Nhi Thuc NewTon

Các bài toán chứng minh hệ thức tổ hợp bằng sử dụng nhị thức Niu-tơn. VD1[r]

NHỊ THỨC NIU-TƠN I Các toán hệ số khai triển nhị thức Niu-tơn

VD1.Tìm hệ số x10 khai triển nhị thức 2xn, biết rằng  

0 1 2 3

3n 3n 3n 3n n n 2048

n n n n n

C  C  C  C C

      

VD2. Tìm hệ số x5 khai triển biểu thức P x1 2x5 x21 3x10

   

VD3. Tìm hệ số số hạng chứa x26 khai triển nhị thức Niu-tơn

1 n

x x

 



 

  , biết

1 20

2 2 n

n n n

C  C   C   

VD4. Tìm hệ số x8 khai triển thành đa thức biểu thức 2 

1

P  x  x 

VD5. Tìm số hạng không chứa x khai triển nhị thức Niu-tơn

7

4

,

P x x

x

 

   

 

VD6. Tìm hệ số số hạng chứa x8 khai triển nhị thức Niu-tơn

1 n

x x

 



 

  , biết

 

1

4

n n

n n

C  C n

    

VD7. Với n số nguyên dương, gọi a3n3 hệ số 3n

x  khai triển thành đa thức của

x2 1nx 2n

  Tìm n để a3n3 26n

VD8. Tìm số nguyên dương n cho

0 2 22 23 2n n 243

n n n n n

C  C  C  C   C 

VD9. Cho khai triển nhị thức

1

1 1

0

3

2 2

1

1 3

2 2 2

2 2

n n n

x x

x x x

n n

n n

x x

x

n n

n n

C C

C C



  

 

 

 



       

    

       

   

   

   

 

      

     

1 Biết khai triển Cn3 5C1n số hạng thứ tư 20n Tìm n x

VD10. Cho đa thức P x   1 x2 1 x23 1 x3 20 1  x20 Tìm hệ số số hạng chứa x15 khai triển thành đa thức P(x).

VD11. Biết tổng tất hệ số khai triển nhị thức x2 1n

 1024 Hãy tìm hệ số số hạng chứa x12 khai triển trên.

VD12. Gọi a1, a2, …, a11 hệ số khai triển sau:

  10  11 10

1 10 11

1

x x x a x a x  a x a Tìm hệ số a5

VD13. Khai triển đa thức P x   1 2x12 thành dạng

  2 12 12 P x a a x a x  a x Tìm hệ số lớn hệ số a0, a1, a2, …, a12

VD14. Xét khai triển  9

0

3x2 a a x a x  a x

VD15. Cho khai triển: 1 

n n

n x a a x a x

     , n 

  hệ số a a0, , ,1 an thỏa mãn hệ thức

0 4096

2

n n

a a

a     Tìm số lớn số a a0, , ,1 an

VD16. Tìm số hạng khơng chứa x khai triển nhị thức Niu-tơn:  

18

1

2x x

x

 

 

 

 

II Các toán chứng minh hệ thức tổ hợp sử dụng nhị thức Niu-tơn

VD1 Cho n số nguyên dương Tính tổng

2

0 1 2

2

n n

n n n n

C   C   C    C

VD2. Tìm số nguyên dương n cho

 

1 2 3 2

2 2.2 3.2 4.2 2 2005 n n

n n n n n

C   C   C   C    n C  

VD3.Cho n số nguyên dương, chứng minh

2

1

2 2

1 1

2 2

n n

n n n n

C C C C

n n

 

    



VD4. Cho n số nguyên dương, chứng minh rằng:

1

1

1 1

1

2 1

n n

n n n

C C C

n n





    

 

2 2 221 231  1 2 1 1  1

2 1

n

n n n

n n n n

C C C C

n n





 

      

 

 

VD5.

1 Tính tích phân  

2

1 n

I x  x dx

2 Chứng minh 1 1  1

2 2 2

n n

n n n n n

C C C C C

n n



     

 

VD6.

1 Tính tích phân  

2

0

1 n

I x x dx

2 Chứng minh

1

0

1 1

3 3 3

n n

n n n n

C C C C

n n





    

 

VD7. Với n số nguyên dương, chứng minh rằng: 1 2 3  1 n n .2n1

n n n n n

C C C n C  nC n 

      

2 2.1. 3.2.  1 n . 1 2 n

n n n

C C n nC n n 

     

3 2 3  1 n  2 2 n 1

n n n n

C C C n C n 

       

VD8. Chứng minh với n nguyên dương, ta có:

0

2 2 2

n n

n n n n n n n

C C C C C C C 

       

VD9.

1 Tìm hệ số số hạng chứa x10 khai triển (1 x) (x+ 10 +1)10. Từ suy giá trị tổng S C100 2 C101 2  C10102

VD10.

1 Rút gọn tổng S C C10 200 10 C C110 209 C C10 202  C C 10 209 C C10 2010