Tìm những giá trị nguyên của a để M nhận giá trị nguyên và tính các giá trị nguyên tương ứng.. Giải:.[r]
(1)CHUYÊN ĐỀ 3
TÌM CÁC GIÁ TRỊ NGUYÊN CỦA X(HOẶC Y ) ĐỂ BIỂU THỨC A NHẬN GIÁ TRỊ NGUYÊN
1 Cách giải:
Bước 1: Rút gọn biểu thức A(x) Bước 2: + Nếu A(x) có dạng
( ) m
B x (m Z) (1)
A(x) có giá trị nguyên B(x) ước m
Từ giải phương trình B(x) = c ( với c ước m ) + Nếu A(x) có dạng A(x) = ( )
( ) C x
B x ta thực chia đa thức C(x) cho đa thức B(x) viết biểu thức A(x) thành dạng: A(x) = D(x) +
( ) n
B x ( n Z B(x) biểu thức số )
A(x) có giá trị nguyên B(x) ước n
Từ giải phương trình B(x) = c' ( với c' ước n ) Bước 3: Đối chiếu với điều kiện bước trả lời
Lưu ý: Nếu tốn u cầu tính giá trị nguyên A(x) ta thay giá trị nguyên x vừa tìm vào A(x)
2 Ví dụ:
Ví dụ 1: Tìm giá trị nguyên x để biểu thức sau nhận giá trị nguyên: A =
2
10
x x
x
Giải:
ĐK: 2x - x
2
Thực hiện phép chia đa thức 10x2 - 7x - cho đa thức 2x - ta thương 5x + dư
A =
10
x x
x
= 5x + +
7 2x3
Để A nhận giá trị nguyên x nguyên
2x3Z hay 2x - ước
2x - = 1; 7
Giải phương trình: 2x - =
(2)2x - = 2x - = -7
Ta x = -2; 1; 2; ( thỏa mãn điều kiện ) Vậy A nhận giá trị nguyên x = -2; 1; 2;
Ví dụ 2: Cho biểu thức M = 3 : ( 1)( )
2 2
a a a a b
a ab b a a b b a b a ab b
a. Rút gọn biểu thức M
b. Tìm giá trị nguyên a để M nhận giá trị nguyên tính giá trị nguyên tương ứng
Giải:
a ĐK: a 0, b 0, a 1, a b
M = 3 3 :( 1)( )
2( )
a a b a a ab b a a b a ab b a b
=
2
3 3
1
a ab b
a a b a a ab b
a b a ab b a a b
=
2
1
a a b b
a b a a b
=
2
.2 2
1
a b
a
a b a a b
b M =
1
a
M có giá trị nguyên
1
a có giá trị nguyên hay a - 1là ước
Các uớc nguyên 1; 2 Do đó: a - =1 a =
a - = -1 a = a - = a = a - = -2 a = -1
Đối chiếu với điều kiện a = -1 (loại) Vậy với a = M có giá trị nguyên
0 1 = -2
a = M có giá trị ngun
2 1 =
a = M có giá trị ngun
(3)Ví dụ 3: Cho biểu thức N = : 3
9
3
x x x x x x
x x x x
a Rút gọn biểu thức N
b Tìm gí trị nguyên x để N nhận gí trị nguyên Giải: a ĐK: 9 0 x x x x x x x
N = : 3
9
3
x x x x x x
x x x x =
3 2
1 :
3 3 1
x x x
x x x
x x x x x x
= :
3 1
x x x x
x x x x
= 3:
3
x x x x x
x x
=
3
x x x
x x x
= x x
c N =
3 x x
= +
4 x
Để N nhận giá trị nguyên x - ước
3 1; 2;
x 16 25
3 49
3 x x x x x x x x x x x
Đối chiếu với điều kiện x = loại
(4)Lưu ý: Trường hợp A(x) = ( )
( ) C x
B x ta thực phép chia đa thức C(x) cho B(x) mà phần
dư phép chia một đa thức ẩn x
VD: A(x) = f(x) + ( ) ( ) g x
B x ta phải xét hai trường hợp sau:
Trường hợp 1: A(x) nhận giá trị nguyên g(x) = giải phương trình g(x) =
Trường hợp 2: g(x) ta giải bất phương trình: ( )
( ) ( )
( ) ( ) g x g x B x
g x B x
hoặc ( )
( ) ( ) g x g x B x
Ví dụ 4: Tìm tấc số nguyên x cho:
A =
3 2
8
1
x x x
x
số nguyên Giải: ĐK: x R
A =
3 2
8
1
x x x
x
= x - +
8 x x
Vậy A nhận giá trị nguyên 2
1
x x
nguyên (A')
Nếu x + = x = -8 Vậy với x = -8 A nhận giá trị nguyên Nếu x +
(x 8) (x 1)
8 x x 8 x x x
( 8)
8 x x x x x x x x x
(hệ vơ nghiệm x <-8 x2 +x + > )
Giải hệ x x x
với x nguyên ta được:
X = 3; 2; 1; 0; -1; -2 Thay giá trị x vừa tìm vào (A') có x = x = thỏa mãn Vậy A số nguyên x = -8; x = 2; x =
Ví dụ 5: Cho B =
2 2 2 12 x x x x x
( x R ) a Rút gọn B
b Tìm giá trị nguyên x để B nhận giá trị nguyên Giải:
a B =
2 2 2 12 x x x x x =
4 2
2
6 12
4
x x x
x x x
x
(5)=
2
2
3
2 x
x x
=
3
2
x
x x
b B =
3
2
x
x x
=
2
3
2 x
x x
= x x x
Vì x nguyên nên B nhận giá trị nguyên
x nguyên hay x ước 1;
x
Vậy với x = 1, x = -1, x = 3, x = -3 B nhận giá trị nguyên
3 Bài tập áp dụng:
1 Cho biểu thức: A =
2
9
4 1
x
x x x
a Rút gọn biểu thức A
b Tìm giá trị nguyên x để A số nguyên Cho biểu thức B =
2
4 4
8 16
a a a a
a a
a Rút gọn biểu thức B
b Tìm giá trị a nguyên lớn để B có giá trị nguyên Cho biểu thức C = 2
4
2
x x x x
a Rút gọn biểu thức C
b Tìm giá trị nguyên x để C có giá trị nguyên Cho biểu thức D = : 2
1 1
a a a
a a a a a
a Rút gọn D
b tìm giá trị nguyên a để M nguyên Cho E =
2
1 2003
1 1
x x x x x
x x x x
a Rút gọn E
(6)6 Cho biểu thức F = 3 1 :
1
1
x x
x x x
x
a Rút gọn F
b Tìm giá trị nguyên x để F nhận giá trị nguyên Cho G =
5
x
x
Tìm giá trị nguyên x để biểu thức G nhận giá trị nguyên
8 Cho H = 1
2
x x x x
a Rút gọn biểu thức H