Vẽ đường phụ trong chứng minh hình học

Trờng THCS Lê Hồng Phong Kinh nghiệm giảng dạy: vẽ đờng phụ trong chứng minh hình học phẳng. --------------- A. Đặt vấn đề: Trong khi học hình học phẳng, nói chung học sinh đều cảm thấy ít nhiều khó khăn. Nghiên cứu nguyên nhân, ta thấy có mấy điểm dới đây: 1. Học sinh cha có những khái niệm cơ bản rõ ràng. 2. Sách giáo khoa biên soạn tuần tự theo hệ thống lý luận, không tổng hợp từng loại làm cho ngời học khó nắm cách giải các bài toán. 3. Trong các sách giáo khoa, các bài làm mẫu quá ít, hớng dẫn và gợi ý không đầy đủ nêm khó tiếp thu và nghiên cứu. 4. Học sinh thờng chỉ học vẹt các định lý và các quy tắc, không biết vận dụng một cách sinh động những định lý và các quy tắc đó. Tôi sẽ đúc rút kinh nghiệm và sẽ tổng hợp các phơng pháp chứng minh từng loại bài tập hình học phẳng trong bài viết khác. Trong bài viết này, tôi xin trình bày những kinh nghiệm hớng dẫn học sinh Cách vẽ đ ờng phụ trong chứng minh hình học phẳng . B. Giải quyết vấn đề: hi chứng minh định lý hình học, trừ một số bài dễ, phần nhiều phải vẽ thêm đờng phụ mới chứng minh đợc. Vì đờng phụ có nhiều loại, nên không có một phơng pháp vẽ cố định, đó là một việc khó trong lúc chứng minh hình học phẳng. Trong sách giáo khoa vì không biết nên bắt đầu nói nh thế nào, nên thà không nói còn hơn nói không rõ. Để giúp đợc phần nào cho học sinh, tôi xin nêu một số phơng pháp vẽ đờng phụ trong chứng minh hình học phẳng, nhng chắc chắn không sao tránh khỏi thiếu sót, rất mong đợc góp ý, bổ sung, có thể làm sáng tỏ vấn đề, biến đổi cách giải, cung cấp t liệu, để bài viết này ngày một hoàn thiện, giúp đợc phần nào động viên học sinh tự động Kinh nghiệm giảng dạy Đỗ Mạnh Thắng K Trờng THCS Lê Hồng Phong nghiên cứu, tạo thành tập quán kiên trì đào sâu suy nghĩ trong chứng minh hình học phẳng cho học sinh. Sau mỗi mục đích của việc vẽ thêm đờng phụ, tôi trình bày một ví dụ mẫu. để tránh việc giải thích trống rỗng, tôi hết sức cố gắng dùng các ví dụ chứng minh cụ thể, sáng sủa, một mặt vừa làm cho học sinh ghi đợc các ấn tợng sâu sắc, mặt khác vừa tăng thêm phần hứng thú học tập cho họ. Trong ví dụ có phần suy xét hoặc phân tích. Quá trình gợi ý sẽ nuôi dỡng năng lực suy nghĩ, tăng cờng bản lĩnh giải quyết vấn đề cho học sinh. đồng thời học sinh phải phát huy năng lực sáng tạo, vận dụng linh hoạt các định lý và các phơng pháp chứng minh. I. Mục đích của việc vẽ đ ờng phụ . Nói chung, vẽ đờng phụ nhằm sáu mục đích dới đây: 1. Đem những điều kiện đã cho của bài toán và những hình có liên quan đến việc chứng minh tập hợp vào một nơi (một hình mới), làm cho chúng có liên hệ với nhau: Ví dụ 1. Hai đoạn thẳng song song và bằng nhau thì hình chiếu của chúng trên một đờng thẳng thứ ba cũng bằng nhau. GT: AB = CD AE, BF, CG, DH đều MN KL: EF = GH Suy xét: Sự bằng nhau của AB và CD và sự bằng nhau của EF và GH không thấy ngay đợc là có liên quan với nhau. Hai đoạn thẳng cần chứng minh bằng nhau là EF và GH. Từ định lý Những đờng thẳng cùng vuông góc với một đờng thẳng khác thì song song với nhau , Ta Kinh nghiệm giảng dạy Đỗ Mạnh Thắng 2 B A D C K L M N E F G H Trờng THCS Lê Hồng Phong biết AE // BF // CG // DH và có thể dựng thêm EK // AB; GL // CD để tạo nên hai hình bình hành. Từ định lý cạnh đối của hình bình hành bằng nhau ta có EK = AB; GL = CD. Nh vậy tức là ta đã dời vị trí của AB và CD đến EK và GL, để tạo thành hai cạnh tơng ứng của hai tam giác EKF và GLH trong đó ta cần chứng minh hai đoạn thẳng EF và GH bằng nhau. Muốn có EF = GH ta chỉ cần chứng minh EKF = GLH. Sau đây là phần hớng dẫn học sinh tìm cách để vẽ thêm đờng phụ: Câu hỏi Dự kiến trả lời của học sinh - Muốn chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau, ta làm nh thế nào ? - Nếu chọn trờng hợp (1), cần phải vẽ thêm đờng phụ nào ? - Chứng minh hai đoạn thẳng đó là hai cạnh tơng ứng của hai tam giác bằng nhau (1); hoặc là hai cạnh đối của hbh (2); hoặc cùng bằng hai đoạn thẳng bằng nhau khác (3). Vẽ thêm EK // AB và GL // CD, hoặc từ A, C dựng đờng thẳng song song với MN Bài chứng minh cụ thể: Chứng minh: Lý do: Kinh nghiệm giảng dạy Đỗ Mạnh Thắng 3 Trờng THCS Lê Hồng Phong 1. Dựng EK//AB, GL//CD 2. AE//BF; CG//DH 3. Ta có các tứ giác AEKB và CGLD là hình bình hành. 4. EK = AB = CD = GL. 5. EK//GL 6. Ta rút ra KEF = LGH 7. EFK = GLH 8. Vậy EFK = GHL 9. EF = GH 1. Từ một điểm có thể dựng một đờng thẳng // với một đờng thẳng cho trớc. 2. Hai đờng thẳng cùng với một đờng thẳng khác thì // với nhau. 3. Tứ giác có hai cặp cạnh đối // với nhau là hình bình hành. 4. Cạnh đối của hbh thì bằng nhau và suy ra từ giả thiết. 5. Suy từ giả thiết và 1: Hai đờng thẳng cùng // với hai đờng thẳng khác // với nhau thì cũng // với nhau. 6. Góc đồng vị của hai đờng thẳng // với một cát tuyến thì bằng nhau. 7. Góc vuông bằng nhau. 8. Trờng hợp bằng nhau của tam giác vuông 9. Hai tam giác bằng nhau thì cạnh tơng ứng của chúng cũng bằng nhau. Chú ý: Bạn thử từ A và C dựng đờng thẳng // với MN, xem có thể làm cho đoạn thẳng đã cho và đoạn thẳng cần chứng minh trở nên có liên hệ với nhau đ- ợc không ? 2. Tạo nên đoạn thẳng thứ ba hoặc góc thứ ba, làm cho hai đoạn thẳng hoặc hai góc cần chứng minh trở nên có liên hệ. Ví dụ 2: Kinh nghiệm giảng dạy Đỗ Mạnh Thắng 4 A B E E C D Trờng THCS Lê Hồng Phong GT: A + E + C = 360 0 KL: AB//CD. Suy xét: Từ E dựng EF//AB, nếu chứng minh đợc EF//CD thì sẽ có AB//CD. Chứng minh: Lý do: 1. Từ E dựng EF//AB. 2. Thì A + 1 = 180 0 3. Ta có A + E + C = 360 0 4. C + 2 = 180 0 5. EF//CD 6. AB//CD 1. Từ một điểm có thể dựng một đờng thẳng // với một đờng thẳng cho trớc. 2. Hai góc trong cùng phía của hai đờng thẳng // và một cát tuyến bù nhau. 3. Theo giả thiết. 4. Suy từ 2 và 3. 5. Theo định lý, cách nhận ra hai đờng thẳng //. 6. Đờng thẳng // với một trong hai đờng thẳng // cho trớc thì cũng // với đờng thẳng kia Chú ý: Bạn thử từ E dựng đờng // với AB về bên trái: xem đờng đó có thẻ làm trung gian để chứng minh AB//CD đợc không ? 3. Tạo nên đoạn thẳng hay góc bằng tổng, hiệu, gấp đôi hay 1/2 đoạn thẳng hay góc cho tr ớc , để đạt mục đích chứng minh định lý. Ví dụ 3: (tạo nên đoạn thẳng bằng 1/2 đoạn thẳng cho trớc). Cho tam giác cân ABC đáy BC, lấy trên AB kéo dài một đoạn BD = AB. Chứng minh rằng trung tuyến CE = 1/2 CD. GT: AB = AC Kéo dài AB, và BD = AB; AE = EB. Nối CD và CE KL: CD = 2CE Phân tích: 1. Muốn chứng minh CD = 2CE, phải có một trong hai điều kiện dới đây: a) 1/2 độ dài CD = độ dài CE. b) 2 lần độ dài CE = độ dài CD. Kinh nghiệm giảng dạy Đỗ Mạnh Thắng 5 A E B C F D Trờng THCS Lê Hồng Phong 2. Nếu lấy a) của 1, để có 1/2 CD = CE, thì phải chia đôi CD ở F, và nghiên cứu xem có hợp với một trong hai điều kiện dới đây không: a) CF = CE. b) DF = CE. 3. Nếu lấy a) của 2, để có CF = CE, lại cần phải có một trong hai điều kiện sau: a) CF và CE là cạnh tơng ứng của hai tam giác bằng nhau. b) CF và CE đều bằng một đoạn thẳng thứ ba. . . . . . . 4. Nếu lấy a) của 3, phải nối BF và muốn BFC = BEC, ta lại cần phải có một trong những điều kiện sau: a) BE = BF; 2 = 1; BC = BC (cgc) b) 2 = 1; BC = BC; BCF = BCE. (gcg). 5. Nghiên cứu kỹ a) và b) của 4. Ta thấy chỉ có a) phù hợp với giả thiết. Vì BF là đoạn thẳng nối liền điểm giữa của hai cạnh, nên bằng 1/2 AC. Theo giả thiết thì AB = AC, BE = 1/2 AB. Thay vào sẽ đợc BF = BE, và vì BF//AC, nên có cặp góc so le trong 2 = ACB; tam giác ABC cân, nên 1 = ACB, ta suy ra 1 = 2. còn BC thì chung. Cuối cùng ta đợc BCF = BCE, thì cũng chứng minh đợc CD = 2CE. Trong phân tích trên, nếu lấy b) của 1; b) của 2; b) của 3 suy đoán t- ơng tự, ta cũng đợc kết quả nh trên, do đó có những phơng pháp chứng minh khác nhau. Chứng minh: Lý do: Kinh nghiệm giảng dạy Đỗ Mạnh Thắng 6 Trờng THCS Lê Hồng Phong 1. Chia đôi CD tại F, nối BF 2. Vì AB = BD; CF = FD 3. Do đó BF//AC 4. Từ 1= ACB= 2 5. Và BF = 1/2 AC = 1/2 AB = BE 6. BC = BC 7. Có CBF = CBE 8. CF = CE 9. Vậy CD = 2CE 1. Mỗi đoạn thẳng đều có một điểm giữa qua 2 điểm kẻ đợc một đờng thẳng. 2. Theo giả thiết và suy từ 1. 3. đờng thẳng đi qua điểm giữa của 2 cạnh một tam giác thì // với cạnh thứ ba và bằng 1/2 cạnh đó. 4. Hai góc đáy của một tam giác cân bằng nhau; góc so le trong bằng nhau. 5. Suy từ 3 và giả thiết 6. Không đổi. 7. cgc 8. Các yếu tố tơng ứng của hai tam giác bằng nhau. 9. Suy ra từ 8 và giả thiết. Ví dụ 4: (tạo nên đoạn thẳng bằng tổng hai đoạn thẳng). Nếu tổng hai đáy của một hình thang bằng một cạnh bên, thì đờng phân giác của hai góc kề với cạnh bên đó đi qua điểm giữa của cạnh bên kia. GT: Hình thang ABCD, AD//BC AD + BC = AB; F là điểm giữa của CD F KL: Phân giác của A và B đi qua F B C G Suy xét: Muốn chứng minh một đờng thẳng đi qua điểm giữa của một đoạn thẳng thì tơng đối khó, chứng minh một đờng thẳng chia đôi một góc dễ hơn. Ta sẽ dùng phơng pháp chứng minh gián tiếp để chứng minh định lý này. Định lý đảo của định lý này là Nếu trong hình thang ABCD, AD//BC, AD + BC = AB, F là điểm giữa của CD, nối AF và BF, thì AF chia đôi góc A và BF chia đôi góc B . Kinh nghiệm giảng dạy Đỗ Mạnh Thắng 7 A D Trờng THCS Lê Hồng Phong Vì đờng phân giác (của A và B) chỉ có một, và qua hai điểm chỉ kẻ đợc một đờng thẳng (AF, BF) nên ta không cần chứng minh định lý thuận mà chứng minh định lý đảo cũng đợc. Chứng minh: Lý do: 1. Không dựng phân giác của A và B, nối AF, BF, kéo dài AF và BC gặp nhau ở G. 2. Từ AD//BC 3. Có 1 = G; D = FCG 4. DF = FG 5. Vậy ADF = GCF 6. Rút ra AD = CG 7. BG = AB 8. 2 = G 9. Nhng 1 = G 10. Nên 1 = 2 11. AF là phân giác của A 12. Tơng tự BF là phân giác của B 13. Vậy phân giác của A và B qua F 1. Qua hai điểm kẻ đợc một đờng thẳng; đờng thẳng có thể kéo dài vô tận; Vì AD//BC, AF không // với BC thì phải cắt BC. 2. Theo giả thiết. 3. Góc so le trong của hai đờng thẳng // và một cát tuyến bằng nhau. 4. Theo giả thiết. 5. cgc 6. Suy từ 5 7. Thay 6 vào giả thiết AD + BC = AB 8. Góc đáy của tam giác cân BAG. 9. Chứng minh ở 3. 10. Suy từ 8 và 9 11. Theo định nghĩa của dờng phân giác. 12. Chứng minh giống từ 2 đến 11. 13. Suy từ 11 và 12; đờng thẳng đia qua 2 điểm và đờng phân giác của một góc chỉ có một. Ví dụ 5: (tạo nên đoạn thẳng bằng 2 lần đoạn thẳng cho trớc). Khoảng cách từ trực tâm đến một đỉnh của tam giác bằng hai lần khoảng cách từ tâm của đờng tròn ngoại tiếp đến cạnh đối diện với đỉnh đó. GT: AK, BD là đờng cao của ABC B cắt nhau ở G, đờng trung trực HE, HF K Kinh nghiệm giảng dạy Đỗ Mạnh Thắng 8 Trờng THCS Lê Hồng Phong cắt nhau ở H L G F KL: BG = 2HE; AG = 2HF. H A D E C Suy xét: Muốn chứng minh BG=2HF, ta có thể tìm cách dựng một đoạn thẳng khác bằng 2HE. Nhng nếu kéo dài HE gấp đôi để đạt mục đích trên, thì đoạn đó vẫn không có liên hệ gì với BG cả, nên phải nghĩ cách khác. Từ giả thiết E là điểm giữa của AC, ta thử nối CH và kéo dài đến L sao cho HL = CH. H là điểm giữa của CL, HE trở thành đoạn thẳng nối hai điểm giữa của hai cạnh CAL. Từ định lý Đ ờng trung bình của một tam giác bằng 1/2 cạnh thứ ba ta có LA = 2HE. Xem kỹ hai đoạn LA và BG, ta có thể chứng minh chúng là cạnh đối của một hình bình hành, nên giải đợc bài này. Chứng minh: Lý do: 1. Nối CH và kéo dài một đoạn HL = CH, nối LA, LB 2. LA//HE 3. BD//HE 4. Nên LA//BD 5. Tơng tự ta có LB//AK 6. Tứ giác LAGB là hình bình hành 7. BG = LA. 8. LA = 2HE. 1. Qua hai điểm kẻ đợc một đờng thẳng; đ- ờng thẳng có thể kéo dài vô tận. 2. Đoạn thẳng nối liền điểm giữa hai cạnh của tam giác thì // với cạnh thứ ba. 3. Hai đờng thẳng cùng với đờng thẳng thứ ba thì // với nhau. 4. Suy từ 2 và 3. 5. Theo cách chứng minh từ 2 đến 4. 6. Tứ giác có các cạnh đối // với nhau là hình bình hành 7. Hai cạnh đối hình bình hành 8. Theo định lý đờng trung bình của tam giác và 1. Kinh nghiệm giảng dạy Đỗ Mạnh Thắng 9 Trờng THCS Lê Hồng Phong 9. BG = 2HE. 10. Tơng tự ta có AG = 2HF 9. Thay 7 vào 8 10. Chứng minh giống từ 7 đến 9. Chú ý : Bạn thử nối CG lấy điểm giữa là M, tạo nên đoạn thẳng mới bằng 1/2 BG là FM, xem có thể chứng minh đợc bài này không ? 4. Tạo nên những đại l ợng mớ i (đoạn thẳng hoặc góc) bằng nhau; thêm vào những đại lợng bằng nhau mà bài ra dã cho để giúp cho việc chứng minh. Ví dụ 6: Trung tuyến trên cạnh huyền của tam giác vuông bằng một nửa cạnh huyền. A GT: Trong ABC, C = 90 0 DA = DB. D E KL: DC = DA. B C Suy xét: Trong bài chỉ có một cặp đại lợng bằng nhau là DA = DB, nh vậy không chứng minh đợc DC = DA. Ta lấy điểm giữa của AC là E, nối DE, thì có thêm một cặp đại lợng mới bằng nhau là AE = CE. Và từ định lý Đ ờng trung bình của một tam giác song song với cạnh thứ ba ; Góc đồng vị của hai đ ờng thẳng // hợp thành với một cát tuyến thì bằng nhau và Góc bù với góc vuông cũng là góc vuông , ta sẽ có DE//BC; 1 = C = 90 0 = 2, nh vậy, lại đợc thêm một cặp đại lợng bằng nhau. Ta có thể chứng minh ADE = CDE để rút ra DC = DA. Chứng minh: Lý do: Kinh nghiệm giảng dạy Đỗ Mạnh Thắng 10 [...]... tròn phụ III Những điểm cần chú ý khi vẽ đờng phụ: (1) Muốn đờng phụ giúp ích cho việc chứng minh thì vẽ đờng phụ phải có mục đích, không nên vẽ tuỳ tiện Nếu không thì chẳng giúp đợc gì cho việc chứng minh, lại còn làm cho hình vẽ rối ren, hoa mắt, khó mà tìm đợc cách giải đúng Ta nên đặc biệt lu ý phần này (2) Vẽ đờng phụ phải tuân theo phép dựng hình cơ bản những đờng không có trong phép dựng hình. .. Mỗi câu nói trong lúc chứng minh đều phải có lý do xác đáng, tuyệt đối không qua loa đợc Vẽ thêm đờng phụ trong chứng minh hình học cũng vậy, phải hết sức cân nhắc tìm cho ra đợc mối liên hệ giữa các yếu tố trong hình và những yếu tố đã cho của giả thiết Những đờng phụ vẽ thêm đó, khi bắt đầu chứng minh cần ghi ngay vào đầu bài làm, nói rõ đã vẽ nh thế nào Qua việc vận dụng kinh nghiệm trên trong giảng... Thắng 17 Trờng THCS Lê Hồng Phong giữ của cạnh thứ ba để chứng minh AE = EC Hay nếu thay bằng Từ D hạ DE AC thì phải dùng định lý hai đờng thẳng hợp thành với một cát tuyến một cặp góc đồng vị bằng nhau thì song song với nhau để chứng minh DE//BC, rồi lại phải chứng minh đờng trung bình ở trên để chứng minh AE = EC H D Kết luận: ình học là môn học suy diễn bằng lý luận chặt chẽ, từ những nguyên nhân nào... dựng hình (3) Có khi đờng phụ vẽ thêm cũng là một đờng nào đó, nhng vì cách dựng khác nhau, nên cách chứng minh cũng khác nhau Nh trong ví dụ 6, phần chứng minh, nếu thay từ D dựng DE//BC thì phải dùng định lý đờng thẳng đi qua điểm giữa của một cạch của tam giác mà song song với cạnh thứ hai thì phải đi qua điểm Kinh nghiệm giảng dạy Đỗ Mạnh Thắng 17 Trờng THCS Lê Hồng Phong giữ của cạnh thứ ba để chứng. .. cạnh đối diện Biết BO = 2OE, ta có thê lấy điểm giữa của BO là M, dựng MN ! xy, EP ! xy, tạo nên hình thang MNPE, BHLO, AGKC, có OL, MN, EP lần lợt // là đờng trung bình của các hình thang trên Ta có thể ứng dụng định lý Đ ờng trung bình của hình thang bằng 1/2 tổng hai đáy và chứng minh đợc bài trên Chứng minh: Lý do: 1 Lấy điểm giữa của BO là M, 1 Mỗi đoạn thẳng đều có điểm giữa; từ một dựng MN xy;... O là tâm đờng A tròn ngoại tiếp Chứng minh AO ED Suy xét: Dựng tiếp tuyến AF , tại A; thì C B FAB = ACB (cùng chắn cung AB của (O)); chứng minh đợc tứ giác BEDC nội tiếp; do đó ACB = AED (cùng bù với góc DEB) suy ra FAB = AED hai góc này ở vi trí so le trong bằng nhau nên AF//ED; mà AF OA (Bán kính vuông góc với tiếp tuyến tại tiếp điểm) nên DE OA Bạn hãy tự chứng minh Kinh nghiệm giảng dạy Đỗ Mạnh... Hồng Phong 12 Vậy AB + CE > AC + BD 12 Chuyển vế các số hạng Chú ý: Bạn thử từ trên AB lấy BK = AC, từ K dựng KL AC, KM BD, xem có chứng minh đợc bài này không ? Hoặc trên CA kéo dài lấy một điểm P sao cho AP = AB xem có chứng minh đợc không ? II Các loại đờng phụ: Đờng phụ thờng có 10 loại dới đây: (1) Kéo dài một đoạn thẳng cho trớc với độ dài tuỳ ý, hoặc bằng độ dài cho trớc hoặc cắt một đoạn thẳng... khoảng cho trớc) Nh trong ví dụ 3 ; 5; 6; và 8 (3) Từ một điểm cho trớc dựng đờng song song với một đờng thẳng cho trớc, hoặc dựng đờng song song với đờng mà ta cần chứng minh đờng này sông song với một đờng nào đó Nh trong ví dụ 1 và 2 (4) Từ một điểm cho trớc hạ đờng vuông góc xuống một đờng thẳng cho trớc Nh trong ví dụ 7 và 8 (5) Dựng đờng phân giác của một góc cho trớc Nh trong ví dụ 9 (cách giải... bằng góc cho trớc, nh trong cách giải II của ví dụ 9 dới đây: Ví dụ 9: Góc xen giữa cạnh đáy và đờng cao của cạnh bên trong một tam giác cân bằng nửa góc ở đỉnh GT: A Trong ABC, AB = AC CD AB KL: D DCB = 1/2 A Cách giải I: B Chứng minh: Kinh nghiệm giảng dạy E C Lý do: Đỗ Mạnh Thắng 14 Trờng THCS Lê Hồng Phong 1 Dựng phân giác của A là 1 Mối góc đều có một đờng phân giác AE 2 .Trong tam giác cân, đờng... CE và một đoạn khác bằng AC + BD thì không chứng minh đợc Do đó ta phải biến đổi kết luận của bài ra: Chuyển vế bất đẳng thức của kết luận, ta sẽ đợc AB AC > BD CE Trên cạnh lớn AB lấy AF = AC, thì BF = AB AC; Dựng FG AC, FH BG tạo nên một đoạn BH = BD HD = BD CE Nh vậy ta đã đổi bài tập trên trở thành một bài tập khác phải chứng minh BF > BH Chứng minh: Lý do: 1 Trên AB lấy AF = AC Nối 1 Trên . ờng phụ trong chứng minh hình học phẳng . B. Giải quyết vấn đề: hi chứng minh định lý hình học, trừ một số bài dễ, phần nhiều phải vẽ thêm đờng phụ mới chứng. nghiệm giảng dạy: vẽ đờng phụ trong chứng minh hình học phẳng. --------------- A. Đặt vấn đề: Trong khi học hình học phẳng, nói chung học sinh đều cảm thấy