bí quyết giải toán số học

HUỲNH KIM LINH – NGUYỄN QUỐC BẢO BÍ QUYẾT Giải toán số học THCS THEO CHỦ ĐỀ ✓ Dùng bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 6,7,8,9 ✓ Giúp ôn thi vào lớp 10 chuyên toán 20192020 ∶ 19 2𝑝 − HUỲNH KIM LINH – NGUYỄN QUỐC BẢO BÍ QUYẾT Giải toán số học THCS THEO CHỦ ĐỀ ● Dùng bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 6,7,8,9 ● Giúp ơn thi vào lớp 10 chun tốn NHÀ XUẤT BẢN………… Lêi giíi thiƯu Các em học sinh thầy giáo, giáo thân mến ! Cuốn sách Bí giải toán số học THCS tác giả biên soạn nhằm giúp em học sinh học tập tốt mơn Tốn THCS THPT sau Các tác giả cố gắng lựa chọn tập thuộc dạng điển hình, xếp thành hệ thống để bồi dưỡng học sinh giỏi lớp THCS Sách viết theo chủ đề tương ứng với vấn đề quan trọng thường đề thi học sinh giỏi toán THCS, vào lớp 10 chun mơn tốn nước Mỗi chủ đề viết theo cấu trúc lý thuyết cần nhớ, dạng toán thường gặp, tập rèn luyện hướng dẫn giải giúp em học sinh nắm vững kiến thức đồng thời rèn luyện kiến thức học Mỗi chủ đề có ba phần: A Kiến thức cần nhớ: Phần tóm tắt kiến thức bản, kiên thức bổ sung cần thiết để làm sở giải tập thuộc dạng chuyên đề B Một số ví dụ: Phần đưa ví dụ chọn lọc, tiêu biểu chứa đựng kĩ phương pháp luận mà chương trình đòi hỏi Mỗi ví dụ thường có: Lời giải kèm theo nhận xét, lưu ý, bình luận phương pháp giải, sai lầm thường mắc nhằm giúp học sinh tích lũy thêm kinh nghiệm giải toán, học toán C Bài tập vận dụng: Phần này, tác giả đưa hệ thống tập phân loại theo dạng toán, tăng dần độ khó cho học sinh giỏi Có tập trích từ đề thi học sinh giỏi Toán đề vào lớp 10 chuyên Toán Các em cố gắng tự giải Nếu gặp khó khăn xem hướng dẫn lời giải cuối sách Các tác giả hi vong sách tài liệu có ích giúp em học sinh nâng cao trình độ lực giải tốn, góp phần đào tạo, bồi dưỡng học sinh giỏi cấp THCS Mặc dù có nhiều cố gắng biên soạn song sách khó tránh khỏi sai sót Chúng tơi mong nhận ý kiến đóng góp bạn đọc Trong q trình soạn sách xin chân thành cảm ơn Thầy Trần Thanh Trà - Trường THCS Chu Văn An quận Ngô Quyền, tỉnh Hải Phòng; Thầy Lưu Lý Tưởng - Trường THCS Văn Lang, TP Việt Trì, Phú Thọ; Thầy Phạm Văn Vượng - Trường THCS Nhữ Bá Sỹ, tỉnh Thanh Hóa, Cơ Quế Thị Lan Trường THCS Diễn Mỹ, Diễn Châu, Nghệ An tặng nhiều tài liệu đề thi quý để tác giả kham khảo Xin chân thành cảm ơn! BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI CẤP | CHỦ ĐỀ CÁC BÀI TOÁN VỀ ƯỚC VÀ BỘI A KiÕn thøc cÇn nhí I Ước bội 1) Định nghĩa ước bội Ước: Số tự nhiên d ≠ gọi ước số tự nhiên a a chia hết cho d Ta nói d ước a Nhận xét: Tập hợp ước a Ư ( a= ) {d ∈ N : d | a} Bội: Số tự nhiên m gọi bội a ≠ m chia hết cho a hay a ước số m {0; a; 2a; ; ka} , k ∈ Z 2) Tính chất: - Số bội số nguyên khác Số khơng phải ước số ngun - Các số -1 ước số nguyên - Nếu Ư ( a ) = {1; a} a số nguyên tố - Số lượng ước số : Nếu dạng phân tích thừa số nguyên tố số tự nhiên A a x b y c z … số lượng ước A ( x + 1)( y + 1)( z + 1) … Thật ước A số có dạng mnp …trong đó: m có x + cách chọn (là 1, a, a , …, a x ) n có y + cách chọn (là 1, b, b , …, b y ) p có z + cách chọn (là 1, c, c , …, c z ),… Do đó, số lượng ước A ( x + 1)( y + 1)( z + 1) II Ước chung bội chung 1) Định nghĩa Ước chung (ƯC): Nếu hai tập hợp Ư(a) Ư(b) có phần tử chung phần tử gọi ước số chung a b Kí hiệu ƯC(a; b) | CHUYÊN ĐỀ SỐ HỌC CHUYÊN ĐỀ SỐ HỌC Nhận xét: Tập hợp bội a= ( a ≠ ) B ( a ) | CHỦ ĐỀ 1: CÁC BÀI TOÁN VỀ ƯỚC VÀ BỘI Nhận xét: Nếu ƯC ( a; b ) = {1} a b nguyên tố Ước chung lớn (ƯCLN): Số d ∈ N gọi ước số chung lớn a b ( a; b ∈ Z ) d phần tử lớn tập hợp ƯC(a; b) Kí hiệu ước chung lớn a b ƯCLN(a; b) (a;b) gcd(a;b) Bội chung (BC): Nếu hai tập hợp B(a) B(b) có phần tử chung phần tử gọi bội số chung a b Kí hiệu BC(a; b) Bội chung nhỏ (BCNN): Số m ≠ gọi bội chung nhỏ a b m số nhỏ khác tập hợp BC(a; b) Kí hiệu bội chung nhỏ a b BCNN(a; b) [ a; b ] lcm(a;b) 2) Cách tìm ƯCLN BCNN CHINH PHỤC KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HAI a) Muốn tìn ƯCLN hai hay nhiều số lớn ,ta thực bước sau : Phân tích số thừa số nguyên tố 2.- Chọn thừa số nguyên tố chung 3.- Lập tích thừa số chọn, thừa số lấy với số mũ nhỏ Tích ƯCLN phải tìm Ví dụ: = 30 2.3.5, = 2.5 = 10 = 20 22.5 ⇒ ƯCLN(30; 20) Chú ý : - Nếu số cho khơng có thừa số ngun tố chung ƯCLN chúng - Hai hay nhiều số có ƯCLN gọi số nguyên tố - Trong số cho, số nhỏ ước số lại ƯCLN số cho số nhỏ b) Muốn tìm BCNN hai hay nhiều số lớn , ta thực ba bước sau : 1- Phân tích số thừa số nguyên tố 2- Chọn thừa số nguyên tố chung riêng 3- Lập tích thừa số chọn , thừa số lấy với số mũ lớn chúng Tích BCNN phải tìm Ví dụ: = 30 2.3.5, 20) 2= 3.5 60 = 20 22.5 ⇒ BCNN(30;= Chú ý: - Nếu số cho đôi nguyên tố BCNN chúng tích số Ví dụ : BCNN(5 ; ; 8) = = 280 - Trong số cho, số lớn bội số lại BCNN số cho số lớn Ví dụ : BCNN(12 ; 16 ; 48) = 48 3) Tính chất Một số tính chất ước chung lớn nhất: TỦ SÁCH CẤP 2| BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI CẤP | ● Nếu ( a1 ; a2 ; ; an ) = ta nói số a1 ; a2 ; ; an nguyên tố ● Nếu ( am ; ak ) = 1, ∀m ≠ k , {m, k } ∈ {1;2; ; n} ta nói số a1 ; a2 ; ; an đôi nguyên tố a b c c ● c ∈ ƯC (a; b)  ;  = ( a; b ) c a b ; = d d  ● d= ( a; b ) ⇔  ● ( ca; cb ) = c ( a; b ) ● ( a; b ) = ( a; c ) = ( a; bc ) = ● ( a; b; c ) = ( ( a; b ) ; c ) ● Cho a > b > - Nếu a = b.q ( a; b ) = b Một số tính chất bội chung nhỏ nhất: ● Nếu [ a; b ] = M  M ; M  =  a b  ● [ a; b; c ] = [ a; b ] ; c  ● [ ka, kb ] = k [ a, b ] ; ● [ a; b ] ( a; b ) = a.b 4) Thuật tốn Euclid việc tính nhanh ƯCLN BCNN “Thuật toán Euclid” thuật toán cổ biết đến, từ thời Hy Lạp cổ đại, sau Euclid (ơ –clit) hệ thống phát triển nên thuật tốn mang tên ơng Về số học, “Thuật toán Euclid” thuật toán để xác định ước số chung lớn (GCD – Greatest Common Divisor) phần tử thuộc vùng Euclid (ví dụ: số ngun) Khi có ƯCLN ta tính nhanh BCNN Thuật tốn khơng u cầu việc phân tích thành thừa số số nguyên Thuật toán Oclit – dùng để tìm ƯCLN số nguyên Để tìm ƯCLN hai số nguyên a b ta dùng cách chia liên tiếp hay gọi “vòng lặp” sau: • Bước 1: Lấy a chia cho b: Nếu a chia hết cho b ƯCLN(a, b) = b Nếu a không chia hết cho b (dư r) làm tiếp bước | CHUYÊN ĐỀ SỐ HỌC CHUYÊN ĐỀ SỐ HỌC - Nếu a =bq + r ( r ≠ ) ( a; b ) = ( b; r ) | CHỦ ĐỀ 1: CÁC BÀI TOÁN VỀ ƯỚC VÀ BỘI • Bước 2: Lấy b chia cho số dư r: Nếu b chia hết cho r ƯCLN(a, b) = r Nếu b chia cho r dư r1 ( r1 ≠ ) làm tiếp bước • Bước 3: Lấy r chia cho số dư r1 : Nếu r chia cho r1 dư ƯCLN(a, b) = r1 Nếu r chia cho r1 dư r2 ( r1 ≠ ) làm tiếp bước Bước 4: Lấy r1 chia cho số dư r2 : CHINH PHỤC KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HAI Nếu r1 chia hết cho r2 ƯCLN(a, b) = r2 Nếu r1 cho cho r2 dư r3 ( r3 ≠ ) làm tiếp đến số dư Số dư cuối khác dãy chia liên tiếp ƯCLN (a,b) Ví dụ: Tính ước số chung lớn 91 287 • Trước hết lấy 287 (số lớn số) chia cho 91: 287 = 91.3 + 14 (91 14 dùng cho vòng lặp kế) Theo thuật tốn Euclid, ta có ƯCLN(91,287) = ƯCLN(91,14) Suy tốn trở thành tìm ƯCLN(91,14) Lặp lại quy trình phép chia khơng số dư sau: 91 = 14.6 + (14 dùng cho vòng lặp kế) 14 = 7.2 (khơng số dư suy kết thúc, nhận làm kết Thật vậy: = ƯCLN(14,7) = ƯCLN(91,14) = ƯCLN(287,91) Cuối ƯCLN(287, 91) = Tính BCNN nhanh Để việc giải toán BCNN ƯCLN nhanh, Nếu biết áp dụng “Thuật toán Euclid” : Biết rằng: hai số nguyên a, b có BCNN [ a,b] ƯCLN (a,b) = a.b a, b ] [ a, b ] ( a, b ) ⇒ [ = a.b ( a, b ) , ( a= ,b) a.b [ a, b ] Nghĩa là: Tích số nguyên a.b = ƯCLN (a,b) x BCNN (a,b) Ví dụ: có a = 12; b = 18 suy ƯCLN (12,18) = thì: TỦ SÁCH CẤP 2| BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI CẤP | BCNN (12,18) = (12 x 18) : = 36 Nếu làm theo cách phân tich thừa số nguyên tố phải tính: 12 = 22 x 3; 18 = x 32 suy BCNN (12,18) = 22 x 32 = 36 Nhận xét: Với cặp số nguyên có nhiều chữ số việc phân tích thừa số nguyên tố nhiều thời gian; lấy tích số bấm máy tính cầm tay nhanh dễ 5) Phân số tối giản a phân số tối giải ( a, b ) = b Tính chất: i) Mọi phân số khác đưa phân số tối giản ii) Dạng tối giản phân số B CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP  Dạng 1: Các toán liên quan tới số ước số * Cơ sở phương pháp: Nếu dạng phân tích thừa số nguyên tố số tự nhiên A a x b y c z … số lượng ước A ( x + 1)( y + 1)( z + 1) … Thật ước A số có dạng mnp …trong đó: m có x + cách chọn (là 1, a, a , …, a x ) n có y + cách chọn (là 1, b, b , …, b y ) p có z + cách chọn (là 1, c, c , …, c z ),… Do đó, số lượng ước A ( x + 1)( y + 1)( z + 1) * Ví dụ minh họa: Bài tốn Tìm số ước số 1896 Hướng dẫn giải Ta có= : 1896 ) (= 96 3192.296 1) 97.193 = 18721 Vậy số ước số 1896 ( 96 + 1)(192 += | CHUYÊN ĐỀ SỐ HỌC CHUYÊN ĐỀ SỐ HỌC iii) Tổng (hiệu) số nguyên phân số tối giản phân số tối giản | ĐÁP ÁN CHỦ ĐỀ 1: CÁC BÀI TOÁN VỀ ƯỚC VÀ BỘI Từ (1) (2)  ( n + ) − ( 2n + 1)   n + ⇒ 3 n + Vì n + nguyên nên n + ∈ {−1; −3;1;3} ⇒ n ∈ {−3; −5; −1;1} Vậy với ⇒ n ∈ {−3; −5; −1;1} phân số 2n + số nguyên n+2 Câu 38 Giả sử sau a phút (kể từ lúc 6h) xe lại xuất phát bến lần thứ CHINH PHỤC KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HAI Lập luận để suy a BCNN ( 75, 60,50 ) Tìm BCNN ( 75, 60,50 ) = 300 (phút) = Sau 5h xe lại xuất phát, lúc 11h ngày 2n + 1 d ⇒ 6n + − ( 2n + 1) d ⇒ 2d ⇒ d ∈ {1; 2}  n + 5 d Câu 39 Giả sử d ∈UCLN ( 2n + 1, 6n + ) ⇒  Vì n số nguyên dương nên 2n +  ⇒ d ≠ ⇒ d = Vậy với số nguyên dương n phân số 2n + tối giản 6n + 6n + ( n ∈ ) 3n + a) Chứng tỏ phân số P phân số tối giản = Câu 40 Cho phân số: P Gọi d = ƯC ( 6n + 5,3n + ) (với d ∈ * ) ⇒ 6n +  d 3n +  d ⇒ ( 6n + ) − ( 3n + )  d ⇔  d ⇒ d = Vậy phân số P phân số tối giản b) Với giá trị n phân số P có giá trị lớn nhất? 6n + ( 3n + ) + 1 = = 2+ 3n + 3n + 3n + 1 5 ≤ ⇔ 2+ ≤ ⇒P≤ Với n ∈  3n + ≥ ⇒ 3n + 2 3n + 2 Dấu “=” xảy ⇔ n = Vậy n = phân số P có giá trị lớn ⋅ Ta có: P= a = d a1 b = d b1 Câu 41 Gọi UCLN ( a; b ) = > d= ( a1; b1 ) = 48 = > da1 + 2db1 = 48 = > d ( a1 + 2b1 ) = 48 = > d ∈ U ( 48 ) Mà : a + 2b = (1) Ta lại có: 3.BCNN(a; b) + ƯCLN(a; b) = 114 114 = > d (1 + 3a1.b1 ) = 114 = > d ∈ U (114 ) => d + 3.a1.b1.d = (2) Từ (1) (2) => d ∈ UC (48;114) = {1; 2;3;6} TỦ SÁCH CẤP 2| 240 BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI CẤP | 114 3.38 = > d 3 = > d = d = Mà : d (1 + 3a1.b1 ) == + 2b1 16 + 2b1 16 a = a1= TH1 : d = 3=>  (loại) =>  3a1.b1 38 3a1.b1 37 1 += = 8 2= 12 >a= a1 + 2b1 = a1 + 2b1 = a1 = TH2 : d = 6= > = > = > 19 >b= 18 1 + 3a1.b1 = a1.b1 = b1 == Vậy a = 12 b = 18 Câu 42 Đặt (11a + 2b, 18a + 5b) = d 55a + 10b d ⇒ ⇒ 19a  d 36a + 10b d 198a + 36b d ⇒ 19b d 198a + 55b d Và  19a  d ⇒ 19 d (vì (a, b) = 1) 19b d   CHUYÊN ĐỀ SỐ HỌC Do  Vậy d ∈ {1;9} Câu 43 Ta có b ) ( a,a + b ) ( a,= =( a + a + b,a + b ) =( 2a + b,a + b ) = ( 2a + b,3a + 2b ) = ( 5a + 3b,3a + 2b ) = ( 5a + 3b, ( 5a + 3b ) + 3a + 2b ) = ( 5a + 3b,13a + 8b ) ( ab + bc + ca ) p abc p Câu 44 Giả sử tồn số nguyên tố p cho  a  p Từ abc p ⇒  b p  c p  b p  c p Giả sử a  p ⇒ ab + ac p ⇒ bc p ⇒  Điều mâu thuẫn với (a, b) = (a, c) = .241 | CHUYÊN ĐỀ SỐ HỌC | ĐÁP ÁN CHỦ ĐỀ 1: CÁC BÀI TOÁN VỀ ƯỚC VÀ BỘI ( ) ( ( Câu 45 Ta có a + b,a − ab + b = a + b, ( a + b ) − a − ab + b 2 ) ) = ( a + b,3ab ) Do (a, b) = nên (a + b, ab) = ( a + b,a Vì − ab + b ) = ( a + b,3ab ) = ( a + b,3) ⇒ d ∈ {1;3} * Xét d = a + b = a+b =⇔ ⇔ 3ab = −9  2 a − ab + b 73 73 a − ab + b = CHINH PHỤC KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HAI Khi Điều khơng xảy a, b ∈ N * Xét d = ( a;b ) = (17;7 ) 24 a + b = a+b = ⇔ ⇔ 3ab = − ⇔   2 a − ab + b 73 219 ( a;b ) = ( 7;17 ) a − ab + b = Khi Thử lại ta hai cặp số thỏa mãn điều kiện toán (2 Câu 46 Đặt d= ) + 1, 22 + ⇒ d lẻ 2n n Ta có (2 = (2 =( 22 −= n 2n −1 2n −1 2n −1 ( )( + 1)( + 1)( n −1 ) + 1)( − 1) + 1) ( + 1)( + 22 − ) ( 2n −2 2n −2 2n −2 2m 2m ) − d ) Do 22 + − 22 − = 2 d ⇒ d= (vì d lẻ) ( n n ) Vậy 22 + 1, 22 + = n n Câu 47 Đặt d = (m, n) Khi tồn số tự nhiên r, s cho rn - sm = d Đặt d1 = (2 m − 1, 2n − 1) ⇒ d1 lẻ Ta có: 2n − 1 2d − (vì n  d ) 2m − 1 2d − (vì m d ) TỦ SÁCH CẤP 2| 242 BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI CẤP | Do d1  2d − n rn 2 − 1 d1 ⇒ − 1 d1 sm Mặt khác:  m 2sm ( 2rn −sm −= 1) 2sm ( 2d − 1) d1 ⇒ 2rn − 2= sm 2 − 1 d1 ⇒ − 1 d1 Mà ( 2,d1 ) =1 ⇒ 2d − 1 d1 Từ suy d= 2d − 1 ( ) Vậy 2m − 1, 2n − 1= 2( m,n ) −1 Câu 48 Giả sử a ≤ b Khi BCNN(a; b) = 15.m.n Do đó: ƯCLN(a; b).BCNN(a; b) = (15.m.n ) 15 = (15m ) (15n ) = a.b ⇒ ab = 300.15 = 4500 mn = 20 ⇒ 15m.15n = 4500 ⇒   m≤n Ta có bảng: m n a b 20 15 300 60 75 Vậy cặp số (a ; b) cần tìm : (15 ;60), (300 ; 75) đảo ngược lại Câu 49 Giả sử d= ( a, a + ) ⇒ d | a d | a + ⇒ d | a + − a ⇒ d = d = Với a lẻ (a, a + 2) = Với a chẵn (a, a + 2) = Câu 50 Giả sử d | (1 + a + + a m −1 ) d | ( a − 1) ,suy : d | ( a m −1 − 1) + ( a m − − 1) + + ( a − 1) + m ⇒ d | m Vậy d | m d | a − Ngược lại, d | a d | a − d ( m m −1 + + a + 1) Vậy (1 + a + + a m −1 , a − 1= ) 243 | CHUYÊN ĐỀ SỐ HỌC ( m, a − 1) CHUYÊN ĐỀ SỐ HỌC a = 15.m Do ƯCLN (a, b) = 15 ⇒  1, ( m ≤ n ) , ( m, n ) = b = 15.n | ĐÁP ÁN CHỦ ĐỀ 1: CÁC BÀI TOÁN VỀ ƯỚC VÀ BỘI Câu 51 Giả sử d | a, b | d , c | d d lẻ Ta có a + b d a + b ⇒ a + b 2d ( ( 2, d ) = 1) ⇒ Tương tự: b+c c+d  d d 2 Vậy d ước CHINH PHỤC KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HAI a+b d a+b b+c c+a , , 2 Ngược lại, giả sử d ước a+b b+c c+a a+b a+c b+c d ước , , + − = a 2 2 2 Tương tự d | b d | c a+b b+c c+a Vậy:  , ,  = ( a , b, c ) 2   Giả sử d = ( a1 , a2 , , a 49 ) ,khi a1 + a2 + + a49 = 999 d , suy d ước Câu 52 999 = 33.37 Vì d | ak ( k = 1, 2, , 49 ) nên ak ≥ d , ∀k ⇒ 999 = a1 + a2 + + a49 ≥ 49d ⇒d ≤ 99 < 21 Vậy d nhận giá trị 1,3, 29 Giá trị d lớn a1= a2= = a48= 9; a49= 567 (vì 9.48 + 567 = 999 ) Câu 53 Giả sử d = (11a + 2b,18a + 5b ) , d |18a + 5b d |11a + 2b , suy d |11(18a + 5b ) − 18 (11a + 2b ) = 19b ⇒ d |19 d | b - Nếu d | b từ d | (11a + 2b ) − (18a + 5b ) =a − 5b ⇒ d | a ⇒ d | ( a, b ) =1 ⇒ d =1 - Nếu d |19 d = d = 19 Vậy (11a + 2b, 18a + 5b) 19 ( ) Câu 54 Giả sử d =m + n, m + n d | m + n d | m + n suy d | ( m + n ) − ( m2 − n2 ) = 2mn 2m d | 2n ( m + n ) − 2mn = 2n d | m + n d | mn suy d | 2m ( m + n ) − 2mn = ( ) ( ) Do d | 2m , 2n = m , n = ⇒ d =1 d = TỦ SÁCH CẤP 2| 244 BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI CẤP | Nếu m, n lẻ d = Nếu m, n khác tính chẵn lẻ d = Câu 55 a) Giả sử d =( 21n + 4,14n + 3) , d | 21n + d |14 n + suy d | ( 21n + ) d | (14n + 3) ⇒ d | (14n + 3) − ( 21n + ) =1 ⇒ d =1 Vậy 21n + phân số tối giản 14n + ( ) b) Giả sử d =2n + 1, n + 2n suy d | n + 2n − n ( 2n + 1) = n Từ d | 2n + d | n suy d | 2n + − 2n = ⇒ d = 2n + phân số tối giản 2n + 2n Câu 56 a) Ta có: phân số 18n + 3 ( 6n + 1) Mà ( 3,7 ) = = 21n + 7 ( 3n + 1) ( 3,3n + 1) = ( 6n + 1,3n + 1) = nên để 18n + tối giản ta phải có ( 6n + 1,7 ) = 21n + Mặt khác, 6n + = 7n – (n – 1), : ( 6n + 1,7 ) =1 ⇔ ( n − 1,7 ) =1 ⇔ n ≠ 7k + ( k ∈ Z ) Vậy, với n chia cho không dư b) Ta có 18n + phân số tối giản 21n + 2n + 11 tối giản ⇔ ( n + 7,11) =1 ⇔ n ≠ 11k − ( k ∈ Z ) , = 2− n+7 n+7 Câu 57 Khơng tính tổng quát ta giả sử a ≤ b Vì ( a, b ) = 16 nên = a 16 = a1 , b 16b1 với ( a1 , b1 ) = Từ a + b = 128 suy 16 ( a1 + b1 ) = 128 ⇔ a1 + b1 = Với điều kiện a1 ≤ b1 ( a1 , b1 ) = ta có a1 = 1, b1 hoặc= a1 3,= b1 Từ ta có = a 16, = b 112 = a 48, = b 80 Câu 58 Ta có ab + ba= 10a + b + 10b + a= 11( a + b ) ;33= 11.3 Vì (a + b) khơng chia hết ( ) ab + ba,33 = 11 Câu 59 Số có chữ số tận 136 chia hết có ước số dương 1, 2, 4, .245 | CHUYÊN ĐỀ SỐ HỌC CHUYÊN ĐỀ SỐ HỌC Vậy | ĐÁP ÁN CHỦ ĐỀ 1: CÁC BÀI TOÁN VỀ ƯỚC VÀ BỘI Câu 60 d | a, d | b d | ma + nb, d | ka + lb; d | ma + nb, d | ka + lb d | k ( ma + nb ) − m ( ka + lb ) =±b ⇒ d | b Tương tự : d | a Câu 61 Ta có 123456798 – 123456789 = nên ƯCLN phải tìm 1, 9, mà tất số cho chia hết ƯCLN phải tìm CHINH PHỤC KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HAI Câu 62  d | a ( 2a + b ) − ( a + ab ) = a2  ⇒ d | ( a , b ) =1 ⇒ d =1 d =( 2a − b, a + ab ) ⇒  2 d | b ( 2a + b ) − ( a + ab ) = b − 2a Câu 63 a ) d =(12n + 1,30n + ) ⇒ d | (12n + 1) − ( 30n + ) =1 ⇒ d =1 Vậy phân số 12n + phân số tối giản 30n + b) d =(15n + 8n + 6,30n + 21n + 13) ⇒ d | (15n + 8n + ) − ( 30n + 21n + 13) =1 ⇒ d | 5n + ⇒ d | 3n ( 5n + 1) − (15n + 8n + ) ⇒ d | 5n + ⇒ d | ( 5n + ) − ( 5n + 1) ⇒ d |  d | 5n + ⇒ d |1 ⇒ d =  d |  Vậy phân số Câu 64 15n + 8n + phân số tối giản 30n + 21n + 13 n + 13 15 tối giản (15, n − ) = = 1+ n−2 n−2 Do n – khơng chia hết cho Do để phân số n + 13 tối giản n ≠ 3k + 2, n ≠ 5l + n−2 Câu 65 Chứng minh n lẻ không chia hết cho Câu 66 Các số cho có dạng k + ( n + 2) n+2 k tối = 1+ ( k = 7,8, ,31) Mà k k k + ( n + 2) giản ⇔ ( n + 2, k ) =1 ⇔ n + nguyên tố với 7,8, ,31 n + nhỏ ⇔ n + = 37 ⇔ n = 35 Câu 67 a) a = 6, b = 60 a = 12, b = 30 ( a ≤ b ) ; TỦ SÁCH CẤP 2| 246 BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI CẤP | b) Các cặp số (a, b) với a ≤ b cần tìm (1;54 ) , ( 2;27 ) , ( 5;50 ) , (10;25 ) (11;44 ) Câu 68 n + 1[ 2,3, 4,5,6,7,8,9] = 5.7.8.9 = 2520 Vậy n = 2519 Câu 69 Ta có: N = ab ( ab + 1)( 2ab + 1) chia hết cho số: 1; a ; b ( ab + 1)( 2ab + 1) ; b ; a ( ab + 1)( 2ab + 1) ; ab + ; ab ( 2ab + 1) ; 2ab + ; ab ( ab + 1) ; N ; ab ; ( ab + 1)( 2ab + 1) ; b ( ab + 1) ; a ( 2ab + 1) ; a ( ab + 1) ; b ( 2ab + 1) có 16 ước dương Nên để N có 16 ước dương a; b; ab + 1; 2ab + số nguyên tố Do a, b > ⇒ ab + > Nếu a; b lẻ ab + chia hết hợp số (vơ lý) Do khơng tính tổng qt, giả sử a chẵn  b lẻ ⇒ a = Ta có b khơng chia hết cho 2ab + 1= 4b + ab + 1= 2b + chia hết cho 3 hợp số (vô lý) ⇒ b = Câu 70 Đặt A = p − pq + 2q B = p + pq + q Xét trường hợp: +) p= q= , không thoả mãn +)= p 2, q ≥ 3, ( A, B ) = ( − 2q + 2q ,8 + 2q + q ) = ( − q + q ,8 + p + q ) = ( + 3q,8 + 2q + q ) 2 (vì + p + q  ) = ( + q,8 + ( + q ) q ) , (vì + p + q 3 ) = d Suy d lẻ d Do d = +) = q 2, p ≥ 3, ( p − p+ 8, p + p + ) = ( p − p + 8, p + p + ) , (vì p − p + 8 ) = ( p − 6, p + p + ) = ( p − 2, p + p + ) , (vì p + p + 2 ) = ( p − 2, p + ) ( A, B ) = 2 2 2 2 ( = p − 2, ( p − ) + p = d .247 | CHUYÊN ĐỀ SỐ HỌC ) CHUYÊN ĐỀ SỐ HỌC Vậy= a 2;= b | ĐÁP ÁN CHỦ ĐỀ 1: CÁC BÀI TOÁN VỀ ƯỚC VÀ BỘI Suy d p , d lẻ d < p Do d = +) p, q ≥ 3, Vì p, q số lẻ nên p + q p − q số chẵn Suy A= p ( p − q ) + 2q  B = p + q ( q + p ) Vậy A B không nguyên tố Tóm lại:= p 2, q ≥ 3, q nguyên tố hoặc= q 2, p ≥ 3, p nguyên tố Câu 71 Gọi ( a + b, a + b ) = d ⇒ a + b  d a + b  d CHINH PHỤC KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HAI ⇒ a + 2ab + b  d ⇒ 2ab  d ( a, b ) = ⇒ ( ab, a + b ) =1 ⇒ ( 2ab, a + b ) =( 2, a + b ) ⇒ d ước số ( 2ab, a + b ) ⇒ d ước số ( 2, a + b ) ⇒ d ước số cùa ⇒ d = d = a + b = +b = a= a a = ⇔ ⇔  = = 25 ab 12 b b = a + b = 1⇒  Nếu d = 14 a + b = Nếu d= ⇒  2 50 a + b = vơ nghiệm Tóm lại ( a, b ) = ( 3, ) , ( 4,3) Câu 72 Đặt A B m + n Gọi d ước chung lớn A B với d ≥ = m + n = Khi ta có A  d; B d hay ta m + n  d; m + n  d Ta lại có A − B = (m + n) − (m 2 ) ( ) + n = 2mn Mà A − B  d nên suy 2mn  d Lại có m + n  d nên 2n ( m + n ) d ⇒ 2mn + 2n  d Kết hợp với 2mn  d ta 2n  d Hoàn toàn tương tự ta chứng minh 2m  d Theo m n nguyên tố nên m n khơng tính chẵn Ta xét trường hợp sau: • Trường hợp 1: Trong hai số m n có số chẵn số lẻ, m + n số lẻ nên từ m + n chia hết cho d ta suy d số lẻ Từ ta m n chia hế cho d Mà ta lại có m n nguyên tố nên suy d = • Trường hợp 2: Cả hai số m n số lẻ, từ m + n số chẵn nên từ m + n chia hết cho d với d lớn ta suy d số chẵn Đặt d = 2d' , từ 2m  d 2n  d ta m  d' n  d' TỦ SÁCH CẤP 2| 248 BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI CẤP | Do m n nguyên tố nên suy d' = , d = Vậy ta có hai kết sau: ( ) + Nếu hai số m n có số chẵn số lẻ m + n, m + n = ( ) + Nếu hai số m n lẻ m + n, m + n = Câu 73 Giả sử số nguyên dương a, b thỏa mãn yêu cầu tốn, ta có 16ab + 1 ( a + b ) ( 4a + 1, 4b − 1) = Ta có ( 4a + 1)( 4b + = 1) 16ab + + ( a + b ) ( a + b ) Lại có 4a + + 4b − 1= ( a + b ) ( a + b ) Mà ( 4a + 1, 4b − 1) = Nếu hai số 4a + a + b chia hết cho số ngun tố p đó, từ thiết ( 4a + 1, 4b − 1) = Từ suy ( 4a + 1,a + b ) = Ta có ( 4a + 1)( 4b + 1) ( a + b ) ( 4a + 1,a + b ) = nên suy 4b + 1 ( a + b ) Ngược lại giả sử a, b số nguyên dương thỏa mãn 4b + 1 ( a + b ) Khi từ ( 4a + 1)( 4b + 1)( a + b ) ta suy 16ab( a + b ) Nếu hai số 4a + 4b − chia hết cho p p số nguyên tố lẻ Ta lại có 4a + + 4b − 1= ( a + b ) ( a + b ) , suy 4b + 1 p Do ta 4b + − ( 4b − 1) = p , điều mâu thuẫn với p số nguyên tố lẻ Từ ta ( 4a + 1, 4b − 1) = Như hai số nguyên dương a, b thỏa mãn ( 4a + 1, 4b − 1) = 16ab ( a + b ) tương đương với hai số nguyên dương a, b thỏa mãn 4b + 1 ( a + b ) Chú ý 4b + số lẻ 4b + < ( a + b ) nên từ 4b + 1 ( a + b ) ta suy  4b + = a + b a = 3b + ⇔  b 3a − =  4b + 1= ( a + b ) Như cặp số nguyên dương ( a; b ) ( c; 3c − 1) , ( 3c + 1; c ) với c ∈ N* Câu 74 Ta có: N = ab ( ab + 1)( 2ab + 1) chia hết cho số: 1; a ; b ( ab + 1)( 2ab + 1) ; b ; a ( ab + 1)( 2ab + 1) ; ab + ; ab ( 2ab + 1) ; 2ab + ; 249 | CHUYÊN ĐỀ SỐ HỌC CHUYÊN ĐỀ SỐ HỌC 4a + + 4b − chia hết cho ( a + b ) ta suy 4b − 1 p , điều mâu thuẫn với giả | ĐÁP ÁN CHỦ ĐỀ 1: CÁC BÀI TOÁN VỀ ƯỚC VÀ BỘI ab ( ab + 1) ; N ; ab ; ( ab + 1)( 2ab + 1) ; b ( ab + 1) ; a ( 2ab + 1) ; a ( ab + 1) ; b ( 2ab + 1) có 16 ước dương Nên để N có 16 ước dương a; b; ab + 1; 2ab + số nguyên tố Do a, b > ⇒ ab + > Nếu a; b lẻ ab + chia hết hợp số (vơ lý) Do khơng tính tổng quát, giả sử a chẵn  b lẻ ⇒ a = Ta có b khơng chia hết cho 2ab + 1= 4b + ab + 1= 2b + chia hết cho 3 hợp số (vô lý) ⇒ b = CHINH PHỤC KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HAI Vậy= a 2;= b Câu 75 Gọi d ƯCLN(m, n) suy m , n , mn chia hết cho d Do m + n + m2 + n2 + m + n số nguyên nên m + n + m + n chia hết cho d + = n m mn Suy m + n chia hết cho d ⇒ m + n ≥ d ⇒ m + n ≥ d Câu 76 a) Dễ thấy số ( a, b, c ) = (1,3, ) thỏa mãn đề b) Đặt S = a + b + c + ab + bc + ac Từ giả thiết suy S chia hết cho a, b, c Vì a, b, c đơi khác nhau, a, b, c đồng thời số nguyên tố S  abc hay = S kabc(k ∈ ) Không tính tổng quát, giả sử a < b < c Nếu a = b, c lẻ ⇒ b + c + bc lẻ nên không chia hết cho Do a ≥ nên b ≥ 5, c ≥ = Từ S kabc(k ∈ ) suy 1 1 1 0