Bí quyết giải toán số học THCS + lời giải chi tiết

Bí quyết giải toán số học THCS + lời giải chi tiết Bí quyết giải toán số học THCS + lời giải chi tiết Bí quyết giải toán số học THCS + lời giải chi tiết Bí quyết giải toán số học THCS + lời giải chi tiết Bí quyết giải toán số học THCS + lời giải chi tiết Bí quyết giải toán số học THCS + lời giải chi tiết Bí quyết giải toán số học THCS + lời giải chi tiết Bí quyết giải toán số học THCS + lời giải chi tiết Bí quyết giải toán số học THCS + lời giải chi tiết Bí quyết giải toán số học THCS + lời giải chi tiết Bí quyết giải toán số học THCS + lời giải chi tiết Bí quyết giải toán số học THCS + lời giải chi tiết Bí quyết giải toán số học THCS + lời giải chi tiết Bí quyết giải toán số học THCS + lời giải chi tiết Bí quyết giải toán số học THCS + lời giải chi tiết Bí quyết giải toán số học THCS + lời giải chi tiết

HUỲNH KIM LINH – NGUYỄN QUỐC BẢO BÍ QUYẾT Giải toán số học THCS THEO CHỦ ĐỀ ● Dùng bồi dƣỡng học sinh giỏi lớp 6,7,8,9 ● Giúp ôn thi vào lớp 10 chuyên toán LỜI GIỚI THIỆU Các em học sinh thầy giáo, cô giáo thân mến ! Cuốn sách Bí giải tốn số học THCS đƣợc tác giả biên soạn nhằm giúp em học sinh học tập tốt mơn Tốn THCS THPT sau Các tác giả cố gắng lựa chọn tập thuộc dạng điển hình, xếp thành hệ thống để bồi dƣỡng học sinh giỏi lớp THCS Sách đƣợc viết theo chủ đề tƣơng ứng với vấn đề quan trọng thƣờng đƣợc đề thi học sinh giỏi tốn THCS, nhƣ vào lớp 10 chun mơn toán nƣớc Mỗi chủ đề đƣợc viết theo cấu trúc lý thuyết cần nhớ, dạng toán thƣờng gặp, tập rèn luyện hƣớng dẫn giải giúp em học sinh nắm vững kiến thức đồng thời rèn luyện đƣợc kiến thức học Mỗi chủ đề có ba phần: A Kiến thức cần nhớ: Phần tóm tắt kiến thức bản, kiên thức bổ sung cần thiết để làm sở giải tập thuộc dạng chuyên đề B Một số ví dụ: Phần đƣa ví dụ chọn lọc, tiêu biểu chứa đựng kĩ phƣơng pháp luận mà chƣơng trình địi hỏi Mỗi ví dụ thƣờng có: Lời giải kèm theo nhận xét, lƣu ý, bình luận phƣơng pháp giải, sai lầm thƣờng mắc nhằm giúp học sinh tích lũy thêm kinh nghiệm giải toán, học toán http://tailieugiaovien.vn - Chuyên tài liệu file word, lời giải chi tiết 5/754 C Bài tập vận dụng: Phần này, tác giả đƣa hệ thống tập đƣợc phân loại theo dạng tốn, tăng dần độ khó cho học sinh giỏi Có tập đƣợc trích từ đề thi học sinh giỏi Toán đề vào lớp 10 chuyên Toán Các em cố gắng tự giải Nếu gặp khó khăn xem hƣớng dẫn lời giải cuối sách Các tác giả hi vong sách tài liệu có ích giúp em học sinh nâng cao trình độ lực giải tốn, góp phần đào tạo, bồi dƣỡng học sinh giỏi cấp THCS Mặc dù có nhiều cố gắng biên soạn song sách khó tránh khỏi sai sót Chúng tơi mong nhận đƣợc ý kiến đóng góp bạn đọc Trong trình soạn sách xin chân thành cảm ơn Thầy Trần Thanh Trà - Trƣờng THCS Chu Văn An, quận Ngơ Quyền, tỉnh Hải Phịng; Thầy Lƣu Lý Tƣởng - Trƣờng THCS Văn Lang, TP Việt Trì, Phú Thọ; Thầy Phạm Văn Vƣợng - Trƣờng THCS Nhữ Bá Sỹ, tỉnh Thanh Hóa, Cơ Quế Thị Lan Trƣờng THCS Diễn Mỹ, Diễn Châu, Nghệ An tặng nhiều tài liệu đề thi quý để tác giả kham khảo Xin chân thành cảm ơn! CHỦ ĐỀ BỒI DƢỠNG HỌC SINH GIỎI CẤP | CÁC BÀI TOÁN VỀ ƢỚC VÀ BỘI A KiÕn thøc cÇn nhí I Ƣớc bội 1) Định nghĩa ƣớc bội Ƣớc: Số tự nhiên d  đƣợc gọi ƣớc số tự nhiên a a chia hết cho d Ta nói d ƣớc a Nhận xét: Tập hợp ƣớc a Ƣ a  d  N : d | a Bội: Số tự nhiên m đƣợc gọi bội ƣớc số m a  m chia hết cho a hay a Nhận xét: Tập hợp bội a a  0 B a  0; a; 2a; ; ka, k  Z 2) Tính chất: - Số bội số nguyên khác Số ƣớc số nguyên - Các số -1 ƣớc số nguyên - Nếu Ƣa  1; a a số nguyên tố - Số lƣợng ƣớc số : Nếu dạng phân tích thừa số nguyên tố số tự nhiên A ax.by.cz … số lƣợng ƣớc A  x 1 y 1 z 1 … Thật ƣớc A số có dạng mnp …trong đó: m có x  cách chọn (là1, a, a2, , ax ) n có y  cách chọn (là1, b, b2, , by ) p có z  cách chọn (là1, c, c2, , cz ),… Do đó, số lƣợng ƣớc A  x 1 y 1 z 1  II Ƣớc chung bội chung 1) Định nghĩa Ƣớc chung (ƢC): Nếu hai tập hợp Ƣ(a) Ƣ(b) có phần tử chung phần tử gọi ƣớc số chung a b Kí hiệu ƢC(a; b) | CHỦ ĐỀ 1: CÁC BÀI TOÁN VỀ ƢỚC VÀ BỘI Nhận xét: Nếu ƢCa;b  1 a b nguyên tố Ƣớc chung lớn (ƢCLN): Số d  N đƣợc gọi ƣớc số chung lớn a b a;b  Z khi d phần tử lớn tập hợp ƢC(a; b) Kí hiệu ƣớc chung lớn a b ƢCLN(a; b) (a;b) gcd(a;b) Bội chung (BC): Nếu hai tập hợp B(a) B(b) có phần tử chung phần tử gọi bội số chung a b Kí hiệu BC(a; b) Bội chung nhỏ (BCNN): Số m  đƣợc gọi bội chung nhỏ a b m số nhỏ khác tập hợp BC(a; b) Kí hiệu bội chung nhỏ a b BCNN(a; b) a;b lcm(a;b) 2) Cách tìm ƢCLN BCNN a) Muốn tìn ƢCLN hai hay nhiều số lớn ,ta thực bƣớc sau : Phân tích số thừa số nguyên tố 2.Chọn thừa số nguyên tố chung 3.- Lập tích thừa số chọn, thừa số lấy với số mũ nhỏ Tích ƢCLN phải tìm Ví dụ: 30  2.3.5, 20  22.5  ƢCLN(30; 20)  2.5  10 Chú ý : - Nếu số cho khơng có thừa số ngun tố chung ƢCLN chúng - Hai hay nhiều số có ƢCLN gọi số nguyên tố - Trong số cho, số nhỏ ƣớc số cịn lại ƢCLN số cho số nhỏ b) Muốn tìm BCNN hai hay nhiều số lớn , ta thực ba bƣớc sau : 1- Phân tích số thừa số nguyên tố 2- Chọn thừa số nguyên tố chung riêng 3- Lập tích thừa số chọn , thừa số lấy với số mũ lớn chúng Tích BCNN phải tìm 3) Tính chất Một số tính chất ƣớc chung lớn nhất: ● Nếu a1; a2 ; ; an   1thì ta nói số a1; a2 ; ; an nguyên tố ● Nếu am ; ak   1,m  k,m, k1; 2; ; n ta nói số a1; a2 ; ; an đơi nguyên tố  a b  a;b ;  c c c  a b  ● c ƢC (a; b)  TỦ SÁCH CẤP 2| ● d  a;b   ;    d d  ● ca;cb  c a;b a;b  a;c  1thì a;bc  ● a;b;c  a;b;c ● BỒI DƢỠNG HỌC SINH GIỎI CẤP | ● Cho a  b  - Nếu a  b.q a;b  b - Nếu a  bq  r r  0thì a;b  b; r   - Một số tính chất bội nhỏ nhất: Nếu a;b  M  achung  b ● a;b;c  a;b;c M M ;  ● ka, kb  k a,b; ● a;b.a;b  a.b 4) Thuật tốn Euclid việc tính nhanh ƢCLN BCNN “Thuật toán Euclid” thuật toán cổ đƣợc biết đến, từ thời Hy Lạp cổ đại, sau đƣợc Euclid (ơ –clit) hệ thống phát triển nên thuật tốn mang tên ơng Về số học, “Thuật toán Euclid” thuật toán để xác định ƣớc số chung lớn (GCD – Greatest Common Divisor) phần tử thuộc vùng Euclid (ví dụ: số ngun) Khi có ƢCLN ta tính nhanh đƣợc BCNN Thuật tốn khơng u cầu việc phân tích thành thừa số số nguyên Thuật tốn Oclit – dùng để tìm ƢCLN số nguyên Để tìm ƢCLN hai số nguyên a b ta dùng cách chia liên tiếp hay gọi “vòng lặp” nhƣ sau:  Bước 1: Lấy a chia cho b: Nếu a chia hết cho b ƢCLN(a, b) = b Nếu a khơng chia hết cho b (dƣ r) làm tiếp bƣớc BỒI DƢỠNG HỌC SINH GIỎI CẤP |  Bước 2: Lấy b chia cho số dƣ r: Nếu b chia hết cho r ƢCLN(a, b) = r a Nếu b chia r dƣ r1 ( r1  ) làm tiếp bƣớc  Bước 3: Lấy r chia cho số dƣ r1 : r1 r3 Nếu r chia cho r1 dƣ ƢCLN(a, b) = r1 Nếu r chia r dƣ r ( r  ) làm tiếp bƣớc r1 r2 q1 q2 …… Bước 4: Lấy r chia cho số dƣ r : b b q Nếu r1 chia hết cho r2 ƢCLN(a, b) = r2 Nếu r1 cho cho r2 dƣ r3 ( r3  ) làm tiếp nhƣ đến số dƣ rn1 rn (a, b) qn Số dư cuối khác dãy chia liên tiếp ƯCLN (a,b) Ví dụ: Tính ƣớc số chung lớn 91 287  Trƣớc hết lấy 287 (số lớn số) chia cho 91: 287 = 91.3 + 14 (91 14 đƣợc dùng cho vòng lặp kế) Theo thuật tốn Euclid, ta có ƢCLN(91,287) = ƢCLN(91,14) Suy tốn trở thành tìm ƢCLN(91,14) Lặp lại quy trình phép chia khơng cịn số dƣ nhƣ sau: 91 = 14.6 + (14 đƣợc dùng cho vòng lặp kế) 14 = 7.2 (khơng cịn số dƣ suy kết thúc, nhận làm kết quả) Thật vậy: = ƢCLN(14,7) = ƢCLN(91,14) = ƢCLN(287,91) Cuối ƢCLN(287, 91) = Tính BCNN nhanh Để việc giải tốn BCNN ƢCLN đƣợc nhanh, Nếu biết áp dụng “Thuật toán Euclid” : Biết rằng: hai số nguyên a, b có BCNN [ a,b] ƢCLN (a,b) a.b  a,b.a,b  a,b  a.b a,b , a,b   Nghĩa là: Tích số nguyên a.b  ƢCLN (a,b) x BCNN (a,b) Ví dụ: có a = 12; b = 18 suy ƢCLN (12,18) = thì: BCNN (12,18) = (12 x 18) : = 36 9|CHUYÊNĐỀSỐHỌC a.b a,b | CHỦ ĐỀ 1: CÁC BÀI TOÁN VỀ ƢỚC VÀ BỘI Nếu làm theo cách phân tich thừa số ngun tố phải tính: 12 = 22 x 3; 18 = x 32 suy BCNN (12,18) = 22 x 32 = 36 Nhận xét: Với cặp số ngun có nhiều chữ số việc phân tích thừa số nguyên tố nhiều thời gian; lấy tích số bấm máy tính cầm tay nhanh dễ 5) Phân số tối giản a phân số tối giải a,b  b Tính chất: i) Mọi phân số khác đƣa phân số tối giản ii) Dạng tối giản phân số iii) Tổng (hiệu) số nguyên phân số tối giản phân số tối giản  Dạng 1: Các toán liên quan tới số ƣớc số * Cơ sở phƣơng pháp: Nếu dạng phân tích thừa số nguyên tố số tự nhiên A ax.by.cz … số lƣợng ƣớc A  x 1 y 1 z 1 … Thật ƣớc A số có dạng mnp …trong đó: m có x  cách chọn (là1, a, a2, , ax )  n có y  cách chọn (là1, b, b2, , by ) p có z  cách chọn (là1, c, c2, , cz ),… Do đó, số lƣợng ƣớc A  x 1 y 1 z 1 * Ví dụ minh họa: Bài tốn Tìm số ƣớc số 1896 Ta có : 1896  32.2  3192.296 96 Hướng dẫn giải Vậy số ƣớc số 1896 96  1192  1  97.193  18721 Bài toán Chứng minh số tự nhiên lớn số phƣơng số ƣớc số số lẻ TỦ SÁCH CẤP 2| CHUYÊN ĐỀ SỐ HỌC B CÁC DẠNG TOÁN THƢỜNG GẶP | CHỦ ĐỀ 1: CÁC BÀI TOÁN VỀ ƢỚC VÀ BỘI Hướng dẫn giải Giả sử n  pa pa pa với p nguyên tố a  N * 1 2 k k i n số phƣơng i a1 , a2 , , ak số chẵn a1  1a2  1 ak  1 số lẻ Mặt khác a1  1a2  1 ak  1là số số ƣớc n, toán đƣợc chứng minh Bài toán Một số tự nhiên n tổng bình phƣơng số tự nhiên liên tiếp Chứng minh n khơng thể có 17 ƣớc số Hướng dẫn giải Tổng bình phƣơng số tự nhiên liên tiếp có dạng : n  m 1  m2  m  1  3m2 khơng thể số phƣơng 2 2 Nếu n có 17 ƣớc số n số phƣơng (bài tốn 1), vơ lí Từ suy điều phải chứng minh  Dạng 2: Tìm số nguyên n để thỏa mãn điều kiện chia hết * Cơ sở phƣơng pháp: Tách số bị chia thành phần chứa ẩn số chia hết cho số chia phần nguyên dƣ, sau để thỏa mãn chia hết số chia phải ƣớc phần số ngun dƣ, từ ta tìm đƣợc số ngun n thỏa mãn điều kiện * Ví dụ minh họa: Bài tốn Tìm số tự nhiên n để (5n + 14) chia hết cho (n + 2) Hướng dẫn giải Ta có 5n + 14 = 5.(n + 2) + Mà 5.(n + 2) chia hết cho (n + 2) Do (5n + 14) chia hết cho (n +2)  chia hết cho (n + 2)  (n + 2) ƣớc  (n +2)  1 ; ; 4  n  0 ; 2 Vậy với n 0; 2 (5n + 14) chia hết cho (n + 2) Bài toán Tìm số tự nhiên n để n  15 số tự nhiên n3 TỦ SÁCH CẤP 2| 10 BỒI DƢỠNG HỌC SINH GIỎI CẤP | Từ ta đƣợc a  2a 12  10  2005  10  1995; 3a  a13  10  2006  10  1996; ; a10  2004 Vậy 19 số cần tìm 19 số nguyên liên tiếp từ 1995 đến 2013 Bài 20 Giả sử n số tự nhiên chia 17 dƣ 10, n  n có dạng n  17k  10 với kN Gọi 100 số tự nhiên đƣợc chọn 17k  10; 17k  10; 17k  10; ; 17k Khơng tính tổng qt ta giả sử Nếu k 100  118 thi 17k 100 k 1 k 2 k 3  k 100 100  10  10  17.118  10  2016 Do k100  117 Ta chứng minh k 3 20 Thật vậy, giả sử k  213 100 suy k 4 k  31; k  k5  1;4 k  k 6 1; ; k Nên từ k 3 21 suy k  214   22; k  225   23; k  236   24; ; k điều trái với k 100 100 100  k 99   117   118 ,  118 Do k 3 20 Vì k  320 nên suy k  19;2 k  18 Với kết ta chon ba số nhỏ 100 số 17k  10; 117k  10; 17k  10 Khi ta đƣợc 17k 1 10  17k  10  17k  10  17.18  10  17.19  10  17.20  10  999 Vậy ta ln chọn đƣợc ba số có tổng khơng lớn 999 toán đƣợc chứng minh .511 | CHUYÊN ĐỀ SỐ HỌC CHUYÊN ĐỀ SỐ HỌC Khi từ k 1 k  2k   k CHỦ ĐỀ 10 CÁC BÀI TOÁN SỬ DỤNG NGUYÊN LÝ BẤT BIẾN Bài 1: Sau lần xé số mảnh tăng thêm 5, nên số mảnh sau lần xé có dạng 5k + 1995 khác dạng 5k + cịn 2011 có dạng 5k +1 Bài 2: Không Bài 3: Gọi số bảng a1 ; a2 ; ; ak số xét tích sau: 2a  12a  1 2a  1 Khi xóa   ;aj tích thừa số 2ai  1 2aj    aj  2aiaj k  nhƣng lai nhân thêm thừa số :    2a  12a  1 , nên giá trị tuyệt đối tích khơng đổi…Đáp i số: lai số n 2n – = nên n = j Bài 4: Tính bất biến tính chẵn hay lẻ tổng hay hiệu hai đống kẹo Tổng số kẹo hai đống giảm số kẹo đống thứ giảm đi, nhƣ trò chơi phải kết thúc , nên ngƣời thứ hai thắng Bài Chẳng hạn nhƣ số ban đầu bảng số x  10a  b, a 1; 2; 3; ; 9; b0; 1; 2; 3; ; 9  Số thu đƣợc sau thao tác nhƣ đề y  a  7b Ta thấy y  x  9a  6b Số ban đầu ghi bảng 6100 chia hết cho Theo nhƣ sau số bƣớc thực thao tác nhƣ đề bài, số thu đƣợc số chia hết cho Vậy nên sau số bƣớc thực thao tác nhƣ đề bài, khơng thể thu đƣợc 1006 , số không chia hết cho Bài Gọi S tổng tất số bảng Lúc đầu ta có S     2n  n2n  1 số lẻ n số lẻ Ta cần tìm đại lƣợng bất biến Hai số bị xóa a b, khơng tính tổng quát ta giả sử a  b TỦSÁCHCẤP 2|512 CHINH PHỤC KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HAI | ĐÁP ÁN CHỦ ĐỀ 9: NGUYÊN LÝ CỰC HẠN TRONG SỐ HỌC Khi số đƣợc thay vào abab .513 | CHUYÊN ĐỀ SỐ HỌC BỒI DƢỠNG HỌC SINH GIỎI CẤP | Nhƣ sau lần thực thuật tốn nhƣ đầu nói S bị giảm một đại lƣợng có giá trị a  b  a  b  2b số chẵn Vì tính chẵn lẻ S đƣợc giữ nguyên sau lần thực xáo hai số bảng Trong trƣờng hợp S ln số lẻ bảng cịn lại số số số lẻ 100  1.100 Bài Với dãy số tự nhiên từ đến 100 ta có tổng     100   5050 Tiến hành xóa hai số a, b dãy số viết lại số a  b Khi tổng dãy số  bảng tăng đại lƣợng a3  b3   a  b Ta thấy     100  5050 chia có số dƣ   a  b  a  1a a  1  b  1 bb  1 Do đại lƣợng tăng lên ln chia hết cho Nhƣ sau lần tiến hành trò chơi tổng dãy số bảng ln chia cho có số dƣ Mà ta lại có 9876543212016 chia hết cho Do sau số lần tiến hành trị chơi bảng khơng thể lại số 9876543212016 Bài Cách ngƣời sau nhƣ sau: Khi ngƣời trƣớc bốc 2k viên sỏi + Nếu k số lẻ 2k chia dƣ 2, ngƣời sau bốc viên sỏi + Nếu k số chẵn 2k chia dƣ ngƣời sau bốc viên sỏi Nhƣ ngƣời trƣớc ln đối mặt với tình số viên sỏi lại chia hết cho không bốc đƣợc viên sỏi cuối Vậy ngƣời sau thắng Bài Để đảm bảo thắng cuộc, nƣớc cuối ngƣời bốc sỏi phải để lại hộp 11 viên sỏi Ở nƣớc trƣớc phải để lại hộp 11  (20  11)  42 viên sỏi Suy ngƣời bốc sỏi phải đảm bảo hộp lúc 11  31k viên sỏi Ta có (2010  11) : 31  65 dƣ 15 Nhƣ ngƣời bốc sỏi lần thứ phải bốc 15 viên TỦSÁCHCẤP 2|514 CHUYÊN ĐỀ SỐ HỌC  Lại thấy a3  b3 | ĐÁP ÁN CHỦ ĐỀ 10: CÁC BÀI TOÁN SỬ DỤNG NGUYÊN LÝ BẤT BIẾN Tiếp theo, đối phƣơng bốc k viên sỏi ( k  1, 2, , 20 ) ngƣời bốc sỏi phải bốc 31  k viên sỏi, cuối để lại 11 viên sỏi cho đối phƣơng .515 | CHUYÊN ĐỀ SỐ HỌC BỒI DƢỠNG HỌC SINH GIỎI CẤP | Bài 10 Ta có z  1xy xy   xy 1  Khi ta đƣợc x y z 1  xy  Nhƣ sau lần xóa  x  ta thay số y    x y 1 1 x    1  1  y         1  1 z  x  y  Nhƣ tích số sau lần xóa thay số không đổi      1         1  1   1  2014! k          2013 1 CHINH PHỤC KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HAI Do k số cuỗi ta đƣợc  Từ ta đƣợc k  2014! Bài 11 Trƣớc hết ta tơ màu xen kẽ hình quạt, nhƣ ta có đƣợc tơ màu không đƣợc tô màu Nếu di chuyển viên bi ô màu viên bi ô không màu sang liền kề tổng số viên bi ô màu nhƣ ô không màu không thay đổi Nếu di chuyển hai viên bi màu sang khơng màu tổng số viên bi màu bị giảm Cịn di chuyển hai viên bi hai ô không màu sang liền kề tổng số viên bi ô màu đƣợc tăng lên Nhƣ sau lần thực trò chơi thỉ tổng số viên bi ố màu khơng thay đổi tính chẵn lẻ so với lúc đầu Mà ban đầu tổng số viên bi ô màu 5, nhƣ vây sau hữu nhạn lần thực trị chơi tổng số viên bi o màu số lẻ Do tổng số viên bi màu khác khác 10 Nhƣ sau số lần thực trị chơi ta khơng thể đƣợc tất viên bi ô đƣợc Bài 12 Tơ màu hình vng nhƣ hình vẽ dƣới với màu đen(Đ) màu trắng(T) Đ T Đ T Đ T Đ T Đ TỦSÁCHCẤP 2|514 | ĐÁP ÁN CHỦ ĐỀ 10: CÁC BÀI TOÁN SỬ DỤNG NGUYÊN LÝ BẤT BIẾN Đặt B tổng số ô màu đen W tổng số ô màu trắng Ta thấy lần thực thuật tốn T ta cộng thêm số ô cạnh với số nguyên nên dễ thấy hiệu B  W không đổi Nhƣng với giả thuyết tốn hình a B  W  , cịn hình b B  W  1 Điều trái với quy tắc bất biến Vậy sau lần thực thuật tốn T từ hình a ta khơng thể nhận đƣợc hình b Đ T Đ T Đ T Đ T T Đ T Đ T Đ T Đ Đ T Đ T Đ T Đ T T Đ T Đ T Đ T Đ Đ T Đ T Đ T Đ T T Đ T Đ T Đ T Đ Đ T Đ T Đ T Đ T T Đ T Đ T Đ T Đ Do “ bình đẳng màu “ nên khơng tính tổng qt ta giả sử dƣới bên trái có màu trắng Từ cách mã ta nhận thấy sau nƣớc mã sang khác màu với mà đứng Vì sau số lẻ nƣớc mã ô màu đen , sau số chẵn nƣớc mã ô màu trắng Đây tính bất biến Trở lại toán ta thấy từ ô dƣới bên trái lên ô bên phảI cần 63 nƣớc Vì bên phải cần mang màu đen(Theo nhƣ tính bất biến) Điều vơ lý Vậy qn mã từ ô dƣới bên trái nên ô bên phải nhƣ yêu cầu đầu đƣợc 515 | CHUYÊN ĐỀ SỐ HỌC CHUYÊN ĐỀ SỐ HỌC Bài 13 Ta tô ô bàn cờ xen kẽ màu đen trắng nhƣ bàn cờ vua(hình vẽ) BỒI DƢỠNG HỌC SINH GIỎI CẤP | Nhận xét Bài toán đƣợc giải nhƣng xung quanh tốn cịn nhiều điều cần phải suy nghĩ Chẳng hạn nhƣ xét bàn cờ X.X với X số lẻ liệu có cách từ dƣới bên trái lên ô bên phải thoả mãn u cầu tốn hay khơng? Bài 14 Đây toán lý thuyết số nhƣng ta dùng bất biến để giải Tính bất biến nhƣ sau: Ta thấy S không thay đổi số dƣ chia cho nhƣ ta đổi dấu số hạng liên tiếp Thật vậy, có số dƣơng số âm khơng có chuyện thay đổi, có số khác dấu số cịn lại đổi dấu giá trị S thay đổi 4 điều khơng ảnh hƣởng tới số dƣ S CHINH PHỤC KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HAI chia cho cả, cuối số dấu đổi dấu S thay đổi đại lƣợng hay 8 điều dĩ nhiên khơng ảnh hƣởng tới số dƣ S chia cho Bây quay lại toán, thực thuật toán đổi dấu số hạng liên tiếp cho cuối đƣa tất n số thành số dƣơng Khi S  n theo tính bất biến S chia hết cho (vì ban đầu S  chia hết cho 4) Vậy n chia hết cho ta có kết luận cho tốn Bài 15 Đƣờng thẳng khơng qua điểm 2011 điểm nên d cắt đoạn thẳng chia mặt phẳng thành hai nửa mà 2011 điểm nằm hai nửa mặt phẳng đối nửa chứa chẵn số điểm, nửa lại chứa lẻ số điểm(do 2011 số lẻ) Mặt khác nối chẵn số điểm nửa bên với lẻ số điểm bên ta chứng minh đƣợc số đoạn thẳng nối đƣợc số chẵn Thật vậy, giả sử d chia điểm nửa thứ có m điểm(m chẵn) nửa mặt phẳng chứa n điểm(n lẻ) Cứ điểm bên nửa nối đƣợc đoạn thẳng với nửa bên nên số đoạn thẳng nối đƣợc m.n, m chẵn nên m.n chẵn Bài toán đƣợc chứng minh Bài 16 Trƣớc hết ta dƣợc a {1; 1}, b {1; 1},a  bk {2; 0; 2} (k , l {1, 2, n}) k k l + Nếu đổi dấu số ô vuông thuộc hàng k cột l số ak bl đổi dấu theo, số lại (của dãy a , a ,,a , b1 , b2 ,, b n) không đổi dấu.n Hơn nữa, tổng a  b khơng đổi, hoặck tăngl thêm giảm + Mỗi bảng với cách điền số đó, đƣợc suy từ bảng gồm toàn số 1 cách thực đổi dấu số phần tử Tổng tổng a  a   a  b  b   b n 517 | CHUYÊN ĐỀ SỐ HỌC a 1 a 2  a  bn  b1 2 b n n bảng sau đổi bảng toàn số số bội | ĐÁP ÁN CHỦ ĐỀ 10: CÁC BÀI TOÁN SỬ DỤNG NGUYÊN LÝ BẤT BIẾN + Khi tổng bảng sau đổi a  a1  2 a  b  nb  1 b 2 2nmodn 4 Vậy với cách điền số ta ln có a  a   a  b  b   b  n n Bài 17 Nhận thấy m n khác 1, 2, Chia hình chữ nhật m.n thành m.n ô vuông đơn vị đánh số hàng từ dƣới lên, đánh số cột từ trái qua phải Ta gọi ô p; q ô nằm hàng thứ p cột thứ q Hai hiên gạch hình móc câu ghép đƣợc thành hình dƣới X O O O O O O X O X O O X O X X X O X O X X X X Do để lát đƣợc hình chữ nhật m.n tích m.n phải chia hết cho 12 Nếu hai số m n chia hết cho lát đƣợc hình chữ nhật m.n Thật vậy, m chia hết cho n chia hết cho hình chữ nhật m.n chia thành hình chữ nhật 4.3 có lát đƣợc Nếu m chia hết cho n khơng chia hết cho ta viết n dạng n  3a  4b với a b số nguyên dƣơng, bảng m.n lát đƣợc Bây ta chứng minh hai số m n chia hết cho Giả sử ngƣợc lại m n chia hết cho nhƣng không chia hết cho Để chứng minh đƣợc điều không xẩy ta cần tạo bất biến Để tạo bất biến ta điền vào hình chữ nhật theo quy tắc sau: Xét ô p; q Nếu hai tọa độ p q chia hết cho ta điền vào p; q số 1, p q chia hết cho ta điền vào ô p; q  số Với điền nhƣ ta thu đƣợc bất biến tổng số hình thứ hình số hai số lẻ Do m n số chẵn nên tổng số hình chữ nhật m.n số chẵn Muốn lát đƣợc hình chữ nhật m.n tổng số hình thứ hình thứ hai phải số chẵn Khi m.n chia hết cho 24, điều khơng xảy m, n khơng chia hết cho TỦ SÁCH CẤP 2| 516 CHUYÊN ĐỀ SỐ HỌC  Do n lẻ nên a 1 a   a  b n b 1  b  mod 4 n BỒI DƢỠNG HỌC SINH GIỎI CẤP | Bài 18  Với bảng thứ ta thay dấu cộng bảng 1 dấu trừ bảng 1 Rõ ràng tích tất số vng tính chẵn lẻ dấu trừ tính chẵn lẻ tổng số bất biến Mặc dù tích số tất ô vuông bảng bất biến nhƣng tích số số vng cố định lại bất biến Để tìm vng cố định ta cần tìm tập hợp ô vuông cho thực biến đổi số ô vuông đảo dấu số chẵn Dẽ thấy tập hợp ô vuông đƣợc đánh dấu x bảng sau có tính chất nhƣ thế: CHINH PHỤC KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HAI x x x x x x x x x x x x x x x x Tại trạng thái xuất phát tích tất số ô vuông đƣợc đánh dấu nói 1 Do tính nàu bất biến nên sau số phép biến đổi ta khơng thể đƣa bảng trạng thái khong có dấu trừ đƣợc(vì tích tất ố đƣợc dánh dấu 1 )  Với bảng thứ hai ta lập luận tƣơng tự bảng thứ  Với bảng thứ ba ta thay dấu cộng bảng 1 dấu trừ bảng 1 Rõ ràng tích tất số ô vuông tính chẵn lẻ dấu trừ tính chẵn lẻ tổng số khơng phải bất biến Mặc dù tích số tất ô vuông bảng bất biến nhƣng tích số số ô vuông cố định lại bất biến Để tìm vng cố định ta cần tìm tập hợp ô vuông cho thực biến đổi số vng đảo dấu ln số chẵn Dẽ thấy tập hợp ô vuông đƣợc đánh dấu x bảng sau có tính chất nhƣ thế: 519 | CHUYÊN ĐỀ SỐ HỌC | ĐÁP ÁN CHỦ ĐỀ 10: CÁC BÀI TOÁN SỬ DỤNG NGUYÊN LÝ BẤT BIẾN x x x x x x x x x x x x x x Tại trạng thái xuất phát tích tất số vng đƣợc đánh dấu nói 1 Do tính bất biến nên sau số phép biến đổi ta đƣa bảng trạng thái khong có dấu trừ đƣợc (vì tích tất ố đƣợc dánh dấu 1 ) a b y  2    ab a b a 2 2ab  b 2 a 22ab  b 2  Khi ta có x  y          Nhƣ sau xoá số a, b thay hai số ab a b 2 ab tổng bình phƣơng hai số khơng đổi Do tổng bình phƣơng ba số bảng khơng đổi    13 2  Mặt khác tổng bình phƣơng ba số đồng thời bảng ba số  ; 2  13  2;     2  Vậy  2  8 ; 2;  22  Bài 20 Trong trình biến đổi, giả sử bảng có dãy số a1 ; a2 ; ; an Ta xét biểu thức sau: P  a  12a  22  a  2n Ta chứng minh su lần xóa giá trị biểu thức P giảm hai lần TỦ SÁCH CẤP 2| 518 CHUYÊN ĐỀ SỐ HỌC a b Bài 19 Giả sử ba số bảng a, b, c , thay a, b x  BỒI DƢỠNG HỌC SINH GIỎI CẤP | Giả sử ta xóa hai số a b tích P thừa số a  2b  2 a  b  ab tích P có thêm thừa số  nhƣng thay a  b  2 ab   giảm nửa ab 2  nên P giảm nửa Khi xóa hai số thay số nên sau lần xóa bảng giảm số Mà bảng có 2014 số nên sau 2013 lần xóa P giảm 22013 lần Khi ta có giá trị P  1  22  2 2014  2  CHINH PHỤC KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HAI Giả sử số lại bảng x ta có P  x    x  Vậy số cuối bảng 403  2015 Bài 21 Trong dãy số có số Nếu xóa hai số a b thay số c  a  b  5ab , nhƣ sau lần xóa dãy giảm số Nhƣ sau 2014 lần xóa bảng cịn lại số Đến lúc ta xóa số b ta thay c  Nhƣ xóa số lại xuất số 521 | CHUYÊN ĐỀ SỐ HỌC  b  5.1 b  5 Vậy số cuối lại | ĐÁP ÁN CHỦ ĐỀ 10: CÁC BÀI TỐN SỬ DỤNG NGUN LÝ BẤT BIẾN Mơc lơc Trang Lời nói đầu Phần I CÁC CHỦ ĐỀ SỐ HỌC THCS Chủ đề Các toán ƣớc bội Các toán liên quan tới số ƣớc số Tìm số nguyên n thỏa mãn điều kiện chia hết 10 Tìm số biết ƢCLN chúng 12 Tìm số biết BCNN ƢCLN 14 Các toán số nguyên tố 16 Các tốn phân số tối giản 18 Tìm ƢCLN biểu thức 20 Liên hệ phép chia có dƣ, phép chia hết, ƢCLN, BCNN 20 Tìm ƢCLN hai số thuật tốn Ơ-clit 22 Các toán quan hệ chia hết Sử dụng tính chất n số tự nhiên liên tiếp có số chia hết cho n 30 31 Sử dụng phƣơng pháp phân tích thành nhân tử 33 Sử dụng phƣơng pháp tách tổng 34 Sử dụng đẳng thức 37 Sử dụng phƣơng pháp xét số dƣ 40 Sử dụng phƣơng pháp phản chứng 42 Sử dụng phƣơng pháp quy nạp 43 Sử dụng nguyên lý Dirichlet 45 Xét đồng dƣ 47 10 Tìm điều kiện biến để biểu thức chia hết 50 11 Các toán cấu tạo số liên quan đến tính chia hết 52 CHUYÊN ĐỀ SỐ HỌC Chủ đề Chủ đề Chủ đề 12 Các chia hết sử dụng định lý Fermat 56 13 Các toán chia hết liên quan đến đa thức 57 Các toán số nguyên tố, hợp số Chứng minh số số nguyên tố hay hợp số 75 Chứng minh tốn liên quan đến tính chất số nguyên tố 76 Tìm số nguyên tố thỏa mãn điều kiện 78 Nhận biết số nguyên tố, phân bố số nguyên tố 80 Chứng minh có vơ số ngun tố có dạng ax + b với (a, b) = 83 Sử dụng nguyên lý Dirich toán số nguyên tố 84 Áp dụng định lý Fermat 85 Các toán số phƣơng Chứng minh số số phƣơng tổng nhiều số phƣơng Chủ đề Chủ đề 74 97 98 Chứng minh số khơng phải số phƣơng 102 Tìm điều kiện biến để số số phƣơng 104 Tìm số phƣơng 108 Sử dụng đồng dƣ thức chứng minh toán chia hết 119 Sử dụng đồng dƣ thức chứng minh toán chia hết 120 Sử dụng đồng dƣ thức tìm số dƣ 122 Sử dụng đồng dƣ thức tìm điều kiện biến để chia hết 123 Sử dụng đồng dƣ thức tìm chữ số tận 124 Sử dụng đồng dƣ thức tìm hai chữ số tận 125 Sử dụng đồng dƣ thức tốn số phƣơng 127 Sử dụng đồng dƣ thức toán số nguyên tố, hợp số 129 Sử dụng đồng dƣ thức phƣơng trình nghiệm nguyên 131 Sử dụng định lý 132 Phƣơng trình nghiệm nguyên 138 Phát tính chia hết ẩn 138 Phƣơng pháp đƣa phƣơng trình ƣớc số 141 Phƣơng pháp tách giá trị nguyên 145 Phƣơng pháp sử dụng tính chẵn, lẻ số dƣ vế 147 Phƣơng pháp sử dụng bất đẳng thức 150 Phƣơng pháp dùng tính chất số phƣơng 155 | ĐÁP ÁN CHỦ ĐỀ 10: CÁC BÀI TOÁN SỬ DỤNG NGUYÊN LÝ BẤT BIẾN Phƣơng pháp lùi vô hạn, nguyên tắc cực hạn Chủ đề Chủ đề Phần nguyên số học 164 180 Phần nguyên số biểu thức 181 Chứng minh đẳng thức chứa phần nguyên 183 Phƣơng trình phần nguyên 184 Bất phƣơng trình phần nguyên 192 Phần nguyên chứng minh số dạng toán số học 193 Chứng minh bất đẳng thức chứa phần nguyên 197 Nguyên lý Dirichlet số học 202 Chứng minh tồn chia hết 203 Các toán tính chất phần tử tập hợp 206 Bài tốn liên quan đến bảng vng 208 Bài toán liên quan đến thực tế 209 Bài toán liên quan đến xếp 211 Vậng dụng ngun lý Dirichlet tốn hình học 212 Chủ đề Các toán sử dụng nguyên lý cực hạn 217 Chủ đề 10 Nguyên lý bất biến giải toán 226 Phần II HƢỚNG DẪN GIẢI – ĐÁP SỐ Tài liệu kham khảo ... 15 số tự nhiên n3 Bài tốn Tìm số tự nhiên n để n2 + 3n + n + Hướng dẫn giải Ta có: n2 + 3n + n + Suy ra: n (n + 3) + n +  n + => n +  Ƣ(6) = {1; 2; 3; 6} => n = 0; n = 4n  có giá trị số nguyên...  hai số 9n + 24 3n + không chia hết cho Ta thấy 9n + 24 số lẻ suy n lẻ, 3n + lẻ suy n lẻ Vậy để (9n + 24, 3n + 4) = n phải số lẻ Bài tốn Tìm n để 18n + 31n + hai số nguyên tố Hướng dẫn giải Gọi... Dirichlet vào toán chia hết nhƣ sau: “Trong m = kn + số có n + số chia hết cho k có số dƣ” * Ví dụ minh họa: Bài tốn Chứng minh số ngun tìm đƣợc ba số có tổng chia hết cho Hướng dẫn giải Một số chia cho