Vận dụng của 7 hằng đẳng thức đáng nhớ rất nhiều mà học sinh chưa nắm được phương pháp, do đó chưa thật sự đam mê mà học tập còn gượng ép. Để hình thành được khả năng vận dụng được 7 hằng đẳng thức để làm tiên đề học môn đại số. Tạo căn bản để học lên những lớp trên. Xác định được niềm tin, học môn toán cũng nhẹ nhàng như học các môn khác và để nâng cao chất lượng các tiết luyện tập, kiểm tra một tiết, kiểm tra học kỳ trong trường Trung Học Cơ Sở. Mời quý thầy cô tham khảo sáng kiến “Một số kinh nghiệm vận dụng 7 hằng đẳng thức đáng nhớ
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MỘT SỐ KINH NGHIỆM VẬN DỤNG HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ A Đặt vấn đề - Qua năm thực tế giảng dạy môn đại số 8, phần lớn học sinh thuộc đẳng thức đáng nhớ thực hành chiều rộng lẫn chiều sâu học sinh khơng vận dụng đến kết mong muốn - Phần trắc nghiệm khách quan, tự luận thông hiểu vận dụng học sinh đạt kết chưa cao Định hướng giải tốn có áp dụng đẳng thức đáng nhớ nhằm hình thành tư lơgic Khả tổng hợp, phân tích, tìm hướng giải, định hướng tốn nhằm phát huy tính thơng minh, sáng tạo học sinh để kết nhanh, gọn mà đảm bảo tính xác Loại bỏ bước giải rườm rà nhằm tạo tự tin làm toán - Rèn luyện khả vận dụng thực tế cách thơng minh, nhanh nhẹn - Mơn tốn nói chung, bảy đẳng thức nói riêng vận dụng nhiều việc giải toán Nắm cách vận dụng ứng dụng nhiều vào lớp môn đại số lớp - Một số tốn khó liên quan đến cực tiểu cực đại cần sử dụng đến đẳng thức đáng nhớ - Vận dụng đẳng thức đáng nhớ nhiều mà học sinh chưa nắm phương pháp, chưa thật đam mê mà học tập cịn gượng ép - Hình thành khả vận dụng đẳng thức để làm tiên đề học môn đại số Tạo để học lên lớp Xác định niềm tin, học mơn tốn nhẹ nhàng học mơn khác Vì tơi chọn đề tài nhằm mục đích nâng cao chất lượng tiết luyện tập, kiểm tra tiết, kiểm tra học kỳ trường Trung Học Cơ Sở B Giải vấn đề I/CƠ SỞ LÝ LUẬN: - Bảy đẳng thức phận phân mơn đại số áp dụng xuyên suốt chương trình học cấp II Từ em khơng nắm phương pháp nhớ vận dụng việc học thành việc học “vẹt” khơng vận dụng giải tốn - Thực hành giải tốn phải có thao tác định, dứt khốt, nhanh nhẹn, giản đơn khơng rườm rà, cầu kỳ đưa đến toán đơn giản thành phức tạp Do giáo viên cần hướng dẫn học sinh có trình tự định, hình thành lại hướng gọn gàng, dễ hiểu để đến kết nhanh, xác - Học sinh học tập cách máy móc hay dựa vào mẫu chưa tự tin hình thành cho phương pháp định để giải tốn - Cịn số học sinh xem nhẹ việc học tập, học để đối phó Là giáo viên nên giáo dục học sinh hiểu kiền thức ta biết giọt nước Những điều chưa biết biển mênh mông Do giáo viên phải xác định học sinh có thái độ học tập đắn để nắm bắt kịp thông tin, khoa học đại ngày phát triển - Giáo viên cần lưu ý tránh đơn điệu nhàm chán giải toán Tạo hứng thú học toán giúp em nhiều sống hàng ngày - Thi đua biểu dương gương sáng học tốt cần học hỏi kinh nghiệm em II/THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ: Khi giải tập em cần có kỹ sau: a)Học thuộc đẳng thức ý giá trị Giả sử (A+B)2=A2+2AB+B2 A;B biểu thức khơng nghĩ đơn số hay biến, học sinh dễ nhầm lẫn đến kết sai Vd:(2x+3y)2= 2x2+2.2x.3y+3y2 Cái sai: (2x)2; (3y)2 giáo viên nên cân nhắc kỷ thảo luận nhóm hay kiểm học sinh để khắc sâu b) Bài toán yêu cầu làm gì? Triển khai đẳng thức, viết tổng thành tích, tìm x, cộng trừ, nhân, chia phân thức… c) Định hướng giải toán làm cho học sinh nảy nhiều tình làm cho học sinh bối rối Do giáo viên lưu ý giải yêu cầu ta phải bước nào, làm gì? Có dùng đẳng thức hay khơng sử dụng đẳng thức hợp lý Những thao tác đòi hỏi nhịp nhàng, hợp lý để toán gọn gàng, đến kết nhanh, xác Lưu ý cách trình bày để giải toát lên nội dung cần truyền tải đến người xem d)Giải tốn có dùng đẳng thức nên rèn luyện nhiều tạo kỹ thực hành tốt Đi từ đơn giản đến phức tạp Sử dụng thành thạo, nâng cao khả suy luận, đòi hỏi phải kỹ lưỡng, Biết vận dụng điều học vào giải để phân tích đề toán, nhận định A;B để dễ dàng việc tính tốn Khi học mơn tốn nói chung, đẳng thức nói riêng việc tâm huyết điều cần thiết Giáo viên cần tạo cho học sinh phương pháp học tốn, em có đam mê đam mê làm cho học sinh học toán nhẹ nhàng vững niềm tin tiếp bước đường học vấn III: PHƯƠNG PHÁP THỰC HIỆN I/NHẬN BIẾT CÁCH SỰ DỤNG MỘT CÁCH NHANH NHẸN BẢY HẰNG ĐẲNG THỨC: 1/ (A+B)2=A2+2AB+B2 2/ (A-B)2=A2-2AB+B2 3/ A2+B2=(A+B)(A-B) 4/ (A+B)3=A3+3A2B+3AB2+B3 5/ (A-B)3=A3-3A2B+3AB2-B3 6/ A3+B3=(A+B)(A2-AB+B2) 7/ A3-B3=(A-B)(A2+AB+B2) Trong hoạt động dạy học theo phương pháp đổi , giáo viên chuyển từ thói quen học tập thụ động sang tự học chủ động Muốn , giáo viên cần truyền thụ cho học sinh tri thức phương pháp để học sinh biết cách học , biết cách suy luận , biết cách tìm lại điều quên, biết cách tìm tịi để phát kiến thức Trong phân môn đại số thường dùng quy tắc , phương pháp có tính chất thuật tốn Tuy nhiên , cần coi trọng phương pháp có tính chất tiên đoán Học sinh cần rèn luyện thao tác tư : phân tích , tổng hợp , đặc biệt hoá , khái hoát hoá ,tương tự , quay lạ quen…Việc nắm vững tri thức , phương pháp nói tạo điều kiện cho học sinh tự đọc hiểu tài liệu , tự làm tập , nắm vững hiểu sâu kiến thức đồng thời phát huy tìm sáng tạo học sinh 1/Một số câu hỏi trắc nghiệm Điền vào dấu ? a) (?+?)2=x2+?+4y4 Muốn điền x2+?+4y4 thành bình phương tổng x 2+?+4y4 phải có dạng A2+2AB+B2 Ở A2=x2 hay A=x B2=4y4=(2y2)2 hay B=2y2 Suy ta phải điền thêm vào 2AB=2x.2y2 = 4xy2 Ta có (x+2y2)=x2+4xy2+4y4 Tương tự cho học sinh nhân biết tập: b) (?-?)2 = a2-6ab+? c) (?+?)2 = ?+m+ d)?-16y4 = (x+?)(x-?) 2 e)25a2-? = (?+ b)(?- b) 2)Tính: a)1052-52 = (105+5)(105-5) b)20112-2010 = (2011+2010)(2011-2010) c)M=(x+3)2-2(x+3)(x-7)+(x-7)2 với x=-5 Giáo viên hướng dẫn học sinh nhìn tổng qt khơng sa vào chi tiết để nhận thấy A=x+3; B=x-7 M=[(x+3)-(x - 7)]2=(x+3-x+7)2=102=100 Như thấy rõ vấn đề biểu thức học sinh thực giải tập cách nhẹ nhàng 3/Chứng minh với số nguyên n ta có: (4n+3)2-25 chia hết cho Ta có chia hết 88.A chia hết Hoặc tích hai số chẵn liên tiếp chia hết cho Do áp dụng: (4n+3)2-25=(4n+3+5)(4n+3-5)=(4n+8)(4n-2) = 8(n+2)(2n-1) chia hết cho (4n+3)2-25 chia hết cho 4/Chứng minh giá trị biều thức sau không phụ thuộc vào giá trị biến: (x+y-z-t)2-(z+t-x-y)2 Không phụ thuộc vào biến sau biến đổi, thực phép tính kết cuối khơng cịn biến x;y;z;t… (x+y-z-t)2-(z+t-x-y)2 =[(x+y)-(z+t)]2-[(z+t)-(x+y)]2 =[(x+y)-(z+t)+(z+t)-(x+y)][(x+y)-(z+t)-(z+t)+(x+y)] =0 nên biểu thức không phụ thuộc vào biến 5/Giá trị biểu thức: 49x2-70x+25 x=5, x= Ta có: 49x 2-70x+25=(7x-5)2 x=5 giá trị biểu thức (7x-5)2=(7.5-5)2=900 7 Tại x= giá trị biểu thức (7x-5)2=(7 -5)=16 6/ Một số câu hỏi trắc nghiệm: a)Trong khẳng định sau khẳng định đúng: (2x-1)2=(1-2x)2 (x-1)3=(1-x)3 (x+1)3=(1+x)3 x2-1=1-x2 (x-3)2=x2-2x+9 b)Q=(x2+xy+y2)(x-y)+(x2-xy+y2)(x+y) là: A.Q = B.Q=2y3 C.Q= 2x3 D.Q= 2xy c)Giá trị biểu thức : x – 9x2 + 27x – 27 x= A.0 B C.800 D.Một kết khác Học sinh phân tích A3=x3 nên A=x B3=27 nên B=3 Nên 3A2B=3.x2.3=9x2 3AB2=3.x.32=27x Do x3-9x 2+27x-27=(x-3)3 103 : 103 giá trị biểu thức 103 88 (x-3)3=( -3)3=( )3 5 x= d)P=(x+y)2+(x-y)2+2(x+y)(x-y) là: A/P=0 B/P=2x2 C/P=4y2 D/4x2 e) Xác định Đ,S (-a-b)2= - (a2+b2) (a+b)2+(a-b)=2(a2+b2) (a+b)2-(a-b)2=4ab (-a-b)(-a+b)=a2-b2 Khi giải toán áp dụng đẳng thức tự luận hay trắc nghiệm học sinh cần có kiến thức đẳng thức , Nắm vững, thông thạo đẳng thức để nhìn nhận phương pháp giải trả lời cho câu hỏi trắc nghiệm Giáo viên không nên thách đố học sinh nhiều mà phải tạo bước vào đẳng thức để em nghĩ đẳng thức khơng q khó, khơng xa lạ em Từ đó, tạo tự tin qua tập nâng cao Từ tất học sinh nắm vững tập đón nhận cách chủ động II)THÔNG HIỂU NẮM ĐƯỢC HẰNG ĐẲNG THỨC ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TẬP Ở CÁC PHẦN HỌC: Trong phương pháp dạy học đổi , giáo viên không đơn người truyền đạt kiến thức mà giáo viên trở thành người thiết kế , tổ chức hướng dẫn hoạt động Học sinh tự lực chiếm lĩnh kiến thức , hình thành kỹ ,thái độ theo yêu cầu chương trình Người giáo viên đóng vai trị gợi mở , xúc tác , động viên tư vấn , trọng tài hoạt động sôi học sinh Khi soạn giáo án giáo viên hình dung học xong học sinh nắm kiến thức , mức độ để dạng tập phù hợp với em.và khẳng định người đạo , tổ chức hướng dẫn , giúp đỡ học sinh 1/Dùng đẳng thức phân tích đa thức thành nhân tử: a) Tính nhanh: x2+2x+1-y2 x=94,5 y=4,5 x2+2x+1-y2=(x+1)2-y2=(x+1+y)(x+1-y) x=94,5;y=4,5 giá trị biểu thức: (x+1+y)(x+1-y)=(94,5+1+4,5)(94,5+1-4,5)=100.91=9100 b) x2-y2-2yz-z2 = x2-(y2+2yz+z2) = x2-(y+z)2 =[x+(y+z)][x-(y+z)] =(z+y+z)(x-y-z) c)Với A bình phương, lập phương tổng hiệu, B lập phương , bình phương tổng hiệu x 2-2xy+y2-m2+2mn-n2 = (x-y)2-(m-n)2 =(x-y+m-n)(x-y-m+n) d)x2-3=(x+ )(x- ) x2+2 x+3=(x+ )2 e)x3-3x2-3x+1 học sinh dễ nhầm lẫn đẳng thức (A-B)3 nhóm sai hạng tử Để có nhân tử chung giáo viên hướng dẫn học sinh nhóm: (x3+1)+(-3x2-3x) dùng đẳng thức =(x+1)(x2-x+1)-3x(x+1) =(x+1)(x2-x+1-3x) =(x+1)(x2-4x+1) Tương tự ta có tập sau: x 3-4x 2-8x+8=(x3+8)+(-4x2-8x) = (x+2)(x2-2x+4)-4x(x+2) = (x+2)(x2-6x+4) g)Thêm ,bớt hạng tử để ứng dụng đẳng thức : x4 + = x4 +4+ 4x2 – 4x2 = (x2 + 2)2 –(2x)2 = (x2 +2 +2x)(x2 +2 -2x) 2/Dùng đẳng thức để giải tập khác: Quy đồng mẫu việc cộng trừ phân thức, chia đa thức cho đa thức, rút gọn phân thức giải phương trình Vd:Quy đồng mẫu thức phân thức: 5x x x 12x 18 x x x 4x ; ; Ta có: x3+6x 2+12x+8=(x+2)3 X2+4x+2=(x+2)2 2x+4=2(x+2) MTC:2(x+2)3 Rút gọn: x 3x x 1 ( x 1)( x 2) ( x 1)( x x 1) x2 x x 1 Chia (x -3x y+3xy -y ):(x -2xy+y ) = (x-y)3:(x-y)2=x-y Rút gọn x 3x x2 Giải phương trình: (x 3)2 x (x )( x ) x x x =3x-1 ( x 3) =3x-1 |x+3|=3x-1 x1=2 (tm) x2= (loại) S={2} x x =5 (1 2x ) =5 |1-2x|=5 x=3 x=-2 S={3;-2} 3/Dùng đẳng thức để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ đa thức: a) Tìm giá trị nhỏ nhất: P=x2-2x+5 =(x-1)2+44 GTNN x=1 Q=x2+y2-x+6y+10 4 =(x- )2+(y+3)2+ GTNN x= y=-3 b) Tìm giá trị lớn nhất: R=4x-x2+3=-(x2-4x+4)+7=-(x-2)2+77 GTLN x=2 9 GTLN - x= 2 S=2x-2x 2-5=-2(x- )2- - 5/Câu hỏi trắc nghiệm: a)Giá trị E=(x-1)3-4x(x+1)(x-1)+3(x-1)(x2+x+1) x=-2 là: A/E=30 B/E=-30 C/E=29 D/E=31 thu gọn là: 27 1 B/(-3x- )3 C/(3x- )3 3 b)Đa thức -27x3-9x 3-x1 A/(-3x+ )3 c)Giá trị nhỏ B=4x2+4x+11 là: A/B=-10 x=C/B=9 x=- 2 D/B=10 x=2 B/B=11 x=- d/Giá trị lớn C=5-8x-x2 là: A/C=21 x=-4 B/C=21 x=-4 D/(3x+ )3 C/C=21 với x D/C=21 x=4 e/Phân tích đa thức x -3x y+3xy2-x+y-y3 thành nhân tử … g)Rút gọn (6x+1)2+(6x-1)2-2(1+6x)(3x-1) …… h)M=(1-x+y)2+2(1-x+y)(x-y)+(x-y)2 Không phụ thuộc vào x y Đúng hay Sai? Dùng đẳng thức để giải nâng cao bước việc giải tậpvà học sinh phát huy khả tư duy, phân tích, tổng hợp Các em hiểu sâu việc nắm bắt kỹ , đam mê nghiên cứu nhiều dạng tập thường gặp III/VẬN DỤNG CÁC HẰNG ĐẲNG THỨC ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TẬP CHUYÊN SÂU VÀO CÁC VẤN ĐỀ THƯỜNG GẶP Ở CÁC BÀI TẬP NÂNG CAO : Giáo viên soạn cần tạo mối quan hệ hợp lý dạy kiến thức kỹ với dạy phương pháp suy nghĩ hành động Đối với mơn tốn , cần có quan điểm tư quan trọng kiến thức , nắm vững phương pháp quan trọng thuộc lý thuyết Dạy toán phải dạy suy nghĩ , học sinh phải thành thạo thao tác tư , cung cấp cho học sinh tri thức phương pháp để học sinh tự tìm tịi , tự phát để phát triển vấn đề , tự đốn kết , tìm hướng giải toán , giúp học sinh hiểu sâu sắc chất khái niệm , nội dung công thức Giáo viên phải hình dung hoạt động học sinh , suy nghĩ công phu khả diễn biến , lường trước khó khăn học sinh gặp để điều chỉnh học sinh 1/Tính giá trị nhỏ tập: P= x 3990 x 3980025 x 3992 x 3984016 = ( x 1995) ( x 1996) = |x+1995| + |x+1996| = |-x-1995| + |x+1996| P|x+1996-x-1995|=1 Vậy P1 đẳng thức xảy (x+1996)(-x-1995)0-1996x-1995 Do P đạt giá trị nhỏ -1996x-1995 5/Chứng minh x;y >0 Ta có (x-y)20 x2+y2 2xy x2 y2 2 xy x y y x 2 1 x y xy x y y x 1+ +14 x y (x+y)( )4 x y xy 2/Tìm x để biểu thức y=x- x 2007 đạt giá trị nhỏ Tìm giá trị Điều kiện:x 2007 y = (x-2007)- x 2007 2007 = ( x 2007 - )2+2007- 2006 4 Vậy y đạt giá trị nhỏ 2006 x 2007 = 1 x=2007 Thường tìm giá trị lớn nhất, nhỏ ta đưa bình phương tổng hiệu để đến kết luận tìm giá trị ẩn tương ứng Các tập thường gặp: Bài tập 1: Tìm giá trị nhỏ nhất: P(x)=(x-5)(x-1)(x-6)(x-2)+2002 = ( x2 -7x +10 ) ( x -7x +12 ) +2002 Đặt ( x2 -7x +11 ) = A ta có (A + 1) (A - 1) +2002 = A2 +2001 2001 P(x) đạt giá trị nhỏ 2001 Bài 2/Tìm giá trị lớn nhất: a) Q=2006-5x2-y2-4xy+2x = 2007 - (x2 - 2x +1 + 4x2 +4xy +y2) = 2007 - [(x - 1)2 + (2x + y)2] Để Q lớn M = [(x - 1)2 + (2x + y)2] phải nhỏ , ta có ( x 1)2 (2 x y) Vậy M đạt giá trị nhỏ x = ; y = -2 lúc Q đạt giá trih lớn 2007 b)B= -5x2 - 4x +1 = -5(x2 + x- 2 ) +1+ 5 Vậy B lớn x= 5 = -5 (x + ) Tương tự giáo viên cho học sinh giải trường hợp tổng quát giải tam thức bậc hai sau c) Cho tam thứcM = a2 + bx + c Tìm giá trị nhỏ M + a>0 +aa2= b + 2xy =>xy = (a2 - b):2 Mặt khác x3 + y3=(x +y)(x2 - xy +y2) = a [b - (a2-b ):2] 6) Cho a + b + c =0 ; a 2+ b2 + c2 =1 tính giá trị a4 + b4 + c4 Ta có : (a 2+ b2 + c2 )2=1hay a4 + b4 + c4+ 2(a2b2 + b2c2 +a2c2)=1 (a + b + c)2 =0 =>a 2+ b2 + c2 + 2( ab + bc + ac)=0 => + 2(ab + bc + ac) =0 => (ab + bc + ac) = -1/2 => (ab + bc + ac)2 = 1/4 =>(a2b2 + b 2c2 +a2c2)+2abc(a+b+c)=1/4 =>(a2b2 + b2c2 +a2c2)=1/4 Vậy a4 + b4 + c4 = -2.1/4= 1- 1/2 = 1/2 IV: KẾT QUẢ THỰC TIỄN Ứng dụng đẳng thức thơng thạo học sinh có nhiều tiến bộ, điển hình hai năm thực dạy khối 8, làm có liên quan đến đẳng thức em đạt điểm tối đa tổ nhóm hoạt động có hiệu Học sinh hứng thú học đại số tiền đề+ để em đạt kết hai phân môn đại số, hình học khả quan Đó niềm động viên tơi có thêm kinh nghiệm quý báu truyền đạt lại cho em để có kết tốt Bài học kinh nghiệm: Là người giáo viên muốn học sinh đạt kết cao phải: - Quán triệt tinh thần hai không với nội dung trưởng giáo dục phát động - Có tinh thần trách nghiệm cao cộng tác - Đầu tư học hỏi đồng nghiệp, tham khảo, tìm tịi tập có tính tổng hợp để phát triển tư học sinh - Yêu thương tôn trọng học sinh tinh thần trách nhiệm.Học sinh nắm vững kiến thức bản, hiểu vận dụng tốt tập sách giáo khoa, tự giải thêm tập nâng cao Sau bài, dạng cần rút điều cần nhớ kim nam , cẩm nang giúp học sinh thành công việc rèn luyện kỹ giải tập C PHẦN KẾT LUẬN Trên kinh nghiệm rút từ học tập bạn đồng nghiệp tổ Toán , qua nhiều năm giảng dạy toán lớp ; 8; bồi dưỡng học sinh giỏi Dù kinh nghiệm nhỏ tơi nhận thấy góp phần nâng cao chất lượng dạy toán 8, trường Trung học sở tạo để học toán tốt hơn, có niềm tin để suốt quãng đường học tập Lớp tảng vững chắc, từ tạo thành hệ thống dễ học, dễ nhớ có phương pháp làm phù hợp, đắn * D Ý KIẾN ĐỀ XUẤT Tôi viết kinh nghiệm mong đóng góp bạn đồng nghiệp để có kinh nghiệm hồn chỉnh , góp phần nâng cao chất lượng dạy tốn trường trung học sở Ngày 10 / 04 / 2010 ... cực đại cần sử dụng đến đẳng thức đáng nhớ - Vận dụng đẳng thức đáng nhớ nhiều mà học sinh chưa nắm phương pháp, chưa thật đam mê mà học tập gượng ép - Hình thành khả vận dụng đẳng thức để làm tiên... thức không phụ thuộc vào biến 5/Giá trị biểu thức: 49x2 -70 x+25 x=5, x= Ta có: 49x 2 -70 x+25=(7x-5)2 x=5 giá trị biểu thức (7x-5)2= (7. 5-5)2=900 7 Tại x= giá trị biểu thức (7x-5)2= (7 -5)=16 6/ Một. .. khả vận dụng thực tế cách thông minh, nhanh nhẹn - Mơn tốn nói chung, bảy đẳng thức nói riêng vận dụng nhiều việc giải toán Nắm cách vận dụng ứng dụng nhiều vào lớp môn đại số lớp - Một số tốn