- Biến đổi một hiểu thức hữu tỉ thành một phân thức nhờ các quy tắc của phép toán cộng, trừ, nhân, chia các phân thức đã học.. Giá trị của phân thức.[r]
(1)BIẾN ĐỐI CÁC BIỂU THỨC HỮU TỈ - GIÁ TRỊ CỦA PHÂN THỨC I TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1 Biến đổi biểu thức hữu tỉ
- Biểu thức hữu tỉ phân thức biểu thị dãy phép toán: cộng, trừ, nhân chia phân thức
- Biến đổi hiểu thức hữu tỉ thành phân thức nhờ quy tắc phép toán cộng, trừ, nhân, chia phân thức học
2 Giá trị phân thức
- Giá trị phân thức đuợc xác định với điều kiện giá trị mẫu thức khác - Chú ý: Biểu thức hữu tỉ có hai biến x y giá trị biểu thức chi đuợc xác định vói cặp số (x;y) làm cho giá trị mẫu thức khác
II BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN A.CÁC DẠNG BÀI MINH HỌA
Dạng 1: Tìm điều kiện xác định phân thức
Phương pháp giải: Ta xác định giá trị biến để mẫu thức khác Bài 1: Tìm x để giá trị phân thức sau xác định:
a) ; 6
x
x b)
2 ;
x c)
2 ;
4
x
x x d) 27 x x Bài 2: Tìm x để giá trị phân thức sau xác định:
a) ; 8
a
a b)
3 ; b
b b c)
;
x d)
2
2
y
y y
Bài 3: Tìm x để giá trị phân thức sau xác định: a)
2
1 ; 16
x
x b) 2
;
x
x x c)
3 ;
2
x
x x d)
4
x
x x x Dạng 2: Biến đổi biểu thức hữu tỷ thành phân thức
Phương pháp giải: Thực theo hai bước:
Bước Sử dụng kết hợp quy tắc cộng, trừ, nhân, chia phân thức đại số học để biến đổi; Bước Biến đổi phân thức có dạng A
B với A B đa thức, B khác đa thức
(2)a)
1
1
x A
x
với x0 1;
x b)
2
2
2
y B
y
y y
với y 2
Bài 5: Đưa biểu thức sau thành phân thức: a)
15
4
6
2
x
x A
x x
với x0;3; b) 2
9
1
1
3
y y
y y
vớiy0
Bài 6: Biến đổi biểu thức sau thành phân thức: a)
2 4
, 0, 0,
n n
m m
M m n n m
m n
b) ,
3
x
N x
x x
Dạng 3: Thực phép tính với biểu thức hữu tỷ
Phương pháp giải: Sử dụng kết hợp quy tắc cộng, trừ, nhân, chia phân thức đại số học để biến đổi
Bài 7: Thực phép tính sau: a)
4 1
1 12
A x
x x với
1
x
b) 2 : 23
3 9
B
x x x x x với x0,x 3 Bài 8: Rút gọn biểu thức sau:
a) 42 42 22 1622
4
a b a b a b
A
a ab a ab a b với a0,a 4 ;b
b) : 22
2
y y
B
y y với y 1;y2
Bài 9: Cho biểu thức
2 2 6 108 6
'
2 12
x x x x
P
x x x x
a) Tìm điều kiện xác định; b) Rút gọn phân thức;
c) Tìm giá trị x để giá trị biểu thức P 3; d) Tìm giá trị x để giá trị biểu thức 9;
2 e) Tìm giá trị x để giá trị biểu thức
(3)• A
B A B dấu;
A
B A B trái dấu
• Hằng đẳng thức đáng nhớ ý a2
vói giá trị a • Với a;b Z b0 ta có: a Z bb Ư (a) Bài 10: Cho phân thức
1
x A
x với x1;
a) Tìm x để A1; b) Tìm x để A Bài 11: Cho phân thức
2
2
x x
B
x với x3;
a) Tìm x để B0; b) Tìm x để B Bài 12:
a) Tìm x để phân thức 2 12
A
x x đạt giá trị lớn nhất; b) Tìm x để phân thức 2
2 11
B
x x đạt giá trị lớn HƯỚNG DẪN Dạng 1: Tìm điều kiện xác định phân thức Bài 1: Tìm x để giá trị phân thức sau xác định: a) ;
2 6 x
x b)
2 ;
x c)
2 ;
4
x
x x d) 27 x x Hướng dẫn a) x 3 b)x 2 c)x0;
2
x d)x3 Bài 2: Tìm x để giá trị phân thức sau xác định:
a) ; 8
a
a b)
3 ; b
b b c)
;
x d)
2
2
y
y y
Hướng dẫn a)
3
a b) b0; b 2 c)x d)y1;y2 Bài 3: Tìm x để giá trị phân thức sau xác định:
a) 2
1 ; 16
x
x b) 2
;
x
x x c)
3 ;
2
x
x x d)
4
x
(4)Hướng dẫn a)
3
x b) x3 c)x 0;x
d)
x 0;x 1;x 3 Dạng 2: Biến đổi biểu thức hữu tỷ thành phân thức
Bài 4: Biến đổi biểu thức sau thành phân thức: a)
1
1
x A
x
với x0 1;
x b)
2
2
2
y B
y
y y
với y 2
Hướng dẫn
a) : 2
2 x A
x x x
b)
2 2
2
2
4 2 4 2 4
1 : :
2 2 2
y y y y y y y y y
B
y y y y y y y y y
Bài 5: Đưa biểu thức sau thành phân thức: a)
15
4
6
2
x
x A
x x
với x0;3; b) 2
9
1
1
3
y y
y y
vớiy0
Hướng dẫn
a) 15 : 15: 12
4 2 2( 4)
x x x x x x x
A
x x x x x
b)
2 32 21 1 27
3 : :
9 9
y y y
B y y
y y y y y
Bài 6: Biến đổi biểu thức sau thành phân thức: a)
2 4
, 0, 0,
n n
m m
M m n n m
m n
b) ,
3
x
N x
x x
Hướng dẫn
a) Ta có (2 2 )2 ( )
m n m n n m n
M
m n m m
b) Ta có ( 3)
3 3
x x x x N
(5)Bài 7: Thực phép tính sau: a)
4 1
1 12
A x
x x với
1
x
b) 2 : 23
3 9
B
x x x x x với x0,x 3 Hướng dẫn
a)
4 1
(2 1) (2 1) (4 1) 3 4 (2 1)(2 1)
x x x
A x x
x x
b)
23 ( 3)( 3)
3
x x x
B
x x
x
Bài 8: Rút gọn biểu thức sau: a) 42 42 22 1622
4
a b a b a b
A
a ab a ab a b với a0,a 4 ;b
b) : 22
2
y y
B
y y với y 1;y2
Hướng dẫn a)
2 2
2
2
8( ) 16
16
a b a b
A
a b a
a a b b)
2
2
2 4 2
y y y
B
y y y
Bài 9: Cho biểu thức
2
2 108
'
2 12
x x x x
P
x x x x
a) Tìm điều kiện xác định; b) Rút gọn phân thức;
c) Tìm giá trị x để giá trị biểu thức P 3; d) Tìm giá trị x để giá trị biểu thức 9;
2 e) Tìm giá trị x để giá trị biểu thức
Hướng dẫn a) Tìm x 6;x0
b) Gợi ý: x34x26x36 ( x6)(x22x6) Ta tìm
2
2 x x P
x
c) Ta có 3
5 ( 3)( 2) (TM)
2
x
P x x x x
(6)Dạng 4: Tìm x để giá trị phân thức cho thỏa mãn điều kiện cho trước Bài 10: Cho phân thức
1
x A
x với x1;
a) Tìm x để A1; b) Tìm x để A Hướng dẫn
a) Ta có A >1 dẫn đến 1
x
x (TMĐK)
b) Ta có:
A
x nên A (x1) nhận giá trị Ư(3) Từ tìm x
2;0; 2; 4
Bài 11: Cho phân thức 23
x x
B
x với x3;
a) Tìm x để B0; b) Tìm x để B Hướng dẫn
a) Ta có
2
2 7
2
2 4
x x x nên B 0 x b) Ta có
3
B x
x nên B (x3) nhận giá trị Ư(8) Từ tìm
5; 1;1; 2; 4;5;7;11
x
Bài 12:
a) Tìm x để phân thức 2 12
A
x x đạt giá trị lớn nhất; b) Tìm x để phân thức 2
2 11
B
x x đạt giá trị lớn Hướng dẫn a) Ta có x24x12 ( x2)2 8 8 hay
2
1
4 128
x x dẫn đến M 1 Từ tìm giá trị lớn M = x =
b) Tương tự ta có x22x11 ( x1)210 10 hay
1 1
11 10 2
N
x x Giá trị nhỏ
2
N x = -1 Chú ý : Ở 12 Ta dựa vào lập luận - Nếu M a 1;
M a
- Nếu M a 1
M a
(7)Dạng 1: Tìm điều kiện xác định phân thức Bài 1: Tìm điều kiện xác định phân thức: a)
16
4 2
x
x b)
4
1 2
x x
x
c) 2
x
x d)
x x
x 2
3
5
Bài 2: Tìm điều kiện xác định phân thức: a) 21 2
x y b)
2
2x 2x
x y x
c) 25x
6x 10
y x
d) ( 3)2 ( 2)2
x y
x y
Bài 3: Tìm điều kiện xác định phân thức: a) 25
1
x x
x
b)
2 (x1)(x3) c) 22
5
x
x x
d) 2
4
2
x y x Dạng 2: Biến đổi biểu thức hữu tỷ thành phân thức
Bài 4:Rút gọn phân thức sau: a)
10
x b) 4
( 0)
xy y
y c)
2
21
( 0)
x y xy
xy
d) 2
x y e) 5
( )
3 x y
x y x y
f)
15 ( )
( )
3( ) x x y
x y y x
Bài 5: Rút gọn phân thức sau: a) 162 ( 0, 4)
4
x
x x
x x
b)
2 4 3
( 3)
x x
x x
c) 15 ( )23 ( ( ) 0) ( )
x x y
y x y y x y
d)
2
2 ( , 0)
3
x xy
x y y
xy y
Bài 6: Rút gọn, tính giá trị phân thức sau:
a) (2 23 )( 2)2 ( )( 1)
x x x
A
x x x
với
x b) B x3 x y xy32 3
x y
với x 5,y10 Dạng 3: Thực phép tính với biểu thức hữu tỷ
(8)a) x x
5
b) x y 2y
8
c) x x x
xy xy
2 1 4
d) xy x y xy x y
xy xy
2 2
5
3
Bài 8: Thực phép tính: a) 2x x
10 15
b) 3x 2x x
10 15 20
c) x x
x x
2
1
2 2 2
d) 2 4
1
2 2
2
x x x
x x
x
Bài 9: Thực phép tính:
a)
x
x x
x x
2
6
6
4 b)
x xy y x x y
xy y x
2
2 10
2
c) x
x y x y x2 y2
2 3
d)
x y
x y
x y
2
Dạng 4: Tìm x để giá trị phân thức cho thỏa mãn điều kiện cho trước Bài 10: Tìm giá trị nguyên biến số x để biểu thức cho có giá trị nguyên:
a) x3xx212
b)
x x x
3 2 4
2
c)
x x x x
2 2
2
Bài 11:Tìm giá trị biến x để:
a) P
x2 x
1
đạt giá trị lớn b) Q x x
x x
2
1
đạt giá trị nhỏ
(9)Dạng 1: Tìm điều kiện xác định phân thức Bài 1: Tìm điều kiện xác định phân thức: a)
16
4 2
x x
điều kiện xác định x b)
4
1 2
x x
x điều kiện xác định x2
c) 2
x x
điều kiện xác định x 1 d)
x x
x 2
3
điều kiện xác định 0,1 x
Bài 2: Tìm điều kiện xác định phân thức:
a)
x2 y2
1
điều kiện xác định 0 x y
b)
x y x
x x
2
2
điều kiện xác định x1
c) x y
x2 x
5
6 10
điều kiện xác định x d) x y
x y
( 3) ( 2)
điều kiện xác định
3 x y
Bài 3: Tìm điều kiện xác định phân thức: a) x x
x
2
5
điều kiện xác định x 1 b) x x
( 1)( 3)điều kiện xác định
1 x x
c) x
x2 x
2
điều kiện xác định
x x2 5x x x x 23
d)
x2 y2 x
4
2
điều kiện xác định x y x
x y 2 2 2 0 1 1 0( với x y, )
Dạng 2: Biến đổi biểu thức hữu tỷ thành phân thức Bài 4:Rút gọn phân thức sau:
a) 5x
10
x
b) xy y
y
4 ( 0)
2 2x c) x y xyxy
2
21 ( 0)
6
2 2xy d) 2x42y
2 x y
e) x y x y
x y
5 5 ( ) 3
5
f) x x y x y
y x
15 ( ) ( ) 3( )
5
(10)a) x x x x x
2
16 ( 0, 4)
b)
x x x
x 4
3 ( 3)
2
4 4
4
x x x
x x x
1
2
x x x
x
c)
x x y y x y y x y
3
15 ( ) ( ,( ) 0)
5 ( ) d)
x xy x y y xy y
2
2 ( , 0) 3
3x x y y
3 x x y
y x y
x y Bài 6: Rút gọn, tính giá trị phân thức sau:
a) A x x x
x x x
2
3
(2 )( 2) ( )( 1)
với x
1
Ta có A x x x
x x x
2
3
(2 )( 2) ( )( 1)
2
2 2 2
2 1
x x x x
x x x x x
Thay x
2
vào biểu thức A ta có:
1 3
2 2.
2 2 2
1
1
2
A
b) B x x y xy
x y
3 2 3
với x 5,y10 Ta có B x x y xy
x y
3 2 3
2
2
x x xy y x
x y x y x xy y
Thay x 5,y10 vào biểu thức B ta có: 5 10 B
Dạng 3: Thực phép tính với biểu thức hữu tỷ Bài 7: Thực phép tính:
a) x x
5
5
b) x y 2y
8
8 x y c) x x x
xy xy
2 1 4
x2 5x
xy
(11)d) xy x y xy x y
xy xy
2 2
5
3
5
4
3
xy y x xy y x
xy xy
3
y x y x
y
Bài 8: Thực phép tính:
a) 2x104 2 15x 2 3
2
2x5 15 15 15 15
x
x x x
b) 3x 2x x
10 15 20
18 2
1
3
2360 60 60 60
x x
x x
c) x x
x x
2
1
2 2 2
2
1
2 1
x x
x x x
2 2
1
2 1 1 1 1
x x x x
x x x x x x x x
d) 2
4
1
2 2
2
x x x
x x
x
1 2
2 2
x x
x x x x
2 2
2
2 2 2
x x
x x x x x x
4
2 2
x
x x x
Bài 9: Thực phép tính:
a)
x
x x
x x
2
6
6
2
6
3 2
4 x
x x
x x
2
4 2
x
x x x
2 2
2 2 2
x
x x
x x x x x x
x 2
6x 2
b) x xy y x x y
xy y x
2
2 10
2
5
x y y x x y
y y x
x 2y
x
c) x
x y x y x2 y2
2 3
x y x y2 x y
x y x y
x y
x y x y
3
d) x y x y x y
2
2 2 2x y x y
x y x y
(12)
x y x y3x
3y
2 2x 2y 2xy
x y
Dạng 4: Tìm x để giá trị phân thức cho thỏa mãn điều kiện cho trước Bài 10: Tìm giá trị nguyên biến số x để biểu thức cho có giá trị nguyên:
a) x x x 2
1
2
2
1 2
1
x x
x
x x
Do xđể biểu thức nhận giá trị nguyên
1 1,
x U Ta có bảng giá trị:
x -2 -1
x -1
Vậy x
1,0,2,3
Thì biểu thức có giá trị nguyên b) x xx
3 2 4
2
2
2
2 4
2
x x
x
x x
Do xđể biểu thức nhận giá trị nguyên x 2 U
4 1, 2, 4
Ta có bảng giá trị:x -4 -2 -1
x -2 -1
Vậy x
2, 1,0, 2,3,6
thì biểu thức có giá trị ngun c) x x xx
2 2
2
=
2 2 1 (2 1) 1
x x x
x
2 1 x
x
Do xđể biểu thức nhận giá trị nguyên 2x 1 U
1 1x -1
x
Vậy x
1,3 biểu thức có giá trị ngun Bài 11:Tìm giá trị biến x để:a) P
x2 x
1
21
x
Để Pmax
2
1
x mà
21 5
x Do
Max P x 1 b) Q x x
x x
2
1
(13)ĐS: minQ x