Bí quyết giải Toán số học THCS theo chủ đề

HUỲNH KIM LINH – NGUYỄN QUỐC BẢO BÍ QUYẾT Giải toán số học THCS THEO CHỦ ĐỀ ● Dùng bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 6,7,8,9 ● Giúp ôn thi vào lớp 10 chuyên toán NHÀ XUẤT BẢN………… Lời giới thiệu Các em học sinh thầy giáo, giáo thân mến ! Cuốn sách Bí giải toán số học THCS tác giả biên soạn nhằm giúp em học sinh học tập tốt môn Toán THCS THPT sau Các tác giả cố gắng lựa chọn tập thuộc dạng điển hình, xếp thành hệ thống để bồi dưỡng học sinh giỏi lớp THCS Sách viết theo chủ đề tương ứng với vấn đề quan trọng thường đề thi học sinh giỏi toán THCS, vào lớp 10 chun mơn tốn nước Mỗi chủ đề viết theo cấu trúc lý thuyết cần nhớ, dạng toán thường gặp, tập rèn luyện hướng dẫn giải giúp em học sinh nắm vững kiến thức đồng thời rèn luyện kiến thức học Mỗi chủ đề có ba phần: A Kiến thức cần nhớ: Phần tóm tắt kiến thức bản, kiên thức bổ sung cần thiết để làm sở giải tập thuộc dạng chuyên đề B Một số ví dụ: Phần đưa ví dụ chọn lọc, tiêu biểu chứa đựng kĩ phương pháp luận mà chương trình đòi hỏi Mỗi ví dụ thường có: Lời giải kèm theo nhận xét, lưu ý, bình luận phương pháp giải, sai lầm thường mắc nhằm giúp học sinh tích lũy thêm kinh nghiệm giải tốn, học toán C Bài tập vận dụng: Phần này, tác giả đưa hệ thống tập phân loại theo dạng toán, tăng dần độ khó cho học sinh giỏi Có tập trích từ đề thi học sinh giỏi Tốn đề vào lớp 10 chuyên Toán Các em cố gắng tự giải Nếu gặp khó khăn xem hướng dẫn lời giải cuối sách Các tác giả hi vong sách tài liệu có ích giúp em học sinh nâng cao trình độ lực giải tốn, góp phần đào tạo, bồi dưỡng học sinh giỏi cấp THCS Mặc dù có nhiều cố gắng biên soạn song sách khó tránh khỏi sai sót Chúng tơi mong nhận ý kiến đóng góp bạn đọc Trong trình soạn sách xin chân thành cảm ơn Thầy Trần Thanh Trà - Trường THCS Chu Văn An quận Ngơ Quyền, tỉnh Hải Phòng; Thầy Lưu Lý Tưởng - Trường THCS Văn Lang, TP Việt Trì, Phú Thọ; Thầy Phạm Văn Vượng - Trường THCS Nhữ Bá Sỹ, tỉnh Thanh Hóa, Cơ Quế Thị Lan Trường THCS Diễn Mỹ, Diễn Châu, Nghệ An tặng nhiều tài liệu đề thi quý để tác giả kham khảo Xin chân thành cảm ơn! CHỦ ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI CẤP | CÁC BÀI TỐN VỀ ƯỚC VÀ BỘI A KiÕn thøc cÇn nhí I Ước bội 1) Định nghĩa ước bội Ước: Số tự nhiên d ≠ gọi ước số tự nhiên a a chia hết cho d Ta nói d ước a Nhận xét: Tập hợp ước a Ư (a ) = {d ∈ N : d | a} Bội: Số tự nhiên m gọi bội a ≠ m chia hết cho a hay a ước số m ∈ Z 2) Tính chất: - Số bội số nguyên khác Số khơng phải ước số ngun - Các số -1 ước số nguyên - Nếu Ư (a ) = {1;a} a số nguyên tố - Số lượng ước số : Nếu dạng phân tích thừa số nguyên tố số tự nhiên A a x b y cz … số lượng ước A (x + 1)( y + 1)(z +1) … Thật ước A số có dạng mnp …trong đó: m có x +1 cách chọn (là1, a , a , …, ax ) n có y +1 cách chọn (là1, b , b , …,by ) p có z +1 cách chọn (là1, c , c , …,cz ),… Do đó, số lượng ước A (x + 1)( y + 1)(z +1) II Ước chung bội chung 1) Định nghĩa Ước chung (ƯC): Nếu hai tập hợp Ư(a) Ư(b) có phần tử chung phần tử gọi ước số chung a b Kí hiệu ƯC(a; b) | CHUYÊN ĐỀ SỐ HỌC CHUYÊN ĐỀ SỐ HỌC Nhận xét: Tập hợp bội a (a ≠ 0) B (a ) = {0; a; a; ; ka}, k | CHỦ ĐỀ 1: CÁC BÀI TOÁN VỀ ƯỚC VÀ BỘI Nhận xét: Nếu ƯC (a; b) = {1} a b nguyên tố Ước chung lớn (ƯCLN): Số d ∈ N gọi ước số chung lớn a b (a; b ∈ Z ) d phần tử lớn tập hợp ƯC(a; b) Kí hiệu ước chung lớn a b ƯCLN(a; b) (a;b) gcd(a;b) Bội chung (BC): Nếu hai tập hợp B(a) B(b) có phần tử chung phần tử gọi bội số chung a b Kí hiệu BC(a; b) Bội chung nhỏ (BCNN): Số m ≠ gọi bội chung nhỏ a b m số nhỏ khác tập hợp BC(a; b) Kí hiệu bội chung nhỏ a b BCNN(a; b) [a; b] lcm(a;b) 2) Cách tìm ƯCLN BCNN CHINH PHỤC KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HAI a) Muốn tìn ƯCLN hai hay nhiều số lớn ,ta thực bước sau : Phân tích số thừa số nguyên tố 2.- Chọn thừa số nguyên tố chung 3.- Lập tích thừa số chọn, thừa số lấy với số mũ nhỏ Tích ƯCLN phải tìm Ví dụ: 30 = 2.3.5, 20 = 2.5 ⇒ ƯCLN(30; 20) = 2.5 = 10 Chú ý : - Nếu số cho thừa số ngun tố chung ƯCLN chúng - Hai hay nhiều số có ƯCLN gọi số nguyên tố - Trong số cho, số nhỏ ước số lại ƯCLN số cho số nhỏ b) Muốn tìm BCNN hai hay nhiều số lớn , ta thực ba bước sau : 1- Phân tích số thừa số nguyên tố 2- Chọn thừa số nguyên tố chung riêng 3- Lập tích thừa số chọn , thừa số lấy với số mũ lớn chúng Tích BCNN phải tìm Ví dụ: 30 = 2.3.5, 20 = 2.5 ⇒ BCNN(30; 20) = 2.3.5 = 60 Chú ý: - Nếu số cho đôi nguyên tố BCNN chúng tích số Ví dụ : BCNN(5 ; ; 8) = = 280 - Trong số cho, số lớn bội số lại BCNN số cho số lớn Ví dụ : BCNN(12 ; 16 ; 48) = 48 3) Tính chất Một số tính chất ước chung lớn nhất: TỦ SÁCH CẤP 2| BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI CẤP | ● Nếu (a1 ; a2 ; ; an ) = 1thì ta nói số a1 ; a2 ; ;an nguyên tố ● Nếu (am ; ak ) = 1, ∀m ≠ k , {m, k }∈{1; 2; ;n} ta nói số a1 ; a2 ; ;an đôi nguyên tố ● a c ∈ƯC (a; b) ● d = (a; b) ⇔ a b ; c ; (a; b) b = c c = d d ● (ca; cb ) = c (a; b) ● (a; b) = (a; c) = 1thì (a; bc) = ● (a; b; c ) = ((a; b );c) ● Cho a > b > - Nếu a = b.q (a; b ) = b Một số tính chất bội chung nhỏ nhất: M M ● Nếu [a; b ] = M ; = a b ● ● [a; b; c ] = [ a; b ];c ● [ka , kb ] = k [a , b]; ● [a; b ] (a; b ) = a.b 4) Thuật tốn Euclid việc tính nhanh ƯCLN BCNN “Thuật toán Euclid” thuật toán cổ biết đến, từ thời Hy Lạp cổ đại, sau Euclid (ơ –clit) hệ thống phát triển nên thuật tốn mang tên ơng Về số học, “Thuật toán Euclid” thuật toán để xác định ước số chung lớn (GCD – Greatest Common Divisor) phần tử thuộc vùng Euclid (ví dụ: số ngun) Khi có ƯCLN ta tính nhanh BCNN Thuật tốn khơng u cầu việc phân tích thành thừa số số ngun Thuật tốn Oclit – dùng để tìm ƯCLN số nguyên Để tìm ƯCLN hai số nguyên a b ta dùng cách chia liên tiếp hay gọi “vòng lặp” sau: • Bước 1: Lấy a chia cho b: Nếu a chia hết cho b ƯCLN(a, b) = b Nếu a khơng chia hết cho b (dư r) làm tiếp bước | CHUYÊN ĐỀ SỐ HỌC CHUYÊN ĐỀ SỐ HỌC - Nếu a = bq + r (r ≠ 0) (a; b ) = (b; r ) | CHỦ ĐỀ 1: CÁC BÀI TOÁN VỀ ƯỚC VÀ BỘI • Bước 2: Lấy b chia cho số dư r: Nếu b chia hết cho r ƯCLN(a, b) = r Nếu b chia cho r dư r1 ( r1 ≠ ) làm tiếp bước • Bước 3: Lấy r chia cho số dư r1 : Nếu r chia cho r1 dư ƯCLN(a, b) = r1 Nếu r chia cho r1 dư r2 ( r1 ≠ ) làm tiếp bước Bước 4: Lấy r1 chia cho số dư r2 : Nếu r1 chia hết cho r2 ƯCLN(a, b) = r2 CHINH PHỤC KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HAI Nếu r1 cho cho r2 dư r3 ( r3 ≠ ) làm tiếp đến số dư Số dư cuối khác dãy chia liên tiếp ƯCLN (a,b) Ví dụ: Tính ước số chung lớn 91 287 • Trước hết lấy 287 (số lớn số) chia cho 91: 287 = 91.3 + 14 (91 14 dùng cho vòng lặp kế) Theo thuật tốn Euclid, ta có ƯCLN(91,287) = ƯCLN(91,14) Suy tốn trở thành tìm ƯCLN(91,14) Lặp lại quy trình phép chia khơng số dư sau: 91 = 14.6 + (14 dùng cho vòng lặp kế) 14 = 7.2 (khơng số dư suy kết thúc, nhận làm kết Thật vậy: = ƯCLN(14,7) = ƯCLN(91,14) = ƯCLN(287,91) Cuối ƯCLN(287, 91) = Tính BCNN nhanh Để việc giải toán BCNN ƯCLN nhanh, Nếu biết áp dụng “Thuật toán Euclid” : Biết rằng: hai số nguyên a, b có BCNN [ a,b] ƯCLN (a,b) a.b a.b a.b = [a , b ] (a , b ) ⇒ [a , b ] = (a , b ) , (a , b) = [a , b ] Nghĩa là: Tích số nguyên a.b = ƯCLN (a,b) x BCNN (a,b) Ví dụ: có a = 12; b = 18 suy ƯCLN (12,18) = thì: TỦ SÁCH CẤP 2| BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI CẤP | BCNN (12,18) = (12 x 18) : = 36 Nếu làm theo cách phân tich thừa số nguyên tố phải tính: 12 = 22 x 3; 18 = x 32 suy BCNN (12,18) = 22 x 32 = 36 Nhận xét: Với cặp số nguyên có nhiều chữ số việc phân tích thừa số nguyên tố nhiều thời gian; lấy tích số bấm máy tính cầm tay nhanh dễ 5) Phân số tối giản a phân số tối giải (a , b) = b i) Mọi phân số khác đưa phân số tối giản ii) Dạng tối giản phân số B CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP Dạng 1: Các toán liên quan tới số ước số * Cơ sở phương pháp: Nếu dạng phân tích thừa số nguyên tố số tự nhiên A a x b y cz … số lượng ước A (x + 1)( y + 1)(z +1) … Thật ước A số có dạng mnp …trong đó: m có x +1 cách chọn (là1, a , a , …, ax ) n có y +1 cách chọn (là1, b , b , …,by ) p có z +1 cách chọn (là1, c , c , …,cz ),… Do đó, số lượng ước A (x + 1)( y + 1)(z +1) * Ví dụ minh họa: Bài tốn Tìm số ước số 1896 Hướng dẫn giải Ta có : 1896 = (32 )96 = 3192 96 Vậy số ước số 1896 (96 + 1)(192 + 1) = 97.193 = 18721 | CHUYÊN ĐỀ SỐ HỌC CHUYÊN ĐỀ SỐ HỌC iii) Tổng (hiệu) số nguyên phân số tối giản phân số tối giản | CHỦ ĐỀ 1: CÁC BÀI TOÁN VỀ ƯỚC VÀ BỘI Bài toán Chứng minh số tự nhiên lớn số phương số ước số số lẻ Hướng dẫn giải Giả sử n = p1a p2a pka với pi nguyên tố ∈ N* k n số phương a1 , a2 , , ak số chẵn (a1 + 1)(a2 + 1) (ak + 1) số lẻ Mặt khác (a1 + 1)(a2 + 1) (ak + 1) số số ước n, tốn CHINH PHỤC KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HAI chứng minh Bài toán Một số tự nhiên n tổng bình phương số tự nhiên liên tiếp Chứng minh n khơng thể có 17 ước số Hướng dẫn giải Tổng bình phương số tự nhiên liên tiếp có dạng : n = (m − 1)2 + m + (m + 1)2 = 3m2 + khơng thể số phương Nếu n có 17 ước số n số phương (bài tốn 1), vơ lí Từ suy điều phải chứng minh Dạng 2: Tìm số nguyên n để thỏa mãn điều kiện chia hết * Cơ sở phương pháp: Tách số bị chia thành phần chứa ẩn số chia hết cho số chia phần nguyên dư, sau để thỏa mãn chia hết số chia phải ước phần số ngun dư, từ ta tìm số nguyên n thỏa mãn điều kiện * Ví dụ minh họa: Bài tốn Tìm số tự nhiên n để (5n + 14) chia hết cho (n + 2) Hướng dẫn giải Ta có 5n + 14 = 5.(n + 2) + Mà 5.(n + 2) chia hết cho (n + 2) Do (5n + 14) chia hết cho (n +2) ⇔ chia hết cho (n + 2) ⇔ (n + 2) ước ⇔ (n +2) ∈ {1 ; ; 4} ⇒ n ∈ {0 ; 2} Vậy với n ∈{0; 2} (5n + 14) chia hết cho (n + 2) TỦ SÁCH CẤP 2| 10 | ĐÁP ÁN CHỦ ĐỀ 1: CÁC BÀI TOÁN VỀ ƯỚC VÀ BỘI Từ (1) (2) ⇒ ( n+2 ) ( − 2n+1 ) n+2 3n+2 Vì n + nguyên nên n + ∈ { −1; −3;1;3} ⇒ n ∈ { −3; −5; −1;1} Vậy với ⇒ n ∈ { −3; −5; −1;1} phân số n +1 số nguyên n+2 Câu 38 Giả sử sau a phút (kể từ lúc 6h) xe lại xuất phát bến lần thứ Lập luận để suy a BCNN (75,60,50) CHINH PHỤC KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HAI Tìm BCNN (75,60,50) = 300 (phút) = Sau 5h xe lại xuất phát, lúc 11h ngày n +1 d Câu 39 Giả sử d ∈UCLN (2n + 1,6n + 5) ⇒ ⇒ 6n + 5−3(2n + 1) d ⇒ d ⇒ d ∈{1;2} 6n +5d Vì n số nguyên dương nên n + ⇒ d ≠ ⇒ d = Vậy với số nguyên dương n phân số Câu 40 Cho phân số: P = 2n+1 tối giản 6n+5 n + n + (n ∈ ) a) Chứng tỏ phân số P phân số tối giản Gọi d = ƯC (6n + 5,3n + 2) (với d ∈ * ) ⇒ n + d 3n + d ⇒ (6n + 5) − ( 3n + 2).2 d⇔1 d⇒d=1 Vậy phân số P phân số tối giản b) Với giá trị n phân số P có giá trị lớn nhất? Ta có: P = n + = (3n + ) +1 = + 3n + 3n + 3n + ≤ 1⇔2+ Với n ∈ 3n + 2≥2⇒ 3n + 2 ≤ 5⇒ P ≤ 3n + 2 Dấu “=” xảy ⇔ n = Vậy n = phân số P có giá trị lớn a = d a Câu 41 Gọi UCLN (a;b ) = d => ⋅ ( a ; b1 ) = b = d b1 Mà : a + 2b = 48 => da1 + 2db1 = 48 => d (a1 + 2b1 ) = 48 => d ∈U (48) (1) Ta lại có: 3.BCNN(a; b) + ƯCLN(a; b) = 114 => d + 3.a1 b1 d = 114 => d (1+ 3a1 b1 ) = 114 => d ∈U (114) (2) Từ (1) (2) => d ∈ UC(48;114) = {1;2;3;6} TỦ SÁCH CẤP 2| 240 BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI CẤP | Mà : d (1 + 3a1 b1 ) = 114 = 3.38 => d => d = d = TH1 : d = 3=> TH2 : d = => a + 2b = 16 1 a + 2b = 16 => + 3a1 b1 = 38 a + 2b = 1 + 3a1 b1 = 19 Vậy a = 12 b = 18 1 (loại) 3a1 b1 = 37 a + 2b = => 1 a => a1 b1 = = => a = 12 b1 = => b = 18 Câu 42 Đặt (11a + 2b, 18a + 5b) = d 55a +10b d ⇒ 19a d ⇒ 198a + 36b d ⇒ 19b d Và 19a d 19b d ⇒ 19 d (vì (a, b) = 1) CHUYÊN ĐỀ SỐ HỌC Do Vậy d ∈{1;9} Câu 43 Ta có (a, b ) = (a,a + b) = (a + a + b,a + b) = (2a + b,a + b) = (2a + b,3a + 2b) = (5a + 3b,3a + 2b) = (5a + 3b,2(5a + 3b) + 3a + 2b) = (5a + 3b,13a + 8b) Câu 44 Giả sử tồn số nguyên tố p cho (ab + bc + ca) p abc p ap Từ abc p ⇒ b p bp Giả sử a p ⇒ ab + ac p ⇒ bc p ⇒ cp Điều mâu thuẫn với (a, b) = (a, c) = .241 | CHUYÊN ĐỀ SỐ HỌC | ĐÁP ÁN CHỦ ĐỀ 1: CÁC BÀI TOÁN VỀ ƯỚC VÀ BỘI ( ) Câu 45 Ta có (a + b,a − ab + b ) = a + b, (a + b )2 − ( a − ab + b ) = (a + b,3ab) Do (a, b) = nên (a + b, ab) = Vì (a + b,a − ab + b ) = (a + b,3ab ) = (a + b,3 ) ⇒ d ∈{1;3} * Xét d = a+b CHINH PHỤC KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HAI Khi 8⇔ a+b=8 = a − ab + b ⇔ 3ab = −9 a − ab + b = 73 Điều khơng xảy a, b ∈ N 73 * Xét d = Khi a + b = 24 a+b ⇔ 3ab = −9 = ⇔ a − ab + b 73 a − ab + b = 219 (a; b ) = (17;7) ⇔ (a; b ) = (7;17) Thử lại ta hai cặp số thỏa mãn điều kiện toán ( ) Câu 46 Đặt d = 22 n + 1, 22n + ⇒ d lẻ Ta có 2 − = (2 + 1)(2 −1) n n −1 = (22 ( = 22 ( n −1 n −1 + 1)(22 n + −1 )(2 ) (2 Do 22 n + − ( n n − n −2 + 1)(22 ) ( n −2 + 22 m −1) + )(2 m −1 )d ) − = d ⇒ d = (vì d lẻ) ) Vậy 22 n + 1, 22n + = Câu 47 Đặt d = (m, n) Khi tồn số tự nhiên r, s cho rn - sm = d ( ) Đặt d1 = 2m − 1, 2n − ⇒ d1 lẻ Ta có: 2n − 2d −1 (vì n d ) 2m − 2d −1 (vì m d ) TỦ SÁCH CẤP 2| 242 BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI CẤP | Do d1 d −1 Mặt khác: n rn − d1 ⇒ −1 d1 rn sm sm rn −sm sm d −1)=2 (2 −1) d1 ⇒ − = (2 sm ⇒ −1 d 2m−1d 1 Mà (2,d1 ) = ⇒ d −1 d1 Từ suy d1 = d −1 ( ) Vậy 2m − 1, 2n − = (m,n) −1 Câu 48 Giả sử a ≤ b Do ƯCLN (a, b) = 15 ⇒ a = 15.m b = 15.n Khi BCNN(a; b) = 15.m.n Do đó: (m ≤ n ), (m, n) = 1, mn = 20 ⇒ 15 m.15 n = 4500 ⇒ m≤n Ta có bảng: m n a b 20 15 300 60 75 Vậy cặp số (a ; b) cần tìm : (15 ;60), (300 ; 75) đảo ngược lại Câu 49 Giả sử d = (a , a + ) ⇒ d | a d | a + ⇒ d | a + − a ⇒ d = 1hoặc d = Với a lẻ (a, a + 2) = Với a chẵn (a, a + 2) = Câu 50 Giả sử d | (1 + a + + am−1 ) d | (a −1) ,suy : d | (a m −1 − 1) + (am−2 − 1) + + (a − 1) + m ⇒ d | m Vậy d | m d | a −1 Ngược lại, d | a d | a −1thì d (m m−1 + + a +1) Vậy (1 + a + + a m−1 , a − 1) = (m, a −1) 243 | CHUYÊN ĐỀ SỐ HỌC CHUYÊN ĐỀ SỐ HỌC ƯCLN(a; b).BCNN(a; b) = (15.m.n ).15 = (15 m ) (15 n ) = a.b ⇒ ab = 300.15 = 4500 | ĐÁP ÁN CHỦ ĐỀ 1: CÁC BÀI TOÁN VỀ ƯỚC VÀ BỘI Câu 51 Giả sử d | a , b | d , c | d d lẻ Ta có a + b d a + b ⇒ a + b d (do (2, d ) = 1) ⇒ Tương tự: a+ b d b+ c c+ d d d CHINH PHỤC KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HAI Vậy d ước a + b b + c c + a , , Ngược lại, giả sử d ước a + b b + c c + a d ước a + b a + c b + c , , 2 + − = a Tương tự d | b d | c Vậy: a + b ,b + c , c + a 2 Câu 52 = ( a , b , c ) Giả sử d = (a1 , a2 , ,a49 ) ,khi a1 + a2 + + a 49 = 999 d , suy d ước 999 = 33.37 Vì d | a k (k = 1, 2, , 49) nên ak ≥ d , ∀k ⇒ 999 = a1 + a + + a49 ≥ 49d ⇒d≤ 99 29 < 21.Vậy d nhận giá trị 1,3, Giá trị d lớn a1 = a2 = = a48 = 9; a49 = 567 (vì 9.48 + 567 = 999 ) Câu 53 Giả sử d = (11a + 2b ,18 a + 5b) , d |18 a + 5b d |11a + 2b , suy d |11 (18 a + 5b ) − 18 (11a + 2b ) = 19b ⇒ d |19 d | b - Nếu d | b từ d | (11a + 2b ) − (18 a + 5b ) = a − 5b ⇒ d | a ⇒ d | (a , b ) = ⇒ d = - Nếu d |19 d = d = 19 Vậy (11a + 2b, 18a + 5b) 19 ( Câu 54 Giả sử d = m + n , m + n2 ) d | m + n d | m2 + n2 suy d | (m + n )2 − ( m − n ) = mn d | m + n d | mn suy d | m (m + n ) − mn = 2m2 d | n (m + n ) − mn = n2 ( Do d | m , n ) = (m , n ) = ⇒ d = 1hoặc d = TỦ SÁCH CẤP 2| 244 BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI CẤP | Nếu m, n lẻ d = Nếu m, n khác tính chẵn lẻ d = Câu 55 a) Giả sử d = (21n + 4,14 n + 3) , d | 21n + d |14 n + suy d | (21n + 4) d | (14 n + ) ⇒ d | (14 n + ) − (21n + ) = ⇒ d = 21n + Vậy phân số tối giản 14 n + ( ) b) Giả sử d = n + 1, n + 2n suy d | n + n − n (2 n + 1) = n Từ d | n +1 d | n suy d | n + − n = ⇒ d = n +1 2 n + 2n phân số tối giản Câu 56 a) Ta có: phân số (6 n +1) Mà (3,7 ) = (3,3n + 1) = (6 n + 1,3n + 1) = 1nên để = 21n + 7 (3n +1) 18 n + 18 n + tối giản ta phải có (6 n + 1,7 ) = 21n + Mặt khác, 6n + = 7n – (n – 1), : (6 n + 1,7 ) = ⇔ (n − 1,7 ) = ⇔ n ≠ k + (k ∈ Z ) Vậy, với n chia cho không dư b) Ta có 18 n + phân số tối giản 21n + 11 2n+3 tối giản ⇔ (n + 7,11) = ⇔ n ≠ 11k − (k ∈ Z ), =2− n+7 n+7 Câu 57 Khơng tính tổng qt ta giả sử a ≤ b Vì (a , b) = 16 nên a = 16 a1 , b = 16b1 Từ a + b = 128 suy 16 (a1 + b1 ) = (a1 , b1 ) = với 128 ⇔ a1 + b1 = Với điều kiện a1 ≤ b1 (a1 , b1 ) = ta có a1 = 1, b18 a1 = 3, b1 = Từ ta có a = 16, b = 112 a = 48, b = 80 Câu 58 Ta có ab + ba = 10 a + b + 10b + a = 11 (a + b);33 = 11.3 Vì (a + b) khơng chia ( hết ab + ba,33 ) = 11 Câu 59 Số có chữ số tận 136 chia hết có ước số dương 1, 2, 4, .245 | CHUYÊN ĐỀ SỐ HỌC CHUYÊN ĐỀ SỐ HỌC Vậy | ĐÁP ÁN CHỦ ĐỀ 1: CÁC BÀI TOÁN VỀ ƯỚC VÀ BỘI Câu 60 d | a , d | b d | ma + nb , d | ka + lb; d | ma + nb, d | ka + lb d | k (ma + nb ) − m(ka + lb ) = ± b ⇒ d | b Tương tự : d | a Câu 61 Ta có 123456798 – 123456789 = nên ƯCLN phải tìm 1, 9, mà tất số cho chia hết ƯCLN phải tìm CHINH PHỤC KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HAI Câu 62 d | a (2a + b )− ( a + ab ) = a d = (2 a − b , a + ab) ⇒ d | b (2 a + b ) − 2 (a + ab ) = b − 2a ⇒ d | (a , b ) = ⇒ d = Câu 63 a ) d = (12 n + 1,30 n + ) ⇒ d | (12 n + 1) − (30 n + ) = ⇒ d = Vậy phân số 12 n +1 phân số tối giản 30 n + b) d = (15 n + 8n + 6,30 n + 21n + 13 ) ⇒ d | (15 n + 8n + ) − ( 30 n + 21n + 13 ) = ⇒ d | n +1 ⇒ d | 3n (5 n + 1) − (15 n + n + ) ⇒ d | n + ⇒ d | (5 n + ) − ( n + 1) ⇒ d | d|5n+6 ⇒ d |1 ⇒ d = d|5 Vậy phân số Câu 64 15 n 2+ n + 30 n + 21n +13 phân số tối giản n +13 15 tối giản (15, n − ) = = 1+ n−2 n−2 Do n – khơng chia hết cho Do để phân số n +13 n−2 tối giản n ≠ 3k + 2, n ≠ 5l + Câu 65 Chứng minh n lẻ không chia hết cho Câu 66 Các số cho có dạng k (k = 7,8, ,31) Mà k + (n + 2) = 1+ n + tối k + (n + ) k k giản ⇔ (n + 2, k ) = ⇔ n + nguyên tố với 7,8, ,31và n + nhỏ ⇔ n + = 37 ⇔ n = 35 Câu 67 a) a = 6, b = 60 a = 12, b = 30 (a ≤ b); TỦ SÁCH CẤP 2| 246 BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI CẤP | b) Các cặp số (a, b) với a ≤ b cần tìm (1;54 ), (2; 27 ), (5;50 ), (10; 25) (11; 44) Câu 68 n + [2,3, 4,5,6,7,8,9 ] = 5.7.8.9 = 2520 Vậy n = 2519 Câu 69 Ta có: N = ab (ab + 1)(2 ab +1) chia hết cho số: 1; a ; b (ab + 1)(2 ab +1) ; b ; a (ab + 1)(2 ab +1) ; ab +1; ab (2 ab +1); ab +1 ; ab (ab +1) ; N ; ab ; (ab + 1)(2 ab +1) ; b (ab +1) ; a (2 ab +1) ; a (ab +1); b (2 ab +1) có 16 ước dương Nên để N có 16 ước dương a; b; ab + 1; 2ab +1 số nguyên tố Do a , b > ⇒ ab + > Nếu a;b lẻ ab +1 chia hết hợp số (vô lý) Do khơng tính tổng qt, giả sử a chẵn b lẻ ⇒ a = Ta có b khơng chia hết cho 2ab + = 4b +1 ab + = 2b +1 chia hết cho hợp số (vô lý) ⇒ b = Câu 70 Đặt A = p − pq + 2q2 B = p + pq + Xét trường hợp: q2 +) p = q = , không thoả mãn +) p = 2, q ≥ 3, ( A, B ) = (4 − q + q ,8 + 2q + q2 ) = (2 − q + q ,8 + p + q2 ) (vì +2p+q 2) = (6 + 3q ,8 + 2q + q2 ) = (2 + q ,8 + (2 + q )q) , (vì + p + q2 ) = d Suy d lẻ d Do d = +) q = 2, p ≥ 3, ( A, B) = (p − p + 8, p + p + 4) = (p − p + 8, p + p + ), (vì p − p + ) ( + p + 2) = ( p − 2, p + p + ), (vì p + p + ) = ( p − 2, p2 + 4) = p − 6, p = ( p − 2, ( p − ) = d .247 | CHUYÊN ĐỀ SỐ HỌC + p ) CHUYÊN ĐỀ SỐ HỌC Vậy a = 2; b = | ĐÁP ÁN CHỦ ĐỀ 1: CÁC BÀI TOÁN VỀ ƯỚC VÀ BỘI Suy d p , d lẻ d < p.Do d = +) p , q ≥ 3, Vì p , q số lẻ nên p + q p − q số chẵn Suy A = p ( p − q ) + q2 B = p + q (q + p) 2.Vậy A B không nguyên tố Tóm lại: p = 2, q ≥ 3, q nguyên tố q = 2, p ≥ 3, p nguyên tố Câu 71 Gọi (a + b, a + b ) = d ⇒ a + b d a + b d ⇒ a + ab + b d ⇒ 2ab d (a , b) = CHINH PHỤC KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HAI (ab, a + b ) = ⇒ (2 ab, a + b ) = (2, a + b) ⇒ d ước số (2 ab, a + b ) ⇒ d ước số (2, a + b) ⇒ d ước số cùa ⇒ d = d = a+b=7 a+b=7 a=3 a=4 ⇒ ⇔ ⇔ b = b = Nếu d = a + b = 25 ab = 12 a + b = 14 Nếu d=2⇒ a + b2 = 50 vô nghiệm Tóm lại (a , b) = (3, ), (4,3) Câu 72 Đặt A = m + n B = m + n2 Gọi d ước chung lớn A B với d ≥ Khi ta có A d; B d hay ta m + n d; m2 + n2 d Ta lại có A2 − B = (m + n)2 − ( m2 + n2 ) = 2mn Mà (A − B ) d nên suy 2mn d Lại có m + n d nên 2n ( m + n ) d ⇒ 2mn + 2n d Kết hợp với 2mn d ta 2n d Hoàn toàn tương tự ta chứng minh 2m d Theo m n nguyên tố nên m n khơng tính chẵn Ta xét trường hợp sau: • Trường hợp 1: Trong hai số m n có số chẵn số lẻ, m + n số lẻ nên từ m + n chia hết cho d ta suy d số lẻ Từ ta m2 n2 chia hế cho d Mà ta lại có m n nguyên tố nên suy d = • Trường hợp 2: Cả hai số m n số lẻ, từ m + n số chẵn nên từ m + n chia hết cho d với d lớn ta suy d số chẵn Đặt d = 2d' , từ 2m d 2n d ta m d' n d' TỦ SÁCH CẤP 2| 248 BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI CẤP | Do m n nguyên tố nên suy d' = 1, d = Vậy ta có hai kết sau: ( + Nếu hai số m n có số chẵn số lẻ m + n, m + n ( + Nếu hai số m n lẻ m + n, m + n )=1 )=2 Câu 73 Giả sử số nguyên dương a, b thỏa mãn yêu cầu toán, ta có (4a + 1,4b − 1) = 16ab + (a + b) Ta có (4a + 1)(4b + 1) = 16ab + + (a + b) (a + b) Lại có 4a + + 4b − = (a + b) (a + b) Mà (4a + 1,4b − 1) = Nếu hai số 4a + a + b chia hết cho số nguyên tố p đó, từ 4a + + 4b − chia hết cho (a + b) ta suy 4b − p , điều mâu thuẫn với giả Ta có (4a + )(4b + ) (a + b) (4a + 1,a + b ) = nên suy 4b + (a + b) Ngược lại giả sử a, b số nguyên dương thỏa mãn 4b + (a + b) Khi từ (4a + )(4b + ) (a + b) ta suy 16ab (a + b) Nếu hai số 4a + 4b − chia hết cho p p số nguyên tố lẻ Ta lại có 4a + + 4b − = (a + b) (a + b), suy 4b + p Do ta 4b + − ( 4b − ) = p , điều mâu thuẫn với p số nguyên tố lẻ Từ ta (4a + 1, 4b − ) = Như hai số nguyên dương a, b thỏa mãn (4a + 1, 4b − ) = 16ab (a + b) tương đương với hai số nguyên dương a, b thỏa mãn 4b + (a + b) Chú ý 4b + số lẻ 4b + < (a + b) nên từ 4b + (a + b) ta suy 4b + = a + b 4b + = (a + b) ⇔ Như cặp số nguyên dương (a; b) (c; 3c − ) , a = 3b + b = 3a − ( 3c + 1; c) với c ∈ N* Câu 74 Ta có: N = ab (ab + 1)(2 ab +1) chia hết cho số: 1; a ; b (ab + 1)(2 ab +1); b ; a (ab + 1)(2 ab +1) ; ab +1; ab (2 ab +1); ab +1 ; 249 | CHUYÊN ĐỀ SỐ HỌC CHUYÊN ĐỀ SỐ HỌC thiết (4a + 1, 4b − ) = Từ suy (4a + 1,a + b ) = | ĐÁP ÁN CHỦ ĐỀ 1: CÁC BÀI TOÁN VỀ ƯỚC VÀ BỘI ab (ab +1) ; N ; ab ; (ab + 1)(2 ab +1) ; b (ab +1) ; a (2 ab +1) ; a (ab +1); b (2 ab +1) có 16 ước dương Nên để N có 16 ước dương a; b; ab + 1; 2ab +1 số nguyên tố Do a , b > ⇒ ab + > Nếu a;b lẻ ab +1 chia hết hợp số (vô lý) Do khơng tính tổng qt, giả sử a chẵn b lẻ ⇒ a = Ta có b khơng chia hết cho 2ab + = 4b +1 ab + = 2b +1 chia hết cho hợp số (vô lý) ⇒ b = CHINH PHỤC KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HAI Vậy a = 2; b = Câu 75 Gọi d ƯCLN(m, n) suy m , n , mn chia hết cho d 2 Do m + + n +1 = m + n + m + n số nguyên nên m + n + m + n chia hết cho d n m mn Suy m + n chia hết cho d ⇒ m + n ≥ d ⇒ m + n ≥ d Câu 76 a) Dễ thấy số (a , b , c) = (1,3, 7) thỏa mãn đề b) Đặt S = a + b + c + ab + bc + ac Từ giả thiết suy S chia hết cho a ,b ,c Vì a ,b , c đơi khác nhau, a ,b , c đồng thời số nguyên tố S abc hay S = kabc (k ∈ ) Không tính tổng quát, giả sử a < b < c Nếu a = b,c lẻ ⇒ b + c + bc lẻ nên không chia hết cho Do a ≥ nên b ≥ 5, c ≥ Từ S = kabc (k ∈ ) suy 1 1 1 < k = ab + ac + bc + a + b + c < 1⇒ k ∉ Vậy a ,b , c đồng thời số nguyên tố Câu 77 Thay x = n + ⇒ A = n (n + ) = n (n + + ) = n (n + 1) + 8n Câu 78 Ta cần tìm ab ; cho biết ab ab với ≤ a ,b ≤ ⇔ ab = nab với n số tự nhiên khác ⇔ 10a + b = nab ⇔ 10 a = b (na − 1) ⇒ 10 a (na −1) Nếu a = ⇒ b (n − 1) = 10 ⇒ lập bảng để chọn: b n −1 10 n 11 TỦ SÁCH CẤP 2| 250 BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI CẤP | Nếu a ≠ ⇒ (an − 1) = ⇒ an −1 ước số 10 ⇒ an − ∈ {1; 2;5} ⇒ an ∈{2;3;6} ⇒ (an − 1, n) = (2;1), (3;1), (2;3 ), (3; 2) Thay (a , n) vào ta tính b Ta có: (a; b) = (2; ), (3;6) Đáp số: ab ∈{11;12;15; 24;36} 251 | CHUYÊN ĐỀ SỐ HỌC BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI CẤP | Mơc lơc Trang Lời nói đầu Chủ đề Chủ đề Các toán ước bội Các toán liên quan tới số ước số Tìm số nguyên n thỏa mãn điều kiện chia hết 10 Tìm số biết ƯCLN chúng 12 Tìm số biết BCNN ƯCLN 14 Các toán số nguyên tố 16 Các toán phân số tối giản 18 Tìm ƯCLN biểu thức 20 Liên hệ phép chia có dư, phép chia hết, ƯCLN, BCNN 20 Tìm ƯCLN hai số thuật toán Ơ-clit 22 Các toán quan hệ chia hết Sử dụng tính chất n số tự nhiên liên tiếp có số chia hết cho n 30 31 Sử dụng phương pháp phân tích thành nhân tử 33 Sử dụng phương pháp tách tổng 34 Sử dụng đẳng thức 37 Sử dụng phương pháp xét số dư 40 Sử dụng phương pháp phản chứng 42 Sử dụng phương pháp quy nạp 43 Sử dụng nguyên lý Dirichlet 45 Xét đồng dư 47 10 Tìm điều kiện biến để biểu thức chia hết 50 11 Các toán cấu tạo số liên quan đến tính chia hết 52 521 | CHUYÊN ĐỀ SỐ HỌC CHUYÊN ĐỀ SỐ HỌC Phần I CÁC CHỦ ĐỀ SỐ HỌC THCS CHINH PHỤC KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HAI Chủ đề Chủ đề 12 Các chia hết sử dụng định lý Fermat 56 13 Các toán chia hết liên quan đến đa thức 57 Các toán số nguyên tố, hợp số 74 Chứng minh số số nguyên tố hay hợp số 75 Chứng minh tốn liên quan đến tính chất số ngun tố 76 Tìm số nguyên tố thỏa mãn điều kiện 78 Nhận biết số nguyên tố, phân bố số ngun tố 80 Chứng minh có vơ số nguyên tố có dạng ax + b với (a, b) = 83 Sử dụng nguyên lý Dirich toán số nguyên tố 84 Áp dụng định lý Fermat 85 97 Các toán số phương Chứng minh số số phương tổng nhiều số phương Chủ đề Chủ đề 98 Chứng minh số khơng phải số phương 102 Tìm điều kiện biến để số số phương 104 Tìm số phương 108 Sử dụng đồng dư thức chứng minh toán chia hết 119 Sử dụng đồng dư thức chứng minh toán chia hết 120 Sử dụng đồng dư thức tìm số dư 122 Sử dụng đồng dư thức tìm điều kiện biến để chia hết 123 Sử dụng đồng dư thức tìm chữ số tận 124 Sử dụng đồng dư thức tìm hai chữ số tận 125 Sử dụng đồng dư thức tốn số phương 127 Sử dụng đồng dư thức toán số nguyên tố, hợp số 129 Sử dụng đồng dư thức phương trình nghiệm nguyên 131 Sử dụng định lý 132 Phương trình nghiệm ngun 138 Phát tính chia hết ẩn 138 Phương pháp đưa phương trình ước số 141 Phương pháp tách giá trị nguyên 145 Phương pháp sử dụng tính chẵn, lẻ số dư vế 147 Phương pháp sử dụng bất đẳng thức 150 Phương pháp dùng tính chất số phương 155 TỦ SÁCH CẤP 2| 522 Phương pháp lùi vô hạn, nguyên tắc cực hạn 164 Phần nguyên số học 180 Phần nguyên số biểu thức 181 Chứng minh đẳng thức chứa phần nguyên 183 Phương trình phần nguyên 184 Bất phương trình phần nguyên 192 Phần nguyên chứng minh số dạng toán số học 193 Chứng minh bất đẳng thức chứa phần nguyên 197 Nguyên lý Dirichlet số học 202 Chứng minh tồn chia hết 203 Các toán tính chất phần tử tập hợp 206 Bài tốn liên quan đến bảng vng 208 Bài toán liên quan đến thực tế 209 Bài toán liên quan đến xếp 211 Vậng dụng ngun lý Dirichlet tốn hình học 212 Chủ đề Các toán sử dụng nguyên lý cực hạn 217 Chủ đề 10 Nguyên lý bất biến giải toán 226 Chủ đề Chủ đề Phần II HƯỚNG DẪN GIẢI – ĐÁP SỐ 233 Tài liệu kham khảo 524 523 | CHUYÊN ĐỀ SỐ HỌC CHUYÊN ĐỀ SỐ HỌC BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI CẤP | ... CHUYÊN ĐỀ SỐ HỌC CHUYÊN ĐỀ SỐ HỌC iii) Tổng (hiệu) số nguyên phân số tối giản phân số tối giản | CHỦ ĐỀ 1: CÁC BÀI TỐN VỀ ƯỚC VÀ BỘI Bài tốn Chứng minh số tự nhiên lớn số phương số ước số số lẻ... Hỏi lớp có học sinh Hướng dẫn giải 21 | CHUYÊN ĐỀ SỐ HỌC CHUN ĐỀ SỐ HỌC Bài tốn Tìm số tự nhiên nhỏ chia cho 5, 7, có số dư theo thứ tự 3, 4, | CHỦ ĐỀ 1: CÁC BÀI TOÁN VỀ ƯỚC VÀ BỘI Gọi số em trồng... thống để bồi dưỡng học sinh giỏi lớp THCS Sách viết theo chủ đề tương ứng với vấn đề quan trọng thường đề thi học sinh giỏi toán THCS, vào lớp 10 chun mơn tốn nước Mỗi chủ đề viết theo cấu trúc lý