Đề thi học sinh giỏi cấp Huyện năm học 2014 - 2015 môn Toán của Phòng GD & ĐT Phú Tân giúp cho các em học sinh củng cố kiến thức về môn Toán học. Đặc biệt, thông qua việc giải những bài tập trong đề thi này sẽ giúp các em biết được những kiến thức mình còn yếu để có sự đầu tư phù hợp nhằm nâng cao kiến thức về khía cạnh đó.
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÚ TÂN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN Năm học: 2014 – 2015 Thời gian làm : 150 phút (không kể thời gian phát đề) ĐỀ CHÍNH THỨC Bài : (4,0 điểm) a +1 a +2 Q= − − : a a −2 a − a −1 1) Rút gọn Q với a > 0, a ≠ 4, a ≠ Cho biểu thức 2) Tìm giá trị a để Q dương Bài : (4,0 điểm) 1) Chứng minh với số thực x, y, z ta ln có bất đẳng thức sau: x2 + y + z + t ≥ x ( y + z + t ) 2) Tìm nghiệm nguyên x, y phương trình sau: x − xy = x − y − Bài : (4,0 điểm) 1) Vẽ đồ thị hàm số y = f ( x ) = x + x − − 2) Giải phương trình x2 + + 4x − + = x x Bài : (4,0 điểm) Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn 4xy = Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = x + y + 12 xy x+ y Bài : (4,0 điểm) Một đường thẳng qua đỉnh A hình bình hành ABCD cắt BD, BC, DC theo thứ tự E, K, G Chứng minh rằng: 1) AE = EK EG 2) AE AE + =1 AK AG 3) Khi đường thằng thay đổi vị trí qua điểm A tích BK.DG có giá trị khơng đổi -Hết HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2014 – 2015 NỘI DUNG BÀI a +1 Q= − − : a a − a −1 a a −1 Q= − a a −1 a a −1 ( Câu (2,0 đ) Q= a Q= a ( ( ) 1 ( ) ( ( a −2 ( a −2 ) a −1 : )( a − )( : )( a −1 a +2 a − )( a −1 )( a −1 a +1 ĐIỂM ) −( a − 1) ( a −1 )( a − )( a +2 ) 0,5 0,5 ) 0,5 a −2 a Q= ) ) a −2 a −1 0,5 Vì a > nên a > 0,5 Câu Do đó: Q > ⇔ 0,5 (2,0 đ) ⇔ a >2⇔a>4 0,5 Vậy Q dương a > 0,5 Ta có: a −2>0 x2 + y + z + t ≥ x ( y + z + t ) ( 0,5 ) ⇔ x2 + y + z + t ≥ 4x ( y + z + t ) ⇔ x + y + z + 4t ≥ xy + xz + xt Câu (2,0 đ) ( ) ( ) ( ) ⇔ x − xy + y + x − xz + z + x − xt + 4t + x ≥ ⇔ ( x − y ) + ( x − z ) + ( x − 2t ) + x ≥ (bất đẳng thức đúng) 2 Vậy: x + y + z + t ≥ x ( y + z + t ) Đẳng thức xảy x = y = z = t = 0,5 0,5 0,5 Ta có: x − xy = x − y − ⇔ xy − y = x − x + Câu (2,0 đ) 0,5 ⇔ ( x − ) y = x − x + (*) Nếu x = ta : 0.y= (vô lý) Khi x ≠ từ (*) ta : y= x − 6x + ⇔ y = x −1+ x−5 x−5 0,5 y nguyên x − 0,5 Do đó: x − ∈ {−1;1; −3;3} x – = – ta x = 4, y = ta x = 6, y = x – = – ta x = 2, y = ta x = 8, y = x–5= x–5= 0,5 Vẽ đồ thị hàm số y = f ( x ) = x + x − − ( x < 0) (0 ≤ x ≤ 2) ( x > 0) −2 x − x + − ⇔ y = 2 x − x + − 2 x + x − − 0,5 (x < 0) (0 ≤ x ≤ 2) (x > 2) − x − ⇔ y = x − 3 x − 0,5 Câu (2,0 đ) Bảng giá trị đặc biệt: x -2 y -3 0,5 y 10 -2 O 2 x 10 0,5 -3 -5 Giải phương trình Điều kiện: x ≠ Câu (2,0 đ) x2 + + x − + = (1) x x 1 (1) ⇔ x + + x − + = x x 1 Đặt y = x − suy x + = y + x x 0,5 Phương trình trở thành: y2 + + y + = ⇔ y2 + y + = ⇔ ( y + 2) ⇔ y+2=0 ⇔ y = −2 x Với y = −2 suy : x − = −2 0,5 =0 ⇔ x2 + 2x −1 = ( x + 1) ⇔ x + 2x +1− = ⇔ ⇔ x +1 = x + = − x = −1 ⇔ x = − − 2 0,5 =2 0,5 Vậy phương trình cho có nghiệm : x = − 1; x = − − Ta có: ( ) 2 2 x + y + 12 xy x + xy + y + xy ( x + y ) + xy A= = = x+ y x+ y x+ y 2( x + y) + 2 Vì 4xy = nên: A = x+ y = ( x + y ) + x + y 1,0 1,0 Vì x > 0, y > ⇒ x + y > nên : A = 2 (4,0 đ) ( x+ y ) −2+ ( A = 2 x + y − x+ y Vậy Amin = Đẳng thức xảy x+ y ) + 2 1,0 + ≥ =0 x+ y − x+ y ⇔x= y= 4 xy = A 1,0 B E K Câu (1,5 đ) D G C Vì BK // AD nên EK EB = AE ED (1) 0,5 Vì AB // DG nên AE EB = EG ED (2) 0,5 Từ (1) (2) suy : EK AE = ⇒ AE = EK EG AE EG (đpcm) 0,5 AE ED = EK EB AE ED (Tính chất dãy tỉ số nhau) ⇒ = AE + EK ED + EB AE ED (1) ⇒ = AK DB AE EB Tương tự ta có: = EG ED AE EB (Tính chất dãy tỉ số nhau) ⇒ = AE + EG EB + ED AE EB (2) ⇒ = AG DB AE AE ED EB DB Từ (1) (2) suy : + = + = = (đpcm) AK AG DB DB DB Ta có : Câu (1,5 đ) Ta có: BK AB = KC CG KC CG = AD DG 0,5 0,5 (4) Nhân vế (3) (4) ta được: ⇔ 0,5 (3) Câu (1,0 đ) 0,5 BK KC CG AB = KC AD DG CG BK AB = ⇔ BK DG = AB AD AD DG Mà AB AD khơng đổi Vậy: Tích BK.DG khơng đổi đường thẳng thay đổi Lưu ý: Nếu học sinh làm cách khác hưởng trọn số điểm 0,5 ...HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2014 – 2015 NỘI DUNG BÀI a +1 Q= − − : a a − a −1 a a −1 Q=... (x > 2) − x − ⇔ y = x − 3 x − 0,5 Câu (2,0 đ) Bảng giá trị đặc biệt: x -2 y -3 0,5 y 10 -2 O 2 x 10 0,5 -3 -5 Giải phương trình Điều kiện: x ≠ Câu (2,0 đ) x2 + + x − + = (1) x x 1 (1)... DG = AB AD AD DG Mà AB AD khơng đổi Vậy: Tích BK.DG không đổi đường thẳng thay đổi Lưu ý: Nếu học sinh làm cách khác hưởng trọn số điểm 0,5