau tập số nguyeân :
j) x3 - 3y3 - 9z3 = 0
k) 5x3 + 11y3 + 13z3 = 0