Tài liệu Bí quyết giải Toán số học THCS theo chủ đề đưa ra một hệ thống các bài tập được phân loại theo các dạng toán, tăng dần độ khó cho học sinh khá giỏi. Có những bài tập được trích từ các đề thi học sinh giỏi Toán và đề vào lớp 10 chuyên Toán. Hi vọng đây là một tài liệu có ích giúp các em học sinh nâng cao trình độ và năng lực giải toán, góp phần đào tạo, bồi dưỡng học sinh giỏi ở cấp THCS.
HUỲNH KIM LINH – NGUYỄN QUỐC BẢO BÍ QUYẾT Giải toán số học THCS THEO CHỦ ĐỀ ✓ Dùng bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 6,7,8,9 ✓ Giúp ôn thi vào lớp 10 chuyên toán 20192020 ∶ 19 2𝑝 − HUỲNH KIM LINH – NGUYỄN QUỐC BẢO BÍ QUYẾT Giải toán số học THCS THEO CHỦ ĐỀ ● Dùng bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 6,7,8,9 ● Giúp ơn thi vào lớp 10 chun tốn Lêi giíi thiƯu Các em học sinh thầy giáo, giáo thân mến ! Cuốn sách Bí giải tốn số học THCS tác giả biên soạn nhằm giúp em học sinh học tập tốt mơn Tốn THCS THPT sau Các tác giả cố gắng lựa chọn tập thuộc dạng điển hình, xếp thành hệ thống để bồi dưỡng học sinh giỏi lớp THCS Sách viết theo chủ đề tương ứng với vấn đề quan trọng thường đề thi học sinh giỏi toán THCS, vào lớp 10 chun mơn tốn nước Mỗi chủ đề viết theo cấu trúc lý thuyết cần nhớ, dạng toán thường gặp, tập rèn luyện hướng dẫn giải giúp em học sinh nắm vững kiến thức đồng thời rèn luyện kiến thức học Mỗi chủ đề có ba phần: A Kiến thức cần nhớ: Phần tóm tắt kiến thức bản, kiên thức bổ sung cần thiết để làm sở giải tập thuộc dạng chuyên đề B Một số ví dụ: Phần đưa ví dụ chọn lọc, tiêu biểu chứa đựng kĩ phương pháp luận mà chương trình địi hỏi Mỗi ví dụ thường có: Lời giải kèm theo nhận xét, lưu ý, bình luận phương pháp giải, sai lầm thường mắc nhằm giúp học sinh tích lũy thêm kinh nghiệm giải tốn, học tốn C Bài tập vận dụng: Phần này, tác giả đưa hệ thống tập phân loại theo dạng tốn, tăng dần độ khó cho học sinh giỏi Có tập trích từ đề thi học sinh giỏi Toán đề vào lớp 10 chuyên Toán Các em cố gắng tự giải Nếu gặp khó khăn xem hướng dẫn lời giải cuối sách Các tác giả hi vong sách tài liệu có ích giúp em học sinh nâng cao trình độ lực giải tốn, góp phần đào tạo, bồi dưỡng học sinh giỏi cấp THCS Mặc dù có nhiều cố gắng biên soạn song sách khó tránh khỏi sai sót Chúng tơi mong nhận ý kiến đóng góp bạn đọc Trong trình soạn sách xin chân thành cảm ơn Thầy Trần Thanh Trà - Trường THCS Chu Văn An, quận Ngơ Quyền, tỉnh Hải Phịng; Thầy Lưu Lý Tưởng - Trường THCS Văn Lang, TP Việt Trì, Phú Thọ; Thầy Phạm Văn Vượng - Trường THCS Nhữ Bá Sỹ, tỉnh Thanh Hóa, Cơ Quế Thị Lan Trường THCS Diễn Mỹ, Diễn Châu, Nghệ An tặng nhiều tài liệu đề thi quý để tác giả kham khảo Xin chân thành cảm ơn! BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI CẤP | CHỦ ĐỀ CÁC BÀI TOÁN VỀ ƯỚC VÀ BỘI A KiÕn thøc cÇn nhí I Ước bội 1) Định nghĩa ước bội Ước: Số tự nhiên d ≠ gọi ước số tự nhiên a a chia hết cho d Ta nói d ước a Nhận xét: Tập hợp ước a Ư ( a= ) {d ∈ N : d | a} Bội: Số tự nhiên m gọi bội a ≠ m chia hết cho a hay a ước số m {0; a; 2a; ; ka} , k ∈ Z 2) Tính chất: - Số bội số nguyên khác Số ước số nguyên - Các số -1 ước số nguyên - Nếu Ư ( a ) = {1; a} a số nguyên tố - Số lượng ước số : Nếu dạng phân tích thừa số nguyên tố số tự nhiên A a x b y c z … số lượng ước A ( x + 1)( y + 1)( z + 1) … Thật ước A số có dạng mnp …trong đó: m có x + cách chọn (là 1, a, a , …, a x ) n có y + cách chọn (là 1, b, b , …, b y ) p có z + cách chọn (là 1, c, c , …, c z ),… Do đó, số lượng ước A ( x + 1)( y + 1)( z + 1) II Ước chung bội chung 1) Định nghĩa Ước chung (ƯC): Nếu hai tập hợp Ư(a) Ư(b) có phần tử chung phần tử gọi ước số chung a b Kí hiệu ƯC(a; b) | CHUYÊN ĐỀ SỐ HỌC CHUYÊN ĐỀ SỐ HỌC Nhận xét: Tập hợp bội a= ( a ≠ ) B ( a ) | CHỦ ĐỀ 1: CÁC BÀI TOÁN VỀ ƯỚC VÀ BỘI Nhận xét: Nếu ƯC ( a; b ) = {1} a b nguyên tố Ước chung lớn (ƯCLN): Số d ∈ N gọi ước số chung lớn a b ( a; b ∈ Z ) d phần tử lớn tập hợp ƯC(a; b) Kí hiệu ước chung lớn a b ƯCLN(a; b) (a;b) gcd(a;b) Bội chung (BC): Nếu hai tập hợp B(a) B(b) có phần tử chung phần tử gọi bội số chung a b Kí hiệu BC(a; b) Bội chung nhỏ (BCNN): Số m ≠ gọi bội chung nhỏ a b m số nhỏ khác tập hợp BC(a; b) Kí hiệu bội chung nhỏ a b BCNN(a; b) [ a; b ] lcm(a;b) 2) Cách tìm ƯCLN BCNN CHINH PHỤC KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HAI a) Muốn tìn ƯCLN hai hay nhiều số lớn ,ta thực bước sau : Phân tích số thừa số nguyên tố 2.- Chọn thừa số nguyên tố chung 3.- Lập tích thừa số chọn, thừa số lấy với số mũ nhỏ Tích ƯCLN phải tìm Ví dụ: = 30 2.3.5, = 2.5 = 10 = 20 22.5 ⇒ ƯCLN(30; 20) Chú ý : - Nếu số cho khơng có thừa số ngun tố chung ƯCLN chúng - Hai hay nhiều số có ƯCLN gọi số nguyên tố - Trong số cho, số nhỏ ước số cịn lại ƯCLN số cho số nhỏ b) Muốn tìm BCNN hai hay nhiều số lớn , ta thực ba bước sau : 1- Phân tích số thừa số nguyên tố 2- Chọn thừa số nguyên tố chung riêng 3- Lập tích thừa số chọn , thừa số lấy với số mũ lớn chúng Tích BCNN phải tìm Ví dụ: = 30 2.3.5, 20) 2= 3.5 60 = 20 22.5 ⇒ BCNN(30;= Chú ý: - Nếu số cho đơi ngun tố BCNN chúng tích số Ví dụ : BCNN(5 ; ; 8) = = 280 - Trong số cho, số lớn bội số lại BCNN số cho số lớn Ví dụ : BCNN(12 ; 16 ; 48) = 48 3) Tính chất Một số tính chất ước chung lớn nhất: TỦ SÁCH CẤP 2| BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI CẤP | ● Nếu ( a1 ; a2 ; ; an ) = ta nói số a1 ; a2 ; ; an nguyên tố ● Nếu ( am ; ak ) = 1, ∀m ≠ k , {m, k } ∈ {1;2; ; n} ta nói số a1 ; a2 ; ; an đôi nguyên tố a b c c ● c ∈ ƯC (a; b) ; = ( a; b ) c a b ; = d d ● d= ( a; b ) ⇔ ● ( ca; cb ) = c ( a; b ) ● ( a; b ) = ( a; c ) = ( a; bc ) = ● ( a; b; c ) = ( ( a; b ) ; c ) ● Cho a > b > - Nếu a = b.q ( a; b ) = b Một số tính chất bội chung nhỏ nhất: ● Nếu [ a; b ] = M M ; M = a b ● [ a; b; c ] = [ a; b ] ; c ● [ ka, kb ] = k [ a, b ] ; ● [ a; b ] ( a; b ) = a.b 4) Thuật toán Euclid việc tính nhanh ƯCLN BCNN “Thuật tốn Euclid” thuật toán cổ biết đến, từ thời Hy Lạp cổ đại, sau Euclid (ơ –clit) hệ thống phát triển nên thuật toán mang tên ơng Về số học, “Thuật tốn Euclid” thuật toán để xác định ước số chung lớn (GCD – Greatest Common Divisor) phần tử thuộc vùng Euclid (ví dụ: số ngun) Khi có ƯCLN ta tính nhanh BCNN Thuật tốn khơng yêu cầu việc phân tích thành thừa số số ngun Thuật tốn Oclit – dùng để tìm ƯCLN số nguyên Để tìm ƯCLN hai số nguyên a b ta dùng cách chia liên tiếp hay gọi “vòng lặp” sau: • Bước 1: Lấy a chia cho b: Nếu a chia hết cho b ƯCLN(a, b) = b Nếu a khơng chia hết cho b (dư r) làm tiếp bước | CHUYÊN ĐỀ SỐ HỌC CHUYÊN ĐỀ SỐ HỌC - Nếu a =bq + r ( r ≠ ) ( a; b ) = ( b; r ) | CHỦ ĐỀ 1: CÁC BÀI TỐN VỀ ƯỚC VÀ BỘI • Bước 2: Lấy b chia cho số dư r: Nếu b chia hết cho r ƯCLN(a, b) = r a Nếu b chia r dư r1 ( r1 ≠ ) làm tiếp bước • Bước 3: Lấy r chia cho số dư r1 : Nếu r chia cho r1 dư ƯCLN(a, b) = r1 Nếu r chia r1 dư r2 ( r1 ≠ ) làm tiếp bước Nếu r1 cho cho r2 dư r3 ( r3 ≠ ) làm tiếp đến số dư r1 r1 r2 q1 r3 q2 …… Bước 4: Lấy r1 chia cho số dư r2 : Nếu r1 chia hết cho r2 ƯCLN(a, b) = r2 b b q (a, b) rn rn−1 qn CHINH PHỤC KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HAI Số dư cuối khác dãy chia liên tiếp ƯCLN (a,b) Ví dụ: Tính ước số chung lớn 91 287 • Trước hết lấy 287 (số lớn số) chia cho 91: 287 = 91.3 + 14 (91 14 dùng cho vòng lặp kế) Theo thuật tốn Euclid, ta có ƯCLN(91,287) = ƯCLN(91,14) Suy tốn trở thành tìm ƯCLN(91,14) Lặp lại quy trình phép chia khơng cịn số dư sau: 91 = 14.6 + (14 dùng cho vòng lặp kế) 14 = 7.2 (khơng cịn số dư suy kết thúc, nhận làm kết quả) Thật vậy: = ƯCLN(14,7) = ƯCLN(91,14) = ƯCLN(287,91) Cuối ƯCLN(287, 91) = Tính BCNN nhanh Để việc giải tốn BCNN ƯCLN nhanh, Nếu biết áp dụng “Thuật toán Euclid” : Biết rằng: hai số nguyên a, b có BCNN [ a,b] ƯCLN (a,b) = a.b a, b ] [ a, b ] ( a, b ) ⇒ [ = a.b ( a, b ) , ( a= ,b) a.b [ a, b ] Nghĩa là: Tích số nguyên a.b = ƯCLN (a,b) x BCNN (a,b) Ví dụ: có a = 12; b = 18 suy ƯCLN (12,18) = thì: BCNN (12,18) = (12 x 18) : = 36 TỦ SÁCH CẤP 2| BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI CẤP | Nếu làm theo cách phân tich thừa số nguyên tố phải tính: 12 = 22 x 3; 18 = x 32 suy BCNN (12,18) = 22 x 32 = 36 Nhận xét: Với cặp số nguyên có nhiều chữ số việc phân tích thừa số nguyên tố nhiều thời gian; lấy tích số bấm máy tính cầm tay nhanh dễ 5) Phân số tối giản a phân số tối giải ( a, b ) = b Tính chất: i) Mọi phân số khác đưa phân số tối giản ii) Dạng tối giản phân số iii) Tổng (hiệu) số nguyên phân số tối giản phân số tối giản Dạng 1: Các toán liên quan tới số ước số * Cơ sở phương pháp: Nếu dạng phân tích thừa số nguyên tố số tự nhiên A a x b y c z … số lượng ước A ( x + 1)( y + 1)( z + 1) … Thật ước A số có dạng mnp …trong đó: m có x + cách chọn (là 1, a, a , …, a x ) n có y + cách chọn (là 1, b, b , …, b y ) p có z + cách chọn (là 1, c, c , …, c z ),… Do đó, số lượng ước A ( x + 1)( y + 1)( z + 1) * Ví dụ minh họa: Bài tốn Tìm số ước số 1896 Hướng dẫn giải Ta có= : 1896 ) (= 96 3192.296 1) 97.193 = 18721 Vậy số ước số 1896 ( 96 + 1)(192 += Bài toán Chứng minh số tự nhiên lớn số phương số ước số số lẻ | CHUYÊN ĐỀ SỐ HỌC CHUYÊN ĐỀ SỐ HỌC B CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP | ĐÁP ÁN CHỦ ĐỀ 9: NGUYÊN LÝ CỰC HẠN TRONG SỐ HỌC Để ý trừ số số cịn lại dãy số bội số đứng trước nó, ta có cách chọn bốn số là= a1 1;= a 2;= a 4;= a4 Ta có= a ma 8m = = a na = 8mn với m, n số nguyên dương lớn Mặt khác ta lại có a1 + a + a + a + a + a = 79 Từ ta + + + + 8m + 8mn = 79 ⇒ m ( + n ) = Giải phương trình nghiệm nguyên kết hợp với điều kiện số thứ sáu dãy lớn CHINH PHỤC KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HAI ta = m 2;= n nên ta a = 48 Vậy dãy số cần tìm 1; 2; 4; 8; 16; 48 Bài 19 Gọi 21 số a1 ; a ; a ; ; a 21 Khơng tính tổng qt ta giả sử a1 < a < a < < a 21 Khi ta a 21 = 2014 Theo ta có a1 + a + a + + a11 > a12 + a13 + + a 21 Nên ta a1 > ( a12 − a ) + ( a13 − a ) + + ( a 21 − a11 ) Do a1 ; a ; a ; ; a 21 21 số guyên đôi khác a1 < a < a < < a 21 nên ta suy a12 − a ≥ 10; a13 − a ≥ 10; ; a 21 − a11 ≥ 10 Do ta a1 > 100 nên suy a1 ≥ 101 Theo 21 số có số 101 nên từ kết ta suy a1 = 101 Và ta có 101 > ( a12 − a ) + ( a13 − a ) + + ( a 21 − a11 ) Do 100 ≥ ( a12 − a ) + ( a13 − a ) + + ( a 21 − a11 ) nên a12 − a = a13 − a = = a 21 − a11 = 10 Từ ta a11 = a 21 − 10 = 2014 − 10 = 2004 Từ a11 = 2004 đến a 21 = 2014 có 11 số nguyên khác nên ta = a12 2005; = a13 2006; ; = a 20 2013 TỦ SÁCH CẤP 2| 510 BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI CẤP | Từ ta a = a12 − 10 = 2005 − 10 = 1995; a = a13 − 10 = 2006 − 10 = 1996; ; a10 = 2004 Vậy 19 số cần tìm 19 số nguyên liên tiếp từ 1995 đến 2013 Bài 20 Giả sử n số tự nhiên chia 17 dư 10, n ≠ n có dạng= n 17k + 10 với k∈N Gọi 100 số tự nhiên chọn 17k1 + 10;17k + 10;17k + 10; ;17k100 + 10 Khơng tính tổng qt ta giả sử k1 < k < k < < k100 Nếu k100 ≥ 118 thi 17k100 + 10 ≥ 17.118 + 10 = 2016 Do k100 ≤ 117 Ta chứng minh k ≤ 20 Thật vậy, giả sử k ≥ 21 Nên từ k ≥ 21 suy k ≥ 21= + 22; k ≥ 22 = + 23; k ≥ 23 = + 24; ; k100 ≥ 117 = + 118 , điều trái với k100 ≥ 118 Do k ≤ 20 Vì k ≤ 20 nên suy k ≤ 19; k1 ≤ 18 Với kết ta chon ba số nhỏ 100 số 17k1 + 10;17k + 10;17k + 10 Khi ta 17k1 + 10 + 17k + 10 + 17k + 10 ≤ ( 17.18 + 10 ) + ( 17.19 + 10 ) + ( 17.20 + 10 ) = 999 Vậy ta chọn ba số có tổng khơng lớn 999 toán chứng minh .511 | CHUYÊN ĐỀ SỐ HỌC CHUYÊN ĐỀ SỐ HỌC Khi từ k1 < k < k < < k100 suy k ≥ k + 1; k ≥ k + 1; k ≥ k + 1; ; k100 ≥ k 99 + CHỦ ĐỀ 10 CÁC BÀI TOÁN SỬ DỤNG NGUYÊN LÝ BẤT BIẾN Bài 1: Sau lần xé số mảnh tăng thêm 5, nên số mảnh sau lần xé có dạng 5k + 1995 khác dạng 5k + cịn 2011 có dạng 5k +1 Bài 2: Khơng Bài 3: Gọi số bảng a1 ; a ; ; a k xét tích sau: ( 2a1 − 1)( 2a − 1) ( 2a k − 1) Khi xóa ( ) số a i ; a j tích thừa số ( 2a i − 1) 2a j − lai nhân thêm thừa số : ( ) a i + a j − 2a i a j − = ( 2a i ( ) − 1) 2a j − , nên giá trị tuyệt đối tích khơng đổi…Đáp số: cịn lai số n 2n – = nên n = CHINH PHỤC KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HAI Bài 4: Tính bất biến tính chẵn hay lẻ tổng hay hiệu hai đống kẹo Tổng số kẹo hai đống giảm số kẹo đống thứ giảm đi, trò chơi phải kết thúc , nên người thứ hai thắng Bài Chẳng hạn số ban đầu bảng số x = 10a + b, a ∈ {1; 2; 3; ; 9} ; b ∈ {0; 1; 2; 3; ; 9} Số thu sau thao tác đề y= a + 7b Ta thấy y =x − 9a + 6b Số ban đầu ghi bảng 6100 chia hết cho Theo sau số bước thực thao tác đề bài, số thu số chia hết cho Vậy nên sau số bước thực thao tác đề bài, khơng thể thu 100 , số không chia hết cho ( ) Bài Gọi S tổng tất số bảng Lúc đầu ta có S = + + +…+ 2n = n 2n + số lẻ n số lẻ Ta cần tìm đại lượng bất biến Hai số bị xóa a b, khơng tính tổng quát ta giả sử a > b Khi số thay vào a − b =a − b TỦ SÁCH CẤP 2| 512 BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI CẤP | Như sau lần thực thuật toán đầu nói S bị giảm một đại ( ) lượng có giá trị a + b − a − b = 2b số chẵn Vì tính chẵn lẻ S giữ ngun sau lần thực xáo hai số bảng Trong trường hợp S ln số lẻ bảng cịn lại số số số lẻ Bài Với dãy số tự nhiên từ đến 100 ta có tổng + + 3= + + 100 + 1) 100 (100 = 5050 Tiến hành xóa hai số a, b dãy số viết lại số a + b Khi tổng dãy số ( ) ( ) bảng tăng đại lượng a + b − a + b Ta thấy + + + + 100 = 5050 chia có số dư ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Do đại lượng tăng lên ln chia hết cho Như sau lần tiến hành trò chơi tổng dãy số bảng ln chia cho có số dư Mà ta lại có 9876543212016 chia hết cho Do sau số lần tiến hành trị chơi bảng khơng thể cịn lại số 9876543212016 Bài Cách người sau sau: Khi người trước bốc k viên sỏi + Nếu k số lẻ k chia dư 2, người sau bốc viên sỏi + Nếu k số chẵn k chia dư người sau bốc viên sỏi Như người trước đối mặt với tình số viên sỏi cịn lại chia hết cho không bốc viên sỏi cuối Vậy người sau thắng Bài Để đảm bảo thắng cuộc, nước cuối người bốc sỏi phải để lại hộp 11 viên sỏi Ở nước trước phải để lại hộp 11 + (20 + 11) = 42 viên sỏi Suy người bốc sỏi phải đảm bảo hộp lúc 11 + 31k viên sỏi Ta có (2010 − 11) : 31 = 65 dư 15 Như người bốc sỏi lần thứ phải bốc 15 viên Tiếp theo, đối phương bốc k viên sỏi ( k = 1, 2, , 20 ) người bốc sỏi phải bốc 31 − k viên sỏi, cuối để lại 11 viên sỏi cho đối phương .513 | CHUYÊN ĐỀ SỐ HỌC CHUYÊN ĐỀ SỐ HỌC Lại thấy a + b − a + b = a − a a + + b − b b + | ĐÁP ÁN CHỦ ĐỀ 10: CÁC BÀI TOÁN SỬ DỤNG NGUYÊN LÝ BẤT BIẾN Bài 10 Ta có 1 1 1 1+ x + y 1 + + + 1= + + = = + + Khi ta + 1= z xy x y z xy xy x y x y Như sau lần xóa 1 1 + + ta thay số + 1= + + z y x x y Như tích số sau lần xóa thay số không đổi CHINH PHỤC KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HAI 1 1 Do k số cuỗi ta + 1= + + + = 2014! k 1 2013 Từ ta k = 2014!− Bài 11 Trước hết ta tô màu xen kẽ hình quạt, ta có tơ màu khơng tô màu Nếu di chuyển viên bi ô màu viên bi ô không màu sang liền kề tổng số viên bi ô màu ô không màu không thay đổi Nếu di chuyển hai viên bi ô màu sang ô không màu tổng số viên bi màu bị giảm Cịn di chuyển hai viên bi hai ô không màu sang liền kề tổng số viên bi ô màu tăng lên Như sau lần thực trò chơi thỉ tổng số viên bi ố màu khơng thay đổi tính chẵn lẻ so với lúc đầu Mà ban đầu tổng số viên bi ô màu 5, vây sau hữu nhạn lần thực trị chơi tổng số viên bi o màu số lẻ Do tổng số viên bi màu khác khác 10 Như sau số lần thực trị chơi ta khơng thể tất viên bi ô Bài 12 Tơ màu hình vng hình vẽ với màu đen(Đ) màu trắng(T) Đ T T Đ Đ T Đ T Đ TỦ SÁCH CẤP 2| 514 BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI CẤP | Đặt B tổng số ô màu đen W tổng số màu trắng Ta thấy lần thực thuật toán T ta cộng thêm số ô cạnh với số nguyên nên dễ thấy hiệu B − W không đổi Nhưng với giả thuyết tốn hình a B − W = −1 Điều , cịn hình b B − W = trái với quy tắc bất biến Vậy sau lần thực thuật tốn T từ hình a ta khơng thể nhận hình b Đ T Đ T Đ T Đ T T Đ T Đ T Đ T Đ Đ T Đ T Đ T Đ T T Đ T Đ T Đ T Đ Đ T Đ T Đ T Đ T T Đ T Đ T Đ T Đ Đ T Đ T Đ T Đ T T Đ T Đ T Đ T Đ Do “ bình đẳng màu “ nên khơng tính tổng qt ta giả sử bên trái có màu trắng Từ cách mã ta nhận thấy sau nước mã sang ô khác màu với mà đứng Vì sau số lẻ nước mã ô màu đen , sau số chẵn nước mã ô màu trắng Đây tính bất biến Trở lại tốn ta thấy từ bên trái lên ô bên phảI cần 63 nước Vì bên phải cần mang màu đen(Theo tính bất biến) Điều vô lý Vậy quân mã từ ô bên trái nên ô bên phải yêu cầu đầu 515 | CHUYÊN ĐỀ SỐ HỌC CHUYÊN ĐỀ SỐ HỌC Bài 13 Ta tô ô bàn cờ xen kẽ màu đen trắng bàn cờ vua(hình vẽ) | ĐÁP ÁN CHỦ ĐỀ 10: CÁC BÀI TOÁN SỬ DỤNG NGUYÊN LÝ BẤT BIẾN Nhận xét Bài toán giải xung quanh tốn cịn nhiều điều cần phải suy nghĩ Chẳng hạn xét bàn cờ X.X với X số lẻ liệu có cách từ bên trái lên ô bên phải thoả mãn u cầu tốn hay khơng? Bài 14 Đây toán lý thuyết số ta dùng bất biến để giải Tính bất biến sau: Ta thấy S không thay đổi số dư chia cho ta đổi dấu số hạng liên tiếp Thật vậy, có số dương số âm khơng có chuyện thay đổi, có số khác dấu số cịn lại đổi dấu giá trị S thay đổi −4 điều không ảnh hưởng CHINH PHỤC KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HAI tới số dư S chia cho cả, cuối số dấu đổi dấu S thay đổi đại lượng hay −8 điều dĩ nhiên không ảnh hưởng tới số dư S chia cho Bây quay lại toán, thực thuật toán đổi dấu số hạng liên tiếp cho cuối đưa tất n số thành số dương Khi S = n theo tính bất biến S chia hết cho (vì ban đầu S = chia hết cho 4) Vậy n chia hết cho ta có kết luận cho tốn Bài 15 Đường thẳng khơng qua điểm 2011 điểm nên d cắt đoạn thẳng chia mặt phẳng thành hai nửa mà 2011 điểm nằm hai nửa mặt phẳng đối nửa chứa chẵn số điểm, nửa lại chứa lẻ số điểm(do 2011 số lẻ) Mặt khác nối chẵn số điểm nửa bên với lẻ số điểm bên ta chứng minh số đoạn thẳng nối số chẵn Thật vậy, giả sử d chia điểm nửa thứ có m điểm(m chẵn) nửa mặt phẳng chứa n điểm(n lẻ) Cứ điểm bên nửa nối đoạn thẳng với nửa bên nên số đoạn thẳng nối m.n, m chẵn nên m.n chẵn Bài toán chứng minh Bài 16 Trước hết ta dược a k ∈ {−1; +1}, b k ∈ {−1; +1},a k + bl ∈ {−2; 0; +2} (k , l ∈ {1, 2, n}) + Nếu đổi dấu số ô vuông thuộc hàng k cột l số a k bl đổi dấu theo, số lại (của dãy a , a ,… ,a n , b1 , b ,… , b n ) không đổi dấu Hơn nữa, tổng a k + bl không đổi, tăng thêm giảm + Mỗi bảng với cách điền số đó, suy từ bảng gồm tồn số +1 cách thực đổi dấu số phần tử Tổng a + a + + a n + b1 + b + + b n bảng sau đổi tổng a + a + + a n + b1 + b + + b n bảng toàn số số bội TỦ SÁCH CẤP 2| 516 BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI CẤP | ( + Khi tổng bảng sau đổi a + a + + a n + b1 + b + + b n ≡ 2n mod ( Do n lẻ nên a + a + + a n + b1 + b + + b n ≡ mod ) ) Vậy với cách điền số ta ln có a + a + + a n + b1 + b + + b n ≠ Bài 17 Nhận thấy m n khác 1, 2, Chia hình chữ nhật m.n thành m.n vng đơn vị đánh ( ) số hàng từ lên, đánh số cột từ trái qua phải Ta gọi ô p; q ô nằm hàng thứ p cột thứ q Hai hiên gạch hình móc câu ghép thành hình X O O O O O O X O X O O X X X O X O X X X X Do để lát hình chữ nhật m.n tích m.n phải chia hết cho 12 Nếu hai số m n chia hết cho lát hình chữ nhật m.n Thật vậy, m chia hết cho n chia hết cho hình chữ nhật m.n chia thành hình chữ nhật 4.3 có lát Nếu m chia hết cho n khơng chia hết cho ta viết n dạng = n 3a + 4b với a b số nguyên dương, bảng m.n lát Bây ta chứng minh hai số m n chia hết cho Giả sử ngược lại m n chia hết cho không chia hết cho Để chứng minh điều không xẩy ta cần tạo bất biến Để tạo bất biến ta điền vào ô hình chữ nhật theo quy tắc sau: Xét ( p; q ) Nếu hai tọa độ p q chia hết cho ta điền vào ô ( p; q ) số 1, p q chia ( ) hết cho ta điền vào ô p; q số Với điền ta thu bất biến tổng số hình thứ hình số hai số lẻ Do m n số chẵn nên tổng số ô hình chữ nhật m.n số chẵn Muốn lát hình chữ nhật m.n tổng số hình thứ hình thứ hai phải số chẵn Khi m.n chia hết cho 24, điều khơng xảy m, n khơng chia hết cho .517 | CHUYÊN ĐỀ SỐ HỌC CHUYÊN ĐỀ SỐ HỌC X O | ĐÁP ÁN CHỦ ĐỀ 10: CÁC BÀI TỐN SỬ DỤNG NGUN LÝ BẤT BIẾN Bài 18 • Với bảng thứ ta thay dấu cộng bảng +1 dấu trừ bảng −1 Rõ ràng tích tất số vng tính chẵn lẻ dấu trừ tính chẵn lẻ tổng số khơng phải bất biến Mặc dù tích số tất ô vuông bảng bất biến tích số số ô vuông cố định lại bất biến Để tìm vng cố định ta cần tìm tập hợp ô vuông cho thực biến đổi số vng đảo dấu ln số chẵn Dẽ thấy tập hợp ô vuông đánh dấu x bảng sau có tính chất thế: CHINH PHỤC KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HAI x x x x x x x x x x x x x x x x Tại trạng thái xuất phát tích tất số vng đánh dấu nói −1 Do tính nàu bất biến nên sau số phép biến đổi ta đưa bảng trạng thái khong có dấu trừ được(vì tích tất ố dánh dấu +1 ) • Với bảng thứ hai ta lập luận tương tự bảng thứ • Với bảng thứ ba ta thay dấu cộng bảng +1 dấu trừ bảng −1 Rõ ràng tích tất số vng tính chẵn lẻ dấu trừ tính chẵn lẻ tổng số khơng phải bất biến Mặc dù tích số tất ô vuông bảng bất biến tích số số ô vuông cố định lại bất biến Để tìm vng cố định ta cần tìm tập hợp vng cho thực biến đổi số vng đảo dấu số chẵn Dẽ thấy tập hợp ô vuông đánh dấu x bảng sau có tính chất thế: TỦ SÁCH CẤP 2| 518 BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI CẤP | x x x x x x x x x x x x x x Tại trạng thái xuất phát tích tất số vng đánh dấu nói −1 Do tính bất biến nên sau số phép biến đổi ta đưa bảng trạng thái khong có dấu trừ (vì tích tất ố dánh dấu +1 ) a+b y = a−b 2 a + b a − b a + 2ab + b + a − 2ab + b 2 Khi ta có x + y = = a + b2 = + Như sau xoá số a, b thay hai số a+b a−b tổng bình phương hai số khơng đổi Do tổng bình phương ba số bảng không đổi + + Mặt khác tổng bình phương ba số đồng thời bảng ba số 2 ; 2 ; 13 = 2 1 13 Vậy 2; + + + + 2 ≠ 8 2; + Bài 20 Trong trình biến đổi, giả sử bảng có dãy số a ; a ; ; a n ( )( ) ( ) Ta xét biểu thức sau: P =a − a − a n − Ta chứng minh su lần xóa giá trị biểu thức P giảm hai lần .519 | CHUYÊN ĐỀ SỐ HỌC CHUYÊN ĐỀ SỐ HỌC Bài 19 Giả sử ba số bảng a, b,c , thay a, b x = | ĐÁP ÁN CHỦ ĐỀ 10: CÁC BÀI TOÁN SỬ DỤNG NGUYÊN LÝ BẤT BIẾN ( )( ) Giả sử ta xóa hai số a b tích P thừa số a − b − thay a + b − ( a − )( b − ) 1 giảm nửa ab tích P có thêm thừa số a + b − ab − = 2 nên P giảm nửa Khi xóa hai số thay số nên sau lần xóa bảng giảm số Mà bảng có 2014 số nên sau 2013 lần xóa P giảm 2013 lần ( )( ) ( ) Khi ta có giá trị P = − 2 − 2014 − = CHINH PHỤC KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HAI Giả sử số cịn lại bảng x ta có P = x − = ⇒ x = Vậy số cuối bảng Bài 21 Trong dãy số có số 403 = 2015 Nếu xóa hai số a b thay số c = a + b − 5ab , sau lần xóa dãy giảm số Như sau 2014 lần xóa bảng cịn lại số Đến lúc ta xóa Như xóa số 1 1 số b ta thay c = + b − b = 5 5 1 lại xuất số Vậy số cuối lại 5 TỦ SÁCH CẤP 2| 520 BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI CẤP | Môc lơc Trang Lời nói đầu Chủ đề Chủ đề Các toán ước bội Các toán liên quan tới số ước số Tìm số nguyên n thỏa mãn điều kiện chia hết 10 Tìm số biết ƯCLN chúng 12 Tìm số biết BCNN ƯCLN 14 Các toán số nguyên tố 16 Các toán phân số tối giản 18 Tìm ƯCLN biểu thức 20 Liên hệ phép chia có dư, phép chia hết, ƯCLN, BCNN 20 Tìm ƯCLN hai số thuật toán Ơ-clit 22 Các toán quan hệ chia hết Sử dụng tính chất n số tự nhiên liên tiếp có số chia hết cho n 30 31 Sử dụng phương pháp phân tích thành nhân tử 33 Sử dụng phương pháp tách tổng 34 Sử dụng đẳng thức 37 Sử dụng phương pháp xét số dư 40 Sử dụng phương pháp phản chứng 42 Sử dụng phương pháp quy nạp 43 Sử dụng nguyên lý Dirichlet 45 Xét đồng dư 47 10 Tìm điều kiện biến để biểu thức chia hết 50 11 Các toán cấu tạo số liên quan đến tính chia hết 52 521 | CHUYÊN ĐỀ SỐ HỌC CHUYÊN ĐỀ SỐ HỌC Phần I CÁC CHỦ ĐỀ SỐ HỌC THCS CHINH PHỤC KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HAI Chủ đề Chủ đề 12 Các chia hết sử dụng định lý Fermat 56 13 Các toán chia hết liên quan đến đa thức 57 Các toán số nguyên tố, hợp số 74 Chứng minh số số nguyên tố hay hợp số 75 Chứng minh toán liên quan đến tính chất số nguyên tố 76 Tìm số ngun tố thỏa mãn điều kiện 78 Nhận biết số nguyên tố, phân bố số ngun tố 80 Chứng minh có vơ số nguyên tố có dạng ax + b với (a, b) = 83 Sử dụng nguyên lý Dirich toán số nguyên tố 84 Áp dụng định lý Fermat 85 Các tốn số phương 97 Chứng minh số số phương tổng nhiều số phương Chủ đề Chủ đề 98 Chứng minh số số phương 102 Tìm điều kiện biến để số số phương 104 Tìm số phương 108 Sử dụng đồng dư thức chứng minh toán chia hết 119 Sử dụng đồng dư thức chứng minh toán chia hết 120 Sử dụng đồng dư thức tìm số dư 122 Sử dụng đồng dư thức tìm điều kiện biến để chia hết 123 Sử dụng đồng dư thức tìm chữ số tận 124 Sử dụng đồng dư thức tìm hai chữ số tận 125 Sử dụng đồng dư thức toán số phương 127 Sử dụng đồng dư thức toán số nguyên tố, hợp số 129 Sử dụng đồng dư thức phương trình nghiệm nguyên 131 Sử dụng định lý 132 Phương trình nghiệm ngun 138 Phát tính chia hết ẩn 138 Phương pháp đưa phương trình ước số 141 Phương pháp tách giá trị nguyên 145 Phương pháp sử dụng tính chẵn, lẻ số dư vế 147 Phương pháp sử dụng bất đẳng thức 150 Phương pháp dùng tính chất số phương 155 TỦ SÁCH CẤP 2| 522 BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI CẤP | Chủ đề Chủ đề Phần nguyên số học 164 180 Phần nguyên số biểu thức 181 Chứng minh đẳng thức chứa phần nguyên 183 Phương trình phần nguyên 184 Bất phương trình phần nguyên 192 Phần nguyên chứng minh số dạng toán số học 193 Chứng minh bất đẳng thức chứa phần nguyên 197 Nguyên lý Dirichlet số học 202 Chứng minh tồn chia hết 203 Các tốn tính chất phần tử tập hợp 206 Bài tốn liên quan đến bảng vng 208 Bài toán liên quan đến thực tế 209 Bài toán liên quan đến xếp 211 Vậng dụng nguyên lý Dirichlet toán hình học 212 Chủ đề Các tốn sử dụng nguyên lý cực hạn 217 Chủ đề 10 Nguyên lý bất biến giải toán 226 Phần II HƯỚNG DẪN GIẢI – ĐÁP SỐ Tài liệu kham khảo 523 | CHUYÊN ĐỀ SỐ HỌC CHUYÊN ĐỀ SỐ HỌC Phương pháp lùi vô hạn, nguyên tắc cực hạn TÀI LIỆU THAM KHẢO Năm STT Tên tác giả xuất Vũ Hữu Bình 2012 Tên tài liệu tham Tên nhà xuất khảo Nâng cao phát Nhà xuất Nhà xuất triển 6, giáo dục giáo dục Nhà xuất Nhà xuất giáo dục giáo dục Nơi xuất CHINH PHỤC KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HAI Chuyên đề bồi Nguyễn Vũ Thanh 2006 dưỡng học sinh giỏi toán THCS Số học (tái lần thứ hai) Văn Phú Quốc 2015 Đột phá đỉnh cao bồi NXB ĐH dưỡng học sinh giỏi Quốc Gia chuyên đề số học HàNội Tại nhà sách Khang Việt Q1 TP Hồ Chí Minh Các chuyên đề số Nguyễn Công Lợi học bồi dưỡng học sinh giỏi THCS TỦ SÁCH CẤP 2| 524 ... Bài toán Chứng minh số tự nhiên lớn số phương số ước số số lẻ | CHUYÊN ĐỀ SỐ HỌC CHUYÊN ĐỀ SỐ HỌC B CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP | CHỦ ĐỀ 1: CÁC BÀI TOÁN VỀ ƯỚC VÀ BỘI Hướng dẫn giải Giả sử n = p1a1... giỏi lớp THCS Sách viết theo chủ đề tương ứng với vấn đề quan trọng thường đề thi học sinh giỏi tốn THCS, vào lớp 10 chun mơn toán nước Mỗi chủ đề viết theo cấu trúc lý thuyết cần nhớ, dạng toán. .. n+2 n+2 Để B số tự nhiên 11 số tự nhiên n+2 ⇒ 11 (n + 2) ⇒ n + ∈ Ư(11) = {±1; ±11} 11 | CHUYÊN ĐỀ SỐ HỌC CHUYÊN ĐỀ SỐ HỌC Bài tốn Tìm số ngun n để phân số | CHỦ ĐỀ 1: CÁC BÀI TOÁN VỀ ƯỚC VÀ