SKKN MỘT SỐ CÁCH SUY LUẬN HỢP LÝ ĐỂ TÌM RA CÁCH VẼ ĐƯỜNG PHỤ

28 780 10
SKKN MỘT SỐ CÁCH SUY LUẬN HỢP LÝ ĐỂ TÌM RA CÁCH VẼ ĐƯỜNG PHỤ

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Thông tin tài liệu

Phòng giáo dục - đào tạo thị xã Thái Hoà trờng THCS hoà hiếu II Đề tài một phơng pháp suy luận hợp để tìm ra cách vẽ đờng phụ dùng trong chứng minh một số hệ thức hình học Ngời thực hiện : Nguyễn Anh Tuấn Trờng THCS hoà hiếu II Năm học 2008 - 2009 Saựng kieỏn kinh nghieọm I. đặt vấn đề Trong quá trình kiếm tìm lời giải cho các bài toán hình học, đôi khi việc vẽ thêm các đờng phụ sẽ giúp cho việc giải toán trở nên dễ dàng hơn, thuận lợi hơn. Thậm chí có những bài toán nếu không vẽ thêm đờng phụ sẽ không giải đ- ợc. Vấn đề đặt ra là đờng phụ đợc vẽ nh thế nào? Có phơng pháp chung nào để vẽ đợc đờng phụ hay không?Đó là điều khiến chúng ta cần phải đầu t suy nghĩ . Thực tế cho thấy rằng không có phơng pháp chung để vẽ đờng phụ khi giải các bài toán hình học. Tuỳ vào từng bài toán cụ thể chúng ta sẽ có những cách vẽ đờng phụ hợp để có đợc những lời giải hay và độc đáo.Tuy nhiên việc vẽ thêm đờng phụ không thể tuỳ tiện, không phải do sự may mắn trong quá trình tìm kiếm lời giải mà nó phải bắt nguồn từ sự suy luận hợp trên cơ sở phân tích các giả thiết và kết luận của bài toán .Sau đây tôi xin trình bày một ví dụ sử dụng phơng pháp suy luận hợp để tìm ra cách vẽ đờng phụ. II. Nội dung Ví dụ 1: Trên cung BC không chứa điểm A của đờng tròn ngoại tiếp đều ABC, lấy một điểm P tuỳ ý, các đoạn thẳng AP và BC cắt nhau tại Q, chứng minh rằng: PC 1 PB 1 PQ 1 += * Cách 1: Phân tích bài toán Ta có: PC 1 PB 1 PQ 1 += <=> PQ . PC + PQ. PB = PB.PC (*) - Từ (*) giúp ta nghĩ đến chọn điểm phụ K CP để tách PB.PC = PB. (PK+KC). - Bây giờ ta tìm tính chất của điểm K bằng cách cho PB.PK = PQ.PB (hoặc PQ.PB = PB.KC). Từ PB.PK = PB.PQ => PK = PQ - Từ đó ta suy ra cách chọn điểm phụ nh sau: Trên đoạn PC ta lấy K sao cho PQ = PK. Giải: PQC có P = 60 0 ; PQC > 60 0 => PC > PQ Trên đoạn PC lấy điểm K sao cho PK = PQ => PQK đều (vì QPK = 60 0 ; PQ = PK) Nguyễn Anh Tuấn T rờng THCS Hoà Hiếu II - thị xã Thái Hoà Trang 2 A B P Q C Saựng kieỏn kinh nghieọm => PQ = PK = QK => PQ. PB = PK.PB (1) Mặt khác: KQC S PBC (vì QKC = BPC = 120 0 ; KCQ = PCB) => KQ.PCPB.CK PC PB KC KQ == => PB.CK = PQ.PC (2) Từ (1) và (2) => PQ.PC + PQ.PB = PB.CK + PK.PB = PB (CK+ KP) = PB.CP => PQ (PC + PB) = PB.PC => PB 1 PC 1 PQ 1 += (đpcm) * Nhận xét: - ở bớc phân tích ta đã có PK.PB = PB.PQ, phần còn lại ta chỉ cần chứng minh: PQ.PC = PB. KC là đợc. - ở cách giải thứ nhất ta đã chọn điểm phụ K thuộc đoạn PC, tơng tự nh vậy ta có thể chọn điểm K thuộc PB. * Cách 2: Ta có: PC 1 PB 1 PQ 1 += <=> PB 1 PQ 1 PC 1 = <=> PB . PC - PQ. PC = PQ.PB (**) - Từ (* *) giúp ta nghĩ đến chọn điểm phụ M trên tia đối của tia QP để tách PB.PQ = PB (PM - MQ). - Bây giờ ta tìm tính chất của điểm M bằng cách cho PB.PM = PB.PC <=> PM = PC. -Từ đó ta suy ra cách chọn điểm phụ M nh sau: Trên tia đối của tia QP lấy điểm M sao cho PM = PC . Giải: Trên tia đối của tia QP lấy điểm M sao cho PM = PC => PMC đều (vì PM = PC; MPC = 60 0 ) => PM = PC = MC => PB.PM = PB.PC (1). Mặt khác: PQB S MQC (vì Q 1 = Q 2 ; BPQ = QMC = 60 0 ) Nguyễn Anh Tuấn T rờng THCS Hoà Hiếu II - thị xã Thái Hoà Trang 3 A B P Q M O C 1 2 Saựng kieỏn kinh nghieọm => MC MQ PB PQ = => PQ.MC = PB.MQ => PB.MQ = PQ.PC (2) (Vì: MC = PC): Từ (1) và (2) => PC.PB - PC.PQ = PB.PM - PB.MQ = PB (PM - MQ) = PB.PQ => PC (PB-PQ) = PB.PQ => PB 1 PQ 1 PC 1 = hay PC 1 PB 1 PQ 1 += (đpcm) * Nhận xét: +Tơng tự nh cách 2 ta có thể lấy điểm M trên tia đối của tia QP sao cho PM = PB. +ở cách 2 ta đã chọn điểm phụ M trên tia PQ. Vậy ta có thể chọn điểm phụ M trên tia đối của tia PB đợc không ?. Nếu chọn điểm phụ M trên tia đối của tia PB thì ta có: PB.PQ = (BM - MP) PQ = PQ.BM - PQ.MP - Ta tìm tính chất của điểm M bằng cách cho PQ.MP = PQ.PC => MP=PC, từ đó ta suy ra cách cọn điểm phụ M nh sau: - Trên tia đối của tia PB ta lấy điểm M sao cho PM = PC. - Phần còn lại ta chỉ cần chứng minh đợc: PQ.BM = PC.PB Hay: PB MB PQ PC = Tuy nhiên ở đây P, M, B thẳng hàng nên không có BMP S PCQ. Vậy ta có thể thay tỉ số PB MB bằng tỉ số nào đợc ở đây ta cần chú ý đến một điều đó là ta có thể chứng minh đợc MB = BP+PM = BP + PC = AP. Nh vậy ta cần phải chứng minh PB AP PQ PC = . Điều này có đợc nhờ PCA S PQB (g.g). Từ đó ta có lời giải nh sau: * Cách 3: Nguyễn Anh Tuấn T rờng THCS Hoà Hiếu II - thị xã Thái Hoà Trang 4 A B P Q M C Saựng kieỏn kinh nghieọm Trên tia đối của tia PB ta lấy điểm M sao cho PM = PC Ta có: MPC = BAC = 60 0 (cùng bù với góc BPC) => PCM đều => PC = PM = CM. Xét APC và BMC có: AC = BC (gt) ACP = BCM ( = 60 0 + PCB) ; PC = CM (chứng minh trên) => APC = BMC (c.g.c) => AP = BM Ta có: PCA S PQB (g.g) => PB PA PQ PC = => PB MB PQ PC = (Vì PA = BM) => PC.PB = PQ.MB (1) Mặt khác: Vì PC = PM => PC.PQ = PM.PQ (2) Từ (1) và (2) => PB.PC - PQ.PC = PQ.MB - PQ.PM = PQ.(MB - PM) = PQ.BP => PC. (PB - PQ) = PQ.PB => = PQ 1 PC 1 PB 1 hay += PB 1 PQ 1 PC 1 (đpcm) * Nhận xét: + ở cách 2 ta đã lấy điểm M trên tia đối của tia QP để tách PQ = PM - MQ. Tại sao ta không lấy M trên tia đối của tia PQ ?. Nếu lấy M trên tia đối của tia PQ thì ta tách PQ.PB = (QM - PM) PB = QM.PB - PM.PB. Đến đây ta tìm tính chất của điểm M bằng cách cho QM.PB = PC.BP => QM = PC, tuy nhiên đến đây ta không thể chứng minh đợc PM.PB = PC.PQ. Vì không thể vận dụng đợc giả thiết của bài toán đã cho là ABC đều. + ở cách 3 ta đã lấy điểm phụ M trên tia đối của tia PB để tách PB .PQ=(BM-MP).PQ. Vậy ta có thể chọn điểm phụ M trên tia đối của tia PB đợc không ? Nếu lấy M trên tia đối của tia BP thì ta có : BP.PQ=(PM-BM).PQ=PM.PQ-BM.PQ - Ta tìm tính chất của điểm M bằng cách cho BM.PQ=PC.PQ => BM =PC Phần còn lại ta chỉ cần chứng minh PB.PC = PM.PQ là đợc hay: PQ PC PB PM = ở đây ta cần chú ý đến PM= PB+PM = PB+PC=PA Do đó ta cần chứng minh PQ PC PB PA = điều này có đợc nhờ PAB S PCQ(g-g) Nguyễn Anh Tuấn T rờng THCS Hoà Hiếu II - thị xã Thái Hoà Trang 5 Saựng kieỏn kinh nghieọm - Từ giả thiết: =>+= PBPCPQ 111 PC 1 PQ 1 PB 1 += <=> PQ . PC = PB.CP - PB . PQ Nh vậy chúng ta cũng có thể chọn điểm phụ trên tia đối của tia PC(Hoăc trên tia đối của tia CP) Ví dụ 2: Cho ABC, AD là đờng phân giác trong của góc BAC (D BC) . Chứng minh rằng: AD 2 = AB . AC - DB . DC. * Phân tích: - Ta chọn điểm phụ M trên tia đối của tia AD để tách AD 2 = AD (AM - MD) = AD . AM - AD . MD. - Ta tìm tính chất của điểm M bằng cách cho AB . AC = AM . AD (Hoặc BD . DC = AD.MD), từ AB . AC = AM . AD. => AC AD AM AB = => ABM S ADC (c.g.c) ( vì A 1 = A 2 ) => AMB = ACD => tứ giác ACMB nội tiếp. - Từ đó ta suy ra cách vẽ điểm phụ M nh sau: Gọi M là giao điểm của AD với đờng tròn ngoại tiếp ABC. Lời giải: * Cách 1 (lớp 9): Gọi M là giao điểm của AD với đờng tròn ngoại tiếp ABC Ta có: AMC S ABD (g.g) => AD AB AC AM = => AC . AB = AD . AM (1) Mặt khác: ABD S CMD (g.g) => MD BD CD AD = => BD . CD = AD . MD (2) Nguyễn Anh Tuấn T rờng THCS Hoà Hiếu II - thị xã Thái Hoà Trang 6 A B D M C 1 2 Saựng kieỏn kinh nghieọm Từ (1) và (2) => AB . AC - BD . CD = AD . AM - AD . MD = AD (AM - MD) = AD . AD = AD 2 (đpcm) * Cách 2 (lớp 8): Đối với học sinh lớp 8, các em cha học đến đờng tròn, do đó từ ABM S ADC => AMB = ACD Mặt khác, ta có: C + A 2 = D 1 CBM + M = D 1 => CBM = A 2 Từ đó ta suy ra cách vẽ điểm phụ M nh sau: Trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa A vẽ tia Bx sao cho CBx = A 2 , Gọi M là giao điểm của tia AD và tia Bx. Ta có: B 1 + M = D 1 (định về góc ngoài của tam giác). C + A 2 = D 1 => M = C => ABM S ADC (g.g) => AD AB AC AM = => AB . AC = AM . AD (1) Mặt khác: DBM S DAC (g.g) => CD AD DM BD = => BD . CD = DM . AD (2) Từ (1) và (2) => AB . AC - BD . CD = AD . AM - DM . AD = (AM - MD) . AD = AD 2 (đpcm) * Cách 3 (lớp 8): Từ điều cần chứng minh AD 2 = AB . AC - DB . DC => AB . AC = AD 2 + DB . DC - Từ đó ta chọn điểm phụ K thuộc AB để tách AB . AC = (AK + KB) AC = AK . AC + KB . AC - Ta tìm tính chất của điểm K bằng cách cho AK . AC = AD 2 Nguyễn Anh Tuấn T rờng THCS Hoà Hiếu II - thị xã Thái Hoà Trang 7 A B D M X C 1 1 1 2 Saựng kieỏn kinh nghieọm => AC AD AD AK = => AKD S ADC (c.g.c) (Vì A 1 = A 2 ) => ADK = ACD - Từ đó ta suy ra cách chọn điểm phụ K nh sau: Bên trong góc ADB vẽ tia DK sao cho ADK = C (K AB) Lời giải: Bên trong góc ADB vẽ tia DK sao cho ADK = C (K AB) => ADK S ACD (g.g) => AD AC AK AD = => AD 2 = AC . AK (*) Mặt khác: A 1 + D 1 = K 1 ; C + A 2 = ADB; C + A 2 = D 1 + A 1 => K 1 = ADB; => KBD S DBA (g.g) => AB BD BD KB = (1) Ta lại có AC DC AB DB = (2) (vì AD là phân giác của A ) Từ (1) và (2) => AC DC BD KB = => DB . DC = AC . KB (**) Từ (*) và (**) => DB . DC + AD 2 = AC . KB + AC . AK = AC (AK + KB) = AC . AB => AD 2 = AB . AC - DB . DC (đpcm) * Cách 4: Phân tích AD 2 = AB . AC - DB . DC <=> DB.DC = AB . AC - AD 2 . Lấy I trên tia đối của tia DB để tách DB . DC = (BI - DI) DC. - Ta tìm tính chất của điểm I bằng cách cho BI . DC = AB . AC (Hoặc DI . DC = AD 2 ) Nguyễn Anh Tuấn T rờng THCS Hoà Hiếu II - thị xã Thái Hoà Trang 8 A B D K C 1 1 1 2 A B D I C Saựng kieỏn kinh nghieọm => DC AC AB BI = Mặt khác: Vì AD là tia phân giác của góc BAC => BD AB DC AC = Do đó BD AB AB BI = => BIA S BAD) (c.g.c) => BIA = BAD - Từ đó ta suy ra cách điểm phụ nh sau: Trên tia đối của tia DB lấy điểm I sao cho BIA = BAD Lời giải: Trên tia đối của tia DB lấy I sao cho BIA = BAD => BIA S BAD (g.g) => BD AB AB BI = (1) Mặt khác: AD là phân giác của góc BAC => DC AC BD AB = (2) Từ (1) và (2) => DC AC AB BI = => AB.AC = BI.DC (3) Ta lại có: IDA S ADC (g.g) => DC AD AD ID = => AD 2 = ID . DC (4) Từ (3) và (4) => AB . AC - AD 2 = (BI - ID) DC = BD . DC Hay AD 2 = AB . AC - DB . DC (đpcm) * Nhận xét. + Ta đã chọn điểm phụ K trên AB để tách AB = AK . KB. Tơng tự nh vậy ta cũng có thể chọn điểm phụ K trên AC. + Khi đã chứng minh đợc AD 2 = AC . AK, phần còn lại ta chỉ cần chứng minh AC . KB = DB . DC <=> AC DC DB KB = , tuy nhiên ta không thể chứng minh trực tiếp đợc kết quả này mà phải sử dụng kết quả AD AB AC AD = nhờ vào tính chất đờng phân giác của tam giác. + Sau khi học sinh giải xong bài tập này, giáo viên nên cho học sinh xét bài toán trong trờng hợp AD là đờng phân giác ngoài của góc BAC (D thuộc đờng thẳng BC) để các em tự tìm ra đợc kết quả AD 2 = DB . DC - AB . AC. Nguyễn Anh Tuấn T rờng THCS Hoà Hiếu II - thị xã Thái Hoà Trang 9 Saựng kieỏn kinh nghieọm + Tơng tự nh cách 4 có thể chọn điểm phụ trên tia đối của tia DC. Ví dụ 3: (Toán 8) Cho hình bình hành ABCD, một đờng thẳng d thay đổi cắt các đoạn thẳng AB, AD, AC lần lợt tại M, N, P. Chứng minh rằng: AP AC AN AD AM AB =+ * Phân tích: - Ta chọn điểm phụ I thuộc AC để tách AP IC AP AI AP ICAI AP AC += + = - Ta tìm tính chất của điểm I bằng cách cho AP AI AM AB = hoặc = AP IC AM AB Từ AP AI AM AB = => ABI S AMP (c.g.c) => BIA = MPA => BI//d -Từ đó suy ra cách vẽ điểm phụ I nh sau: Kẻ IB //d (I AC) Lời giải: Kẻ BI//d (I AC) => AP AI AM AB = (1) (định ta-let) Xét CBI và ANP có: PAN = ICB (so le trong) APN = CIB ( = CPM) => CBI S ANP (g.g) => AP IC AN AD AP IC AN BC ==>= (2) (vì BC = AD). Từ (1) và (2) => AP AC AP ICAI AN AD AM AB = + =+ (đpcm) Cách 2: Ta có: AN AD AP AC AM AB AP AC AN AD AM AB =<=>=+ - Ta chọn điểm phụ I trên tia đối của tia BA để tách AM BIAI AM AB = Nguyễn Anh Tuấn T rờng THCS Hoà Hiếu II - thị xã Thái Hoà Trang 10 A M B D P 1 d N I C A M B D P 1 d N I C [...]... (1) và (2) suy ra: AB.CD+AD.BC=(AI+IC).BD=AC.BD (đpcm) Cách 2: (*) AB.CD=AC.BD-AD.BC Nguyễn Anh Tuấn T rờng THCS Trang 13 Hoà Hiếu II - thị xã Thái Hoà Saựng kieỏn kinh nghieọm - Chọn điểm phụ I trên tia đối của tia AB để tích AB.CD=(BI-AI).CD - Tìm tính chất của điểm I bằng cách cho BI.CD= AC.BD => BI CA = BD CD S =>BID CAD(c-g-c) ( vì B1 = C1 ) => IDB=ADC Từ đó suy ra cách vẽ điểm phụ nh sau... CBD có : S =>AID CBD(g-g) Từ (1) và (2) suy ra AD.BC AD.BC=(BI-AI)CD=AB.CD hay :AB.CD+AD.BC=AC.BD (đpcm) Cách 3 : -Chọn điểm phụ I trên tia đối của tia BA để tích :AB.CD=(AI-BI)CD -Tìm tính chất của điểm I bằng cách cho AI.CD=AC.BD (Hoặc BI.CD=AD.BC) Từ AI.CD=AC.BD) = BD =>AIC CD DBC(c-g-c) S AI => AC Vì ( A1 = D1 ) =>AIC=DBC Từ đó ta suy ra cách chọ điểm phụ nh sau: Trên tia đối của tia BA lấy điểm... của tia CA để tách : - Ta tìm tính chất của điểm I bằng cách cho AC AI CI = ML ML AI BC = ML MH hay AI ML = BC MH (1) Ta có MLH S Mặt khác : MAB vì : BMA=HML (=HCL) BAM=MLH (=BCM) ML MA = MH MB (2) Từ (1) và (2) suy ra : AI MA = BC MB => AIM S => BCM (c-g-c) => AMI=BMC Nguyễn Anh Tuấn T rờng THCS Trang 17 Hoà Hiếu II - thị xã Thái Hoà Saựng kieỏn kinh nghieọm -Từ đó suy ra cách vẽ điểm phụ nh sau... BI AB = AM = AM AM AM (đpcm) Cách 3: Ta có : AC AB = AP AM + AD AN AD AC = AN AP - AB AM AD AI DI = AN AN AI AC = AN AP - Ta chọn điểm phụ I trên tia đối của tia DA để tách - Ta tìm tính chất của điểm I bằng cách cho hoặc A DI AB = AN AM 1d N M C => AIC ANP(c.g.c) S Từ B P D AI AC = AN AP ; => AIC = ANP I => CI // NP Hay CI // d - Từ đó ta suy ra cách vẽ điểm phụ nh sau: Qua C kẻ đờng thẳng... Tuấn T rờng THCS Trang 12 Hoà Hiếu II - thị xã Thái Hoà Saựng kieỏn kinh nghieọm (vì AB = CD) Hay AC AB AD = + AP AM AN (đpcm) * Nhận xét: - Tơng tự nh cách 4 ta có BC AC AB = AN AP AM AC AB AD = + AP AM AN AD AC AB = AN AP AM (vì BC = AD), ta cũng có thể chọn điểm phụ I trên tia đối của tia BC - ở cách 1 nếu ta tìm tính chất của điểm I bằng cách cho suy ra cách chọn điểm phụ nh sau: Kẻ DI//d... BI + IC BC + = = MK ML MH MH IC AC = MH ML (**) (đpcm) Cách 2: Ta có BC AB AC AC BC AB = + = MH MK ML ML MH MK AC CI AI = ML ML CI BC AI AB = (hoặc ML = MK ML MH - Ta chọn điểm phụ I trên tia đối của tia AC để tách => CIB S - Ta tìm tính chất của điểm I bằng cách cho ) MLH (c.g.c) ( vì HML = BCI) => CIB = MLH - Ta suy ra cách vẽ điểm phụ nh sau: Trên tia đối của tia AC lấy điểm I sao cho CIB... tiếp trong đờng tròn (O) CMR: AB.CD + AD.BC = AC.BC (*) (định lí Ptô-lê-mê) Phân tích : Cách 1: - Chọn điểm phụ I trên đoạn AC để tách AC BD= (AI+IC).BD - Ta tìm tính chất của điểm I bằng cách cho AI.BD = AB.CD ( Hoặc AI.BD = AD.BC ) Từ AI.BD = AB.CD => DBC (c-g-c) (vì A1 = D1 ) => IBA=CBD -Từ đó suy ra cách vẽ điểm phụ nh sau: Trên đoạn thẳng AC lấy điểm I sao cho IAB=CBD Lời giải : Trên đoạn thẳng... nhiều cách vẽ đờng phụ khác nhau Một số học sinh khác còn tìm thêm đợc nhiều ứng dụng khác từ phơng pháp này Trên đây là một số kinh nghiệm nhỏ mà bản thân tôi đã đúc rút đợc trong quá trình dạy và học Rất mong các cấp chuyên môn và các đồng nghiệp góp ý, bổ sung thêm để quá trình giảng dạy đợc nâng cao về chất lợng Ngày tháng năm 2009 Ngời thực hiện Nguyễn Anh Tuấn Nguyễn Anh Tuấn T rờng THCS Trang... (*) DA.DN = BD2 - DC.DM BC.DN = BD2 - DC.DM (Vì BC = AD) - Lấy điểm phụ H trên tia đối của tia CB để tách BC DN = (BH - CH) DN DC DM) => BH BD = BD DN => BHD S - Ta tìm tính chất của điểm H bằng cách cho BH.DN = BD 2 (hoặc CH DN = DBN (c.g.c) Vì (D1 = B1) => HDB = BND = 900 => DH BD - Từ đó ta suy ra cách vẽ điểm phụ nh sau: Qua D kẻ đờng thẳng vuông góc với BD, cắt BC kéo dài tại H Lời... phơng pháp suy luận này, tôi đã cho các em làm một bài tập có dạng nh trên thì thấy rất ít học sinh giải đợc, mặc dù các em đã có Nguyễn Anh Tuấn T rờng THCS Trang 27 Hoà Hiếu II - thị xã Thái Hoà Saựng kieỏn kinh nghieọm thời gian suy nghĩ rất lâu Nhng khi đợc học phơng pháp này rồi thì các em đã giải đợc các bài toán đó không mấy khó khăn Đặc biệt là các em đã tìm ra đợc nhiều cách giải cho một bài . Hoà trờng THCS hoà hiếu II Đề tài một phơng pháp suy luận hợp lý để tìm ra cách vẽ đờng phụ dùng trong chứng minh một số hệ thức hình học Ngời thực hiện. phơng pháp suy luận hợp lý để tìm ra cách vẽ đờng phụ. II. Nội dung Ví dụ 1: Trên cung BC không chứa điểm A của đờng tròn ngoại tiếp đều ABC, lấy một điểm

Ngày đăng: 02/09/2013, 15:10

Từ khóa liên quan

Tài liệu cùng người dùng

  • Đang cập nhật ...

Tài liệu liên quan