Còn khi các tính chất đặc biệt không có, thì hệ (*) sẽ được giải theo một sơ đồ chung sẽ được trình bày trong các ví dụ sau.. Tuy nhiên, phương pháp này không phải là tối ưu.[r]
(1)
PHẦN I:
HỆ BẬC HAI TỔNG QUÁT
Hệ bậc hai với hai ẩn x,y :
2
1 1 1
2
2 2 2
*
a x b xy c y d x e y f
a x b xy c y d x e y f
Trong trường hợp đặc biệt (đối xứng loại 1, loại 2, đẳng cấp) cách tính đơn giản Cịn tính chất đặc biệt khơng có, hệ (*) giải theo sơ đồ chung trình bày ví dụ sau Tuy nhiên, phương pháp tối ưu Nhìn chung, dạng thường gặp dựa vài đặc thù dạng bậc hai Nếu biết khai thác tính chất đặc biệt ta tìm lời giải ngắn gọn
MỘT SỐ VÍ DỤ : Ví dụ : Giải hệ :
2 2
2
2( ) 11
x y x y
x y x y
Giải :
Xét x = hệ có dạng :
2
2
2 11
y y
y y
hệ vô nghiệm
Xét x0 Đặt y = x
Khi hệ cho có dạng :
2 2
1 2
1 11
x x
x x
Đặt
x z ta hệ :
2 2
2
2
2
2
;
1 2
1 11
1
1
1 2
1
1
1 11
2
26
11 2
x
z
y x x z
z x
z x
D
D
D
Vì Dx 0 nên 4 1 0thì D = 0, hệ có nghiệm
Xét
4
(2)
2
9 26
;
4 1
x z
D D
x z
D D
Điều kiện
x z cho ta phương trình để tính
2
2
81 26
1
4
2
81 26 44
23
+)Với 2
2
x y
+)Với 44
23
9 23
44 17
4
23
44 23 44
23 17 17
x
y
Vậy hệ cho có hai nghiệm :
23
1 17
,
2 44
17
x x
y
y
Ví dụ : Giải hệ :
2
2
4
2 12
x y x y
x xy y x y
Giải :
Xét x = Khi hệ có dạng :
2
2
2 12
y y
y y
Hệ vô nghiệm
Xét x0 Đặt yx
Khi hệ cho trở thành :
2 2
1 2
1 12
x x
x x
Đặt x2
= z ta hệ :
2
2 ;
1 2
1 12
x z y x
z x
z x
(3)
2
3 2
2
2
1
4
1
3 2
18 45
12
1
15 15
1 12
z
x
D
D
D
0
D hệ vơ nghiệm Xét 1 Điều kiện z = x2
cho ta phương trình để xác định
2
2
z
x z
z x
x
D z
D D
D
D D D
D D D
x D
2
3 2
4
3
2
2
18 45 15 15
153 216 360
153 216 360
153 90
2 153 90 180
0
+) Khi 0 D = 5; Dx = 15 x y +) Khi 2 D = 81; Dx = 81 x y Vậy hệ cho có hai nghiệm: 3;
1;
x y
x y
Ví dụ : Xác định giá trị m để hệ sau có nghiệm :
2
2
2
2 2
x xy y x m
x xy x m
Giải : Để ý :
2 2
2 2
2
2 2 2
4 4
2
x xy y x x xy x
x xy y x x
x y x
(4)
Hệ cho
2
2
2
2
2 2
2 3
x xy y x m
x xy x m
x y x m
Nếu m < (3) vơ nghiệm Vậy hệ vô nghiệm
Xét m0 Nhận xét để x, y thỏa mãn (3) m 0cần chọn x, y thỏa mãn hệ :
1
1
2
2
x x
x y y
Thế vào (1) (2) ta :
2
2
1
1
2
0
1 2.1 2.1
2
m
m m
Vậy với m0 hệ cho nhận , 1,1
x y
là nghiệm Kết luận : Hệ có nghiệm m0
Ví dụ 4: Chứng minh với
2
1,
m
hệ sau có nghiệm
2 2
1
x y xy
x x y xy m
Trước bước vào giải tốn ta phân tích tốn trước Ta có hệ cho tương đương với
2
2
2 2
2 2
2
1
1
2
1
3
2
x y xy
x x y xy m
x y x y x m
x y xy
x x y xy m
x y x m
Điều kiện cần để hệ có nghiệm (3) phải có nghiệm,do 5
4
m m
(5)
0
1
0
2
x x
x y y
Khi (3) thỏa mãn
4
m
, vào (1) ta 1
4 thỏa mãn Thế vào (2) ta
2 m
Vậy bất phương trình hệ khơng cho ta kết cần tìm Giải :
Viết hệ cho dạng :
2
3
1
x y x y
x y x m
Xét nghiệm dạng (x, y) = (0, ) Khi đó, ta có :
2
1 m
m
Vậy điều kiện để tồn nghiệm dạng 0, 1 m ta nghiệm x y, 0,m (*)
Tương tự, xét nghiệm x y, t t, Khi ta hệ xác định t :
2
2
1
12
3
2
2
t t
t t m
f t t t m
Ta thấy với 1
3 t
1
2
f f
Do với
1 1
1
2 f m f 3
hệ cho có nghiệm (x, y) = (t, t)
Kết hợp với (*) ta có : với 1,2 1 3
m
hệ cho có nghiệm
BÀI TẬP : 1, Giải hệ sau :
2
2
2 2
3
2
, ,
2 2
x y x y
x y x y
a b
x y x y x y x y
2, Giải biện luận hệ :
2 2 2
, ,
2 2
x y a
x y a
a b
x y x y a a x y x y a a
(6)
2
2
1
1
x y x y a
x y x y b
PHẦN II :
Giới hạn hàm số I/ Kiến thức bản
A.Giới hạn hữu hạn
Giả sử (a;b)là khoảng chứa điểm x0 f hàm số xác định khoảng (a;b) \ x0 Khi
0
0
xlim f (x )x L d·y sè (x )n tập hợp
(a;b) \ x mà limxn x0,ta có limf (x )n L B.Giới hạn vô cực
0
xlim f (x)x hay lim f (x)xx dãy xn(a;b) \ x0mà
n
limx x , ta có limf (x )n hay limf (x )n *Giới hạn hàm số vô cực
+/ Giả sử ta có hàm số f xác định (a;) Ta nói hàm số f có giới hạn số thực L x dần đến với dãy (x )n khoảng (a;) mà
n
limx ,ta có limf (x )n L Ta viết
xlim f (x) L
x x x
x x
+/ T- ¬ng tù ta cã lim f (x) , lim f (x) , lim f (x) L,
lim f (x) , lim f (x) .
1.Một số định lý giới hạn Định lý 1: Giả sử
0
xlimf (x) L vµ lim g(x) M xx Khi đó:
a/
0
xlim f (x) g(x)x L M.
b/
0
xlim f (x) g(x)x L M.
c/
0
xlim f (x).g(x)x L.M đặc biệt lim cf (x)xx cL.
d/
0
x x
f (x) L
lim ,M 0
g(x) M
Định lý 2: Giả sử
0
0
xlim f (x )x L, đó:
a/
0
(7)
b/
0
3
0
xlim f (x )x L
c/ Nếu f (x) x J \ {x }0 ,trong J khoảng chứa điểm x0
0
0
x x
L vµ lim f (x ) L
2 Giới hạn bên
+/ Giả sử hàm số f xác định khoảng (x ;b)0 Ta nói hàm số f có giới hạn bên phải L x dần đến x0 (hoặc điểm x0),nếu với dãy (x )n khoảng (x ;b)0 mà limxnx0,ta có limf (x )n L
Ta viết
0
xlim f (x)x L
+/ Định nghĩa tương tự cho
0
xlim f (x)x L
+/ Hàm số có giới hạn x0
0
xlim f (x)x Ltồn xlim f (x)x0 , xlim f (x)x0
0
xlim f (x)x xlimx L
3.Một vài quy tắc tìm giới hạn vơ cực +/ Nếu
0
xlim f (x)x x x0 1
lim 0
f (x)
+/ Quy tắc Nếu
0
xlim f (x)x vµ lim g(x) L 0xx ,thì xlim f (x).g(x)x0 cho bảng sau:
0
xlim f (x)x
Dấu L
0
xlim f (x).g(x)x
Quy tắc 2:
0
xlim f (x)x L 0 v xlim g(x) g(x) hoặx0 c g(x) 0
x J \ {x } , J làmộy khoảng chứa điểm x0,thì
0
x x
f (x) lim
g(x)
cho
bảng sau:
Dấu L Dấu f(x)
0
x x
f (x) lim
g(x)
(8)
Dạng 0
0:
Cách khử :
+/ Phân tích tử mẫu thành tích để giải ước nhân tử chung
+/ Nếu u(x) hay v(x) có chứa biến số dấu nhân tử mẫu với biểu thức liên hợp
Dạng
:
+/ Chia tử mẫu cho xk,với k số mũ cao biến số x.(Hay phân tích tử mẫu thành tích chứa nhân tử xn giản ước)
+/ Nếu u(x) v(x) có chứa biến x dấu căn, đưa xk ngồi (k bậc cao x căn) trước chia tử mẫu cho lũy thừa x
Dạng và dạng 0.:
+/ Nhân chia với biểu thức liên hợp,nếu có biểu thức chứa biến x dấu quy đồng mẫu để đưa phân thức
II Kĩ
Vận dụng linh hoạt định lý giới hạn hữu hạn quy tắc tìm giới hạn vơ cực để giải toán giới hạn hàm số
III Một số ví dụ:
Ví dụ 1: Áp dụng định nghĩa tính
2
x
3x x 1
lim
x 1
Giải :
+/ Hàm số
2
3x x 1
f (x)
x 1
xác định ¡ \ 1
+/ Giả sử xn dãy số tùy ý mà xn2 Khi
2
n n
n
n
3x x 1 3.2 2 1
limf (x ) 11
x 1 2 1
+/ Vậy
2
x
3x x 1
lim 11
x 1
Ví dụ 2: Áp dụng định nghĩa tính
2
x
x 2x 3
lim
2x x 1
Giải :
+/ Hàm số
2
x 2x 3
f (x)
2x x 1
xác định
1 \ 1,
2
¡
(9)
2
n n
n
n n
n n
n n
n
n
x 2x 3
f (x ) lim
2x x 1
(x 1)(x 3)
lim
1
2(x 1)(x )
2
x 3 4
lim
1 3
2(x )
2
+/ Vậy
2
x
x 2x 3 4
lim
3
2x x 1
Ví dụ 3: Tính 1/ 2
x
x 5
lim
x 25
2/
x
x 5
lim
x 25
Giải :
1/ Ta có : 2
x x x
x 5 x 5 1 1
lim lim lim
(x 5)(x 5) x 5 10
x 25
2/ Ta có : 2
x x x
x 5 5 x 1 1
lim lim lim
(x 5)(x 5) x 5 10
x 25
Lưu ý : Do 2 2
x x
x 5 x 5
lim lim
x 25 x 25
nên x 5
x 5
lim
x 25
Ví dụ 4: Cho hàm số
2
7x 4x 3 x 1
f (x)
4x 2 x 1
Tính
x
limf (x)
Giải :
+/ Ta có hàm số f(x) xác định tập ¡
+/
x x
limf (x) lim(7x 4x 3) 6
+/
xlim f (x)1 xlim(4x1 2)6
+/ Do
x x
lim f (x) lim f (x) 6
nên limf (x)x1 6
Ví dụ 5: Tính
1/ 3 2
x
1 lim
3x x 2
3/
2 x
x 7x
lim (1 2x)(3 )
x 1
2/
3 x
3x x 1
lim
x 3x 1
(10)
1/ Ta có
3
3
x x
3
1
1 x
lim lim 0
1 2
3x x 2 3
x x
3 x
3 x
1
V× lim 0
x
1 2
lim 3 3
x x
3
3 2 3
2
x x 2
2
2
x
2
1 1
x 3
3x x 1 x x
2/ lim lim
3 1
x 3x 1
x 1
x x
1 1
3
x x
lim x
3 1
1
x x
= .
2
x x
7 1
x 7x 1 x
3/ lim (1 2x)(3 ) lim x 2 3
1 x
x 1 1
x .
x
x x
V× limx
7 1
1 x
lim 2 2, lim 3 2
1
x 1
x
Ví dụ 6: Tính 1/
2
x
(x 3) 27
lim
x
2/
3
x
3 x 1
lim
x 2
3/
3
2
x
5 x x 7
lim
x 1
Giải :
(11)
2
x x
2
x
(x 3) 27 x 9x 27x
lim lim
x x
lim(x x 27x) 27.
3
x x 3
2 x 23
2 /
3 x 1 (3 x) 1
lim lim
x 2 (x 2) (3 x) 3 x 1
1 lim
(3 x) 3 x 1
1 . 3
Tacã
=
3/ Ta có
3
2 2
x x
5 x x 7 5 x 2 x 7 2
lim lim
x 1 x 1 x 1
Mặt khác
2
x x
x
5 x 2 1 x
lim lim
x 1 (x 1)(x 1)( x 2)
1 =lim
(x 1)( x 2)
1 = .
8
3 2
2 3
x x 2
3
2 2
x
x 7 2 x 1
lim lim
x 1 (x 1) (x 7) x 7 2
1 lim
(x 7) x 7 2
1 =
12
Vậy
3
2
x
5 x x 7 1 1 5
lim
8 12 24
x 1
Ví dụ 7: Tính
x
5x 3 x
1/ lim
1 x
2
2 x
x 2x 3x
2/ lim
(12)
2 x
3/ lim x x x
Giải:
x x
2
x
3 x 5
5x 3 x x
1/ lim lim
1
1 x 1
x
1 1
5 3
x x = lim
1 1 x =
2
2
x x
x
x
2
x 1 3x
x 2x 3x x
2/ lim lim
1
4x 1 x 2 x 4 x 2
x 2
x 1 3
x = lim
1 2
x 4 1
x x
2
1 3
x = lim
1 2
4 1
x x
= .
2
x x
x
x
x
3/ lim x x x lim
x x x
x = lim
1
x 1 1
x 1 = lim
1
1 1
x 1
= 2
IV.Bài tập
(13)
2
x
x 5
1/ lim
x 4
2
x
x 3x 2
2/ lim
x 2
Bài : Tính
2
2
x
2
2
x
x 1
1/ lim
x 3x 2
x 4x 12
2/ lim
x x 6
Bài 3: Tìm a để hàm số
2
x 7x 2a x>2
f (x)
3ax 4 x 2
Có giới hạn x dần đến Bài 4: Tính
3
x x
3 3
x x
2x 7 x 4 2x 7 3
1/ lim 2/ lim
x 4x 3 2 x 3
x x 1 x 1 x 3x 2
3/ lim 4/ lim
x x 1
Bài 5:Tính
3
x x
3
3 2
x x
1 2x 1 3x x 7 x 3
1/ lim 2/ lim
x
x 1 x x 1
3/ lim 4/ lim
x 2 1 x 1
Bài :Tính
2 2
2
x x
2
2
3
x x
3
x x
3 3 2
x x
x 2x 3 4x 1 9x x 1 4x 2x 1
1/ lim 2/ lim
x 1
4x 1 x
x 2x 3
3/ lim 4/ lim 2x 1 4x 4x 1
x x 2
2 4
5/ lim 6/ lim x x x x
1 x 1 x
7/ lim x 3x x 8/ lim x 3x x 2x .
(14)
2
x a
2 2
3
x a
(x 3x 2) x a
1/ lim
x 5x 4
x 2(a 1)x 2a x a
2/ lim
x 5x 4x