Đề thi Chọn học sinh giỏi cấp Tỉnh năm học 2014 - 2015 môn Toán 9 (Đề tham khảo) của Trường THCS Trần Thị Nhượng giúp cho các bạn củng cố được các kiến thức về môn Toán lớp 9 thông qua việc giải những bài tập trong đề thi. Tài liệu phục vụ cho các bạn yêu thích môn Toán và các thầy cô dạy Toán THPT.
PHÒNG GD&ĐT TP SA ĐÉC TRƯỜNG THCS TRẦN THỊ NHƯỢNG ĐỀ THAM KHẢO (Đề gồm trang) ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NĂM HỌC 2014 – 2015 MƠN: TỐN Ngày thi: 5/ 4/ 2015 Thời gian làm bài: 150 phút (không kể giao đề) ĐỀ BÀI: Bài (3 điểm) a) Cho A = 13 - 42 Tính A b) Rút gọn biểu thức B = 2 Bài (2 điểm) a) Chứng minh tổng hai số tự nhiên ab ba chia hết cho 11 b) Phân tích đa thức sau thành nhân từ: x4 + 2x2 – Bài (2 điểm) 6 6 80 15.18 18.21 21.24 87.90 90 b) Tìm số ab cho bbb ab.a.b a) Tính tổng sau: M = Bài (2 điểm) Có hai đội cờ thi đấu với Mỗi đối thủ đội phải thi đấu ván cờ với đấu thủ đội Cho biết tổng số ván cờ lần tổng số đấu thủ hai đội hai đội có số đấu thủ lẻ Vậy đội có đối thủ ? Bài (3 điểm) Giải phương trình hệ phương trình sau: a) 4(1 x) b) (x + 3)3 – (x + 1)3 = 56 �xy y 2 � xy x c) � (1) (2) Bài (5 điểm) 1) Cho tam giác ABC có AB= 6cm, BC= 10 cm, CA= 8cm Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC; I tâm đường nội tiếp tam giác ABC Tính độ dài IO ? 2) Cho tam giác ABC cân A, M trung điểm cạnh BC Lấy điểm D � E = B � Chứng minh: thuộc cạnh AB, điểm E thuộc cạnh AC cho DM a) Tam giác DBM đồng dạng với tam giác MCE b) Tia DM tia phân giác góc BDE -1- Bài (3 điểm) Cho đường trịn (O; R) đường kính AB, lấy điểm I thuộc đoạn AO cho AO = 3.IO Qua I vẽ dây cung CD vng góc với AB, đoạn CD lấy điểm K tuỳ ý Tia AK cắt đường tròn (O) điểm thứ hai M Chứng minh: Bốn điểm I, K, M, B thuộc đường tròn Chứng minh tâm F đường tròn ngoại tiếp tam giác MKC nằm đường thẳng cố định Khi K di động đoạn CD, tính độ dài nhỏ đoạn DF HẾT Họ tên giám thị 1: Chữ ký: Họ tên giám thị 2: Chữ ký: Họ tên thí sinh: Số báo danh: ……… Giám thị coi thi khơng cần giải thích thêm -2- PHỊNG GD&ĐT TP SA ĐÉC TRƯỜNG THCS TRẦN THỊ NHƯỢNG ĐÁP ÁN ĐỀ THI THAM KHẢO HSG CẤP TỈNH NĂM HỌC: 2014- 2015 Câu Nội dung a) A 13 42 = ( 6) 7 7 Điểm 1đ b) B = 2 2 ( 1) 2 2đ 2( 1) 1 3a b a) ab ba =10a+ b+ 10b+ a= 11(a+b) nên chia hết cho 11 b) x4 + 2x2 – = [(x2)2 + 1]2 – 22 = (x - 1)(x + 1)(x2 + 3) 1đ 1đ 6 6 80 M 15.18 18.21 21.24 87.90 90 1 �8 �1 � � 15 18 87 90 � � �1 � 8 � � 15 90 � 9 � 2đ Ta có bbb ab.a.b � 3.37.b a.b.ab � 3.37 a.ab Vậy a= 3, b=7 Số ab = 37 Gọi x, y số đối thủ đội (ĐK: x,y số nguyên dương) Vì đấu thủ đội phải thi đấu ván cờ với đối thủ đội kia, nên tổng số ván cờ thi đấu là: x.y Theo giả thiết, ta có: xy= 4(x+y) � � (x-4)(y-4)= 16 = 1.16= 2.8=4.4 x y số lẻ, nên ta đồng x- 4= y- 4=16 Suy x= 5; y= 10 Vậy: Một đội có đấu thủ, đội có 20 đối thủ a) 4(1 x) � x = (1) * Nếu x �1, (1) � 2(1- x) = � x = - (thỏa mãn đk) * Nếu x > 1, (1) � (x - 1) = � x = (thỏa mãn đk) Vậy, S = {- 3; 5} -3- 2đ 1đ b)(x + 3)3 – (x + 1)3 = 56 � x3 + 9x2 +27x + 27 – x3 – 3x2 – 3x – = 56 � 6x2 + 24x + 26 = 56 � 6(x2 + 4x - 5) = � x(x- 1) + 5(x - 1) = � (x - 1)(x + 5) = � x = x = - 5.Vậy S = {1; - 5} 1đ (1) �xy y c) � (2) � xy x Từ pt (1) suy y �0 hay y � Từ pt (2) suy x x y �2 x � x 2 x 22 �0 � ( x 2)2 �0 �x Nếu x � y 2 Nếu x � y 2 Vậy hệ phương trình cho có hai nghiệm: �x�2 � �x � �x � � �y 2 �y 2 -4- 1đ 1) Trong tam giác ABC có BC 100; AB AC 100 Vậy tam giác ABC vng A (theo ĐL Pytago đảo) Ta có S p.r � � 6.8 10 r � r 2cm I giao điểm ba phân giác tam giác ABC, kẻ IH BC H, IK CA K, ; IL AB L Suy tứ giác ALIK hình vng cạnh r Ta có BL= BH= AB- r= 6- 2= 4cm O trung điểm BC Nên BO= 5cm, HO= BO- BH= 1cm Trong tam giác OIH vng H có: OI 5cm 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 2) Vẽ hình a) � M � M � 1800 M � � � M B D 1800 1 � B �, � D � M � Mà M Mặt khác: B� C� (do ABC cân) Nên DBM đồng dạng MCE (g.g) -5- 2đ DB DM DB DM , Do BM = MC nên MC ME BM ME � , nên DBM đồng dạng DME (c.g.c) Mà B� M � D � Vậy DM tia phân giác � Suy D BDE c) Từ a) suy ra: Câu 7.1 Câu 7.2 Câu 7.3 Chứng minh : Bốn điểm I, K, M, B thuộc đường tròn � 900 ( chắn nửa đường trịn (O) Ta có KMB � 900 (gt) nên tam giác KMB, KIB nội tiếp đường Lại có KIB trịn đường kính cạnh huyền BK Hay bốn điểm I, K, M, B thuộc đường tròn Chứng minh : Tâm F (CKM) thuộc đường cố định Vẽ đường kính CE (CKM) , ta có KE // AB � MAB � ( CD) � MKE (đ/vị) � MCE � � (F) ) Lại có MKE (cùng chắn cung ME � MCB � � (O) ) (cùng chắn cung MB MAB � MCB � � C, E, B thẳng hàng � C, F, B thẳng hàng Suy MCE Suy F thuộc đường thẳng CB cố định Tính độ dài ngắn DF Kẻ DH CB H � DH khơng đổi Ta có DF �DH nên DF ngắn DH R2 2R 4R � CD 3 4R 8R 2R CB BI BA R � CB 3 BI CD Lại có DH.CB=BI.CD ( nửa S CBD) � DH CB 4R 4R R Vậy DF ngắn 8R DH 2R Ta có CI CO IO R Ghi chú: Học sinh làm theo cách khác hợp lí đạt điểm tối đa -6- 1đ 1đ 1đ 1đ ... giám thị 1: Chữ ký: Họ tên giám thị 2: Chữ ký: Họ tên thí sinh: Số báo danh: ……… Giám thị coi thi khơng cần giải thích thêm -2 - PHÒNG GD&ĐT TP SA ĐÉC TRƯỜNG THCS TRẦN THỊ NHƯỢNG... giải thích thêm -2 - PHÒNG GD&ĐT TP SA ĐÉC TRƯỜNG THCS TRẦN THỊ NHƯỢNG ĐÁP ÁN ĐỀ THI THAM KHẢO HSG CẤP TỈNH NĂM HỌC: 201 4- 2015 Câu Nội dung a) A 13 42 = ( 6) 7 7 Điểm 1đ b) B = 2... thủ đội phải thi đấu ván cờ với đối thủ đội kia, nên tổng số ván cờ thi đấu là: x.y Theo giả thi? ??t, ta có: xy= 4(x+y) � � (x-4)(y-4)= 16 = 1.16= 2.8=4.4 x y số lẻ, nên ta đồng x- 4= y- 4=16 Suy