Tài liệu Đề thi HSG môn Toán lớp 8, năm học 2010-2011

UBND THÀNH PHỐ CAO LÃNH ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI KHỐI 8 PHÒNG GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO Năm học: 2010 – 2011 Môn: Toán Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian phát đề) Ngày thi: 16/01/2011. Chú ý: - Đề thi này gồm 01 trang. - Học sinh không được sử dụng máy tính bỏ túi khi làm bài. - Giám thị coi thi không giải thích gì thêm. Câu 1. (3 điểm) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) x 6 – x 4 – 2x 3 + 2x 2 . b) x k+3 – x k + x – 1 . Câu 2. (3 điểm) Tìm giá trị nguyên của x để giá trị của biểu thức sau là số nguyên: 3 146 3 + ++ = x xx A Câu 3. (3 điểm) Tìm x, biết: a) .)45()45( 20102011 −=− xx b) ⋅ ++ = ++ ++++ 351 777 91 999 3212212 xxxxxx Câu 4. (3 điểm) a) Cho hai đa thức: P(x) = x 2 + 2mx + m 2 và Q(x) = x 2 + (2m + 1)x + m 2 với Rm ∈ . Tìm m khi P(1) = Q(-1). b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 203610 24 +−= xxB . Câu 5. (4điểm) Cho hình bình hành ABCD có BD = 3AD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Trên BD lấy hai điểm E và F sao cho BE = EF = FD. a/ Chứng minh rằng MENF là hình chữ nhật. b/ Hình bình hành ABCD phải có thêm điều kiện gì để MENF là hình vuông? Câu 6. (4 điểm) Cho tam giác ABC có góc A < 120 o . Dựng ngoài tam giác ấy các tam giác đều ABD và ACE. a) Chứng minh rằng BE = CD. b) Gọi I là giao điểm của BE và CD. Tính góc BIC ? – Hết – Đề chính thức HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI KHỐI 8, NĂM HỌC 2010 – 2011 Môn: Toán (Hướng dẫn chấm gồm có: 03 trang) Chú ý: Thí sinh có cách giải khác nhưng đảm bảo đúng kết quả vẫn được hưởng điểm tối đa. Câu Lời giải Điểm 1 (3đ) a) x 6 – x 4 – 2x 3 + 2x 2 = x 2 (x 4 – x 2 – 2x + 2) = x 2 [(x 4 – 2x 2 + 1) + (x 2 – 2x + 1)] = x 2 [(x 2 – 1) 2 + (x – 1) 2 ] = x 2 (x – 1) 2 [(x+1) 2 + 1] = x 2 (x – 1) 2 (x 2 + 2x + 2) b) x k+3 – x k + x – 1 = x k (x 3 – 1) + (x – 1) = x k (x – 1) (x 2 + x + 1) + (x – 1) = (x – 1)[x k (x 2 + x + 1) + 1] = (x – 1)(x k+2 + x k+1 + x k + 1) 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 2 (3đ) Ta có: 3 31 153 3 146 2 3 + −+−= + ++ = x xx x xx A Nếu tồn tại giá trị nguyên của x để giá trị của biểu thức A là số nguyên thì x 2 – 3x +15 có giá trị nguyên và 3 31 + x cũng có giá trị nguyên. Khi đó: x + 3 là ước của 31. Tập hợp các ước của 31 là: { } 31;31;1;1 −− - Nếu x + 3 = – 1 thì x = – 4. - Nếu x + 3 = 1 thì x = – 2. - Nếu x + 3 = – 31 thì x = – 34. - Nếu x + 3 = 31 thì x = 28. Vậy với x = – 4; x = – 2; x = – 34; x = 28 thì giá trị của biểu thức A là số nguyên. 0,5đ 0,5đ 0,5đ 1đ 0,5đ 3 (3đ) a) 20102011 )45()45( −=− xx ⇔ (5x – 4) 2011 – (5x – 4) 2010 = 0 ⇔ (5x – 4) 2010 (5x – 5) = 0 ⇔ 5x – 4 = 0 hoặc 5x – 5 = 0 ⇔ x = 5 4 hoặc x = 1. b) 351 777 91 999 3212212 ++++ ++ = ++ xxxxxx ⇔ 351 )771(7 91 )199(9 322 ++ = ++ xx ⇔ 9 x = 49 x ⇔ 1 49 9 =       x ⇔ 0 49 9 49 9       =       x ⇔ x = 0. 0,25đ 0,5đ 0,5đ 0,25đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 4 (3đ) a) Khi: P(1) = Q(-1); ta được: 1 + 2m + m 2 = 1 – 2m – 1 + m 2 2m + 2m = – 1 4m = – 1 ⇒ m = - 1 4 0,5đ 0,5đ 0,5đ b) 203610 24 +−= xxB ( ) ( ) 201120115 2011251020112510 2 2 2424 ≥+−= ++−=++−= x xxxx Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức B là 2011. 0,5đ 0,5đ 0,5đ 5 (4đ) 2 2 1 1 N M C B E F A D a/ ∆ BME = ∆ DFN (c.g.c) ⇒ ME = NF và 11 ˆˆ FE = ⇒ 22 ˆˆ FE = nên ME // NF Vậy tứ giác MENF là hình bình hành. Ta lại có: Tứ giác AMND là hình bình hành ⇒ AD = MN Mà BD = 3AD nên BD = 3 MN Mặt khác BD = 3 EF nên MN = EF Vậy MENF là hình chữ nhật b/ Hình chữ nhật MENF là hình vuông ⇔ MN ⊥ EF ⇔ MN ⊥ BD ⇔ AD ⊥ BD (vì MN // AD) 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,25đ 0,75đ 0,5đ 0,5đ 6 (4đ) K a) Hai tam giác ADC và ABE có: AD = AB (vì ∆ ABD đều). DÂC = BÂE (= 60 o + BÂC) AC =AE (vì ∆ ACE đều ) Vậy ∆ ADC = ∆ ABE (c-g-c). Suy ra CD = BE. b/ Từ ∆ ADC = ∆ ABE ta có: EBACDA ˆˆ = . Gọi K là giao điểm của AB và CD. Xét hai tam giác AKD và IKB, Chúng có hai góc bằng nhau từng đôi một: BKIDKA ˆˆ = (đối đỉnh) KBIKDA ˆˆ = (Vì EBACDA ˆˆ = ). Vậy hai góc còn lại của hai tam giác ấy bằng nhau: BIKDAK ˆ ˆ = Mà DAK ˆ = 60 o Vậy BIK ˆ = 60 O . Ta suy ra CIB ˆ = BIK ˆ 180 0 − = 120 o 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ - Hết - B C E A D I . CAO LÃNH ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI KHỐI 8 PHÒNG GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO Năm học: 2010 – 2011 Môn: Toán Thời gian: 150 phút (Không kể thời gian phát đề) Ngày thi: 16/01/2011 giác đều ABD và ACE. a) Chứng minh rằng BE = CD. b) Gọi I là giao điểm của BE và CD. Tính góc BIC ? – Hết – Đề chính thức HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH