* Với cơ học lượng tử thì chuyển động của hạt được coi như một bó sóng định xứ trong một miền của không gian và bó sóng này thay đổi theo thời gian (một sóng bất kì có thể phân tích thàn[r]
(1)Chương 2: TOÁN TỬ
I ĐỊNH NGHĨA VÀ VÍ DỤ, TỐN TỬ TUYẾN TÍNH
1 Định nghĩa
2 Các ví dụ
3 Tốn tử tuyến tính
II CÁC PHÉP TÍNH TRÊN TOÁN TỬ
III H ÀM RIÊNG TRỊ RIÊNG VÀ PHƯƠNG TRÌNH TRỊ RIÊNG CỦA TỐN TỬ
IV TO ÁN TỬ TỰ LIÊN HIỆP TUYẾN TÍNH (HAY TỐN TỬHECMIT
1 Ðịnh nghĩa toán tử hecmit:
2 Các tính chất tốn tử hecmit:
V CHÚ THÍCH VỀ TRƯỜNG HỢP TỐN TỬ CĨ PHỔ LIÊN TỤC
Chương 2: TOÁN TỬ
I ĐỊNH NGHĨA VÀ VÍ DỤ TỐN TỬ TUYẾN TÍNH:
1) Ðịnh nghĩa: TOP
Toán tử thực thể toán học mà tác dụng lên hàm số cho ta hàm số khác
Nghĩa ta có:
Trong tốn tử; hàm số với (x) tập hợp tọa độ riêng tọa độ x
2) Các thí dụ: TOP
(2)3) Tốn tử tuyến tính. TOP
II CÁC PHÉP TÍNH TRÊN TOÁN TỬ
(3)III HÀM RIÊNG, TRỊ RIÊNG VÀ PHƯƠNG TRÌNH TRỊ RIÊNG CỦA TỐN TỬ
Nói chung cho tốn tử tác dụng lên hàm ta hàm số (Với (x) tập hợp biến số đó) Nhưng có trường hợp ta lại hàm số nhân thêm với số Tức là:
Khi ta nói hàm riêng tốn tử Â phương trình gọi phương trình trị riêng tốn tửĠ Cịn a gọi trị riêng ứng với hàm riêng toán tử Â
Một tốn tử có nhiều hàm riêng hàm riêng tương ứng với trị riêng (cũng có trường hợp trị riêng ứng với nhiều hàm riêng, trường hợp ta gọi trị riêng có suy biến), nên ta đánh số để phân biệt phương trình trị riêng viết sau:
Số trị riêng hữu hạn hay vơ hạn; gián đoạn hay liên tục
(4)Ðể tìm trị riêng hàm riêng tốn tử, ta phải giải phương trình trị riêng tốn tử
Thí dụ : Cho tốn tử
Hãy tìm hàm riêng trị riêng tốn tử Â biết hàm riêng tuần hoàn khoảng (o,L)
(ta không viết đối số tọa độ x để khỏi rườm rà)
Với C số xác định từ điều kiện chuẩn hóa
Vì hàm số tuần hồn khoảng (0,L) nên ta có Tức là:
(5)
1- Ðịnh nghĩa toán tử hecmit: TOP Cho toán tử Â hàm số Nếu hệ thức sau thỏa mãn :
thì Â gọi tốn tử hecmit ( hay tốn tử tự liên hiệp tuyến tính):
Từ biểu thức định nghĩa ý hàm sóng mơ tả trạng thái vật lí nên không tọa độ vô cùng,ta dễ dàng chứng minh toán tử toán tử hecmit, cịn tốn tử
khơng phải hecmit
2- Các tính chất tốn tử
hecmit: TOP
a/ Các trị riêng toán tử hecmit những số thực.
b/ Các hàm riêng toán tử hecmit trực giao với nhau.
Trước hết ta định nghĩa trực giao sau: Nếu có hệ hàm (n =1; 2; )
(6)Thí dụ hàm sin(nx) trực giao khoảng
Bây ta chứng minh hàm riêng toán tử hecmit trực
giao với Muốn ta chọn Khi
biểu thức định nghĩa là:
vì hàm hàm riêng toán tử Â nên phương trình trở thành:
Nói chung
Tức hàm trực giao với
Nếu hàm riêng chuẩn hóa ta gộp hai điều kiện trực giao chuẩn hóa lại làm điều kiện gọi điều kiện trực chuẩn sau:
c/ Các hàm riêng toán tử hecmit lập thành hệ đủ.
Tính chất có nội dung sau:
(7)
Ta thừa nhận tính chất ,mà khơng cần phải chứng minh
V.CHÚ THÍCH VỀ TRƯỜNG HỢP TỐN TỬ CĨ PHỔ LIÊN TỤC Một tốn tử có trị riêng liên tục gọi tốn tử có phổ liên tục Ðối với tốn tử có phổ liên tục phương trình trị riêng viết:
Ðể phân biệt với tốn tử có phổ gián đoạn
Trong phương trình trị riêng ta lấy trị riêng toán tử làm số chạy Như a thông số biến đổi liên tục khơng phải số ngun Ðối với tốn tử có phổ liên tục, tính chất tốn tử có phổ gián đoạn Tức là:
- Trị riêng số thực
- Hệ hàm riêng lập thành hệ đủ - Các hàm riêng trực giao với
Nhưng điều kiện chuẩn hóa lại khác Khi ta có:
khi tọa độ tiến tới vô cực
Với gọi hàm đenta Derac, hàm suy rộng cho quy tắc tích phân
(8)Ví dụ hàm đenta đối số x là:
Miễn khoảng (a,b) có chứa điểm x = hay x = c
Ta ý phân tích hàm f(x) theo hệ hàm riêng tốn tử có phổ liên tục ta phải dùng cơng thức:
thay cho công thức:
trong trường hợp tốn tử có phổ gián đoạn
(9)Chương 3: CÁC TIÊN ÐỀ CƠ HỌC LƯỢNG TỬ
I SỰ KHÁC BIỆT CỦA CHUYỂN ĐỘNG TRONG CƠ LƯỢNG TỬ VÀ CƠ CỔ ĐIỂN
II CÁC TIÊN ĐỀ TRONG CƠ HỌC LƯỢNG TỬ
III GI Á TRỊ TRUNG BÌNH CỦA BIẾN SỐ ĐỘNG LỰC
IV TÍNH HỆ SỐ PHÂN TÍCH
V GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH VÀ HỆ SỐ PHÂN TÍCH ĐỐI VỚI TỐN TỬ CĨ PHỔ LIÊN TỤC
VI TỐN TỬ TỌA ĐỘ VÀ XUNG LƯỢNG
(10)VII NGUN LÍ TƯƠNG ỨNG VÀ DẠNG CÁC TỐN TỬ KHÁC
VIII S Ự ĐO ĐỒNG THỜI HAI BIẾN SỐ ĐỘNG LỰC
IX HỆ THỨC BẤT ĐỊNH HEISENBERG
Chương 3: CÁC TIÊN ÐỀ CƠ HỌC LƯỢNG TỬ
I SỰ KHÁC BIỆT CỦA CHUYỂN ĐỘNG TRONG CƠ LƯỢNG
TỬ VÀ CƠ CỔ ĐIỂN TOP
Ta biết hạt vi mơ có tính chất sóng rõ rệt, khái niệm chuyển động chúng lượng tử khác nhiều so với khái niệm chuyển động cổ điển Trong học lượng tử khơng có khái niệm qũy đạo
Ta xét khác khái niệm chuyển động học cổ điển lượng tử
* Với học cổ điển, hạt chuyển động theo qũy đạo xác định Các biến số động lực tọa độ, lượng, xung lượng xác định xác đồng thời điểm thời điểm qũy đạo
* Với học lượng tử chuyển động hạt coi bó sóng định xứ miền khơng gian bó sóng thay đổi theo thời gian (một sóng phân tích thành tổ hợp tuyến tính sóng điều hịa-bó sóng) Cịn biến số động lực nói chung khơng xác định xác đồng thời, mà nói chúng, ta nói xác suât để biến số động lực có giá trị nằm khoảng mà thơi
Vì khác biệt đó, biến số động lực học lượng tử không mô tả số cổ điển mà phải mô tả chúng toán tử Ta thừa nhận số giả thuyết tiên đề
II CÁC TIÊN ĐỀ TRONG CƠ HỌC LƯỢNG TỬ TOP
(11)Tính chất tuyến tính phản ánh nguyên lí chồng chất rằng: Nếu hệ lượng tử trạng thái mơ tả hàm sóng
thì hệ trạng thái mơ tả hàm sóng Trong số nói chung phức. Tiên đề 2:
Khi ta đo biến số động lực ta thu những giá trị số trị riêng toán tử biểu diễn biến số động lực ấy
Từ tiên đề ta suy toán tử biểu diễn biến số động lực toán tử hecmit (vì trị riêng thực) có đầy đủ tính chất tốn tử hecmit
Tiên đề 3:
Nghĩa hệ số phân tích chuẩn hóa Cơng thức
là điều kiện chuẩn hóa hệ số phân tích Với ý nghĩa tổng xác suất trạng thái phải
Nếu
(12)
III GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH CỦA BIẾN SỐ ĐỘNG LỰC TOP
Ta định nghĩa giá trị trung bình biến số động lực L biểu diễn toán tử sau:
Từ ta suy ra:
Với chuẩn hóa :
(3.1) Cịn chưa chuẩn hóa thì:
(3.2)
(13)trạng thái (tức theo hàm sóng) hệ lượng tử Ta chứng minh giá trị trung bình có biểu thức:
(3.3)
Trong hàm sóng mơ tả trạng thái hệ ta lưu ý (x) tập hợp biến số khơng riêng tọa độ x
Ta xét có phổ gián đoạn ( trị riêng gián đoạn ) a/ Trường hợp chưa chuẩn hóa:
Ta thay
Tử số (3.3) là:
Trong
Suy tử số (3.3)
Tương tự, mẫu số tính Từ công thức (3.3) trở thành:
(14)
Ðây cơng thức định nghĩa (3.2) mà ta biết
b/ Trường hợp chuẩn hóa mẫu số (3.3) ta dễ dàng tính Cũng cơng thức định nghĩa (3.1) mà ta biết Vậy công tức (3.3) chứng minh
IV TÍNH HỆ SỐ PHÂN TÍCH TOP
Như ta thấy, muốn tính xác suất hay giá trị trung bình biến số động lực ta phải biết hệ số phân tích Ta tìm cách để tính chúng
Nếu hàm sóng chưa chuẩn hóa sai khác số Thơng thường ta phải chuẩn hóa hàm sóng để biểu thức xác suất đơn giản.
V GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH VÀ HỆ SỐ PHÂN TÍCH ĐỐI VỚI TỐN
TỬ CĨ PHỔ LIÊN TỤC TOP
Ðối với tốn tử có phổ liên tục hàm sóng là:
Trong L trị riêng tốn tử có phổ liên tục Ta tìm biểu thức xác suất, giá trị trung bình hệ số phân tích trường hợp
(15)Vì giá trị L liên tục nên ta khơng thể nói xác suất để biến số động lực có giá trị L mà nói xác suất để L có giá trị nằm khoảng từ L đến (L+dL) mà thơi Xác suất tỉ lệ với dL có biểu thức:
mật độ xác suất để biến số động lực có giá trị L Như vậy, với tốn tử có phổ liên tục, tiên đề thứ Ba phát biểu sau:
Mật độ xác suất để biến số động lực có giá trị L tỉ lệ với Tức tỉ lệ với C(L) chưa chuẩn hóa Cịn C(L) chuẩn hóa =
Nếu hệ số C(L) chuẩn hóa cho:
b/ Giá trị trung bình:
Biểu thức giá trị trung bình biến số động lực L là:
Thật vậy,ta chứng minh cho trường hợp tổng quát hàm sóng chưa chuẩn hóa sau:
Thay
thì tử số
(16)=
Tương tự, mẫu số Ta suy
là công thức định nghĩa Vậy ta chứng minh xong c/ Hệ số phân tích:
VI TỐN TỬ TỌA ĐỘ VÀ XUNG LƯỢNG TOP a/ Toán tử tọa độ:
Xét hạt chuyển động trục ox, trạng thái hạt mơ tả hàm sóng ; giả sử chuẩn hóa Tốn tử tọa độ phải có dạng để hệ thức giá trị trung bình thỏa mãn Tức là:
(3.4)
Mặt khác, mật độ xác suất để hạt có tọa độ x lưu ý tích tọa độ với hàm sóng giao hốn ta có:
(17)Như biểu diễn tọa độ (sau ta nói rõ) tốn tử tọa độ phép nhân với tọa độ mà
b/ Toán tử xung lượng:
Ta biết hạt tự có lượng E, xung lượng tương ứng với sóng phẳng có dạng:
Trong hình chiếu xung lượng xác định nên hàm sóng hàm riêng tốn tử Do ta có phương trình trị riêng:
Hai vế phương trình Vậy
Tương tự
(18)
Từ ta suy :
VII NGUYÊN LÍ TƯƠNG ỨNG VÀ DẠNG CÁC TOÁN TỬ
KHÁC TOP
Cơ học cổ điển trường hợp riêng học lượng tử Trong học cổ điển, biến số động lực liên hệ với công thức biết như:
Trong học lượng tử biến số động lực biểu diễn toán tử chúng liên hệ với công thức tương tự Ðó nội dung ngun lí tương ứng học lượng tử Từ nguyên lí tương ứng dạng tốn tử biết, ta suy toán tử khác
a/ Toán tử lượng:
Trong học cổ điển ta có cơng thức:
Theo ngun lí tương ứng ta có dạng tốn tử là:
Thay dạng toán tử biết vào biểu thức ta được:
(19)Trong học cổ điển ta có:
Thay dạng toán tử dã biết ta được:
(3.7)
Ba tốn tử ba tốn tử hình chiếu tốn tử mơ men động lượng có dạng
(3.8)
VIII SỰ ĐO ĐỒNG THỜI HAI BIẾN SỐ ĐỘNG LỰC TOP
Xét hệ lượng tử có hàm sóng hai biến số động lực L,M hệ, chúng biểu diễn hai toán tử
Theo tiên đề Ba (trường hợp riêng), muốn hàm sóng (x)
phải trùng với hàm riêng Nghĩa
(20)Nếu đo đồng thời M với L muốn M có giá trị xác định (x) trùng với hàm riêng Tức là hàm riêng chung hai toán tử Vậy, muốn đo xác đồng thời hai biến số động lực L, M hệ lượng tử trạng thái hai tốn tử biểu diễn chúng phải có chung hàm riêng ta có:
Ta chứng minh điều kiện cần đủ để hai tốn tử có chung hàm riêng hai toán tử phải giao hoán với Tức giao hốn tử chúng khơng
a/ Ðiều kiện cần (hai tốn tử có chung hàm riêng giao hoán):
(21)IX HỆ THỨC BẤT ĐỊNH HEISENBERG TOP Xét hệ lượng tử trạng thái hai biến số động lực L M , chúng biểu diễn hai toán tử
Ta biết giao hốn ta đo xác đồng thời L M Nếu chúng khơng giao hốn khơng đo xác đồng thời
Giả sử khơng giao hốn Ta xét xem đo chúng đồng thời độ xác đạt đến mức độ nào?
Vì biến diễn hai biến số động lực nên chúng toán tử hecmit Nên ta có:
với toán tử hecmit
Gọi giá trị trung bình hai biến số động lực L M độ lệch khỏi giá trị trung bình L M là:
Bây ta tính:
Thực phép tính vế phải ta tính được:
(22)Ðể tìm mối liên hệ , ta dùng thủ thuật sau:
Nế u đo đồng thời hai đại lượng độ xác phải tn theo hệ thức bất định sau:
(23)Ý nghĩa vật lí hệ thức ta phải hiểu sau:
Khi quan sát hệ lượng tử (electron chẳng hạn), ta phải chiếu vào xạ có bước sóng ngắn, tức có xung lượng lớn (xung lượng P = ) Khi foton va chạm với electron ta xác định vị trí electron Nếu lúc ta muốn xác định đồng thời xung lượng phép đo xung lượng xác Vì xung lượng foton lớn nên xung lượng electron bị biến đổi nhiều, khơng cịn cũ nữa, ta khơng đo xác đồng thời xung lượng tọa độ hạt
Ðiều chứng tỏ hạt vi mô khác với vật vĩ mô thông thường Các hạt vi mô vừa có tính chất sóng lại vừa có tính chất hạt, thực tế khách quan Việc khơng đo xác đồng thời tọa độ xung lượng hạt chất việc khơng phải trí tuệ người bị hạn chế Kĩ thuật đo lường ta có tinh vi đến khơng đo xác đồng thời tọa độ xung lượng hạt Hệ thức bất định Heisenberg biểu thức toán học lưỡng tính sóng hạt vật chất
BÀI TẬP CHƯƠNG
Bài 3-1 Cho hạt chuyển động tự một đường thẳng
1/ Chứng minh đo cách xác đồng thời xung lượng lượng hạt
2/ Nếu hạt chuyển động trường V(x) ( sao?
Bài 3-2 Hạt chuyển động khơng gian Chứng minh đo xác đồng thời bình phương xung lượng
Bài 3-3 Toán tử lượng hạt có thể viết dạng: Hãy tìm độ bất định lượng thời gian (t)
(24)Bài 3-4 Hạt chuyển động trục x trong khoảng (-a, a) hàm sóng có dạng:
1/ Chuẩn hóa hàm sóng này.
2/ Tìm xác suất tìm thấy hạt khoảng (a/2 , a)
Bài 3-7. Ðộng electron nguyên tử Hydro có giá trị cỡ 10 eV Hãy dùng hệ thức bất định Heisenberg tìm kích thước nhỏ (đường kính d) nguyên tử
Bài 3-8. Dùng hệ thức bật định đánh giá năng lượng nhỏ Emin electron nguyên tử Hydro có kích thước d
Bài 3-9. Hạt vi mơ có độ bất định xung lượng 1% xung lượng Tính tỷ số bước sóng De Broglie độ bất định tọa độ x hạt
(25)I PHƯ ƠNG TRÌNH SCHRODINGGER KHƠNG PHỤ THUỘC THỜI GIAN
II CÁC TÍNH CHẤT CỦA PHƯƠNG TRÌNH SCHRODINGER MỘT CHIỀU
1 Tính chất chẵn lẻ nghiệm
2 Tính liên tục nghiệm đạo hàm nó: III HỐ THẾ CĨ CHIỀU SÂU VƠ HẠN
IV HỐ THẾ CĨ BỀ SÂU HỮU HẠN
V THẾ BẬC THANG
VI HÀNG RÀO THẾ VÀ HIỆU ỨNG ĐƯỜNG NGẦM
VII DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HÒA
Chương 4: PHƯƠNG TRÌNH SCHRODINGER
I PHƯƠNG TRÌNH SCHRODINGGER KHÔNG PHỤ THUỘC THỜI GIAN
Xét hạt chuyển động trường phụ thuộc vào tọa độ Hạt có lượng E hàm sóng phụ thuộc tọa độ Phương trình trị riêng toán tử lượng (toán tử Hamilton)
sẽ là:
Phương trình mang tên phương trình Schrodinger khơng phụ thuộc thời gian, phương trình đạo hàm riêng hạng hai tuyến tính Nó có nghiệm với giá trị E Song khơng phải nghiệm ứng với trạng thái vật lí Chỉ có nghiệm thỏa mãn đơn giá, liên tục hữu hạn biểu diễn trạng thái vật lí chấp nhận Các nghiệm khơng thỏa mãn điều kiện khơng chấp nhận Người ta chứng minh có
(26)những giá trị đặc biệt E cho nghiệm theo quan điểm vật lí Thường giá trị giá trị gián đoạn dải giá trị liên tục E
- Các giá trị gián đoạn E ứng với nghiệm giảm nhanh số không tọa độ tiến tới vô cực Trạng thái gọi trạng thái liên kết
- Các giá trị liên tục E ứng với nghiệm hữu hạn vô cực gọi trạng thái khơng bị liên kết
Việc giải phương trình Schrodinger không gian phức tạp Ðể làm quen, trước hết ta giải tốn khơng gian chiều, tốn chiều khơng ứng với chuyển động môt hệ thực Nhưng qua cho ta số ý niệm tính chất sóng hạt vật chất Hơn nữa, có tốn khơng gian ba chiều ta quy tốn chiều
Vậy việc giải toán chiều cần thiết quan trọng
Giả sử hạt chuyển động trục ox, hạt V(x)
phương trình Schrodinger có dạng:
Phương trình gọi phương trình Schrodinger chiều
II. CÁC TÍNH CHẤT CỦA PHƯƠNG TRÌNH SCHORODINGER
MỘT CHIỀU
1- Tính chất chẵn lẻ
nghiệm: TOP
(27)2- Tính liên tục nghiệm đạo hàm
của nó: TOP
Theo địi hỏi vật lí,nghiệm phương trình đạo hàm theo tọa độ phải đảm bảo liên tục xác suất tìm thấy hạt liên tục Như vậy, điểm mà gián đoạn, nghiệm đạo hàm theo tọa độ phải liên tục Ta chứng minh tính liên tục đạo hàm
Giả sử bị gián đoạn hình Tức bên trái bên phải khơng liên tục, hai giá trị khác lượng hữu hạn hình Phương trình Schrodinger cho ta
(28)
III HỐ THẾ CĨ CHIỀU SÂU VƠ HẠN:
Ta xét toán mà hạt chuyển động trục ox, có dạng:
Một trường gọi hố có bề sâu vơ hạn, chiều rộng 2a
Muốn cho hạt chuyển động miền ngồi khoảng (- a,a) ta phải cấp cho hạt lượng (vì V= lượng E = T +V).Ta làm điều Vậy hạt bị nhốt hố thế, nên có mặt khoảng (- a , a) mà thơi
Như ngồi khoảng (- a , a) hàm sóng hạt Cịn khoảng (- a , a) hàm sóng tn theo phương trình
Schrodinger sau:
(29)Nghiệm phương trình Trong A B số phải xác định từ điều kiện biên điều kiện chuẩn hóa
Với tốn hàm chẵn tọa độ nên tốn có hai lớp nghiệm riêng biệt chẵn lẻ
a/ Lớp chẵn:
Vì nghiệm chẵn nên có dạng:
Nhìn vào biểu thức lượng ta thấy lượng hạt bị gián đoạn theo số nguyên lẻ
b/ Lớp nghiệm lẻ:
(30)IV HỐ THẾ CÓ BỀ SÂU HỮU HẠN
Xét hạt chuyển động trục ox có dạng
Ta thấy hạt chuyển động tự khoảng (-a,a) muốn hạt khỏi khoảng
phải cấp cho hạt lượng lớn V0
(31)Phương trình Schrodinger miền /x/ < a có dạng:
Giải phương trình ta nghiệm sau:
Vì hàm chẵn tọa độ nên tốn có hai lớp nghiệm chẵn lẻ riêng biệt
a/ Lớp nghiệm chẵn:
Chú ý diều kiện vật lí ta chọn nghiệm là:
Chú ý hàm chẵn nên ta có :
(32)V THẾ BẬC THANG
Xét hạt chuyển động trụ x có dạng:
(33)Như từ miền (I) qua miền (II) hạt phải tốn cơng Còn hạt
đi từ miền (II) qua miền (I) động hạt tăng thêm lượng
Ta xét hạt có lượng E từ miền (I) qua miền (II) Theo cổ điển hạt qua miền (II), cịn hạt bị phản xạ trở lại gốc tọa độ không qua miền (II) Ta xét toán theo học lượng tử
a/ Trường hợp :
Ở miền (I) phương trình chuyển động là:
Cịn sóng truyền qua khơng có dạng sóng tới nên hệ số truyền qua không khải mà là:
Ðiều kiện biên x = cho ta:
(34)
Ta thấy hệ số phản xạ Tức cho dù , xác suất để hạt quay lại x = khác không Ðiều khác với cổ điển
b/ Trường hợp E<V0:
Ở miền (I) phương trình là:
Cịn miền (II) phương trình là:
)
Do hàm sóng miền (I) :
E =
Và miền (II) là:
(đảm bảo hữu hạn) Ðiều kiện biên x=0 cho ta:
Ta thấy A,B có giá trị tùy ý nên lượng hạt có giá trị tùy ý
Ta xét hệ số phản xạ Thay biểu thức A*, A ta tính R = Tức hạt phản xạ hồn tồn khơng phải x=0 mà chủ yếu mà thơi Vì ta thấy xác suất tìm thấy hạt miền x>0 khác không Cụ thể Nhưng ta thấy mật độ giảm nhanh số không x tăng Ðiều khác cổ điển
(35)Hàng rào miền không gian mà lớn miền lân cận Thí dụ hàng rào đơn giản hàng rào vng góc có dạng:
Giải hệ bốn phương trình ta tìm hệ số A,B,C,D Ta ý ta thấy sóng truyền qua có dạng sóng tới nên hệ số D xác định hệ số truyền qua
(36)Như vậy, theo học lượng tử, hạt chuyển động miền (III) Tức hạt qua hàng rào Hiện tương gọi hiệu ứng đường ngầm.Hiệu ứng đường ngầm giải thích nhiều tượng vật lí đại
VII DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HÒA
Hạt chuyển động trục ox tác dụng lực hồi phục F = - kx Với k hệ số đàn hồi Theo cổ điển hạt dao động xung quanh vị trí cân x = Ta gọi hạt chuyển động dao động tử điều hịa
Theo cổ điển phương trình chuyển động hạt là:
Nghiệm tổng qt phương trình có dạng:
x =Asin(wt) + Bcos(wt) = acos(wt+j)
Trong a biên độ, ( pha ban đầu
Ta thấy với giá trị , lượng E hạt xác định tỉ lệ với Vậy lượng dao động tử điều hòa tùy ý nhỏ
(37)Theo ngun lí tương ứng tốn tử có dạng:
Do tốn tử lượng là:
Và phương trình trị riêng tốn tử lượng là:
Ðây phương trình vi phân hạng hai n(x) có hệ số thay
đổi Giải phương trình ta tìm nghiệm n(x) Nghiệm phải
thỏa mãn số điều kiện vật lí từ điều kiện này, ta tìm lương hạt là:
Như vậy, khác với cổ điển, lượng dao động tử điều hòa gián đoạn theo số nguyên n liên tục giá trị nhỏ lượng cổ điển
(38)Từ đó, phương pháp quy nạp tốn học, ta tìm cơng
thức cho hàm Trong đó:
gọi đa thức hecmit hệ số chuẩn hóa
BÀI TẬP CHƯƠNG
Bài 4-1 Hạt chuyển động đường thẳng ox có dạng:
V(x) = 0< x < a ;
1/ Hãy tìm trị riêng hàm riêng tốn tử lượng
2/ Hạt Ở trạng thái Hãy tìm xác suất
(39)Bài 4-2 Hạt chuyển động trục ox và có dạng: V(x) = - a< x < a
1- Tìm trị riêng hàm riêng tương ứng dạng cosin lượng
2- Giả sử trạng thái hạt mơ tả hàm sóng:
Vẽ đồ thị mật độ xác suất tìm thấy hạt theo tọa độ xác định giá trị lượng hạt ta tiến hành phép đo lượng hạt
Bài 4-3 Hạt bị nhốt hố có bề sâu vơ hạn (4-2)
1/ Tìm hàm riêng dạng sin trị riêng tương ứng lượng
2/ Giả sử trạng thái hạt Vẽ đồ thị phân bố xác suất tìm thấy hạt theo tọa độ tìm xác suất để phép đo lượng cho ta giá trị:
,
Bài 4-4 Cho toán (4.2) Trạng thái hạt là:
1/ Tìm xác suất phép đo lượng cho ta giá trị
,
(40)(41)Chương 5: SỰ BIẾN ÐỔI TRẠNG THÁI THEO THỜI GIAN
I PHƯ ƠNG TRÌNH SCHRODINGER PHỤ THUỘC THỜI GIAN
II M ẬT ĐỘ XÁC SUẤT VÀ MẬT ĐỘ DÒNG XÁC SUẤT
III Đ ẠO HÀM TOÁN TỬ THEO THỜI GIAN
IV PHƯƠNG TRÌNH CHUYỂN ĐỘNG TRONG CƠ HỌC LƯỢNG TỬ
V TÍCH PHÂN CHUYỂN ĐỘNG
Chương 5: SỰ BIẾN ÐỔI TRẠNG THÁI THEO THỜI GIAN I PHƯƠNG TRÌNH SCHRODINGER PHỤ THUỘC THỜI
GIAN TOP
Ở chương ta nghiên cứu phương trình Schrodinger khơng phụ thuộc thời gian, mô tả trạng thái hạt có lượng khơng đổi theo thời gian (trạng thái dừng) Nghiệm phương trình phần phụ thuộc khơng gian hàm sóng, hàm sóng có dạng:
(42)=
Với
là phần phụ thuộc không gian (tọa độ) hàm sóng Cịn
là phần phụ thuộc thời gian hàm sóng
Ðối với hạt có lượng khơng đổi chuyển động trường năng, phần phụ thuộc khơng gian hàm sóng tn theo phương trình Schrodinger khơng phụ thuộc thời gian mà ta xét Ðó phương trình trị riêng lượng:
Bây ta xét xem hàm sóng thay đổi theo thời gian
Trước hết ta thiết lập phương trình cho hạt tự có xung lượng xác định suy cho trường hợp
Ðạo hàm theo thời gian hàm sóng ta được:
(43)Hàm sóng nghiệm phương trình phải đơn giá, liên tục hữu hạn
Nếu biết thời điểm đó, ta suy thời điểm sau phương trình Schrodinger phụ thuộc thời gian Thật vậy, tích phân phương trình Schrodinger theo thời gian ta được:
Tức cho t gía trị ta có hàm sóng tương ứng thời điểm t
II MẬT ĐỘ XÁC SUẤT VÀ MẬT ĐỘ DÒNG XÁC
SUẤT TOP
Ta biết mật độ xác suất tìm thấy hạt điểm xét
với chuẩn hóa
Vì hàm sóng phụ thuộc thời gian nên nói chung phụ thuộc thời gian có dịng hạt lưu thơng không gian Ta xét mối liên hệ mật độ xác suất dịng hạt
Từ phương trình Schrodinger phụ thuộc thời gian ta có:
(44)(45)Thật vậy,xác suất tìm thấy hạt thể tích ,do độ biến thiên xác suất tìm thấy hạt thể tích dV theo thời gian là:
Mà Do ta có:
Ðó biến thiên xác suất tìm thấy hạt thể tích V theo thời gian Cịn vế phải:
Chính xác suất hạt vào thể tích V theo thời gian
Vậy độ biến thiên xác suất tìm thấy hạt thể tích V theo thời gian xác suất để hạt vào thể tích V theo thời gian Ðó nội dung định luật bảo toàn xác suất định luật bảo toàn số hạt rằng: số hạt thể tích V tăng lên hay giảm xuống phải có số hạt bên ngồi vào hay bên
Nếu tích phân lấy theo tồn khơng gian vế phải khơng
Tức hạt khơng thể ngồi khơng gian
(46)
Nếu trạng thái cuả hạt chuẩn hóa trị trung bình biến số động lực L là:
Vì nói chung phụ thuộc thời gian nên phụ thuộc thời gian Ta tính:
(47)
được gọi ngoặc Poisson lượng tử
IV PHƯƠNG TRÌNH CHUYỂN ĐỘNG TRONG CƠ HỌC
LƯỢNG TỬ TOP
Ta biết phương trình chuyển động cổ điển phương trình như:
(48)
Xét hệ gồm hạt khối lượng m lượng :
Với tọa độ suy rộng , xung lượng suy rộng Thì từ phương trìnhchuyển động ta suy phương trình quen thuộc:
Bây ta xét phương trình tương tự học lượng tử xem
Cho không phụ thuộc rõ vào thời gian từ phương trình Heisenberg ta có:
(49)
(50)
V TÍCH PHÂN CHUYỂN
ĐỘNG TOP
Trong học cổ điển ta có định nghĩa tích phân chuyển động hàm tọa độ, xung lượng thời gian, hàm không đổi theo thời gian Nghĩa tích phân chuyển động thì:
Cũng tương tự, lượng tử ta có tích phân chuyển động rằng: Nếu đại lượng động lực L khơng thay đổi theo thời gian đại lương động lực tích phân chuyển động
Nghĩa là: Hay :
Nếu không phụ thuộc rõ vào thời gian thì:
(51)Từ ta suy
Nghĩa L tích phân chuyển động trị trung bình tích phân chuyển động
Ta chứng minh xác suất để L có giá trị tích phân chuyển động
Thật Vì L tích phân chuyển động nên có
chung hàm riêng Tức ta có phương trình:
BÀI TẬP CHƯƠNG 5
Bài 5-3 Hạt chuyển động trường thế V(z)=a.z, a = const Hỏi đại lượng động lực tích phân chuyển động?
(52)Bài 5-4 Phương trình là phương trình
Schrodinger phụ thuộc thời gian Hãy chứng minh phương trình Schrođinger khơng phụ thuộc thời gian trường hợp riêng phương trình hệ lượng tử trạng thái dừng
Baì 5-5 Từ phương trình Schrodinger, tìm hàm sóng ứng với trạng thái dừng hệ lượng tử
Bài 5-7 Phương trình mô tả chuyển động hạt tự Hãy tìm hàm sóng ( phần phụ thuộc r ) hạt
Bài 5-8 Hạt chuyển động tự Chứng minh đo xác đồng thời lượng xung lượng hạt Từ tìm hàm riêng lượng xung lượng hạt
Chương 6: MÔ MEN ÐỘNG LƯỢNG
I TỐN TỬ MƠ MEN ĐỘNG LƯỢNG
II TRỊ RIÊNG CỦA MÔ MEN ĐỘNG LƯỢNG
III HÀM RIÊNG CỦA TỐN TỬ MƠ MEN ĐỘNG LƯỢNG
IV M ẪU VEC TƠ VÀ PHÉP CỘNG MƠ MEN ĐỘNG LƯỢNG
V TÍNH CHẲN LẺ CỦA HÀM CẦU ĐỐI VỚI PHÉP NGHỊCH ĐẢO KHÔNG GIAN
(53)I. TỐN TỬ MƠ MEN ĐỘNG LƯỢNG TOP Theo ngun lí tương ứng biến số động lực mô men động lượng hệ mô tả tốn tử mơ men động lượng là:
Tốn tử có ba thành phần ba tốn tử hình chiếu ba trục tọa độ là:
Ngồi người ta cịn định nghĩa tốn tử bình phương mơ men động lượng, tốn tử có dạng:
Nghĩa hai hình chiếu mơ men động lượng khơng đo xác đồng thời, cịn hình chiếu bình phương mơ men động lượng đo xác đồng thời
(54)Ngồi người ta cịn đưa toán tử sau đây:
Trong học lượng tử, đơi giải tốn tọa độ cầu lại đơn giản Vậy ta tìm dạng tốn tử mơ men động lượng tọa độ cầu để áp dụng chúng việc giải toán
(55)
II TRỊ RIÊNG CỦA MÔ MEN ĐỘNG LƯỢNG TOP Ðể tìm trị riêng mơ men động lượng , ta phải giải phương trình trị riêng chúng Gọi hàm riêng tốn tử
thì ta có phương trình trị riêng là:
Do ta viết lại nghiệm sau:
(56)(57)III HÀM RIÊNG CỦA TỐN TỬ MƠ MEN
ĐỘNG LƯỢNG TOP
Trong tọa độ cầu biểu thức tốn tử chứa tọa độ đạo hàm riêng theo hai tọa độ Do hàm sóng (hàm riêng hai toán tử này), ta xác định phần phụ thuộc hàm sóng mà thơi Còn phần phụ thuộc r coi chứa số nhân
(58)(59)Thay vào biểu thức ta tính được:
Từ người ta tính hàm cầu tương ứng:
IV MẪU VEC TƠ VÀ PHÉP CỘNG MÔ MEN ĐỘNG
LƯỢNG TOP
(60)(61)V TÍNH CHẲN LẺ CỦA HÀM CẦU ĐỐI VỚI PHÉP NGHỊCH ĐẢO
KHÔNG GIAN TOP
Nếu ta đồng thời đổi chiều ba trục tọa độ hệ tọa độ vng góc hệ tọa độ thuận trở thành hệ ngược Phép biến đổi gọi phép nghịch đảo khơng gian.Khi ta có:
(62)Vậy hàm cầu có tính chẵn lẻ nghịch đảo không gian Số chẵn lẻ hàm cầu phụ thuộc vào lượng tử so , tức phụ thuộc vào mô men động lượng
BÀI TẬP CHƯƠNG
Bài 6-1 Chứng minh hệ thức giao hoán sau đây:
Bài 6-2 Chứng minh hệ thức giao hoán:
(63)
Bài 6-7 Ðiã trịn đồng chất có khối lượng M, bán kính R, nằm mặt phẳng ngang quay dễ dàng quanh trục thẳng đứng qua khối tâm cuả
1/ Hãy tìm hàm sóng mức lượng tương ứng điã theo quan điểm học lượng tử
2/ Ðĩa quay với vận tốc góc có giá trị nào?
(64) ĐỊNH NGHĨA VÀ VÍ DỤ, TỐN TỬ TUYẾN TÍNH Định nghĩa Các ví dụ Tốn tử tuyến tính CÁC PHÉP TÍNH TRÊN TỐN TỬ RIÊNG TRỊ RIÊNG VÀ PHƯƠNG TRÌNH TRỊ TỬ TỰ LIÊN HIỆP TUYẾN TÍNH (HAY Ðịnh nghĩa tốn tử hecmit: Các tính chất tốn tử hecmit: CHÚ THÍCH VỀ TRƯỜNG HỢP TỐN TỬ CĨ PHỔ TOP TỬ TỌA ĐỘ VÀ XUNG LƯỢNG NGUYÊN LÍ TƯƠNG ỨNG VÀ DẠNG CÁC TOÁN Ự ĐO ĐỒNG THỜI HAI BIẾN SỐ ĐỘNG LỰC HỆ THỨC BẤT ĐỊNH HEISENBERG Tính chất chẵn lẻ nghiệm Tính liên tục nghiệm đạo hàm TOP TRỊ RIÊNG CỦA MÔ MEN ĐỘNG LƯỢNG