Nhận xét này sẽ giúp cho các bạn nhận biết được phương trình đẳng cấp một cách dễ dàng hơn.. Nếu a,b đồng thời bằng 0.[r]
(1)I.Các hệ phương trình A Hệ phương trình đối xứng :
Dạng ( )
( )
,
,
f x y g x y
=
=
mà vai trò ,x y
Tức ( , ) ( , ) ( , ) ( , )
f x y f y x
g x y g y x
=
=
Cách giải:
• Thơng thường người ta đặt ẩn phụ:
S = +x y hay S = −x y P=xy
⇒ ( )
( )
,
,
f S P g S P
=
=
sau tìm ,S P tìm nghiệm ( , )x y
Ví dụ: Giải hệ
2
6
x y xy
xy x y
+ =
+ + =
Như nói trên, ta đặt S = +x y P; =xy hệ cho trở thành
6 S=3
hay
5 P=2
SP S
S P P
= =
⇒
+ = =
Từ ta dễ dàng tìm nghiệm ( , )x y sau: ( , )x y =(1, 2); (2,1)
• Nhưng để phương pháp áp dụng hữu hiệu ta nên biến đổi chút ẩn số để sau đặt ẩn phụ, ta phương trình nhẹ nhàng
Ví dụ 1:
( ) (3 )3
5
1 35
xy x y
x y
+ + =
+ + + =
Đặt S= + +(x 1) (y+1 ;) P= +(x 1)(y+1) ta có hệ phương trình sau
( )
6 5 3 x=2
hay
3 35 y=3
P S x
S S P P y
=
= =
⇒ ⇒
− = = =
Ví dụ 2:
2
8
( 1)( 1) 12
x y x y
xy x y
+ + + =
+ + =
Ở theo thông lệ thử đặt S x y
P xy
= + =
, ta thu hệ sau:
2
S
( 1) 12
S P
P P S
+ − =
+ + =
(2)Rõ ràng chuyện không đơn giản chút Tuy nhiên có lẽ bạn nhận tinh tế tóan, bậc phương trình Phương trình bậc có lẽ chứa P Thể khơng dạng tích thuận tiện nào,trong phương trình thứ hai lại dạng tích bậc 4,gấp đơi bậc Nếu bạn nhìn biểu thức S P,bậc P gấp đôi bậc S,như phải phương trình thư S,thứ hai P Nếu giá trị x y P Quan sát phương trình thứ hai bạn dễ dàng nhận tinh tế này, (x x+1)và (y y+1) Từ ý tưởng ta đặt:
( 1) ( 1)
a x x
b y y
= +
= +
Hệ cho tương đương với:
8 a=2
hay
12 b=6
a b a
ab b
+ = =
⇒
= =
Như ( , )x y nghiệm phương trình sau:
2
1
2
3
) 2
)
i t t t t
ii t t t t
+ = ⇒ = ∨ = −
+ = ⇒ = ∨ = −
Tóm lại nghiệm hệ cho là: ( , )x y = −(1, 2); ( 2,1); (2, 3); ( 3, 2)− − − B Phương trình đối xứng lọai 2:
( , ) ( , )
f x y f y x
=
=
Đối với dạng hệ phương trình này, ta đưa dạng hệ tương đương sau: ( , ) ( , )
( , ) ( , )
f x y f y x
f x y f y x
− =
+ =
Hệ phương trình mà bạn thu hệ đối xứng hay nửa đối xứng mà ta xét phần Thật đặt ( , ) ( , ) ( , )
( , ) ( , ) ( , )
h x y f x y f y x
g x y f x y f y x
= −
= +
Ta đưa hệ
dạng: ( , ) ( , )
h x y g x y
=
=
Ở
( , ) ( , ) ( , ) ( , )
h x y h y x
g x y g y x
= −
=
Có thể bạn thấy ( , )h x y khơng đối xứng hịan tịan (nửa đối xứng) Tuy
nhiên chấp nhận lẽ hệ ta dạng ( , )h x y =0.(Nếu bạn thấy ray rứt điều bạn viết dạng
( , )
h x y = ,chẳng phải
2
( , )
h x y đối xứng Chú ý thêm tác giả muốn bạn nắm bắt mối quan
hệ đối xứng nửa đối xứng cách rõ ràng hơn, lúc giải tập bạn bình phương lên J)
(3)( , ) (1) ( , ) (2)
f x y a
g x y b
=
=
mà :
( , ) ( , )
( , ) ( , )
k
k
f tx ty t f x y
g tx ty t g x y
=
=
Ở điều kiện thứ hai bạn hiểu cách đơn giản đơn thức hàm f g đồng bậc (bậc đơn thức hai biến x,y tổng bậc x
y) Nhận xét giúp cho bạn nhận biết phương trình đẳng cấp cách dễ dàng
Cách giải tổng quát đưa phương trình: ( , ) ( , )
bf x y −ag x y = ,ở dó ,a b không đồng thời
Nếu a,b đồng thời Ta giải riêng phương trình ( , )f x y =0; ( , )g x y =0 so sánh nghiệm
Cách giải tương tự phương trình bf x y( , )−ag x y( , )=0nên bạn tham khảo bên
Ta xét trường hợp
)
i x= nghiệm hệ phương trình Điều bạn cần x=0và giải phương trình biến theo y
Trường hợp ta thu nghiệm ( , )x y =(0,y1)
)ii Trường hợp ta tìm nghiệm khác (0,y1) Chia hai vế cho k
x k bậc f Đặt t x
y
= Ta đưa phương trình theo ẩn t Giải phương trình
ta tìm tỉ số x
y Sau thay x thành ty (1) Giải phương trình theo ẩn
y, ta rút nghiệm tốn (ty y0, o) Ví dụ:
2
2
3 2
6
x xy y
x xy y
− + =
+ − = −
Giải:
Hệ cho tương đương với:
2
2
24 16 16 56
7 42 21 56
x xy y
x xy y
− + =
+ − = −
2
2
24 16 16 56
31 26 0(*)
x xy y
x xy y
− + =
⇔ + − =
Ta giải (*)
2
31 26
(31 )( ) 0(**)
31 0(1)
0(2)
x xy y
x y x y
x y
x y
+ − =
⇔ − + =
− =
⇔ + =
(4)II.Các phương pháp giải hệ không mẫu mực: A.Dùng bất đẳng thức :
Dấu hiệu cho phép ta sử dụng phương pháp ta thấy số phương trình hệ số ẩn
Ví dụ1 Giải hệ phương trình nghiệm dương :
( )( )( ) ( )3
3
3
1 1
x y z
x y z xyz
+ + =
+ + + = +
Giải:
( )
VT = + + + +x y z xy+yz+zx +xyz≥1 3+ xyz+33( )xyz +xyz= +(1 xyz)3
Suy dấu xảy x= =y z=1 Ví dụ 2: Giải hệ phương trình :
2
1 5
80
x x x y y y
x y x y
+ + + + + = − + − + −
+ + + =
Giải: Đk:x≥ −1;y≥5 Giả sử
6
6
x y VT VP
x y VT VP
> − ⇒ > < − ⇒ <
Suy x= −y
Đến bạn đọc tự giải Ví dụ 3: Giải hệ :
9
3
1
1 1
8
x y z
x y z
x y z
+ + =
+ + +
=
Giải:
-Bài tóan có số ẩn nhiều số phương trình ta dụng bất đẳng thức -Nhận xét : bậc x,y,z khác nên ta sử dụng Cauchy cho xuất bậc giống hệ
Ta có:
1
1 1
x y z
x+ = x+ +y+ +z+
Áp dụng Cauchy số:
1
x+ =
( ) ( ) ( )
2
8 2 4 2
8
1 1 1 1 1 1
x x y y y y z z x y z
(5)Hòan tòan tương tự :
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
3
8 3 3 2
3
8 3 4 1
1
1 1
1
1 1
x y z
y x y z
x y z
z x y z
≥
+ + + +
≥
+ + + +
Từ bất đẳng thức thu ta có:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
24 32 16
8
3 24 32 16
9
1 1
8
1 1 1
8
x y z
x y z x y z
x y z
≥
+ + + + + +
⇒ ≤
dấu xảy ⇔ 1
1 1
x y z
x y z
x+ = y+ = z+ = ⇔ = = =
Ví dụ 4: giải hệ:
4
2
697 81
3 4
x y
x y xy x y
+ =
+ + − − + =
Giải:
-Ví dụ muốn giới thiệu công cụ xác định miền giá trị x,y nhờ điều kiện có nghiệm tam thức bậc hai
-Xét phương trình bậc hai theo x:
( )
( ) ( ) ( )( )
2
2
3 4
7
3
3
x x y y y
y y y y y
+ − + − + =
= − − − ≤ ⇔ − − ≤ ⇔ ≤ ≤
Tương tự xét phương trình bậc hai theo y ta có
x
≤ ≤
Suy ra:
4
4 697
3 81
x +y ≤ + =
4
x
⇒ =
3
y= Tuy nhiên vào hệ nghiệm khơng thỏa
Vì hệ phương trình vơ nghiệm Ví dụ 5: Giải hệ:
5
5
5
2
2
2
x x x y
y y y z
z z z x
− + =
− + =
− + =
(6)Ý tưởng tóan ta phải đóan nghiệm hệ x= = =y z 1,sau chứng minh x>1 hayx<1 vô nghiệm
Nếu x>1⇒ = − +2 z5 z4 2z x2 > − +z5 z4 2z2⇒ > −0 (z 1)(z4+2z+2) Do z4+2z+2 dương nên 1>z
Tương tự ⇒ > ⇒ < ⇒y x Vơ lí
Tương tự x< ⇒1 vơ lí.Vậy x= ⇒ = ⇒ =1 y z Bài tập luyện tập Giải hệ:
1) 2
2
x y z
xy z
+ + =
− =
2)
( )( )
( )( )
( )( )
2 2
1
1
1
x y z
y z x
z x y
= − +
= − +
= − +
3)
2
2
2
21 1988
21 1988
21 1988
y y x
z z y
x x z
+ =
+ =
+ =
4)
2 2
2
2
2
1
x y x y
z y
z x z
=
+
=
+
=
+
5)
2 2
2 2
3
x y z
x y z
y z x
+ + =
+ + =
B.Đặt ẩn phụ:
Đôi tóan phức tạp ta giải hệ với ẩn (x,y,z,…) sau phép đặt a= f x b( ), = f y c( ), = f z( ),
Ví dụ 1:Giải hệ 12
5 18 36 13
xy
x y
yz
y z
xz
x z
=
+
=
+
= +
Hướng dẫn: Đặt a 1,b 1,c
x y z
= = =
(7)2 2 2
2 2 2
2 2 2
( ) (3 1)
( ) (4 1)
( ) (5 1)
x y z x x y z
y x z y y x z
z x y z z x y
+ = + +
+ = + +
+ = + +
Nếu x=0 dễ dàng suy được: y= =z 0.Như ( , , )x y z =(0, 0, 0) nghiệm hệ
Ta tìm nghiệm khác (0, 0, ) Chia hai vế cho 2
x y z ta thu hệ tương đương:
2
2
2
2
1
3
1
4
1
5
y z
yz x x
x z
xz y y
x y
xy z z
+ = + +
+
= + +
+
= + +
Ta lại đặt a 1;b 1;c
x y z
= = = ta nhận được:
2
2
2
( ) 5(1)
( ) 3(2)
( ) 4(3)
a b c c
b c a a
a c b b
+ = + +
+ = + +
+ = + +
Lấy (2) (3) ( ) 2(( ) 1)
(1) (2) ( )(2( ) 1)
a b a b c
b c a b c
− ⇒ − + + + =
− ⇒ − + + + =
Từ suy a b− = −b c⇒ + =a c 2b
Thay vào (2) ta
3b − + =b
Từ bạn dễ dàng giải tiếp tốn Ví dụ 3: Giải hệ
3
(6 21 )
( 6) 21
x y
x y
+ =
− =
Nếu giải hệ với ẩn ( , )x y ta thật khó để thấy đwocj hướng giải
Nhưng chuyện rõ ràng ta đặt x
z
=
3
21
21
z y
y z
= +
= +
Đây hệ đối xứng mà ta dễ dàng tìm đước hướng giải J
(8)2
2 2
( 1)
x x y
xy xy x y
+ + + =
+ + + =
Bài 2: Giải hệ:
3
3
3
3
( ) 12
( ) 12
( ) 12
( ) 12
x y z t
y z t x
z t x y
t x y z
+ + =
+ + =
+ + =
+ + =
C.Tính đại lượng chung
Ý tưởng phương pháp tính đại lượng Ví dụ 1:Giải hệ:
2
2 (*)
3
xy y x
yz z y
xz z x
+ + + =
+ + =
+ + =
( 1)( 2)
(*) ( 2)( 3) 12 ( 1)( 2)( 3) 24
( 3)( 1)
x y
y z x y z
z x
+ + =
⇔ + + = ⇒ + + + = ±
+ + =
Từ bạn có thể giải tiếp cách dễ dàng Ví dụ 2:Giải hệ:
2
3
2(1) 3(2)
5(3) 9(4)
u v
ux vy
ux vy
ux vy
+ =
+ =
+ =
+ =
Giải:
Nhân x+y vào (3)
3 2
5( )
9 5( )
ux vy ux y vxy x y
xy x y
⇒ + + + = +
⇒ + = +
Nhân x+y vào (2)
2( )
uy vx x y
⇒ + = + −
Nhân 2
x +y vào (2)
[ ]
2
3(x +y )= +9 xy uy( +vx)= +9 xy 2(x+ −y) Đặt a= +x y b; =xy
Đến bạn có thễ dễ dàng giải tiếp J
(9)2 2
2 2
50 24
x y z t
x y z t
xz yt
x y z t
+ + + =
− + − = −
=
− + + =
Bài 2:Giải hệ
2 2
y xz b
z xy c
x yz a
− = − =
− =
( , ,a b c số)
Bài 3:Giải hệ
2 2
( )
( )
( )
ax by x y
by cz y z
cz ax z x
+ = −
+ = −
+ = −
( , ,a b c số)
Bài 4:Giải hệ
3
3
3
( )
( ) 30
( ) 16
x x y z
y y z x
z z x y
+ − =
+ − =
+ − =
D.Nhân liên hợp
Phương pháp chủ yếu bỏ dâu thức đễ dễ tính tốn hay để xuất đại lượng đặt ẩn phụ
Ví dụ 1:Giải hệ:
(1)
5
x y
x y
+ =
+ + + =
Giải: Ta có:
5 13
(1)
5
5 13
5
2
5
x x y y
x x y y
x x y y
x x y y
+ + + + + =
⇔
+ − + + − =
+ + + + + =
⇔ + =
+ + + +
Đặt
5
u x x
v y y
= + +
= + +
(10)10
1
5 10 25
5
u v
u v
u v
uv
u v x y
+ =
+ =
+ =
⇒ =
⇒ = = ⇒ = =
Ví dụ 2: Giải hệ:
3
42
3
42
y
y x
x
y x
− =
+
+ =
+
Giải:
Từ hệ ta suy điều kiện:
,
x y>
Hệ cho tương đương với:
2
4
6
10
42
15
42
15 ( )( 42 )
25 84
(3 )( 28 )
3
28
y x
y x x y
y x x y
xy y x y x
y xy x
x y y x
x y
y x
+ =
= −
+
⇒ = −
+
⇒ = − +
⇒ + − =
⇒ − + =
=
⇒ + =
Trường hợp thứ hai ta loại không thỏa điều kiện ,x y>0 Thay vào hệ ban đầu ta thu nghiệm sau:
5 6
( , ) ,
27
x y = + +
Bài tập luyện tập Bài 1: Giải hệ
6
1
x y
x y
+ + + =
+ + + =
(11)Bài 2: Giải hệ
1
( 1)( 1)
x y xy
x y
− + + + = −
− − =
Bài 3: Giải hệ
1
2
2 ( 1)( 1)
x y
x x y y
y x x y
+ + − = + + −
+ + + + =
Kết thúc viết phần tập tổng hợp mục hệ phương trình mà ta xem xét:
III)Bài tập tổng hợp
Bài 1: Giải hệ phương trình sau: a)
2
6
x y xy
xy x y
+ =
+ + =
b)
4 2
2
21
x x y y
x xy y
+ + =
− + =
Bài 2: Giải hệ phương trình sau:
2
8
( 1) ( 1) 12
x y x y
x x y y
+ + + =
+ + + =
Bài 3:Giải hệ phương trình sau:
3 2
2
2
x y x x y xy y
x y
+ + + + + =
= −
Bài 4:Giải hệ phương trình sau:
3
6 126
x y
x y
− =
− =
Bài 5:Giải hệ phương trình sau:
2
2
2
x y a
xy a
+ =
+ =