1. Trang chủ
  2. » Mẫu Slide

Phuong phap ke duong phu tronmg chung minh hinh hoc

23 4 0

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 23
Dung lượng 213,12 KB

Nội dung

TiÕp ®ã dùa vµo hai tam gi¸c EKF,GLH b»ng nhau theo tr−êng hîp c¹nh huyÒn gãc nhän vµ cuèi cïng cã EF=GH... §−êng phô cÇn vÏ lµ trung tuyÕn BE cña tam gi¸c ABC..[r]

(1)

Phơng pháp vẽ đờng phụ hình häc

(tham khảo: định lý hình học phng phỏp chng minh) http://diendan3t.net/forum

Mở đầu:

Khi chứng minh định lý hình học, phần nhiều phải vẽ thêm đ−ờng phụ Đ−ờng phụ tạo nên mối quan hệ giả thiết với kết luận, làm cho toán trở nên đơn giản dễ dàng Tuy nhiên, đ−ờng phụ có nhiều loại, nên khơng có ph−ơng pháp vẽ cố định, việc khó chứng minh Vẽ đ−ờng phụ cho có lợi vấn đề cần đào sâu suy nghĩ Trong viết này, xin nêu số nét lớn vấn đề vẽ đ−ờng phụ, hi vọng giúp bạn v−ợt qua khó khăn mơn hình học

I Mục đích vẽ ng ph:

1 Đem điều kiện đO cho toán hình có liên quan

đến việc chứng minh tập hợp vào nơi (một hình mới), làm cho chúng có liên hệ với

Ví dụ: Chứng minh hai đoạn thẳng song song hình chiếu chúng đờng thẳng thứ ba

Suy nghĩ: Sự AB CD EF GH không thấy đ−ợc có liên quan đến

(2)

H−íng 2:

§Ĩ chøng minh EF=GH ta cã thĨ tạo đoạn thẳng EF GH Điều dễ có cách từ A,C lần lợt kỴ AI,CQ//MN

(IBF Q, ∈DH ) Tiếp ∆ABI = ∆CDQ (cạnh huyền-góc nhọn) suy AI=CQ=EF=GH

2 Tạo nên đoạn thẳng thứ ba góc thứ ba, làm cho hai đoạn thẳng

hoặc hai góc cần chøng minh trë nªn cã liªn hƯ

VÝ dơ: Tứ giác ABCD có cạnh AD=BC Gọi M,N lần lợt trung điểm AB,CD CB,DA cắt NM E,F Chứng minh r»ng ∠DFN = ∠CEN

Suy nghĩ: Hai góc E F hình vẽ d−ờng nh− khơng có quan hệ với Do ta tìm cách tạo góc thứ hai góc

Giải: Gọi I trung điểm AC Nối MI,NI

MI,NI lần lợt đờng trung bình tam giác ABC,ADC nªn MI//BC, NI//AD

,

IMN CEN INM DFN

⇒∠ = ∠ ∠ = ∠ (1)

Mặt khác MI=1

2BC=

2AD=IN

Do tam giác MIN cân I

IMN INM

⇒∠ = ∠ (2)

(3)

3 Tạo nên đoạn thẳng hay góc bẳng tổng, hiệu, gấp ụi hay bng

2 đoạn

thng hay góc cho tr−ớc, để đạt mục đích chứng minh định lý

Ví dụ: Cho tam giác ABC cân A, trung tuyến CM Trên tia đối BA lấy điểm D cho BD=BA CMR: CM=1

2CD

Suy nghĩ:

Bài toán yêu cầu DC=2MC hớng ta tạo đoạn thẳng MC

2DC.Mặt khác nhìn hình vẽ có B trung điểm AD lại làm ta nghĩ

n nh lý đ−ờng trung bình tam giác Đ−ờng phụ cần vẽ trung tuyến BE tam giác ABC BE đ−ờng trung bình tam giác ADC nên DC=2BE Do tam giác ABC cân A nên BE=CM Từ có đpcm

Chú ý: Thay vẽ thêm đoạn thẳng 1/2 DC ta tạo đoạn thẳng DC gấp lần BE Điều đơn giản, tia đối CA lấy điểm E cho CA=CE nối BE, tia đối CB lấy điểm E cho CE=CB nối AE

(4)

4 Tạo nên đại l−ợng (đoạn thẳng góc) nhau; thêm

vào đại l−ợng mà đO cho để giúp cho việc chứng minh

VÝ dô:

(5)

Suy nghÜ:

Đầu cho CM=BM, nh− ch−a có AM=MB Ta lấy N trung điểm AB tạo đ−ợc cặp đại lng bng l BN=AN

Mặt khác MN//AC nên MNAB Suy MN trung trực đoạn AB

⇒AM=BM=CM, từ có đpcm

5 Tạo nên hình mới, để áp dụng định lý đặc biệt

Ví dụ: Cho tam giác ABC nội tiếp (O) D điểm cung nhỏ BC Kẻ AHDB AK, ⊥DC Chứng minh đ−ờng thẳng HK qua điểm cố định

(6)

đ−ờng thẳng Sim-sơn ta có H,I,K thẳng hàng Do A cố định nên I cố định Vậy HK qua điểm cố định I

6 Biến đổi hình vẽ, làm cho tốn trở nên dễ chứng minh tr−ớc

VÝ dơ: Tam gi¸c ABC cân A nội tiếp (O) ( 60

A

< ) M điểm cung nhỏ BC AM giao BC N CMR: 1

MN MB MC

> +

Suy nghÜ:

§Ĩ chøng minh 1

MN MB MC

> + ta thử biến đổi t−ơng đ−ơng:

1 1

MN MB MC

> + ⇔MB MC. >MN MB.( +MC) (1) Mặt khác tam giác ABC cân A nên

AB=ACAB= ACAMB= AMC

Mặt khác BAM = ∠NCM

~ ( )

BAM NCM g g

⇒△ △

MB AM

MN MC

MB MC AM MN

⇒ =

⇔ =

Thay vµo (1) ta ®−ỵc AM MN >MN MB.( +MC)

AM MB MC

⇔ > +

Vậy để chứng minh 1

MN MB MC

(7)

Đến ta nhớ lại toán quen thuộc:

"Tam giác ABC nội tiếp (O) M điểm cung nhỏ BC CMR:

MA=MB+MC."

Tất nhiên áp dụng kết vào toán ban đầu cách dựng tam giác AB'C' nội tiếp (O)

Trªn AM lÊy E cho ME=B'M Do ∠B ME' = ∠B C A' ' =60o

Suy tam giác B'ME

' ' '( 60 )o

EB M AB C

⇒∠ = ∠ =

' ' '

AB E C B M

⇒∠ = ∠

' ' ( )

AB E BC M g c g

⇒△ =△

'

' '

AE MC

AM AE EM B M C M

⇒ =

⇒ = + = +

Mặt khác B'M>BM, C'M>CM nên AM=B'M+C'M>BM+CM Từ cú pcm

II Các loại đờng phụ:

Sau số loại đờng phụ thờng gặp:

1 Kéo dài đoạn thẳng cho tr−ớc với độ dài tuỳ ý, độ

dµi cho trớc, cắt đờng thẳng khác Ví dụ:

Cho tam giác ABC Trên trung tuyến AM lấy điểm K khác A,M Qua M lần lợt kẻ đờng thẳng song song với KB, KC giao AC, AB F, E CMR: EF//BC (**)

Giải:

Kéo dài CK, BK cắt AB, AC P, Q

EM, FM đờng trung bình tam giác BPC, BQC

(8)

Ta cã AP AK AQ

PE KM QF

= =

AP PE AQ QF

PE QF

+ +

⇔ =

hay AE AF

EB FC

=

/ /

EF BC

⇒ (Ta-lét đảo) (đpcm)

2 Nối hai điểm cho tr−ớc hai điểm cố định (gồm trung điểm

đoạn thẳng cố định), điểm nằm đoạn thẳng cho tr−ớc cách đầu đoạn thẳng khoảng cho tr−ớc)

VÝ dơ:

Ta xÐt l¹i toán (**)

Cách 2:

Gọi EM BK ={ },P FMCK ={ }Q Gäi I lµ trung ®iĨm AK Nèi PI, QI, PQ

DƠ dµng cã MQ, MP đờng trung bình tam giác BKC nªn KQ=QC=1

2KC, KP=BP= 2BK

Suy PQ đg trung bình tam giác BKC

/ /

PQ BC

⇒ (1)

Mặt khác PI, QI lần lợt đờng trung bình tam giác AKB, AKC nên PI//AB, QI//AC

EP AI FQ

PM IM QM

⇒ = = (định lý Ta-lét)

/ /

PQ EF

⇒ (Ta-lét đảo) (2)

(9)

3. Tõ mét ®iĨm cho tr−íc dùng ®−êng song song víi mét ®−êng th¼ng cho

tr−ớc, dựng đ−ờng song song với đ−ờng, mà ta cần chứng minh đ−ờng song song với đ−ờng

Ví dụ: Cho tam giác ABC M điểm nằm tam giác Chứng minh MA, MB, MC độ dài cạnh tam giác

Nhận xét: Nhiệm vụ tìm tam giác có độ dài cạnh MA, MB, MC

Để tạo tam giác qua M ta kẻ PQ, KH, EF lần l−ợt // AB, AC BC Do tam giác ABC nên tứ giác APME, PMHC, HMEB hình thang cân

Suy AM=EP, BM=EH, CM=PH

Vậy MA, MB, MC độ dài cạnh tam giác EPH

4 Từ điểm cho trớc hạ đờng vuông góc xuống đờng thẳng

cho trớc

(10)

Giải:

Kẻ FN, EMBC cắt BE, CF Q, P Do FN// AD// EM suy ra:

FQ AH EP FQ FN

FN AD EM EP EM

= = ⇒ = FQ AH EP FQ FN

FN AD EM EP EM

= = ⇒ =

DN HF FQ

DM HP EP

= =

Do DN FN

DM EM

=

Suy △DNF ∼△DME c g c( )

NDF MDE

⇒∠ = ∠ , mặt khác ADBC

FDA= EDA, hay DA phân giác góc FDE

Tơng tự FC, EB lần lợt phân giác góc DFE, FED Vậy H tâm đờng tròn nội tiếp tam giác DEF (đpcm)

5. Dựng đờng phân giác góc cho tr−íc

VÝ dơ:

(11)

Giải:

Dựng phân giác BD góc B

2

( )

ABD ACB

BAD CAB g g

AD AB

AB AC

AB AC AD

⇒∠ = ∠

⇒ =

⇒ =

△ ∼△

Mặt khác theo tính chất đờng phân giác mét tam gi¸c:

2 2 2

AD AB AD AD AB

DC BC AD DC AC AB BC

AB AC AD

AB BC AB AC

AD AC AB

AB BC AC

AB AB BC

AC AB AB BC

= ⇒ = = + + ⇒ = + ⇒ = = + ⇔ = + ⇔ = +

hay 2

b =c +ac (đpcm)

6 Dựng đờng thẳng qua điểm cho trớc hợp thành với đờng

thẳng kh¸c mét gãc b»ng gãc cho tr−íc

(12)

Suy nghĩ: Đối với toán chứng minh hệ thức dạng ab+cd=ef, thông th−ờng ta chia f thành tổng m+n, chứng minh ab=em,cd=en nhờ tam giác đồng dạng Trong toán này, ta chia AC thành đoạn nhỏ tạo đ−ợc tam giác đồng dạng Muốn phải có góc đ−ờng phụ cần vẽ đoạn DE cho ADB= EDC E( AC)

Giải: Lấy điểm E trªn AC cho ∠ADB= ∠EDC Ta cã : BDA

△ ~△CDE (g.g)

BD BA

CD CE

= (2 cặp cạnh tỉ lệ)

BD CE CD BA

⇒ = (1)

Do ∠ADB= ∠EDC⇒∠ADE= ∠BDC ADE

⇒△ ~△BDC(g.g)

AD AE

BD BC

⇒ =

AD BC BD AE

⇒ = (2)

Tõ (1)(2) ⇒AB CD +AD BC =BD EC +BD AE =BD AC (®pcm)

VÝ dơ 2:

(13)

Giải:

Do ADC> Bnên AC lấy đợc điểm E cho ADE= B

~ ( )

BAD DAE g g

⇒△ △

AB AD

AD AE

⇒ =

2

AD AB AE AB AC

⇒ = < (®pcm)

7. Tõ mét ®iĨm cho tr−íc, dùng tiÕp tun víi ®−êng trßn cho tr−íc

VÝ dơ 1:

Cho tam giác ABC nội tiếp (O) Các đờng cao BH,CK CMR: AO KH

(14)

Để chứng minh AO KH⊥ , ta tạo đ−ờng thẳng song song với KH vng góc với AO, khơng khó khăn nhận thấy tiếp tuyến Ax (O)

Gi¶i: Dùng tiÕp tuyÕn Ax (O) AxAO (1) Tứ giác BKHC nội tiếp nênAKH = HCB

Mặt khác xAB góc tạo tiếp tuyến dây cung xAB= HCB

xAB AKH

⇒∠ = ∠

ADB EDC

∠ = Ax/ /KH (2)

Từ (1)(2) ta đợc ®pcm

Ví dụ 2: Điểm A cố định nằm (O,

2

BC )

( ) { }, ( ) { }

ABO = D AC O = E Tìm quỹ tích tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác ADE

Giải:

PhÇn thuËn:

Nèi DM Ta cã ∠DMA= ∠DEA= ∠ABC Suy tø gi¸c BDMO néi tiÕp

AD AB AM AO

⇒ =

KỴ tiÕp tuyÕn AT Ta cã AT2=AD.AB=AM.AO

AT AM

AO

(15)

Do M cố định

VËy O' thuéc trung trùc [AM] Giíi h¹n:

Khi đ−ờng kính BC chuyển động (O) O' chuyển động trung trực [AM]

Phần o:

Giả sử M điểm thoả mOn AM AT2 AO =

( ) { }, ( ) { }

ABO = D ACO = E Dựng đờng tròn (O') ngoại tiếp tam giác ADM Ta chøng minh E∈( ')O

ThËt vËy AM AT2 AO

= ⇒ AM AO. = AT2 =AD AB. Suy tø gi¸c BDMO néi tiÕp

ABO DMA AED

⇒∠ = ∠ = ∠

⇒ tø gi¸c ADME néi tiÕp ⇒ E thuéc (O') (đpcm)

Kết luận:

Quỹ tích tâm O' trung trực [AM]

8.Bài cho hai đờng tròn tiếp xúc nhau, ta dựng đợc tiếp tuyến

chung đờng nối tâm

(16)

Giải:

Kẻ tiếp tuyến chung Ax đờng tròn

Dựa vào hệ góc tạo tiếp tuyến dây cung ta có:

CAx BDA CEA

∠ = ∠ = ∠

Suy BD//CE (hai góc đồng vị (đpcm) Ví dụ 2:

(O) tiÕp xóc (O') t¹i I Kẻ tiếp tuyến chung AB (A, B tiếp điểm) CMR: 90o

AIB =

Giải:

Kẻ tiếp tuyến chung IM (M∈AB) Dựa vào tính chất tiếp tuyến cắt ta đ−ợc AM=IM=BM, ∠AIB=90o (đpcm)

9 Bµi cho hai đờng tròn giao nhau, kẻ đợc dây cung chung

VÝ dơ:

Cho tam gi¸c ABC nội tiếp (O) I điểm thuộc cung BC không chứa A Vẽ (O1) (O2) qua O lần lợt tiếp xúc với AB, AC B, C

1

(17)

Gi¶i:

Kẻ dây cung IK chung hai đờng tròn

Theo tÝnh chÊt cđa gãc t¹o bëi tia tiÕp tuyến dây cung ta có

,

xBI BKI yCI CKI

∠ = ∠ ∠ = ∠

Mặt khác tứ giác ABIC nội tiếp nên: xBI ACI

∠ = ∠

Mµ ∠ACI+ ∠yCI =180o 180o

BKI CKI

⇒∠ + ∠ =

Vậy B, K, C thẳng hàng (đpcm)

10 Nếu tứ giác nội tiếp đờng tròn, ta cã thĨ dùng ®−êng

trịn ngoại tiếp tứ giác Ví dụ:

(18)

Suy nghĩ: Để tìm điểm cố định ta vẽ vài vị trí M nhận thấy điểm K nằm đ−ờng vng góc kẻ từ C với BC ∠OKC=90o

Gi¶i:

Gäi Q trung điểm BC Tứ giác OMCQ nội tiếp nên dựng (I,

2

OC ) ngoại tiếp tứ giác OMCQ

QI giao (I) K Ta chứng minh H, M, K thẳng hàng Thật

/ /

180o

MH AB A QMC QKC

AMH KQC KMC

AMH AMK AMK KMC

⇒∠ = ∠ = ∠

⇒ = ∠ = ∠

⇒∠ + ∠ = ∠ + ∠ =

Suy H, M, K thẳng hàng

Mặt khác K đối xứng với Q qua I, mà Q, I cố định nên K cố định Vậy MH ln qua điểm cố định K

11 Bµi cho điểm nằm đờng tròn, vẽ thêm đờng kính

qua im ú

(19)

Suy nghÜ:

Các tổng bình ph−ơng gợi cho nghĩ đến định lý Py-ta-go áp dụng tam giác vng Tuy nhiên để n hình vẽ khơng thể áp dụng đ−ợc Vì ta vẽ thêm đ−ờng kính để tạo tam giác vng có hai cạnh góc vng hai cạnh đối tứ giác ABCD, cạnh huyền có độ dài khơng đổi (tính theo R)

Gi¶i:

Kẻ đ−ờng kính AE Nối CE,DE Ta có ∠ACE=90o CE//BD (cùng

vuông góc với AC)

Tứ giác BCED hình thang nội tiếp đờng tròn nên BC=DE Suy BC2+AD2=DE2+AD2=AE2=4R2

T−¬ng tù AB2+CD2=4R2

Vậy AB2+BC2+CD2+DA2=8R2 khơng đổi (đpcm)

(20)

Giải:

Kéo dài AI giao (O) D Kẻ đờng kính DE (O) Nối CD Kéo dài OI cắt (O) M,N Hạ IH AB

Chứng minh đợc AHI ECD (g.g)

IH ED AI DC

⇒ =

Mặt khác DIC= IAC+ ICD= ICB+ BCD= ICD suy tam giác IDC cân D

2 ( )( )

ID DC

AI DC AI ID IM IN R OI R OI R OI

⇒ =

⇒ = = = − + = −

Do 2

2

2

IH ED Rr R OI

OI R Rr

= = −

⇒ = −

12 Vận dụng phép đối xứng tâm, đối xứng trục, phép quay, tịnh tiến

VÝ dơ:

(21)

Gi¶i:

Gäi N điểm tuỳ ý d

Ly A' đối xứng với A qua d Nối A'B giao d M Nối AM Ta có AN+NB=A'N+NB ≥ A'B=A'M+MB=AM+MB

DÊu b»ng x¶y N≡M

Vậy điểm N cần tìm giao điểm A'B với d (A' điểm đối xứng với A qua d)

NhËn xÐt:

Điểm A' đO giúp làm cho đ−ờng gấp khúc ANB đỡ "gOy" hơn, giúp việc tìm điểm N trở nên thuận lợi

13. Vẽ thêm hình đặc biệt (tam giác đều, hình vng sử dụng tính

chất hình Ví dụ:

Dùng liªn tiếp hình vuông ABCD, BEFC, EGHF Chứng minh

45o

AED AGD

(22)

Suy nghÜ:

Hai góc AED AGD d−ờng nh− khơng liên quan đến Vì ta phải tạo góc 45o tổng hai góc Để có góc 45o, ta phải có

tam gi¸c vuông cân Giải:

Dng hỡnh vuụng ABNM D dàng có △DMN =△GBN c g c( ) ta có

DN=GN vµ ∠MND= ∠BNG DNG

vuông cân N

Mặt khác GBN =△EAD c g c( ) nªn ∠BGN = ∠AED VËy ∠AED+ ∠AGD= ∠NGB+ ∠AGD=45o (®pcm)

Chó ý:

Thay dựng hình vng ABNM, bạn tạo hình vng khác dựng cạnh CD, CF, FH Từ có cách giải thú vị

III Chó ý vÏ ®−êng phơ:

1 Mn ®−êng phơ giúp ích cho việc chứng minh vẽ đờng phụ ph¶i

có mục đích, khơng nên vẽ tuỳ tiện Nếu khơng chẳng giúp đ−ợc cho việc chứng minh, lại làm cho hình vẽ trở nên rối ren, hoa mắt, khó tìm cách giải

2 Vẽ đờng phụ phải tuân theo phép dựng hình Những đờng

(23)

Trở lại toán (*)

Nếu thay cách nói "lấy trung ®iĨm N cđa AB" b»ng c¸c c¸ch nãi sau: +VÏ trung trực MN đoạn AB

+Qua M kẻ MN song song víi AB cho BN=AN +KỴ MN⊥AB cho NA=NB

thì khơng hợp lý Trong cách nói thứ nhất, M ch−a thuộc trung trực đoạn AB, cịn cách nói thứ thứ ch−a xác định đ−ợc đ−ờng có qua trung điểm AB hay khơng, trái với phép dựng hình

3 Có đ−ờng phụ vẽ thêm đ−ờng đó, nh−ng cách

dựng khác nên cách chứng minh khác

Nh− toán (**), thay cách vẽ "từ M dựng MN//BC" phải sử dụng định lý đ−ờng trung bình tam giác để suy NA=NB, thay "từ M dựng MN⊥AB" phải sử dụng quan hệ vng góc song song để suy MN//AC chứng minh NA=NB Thực tr−ờng hợp nào, MN

Ngày đăng: 28/04/2021, 19:24

w