Ứng dụng bất đẳng thức để giải phương trình và hệ phương trình

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————————– NGƠ HỒI THANH ỨNG DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC ĐÀ NẴNG - NĂM 2020 ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————————– NGƠ HỒI THANH ỨNG DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH Ngành: Phương pháp Tốn sơ cấp Mã số: 8460113 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Trương Công Quỳnh ĐÀ NẴNG - NĂM 2020 LỜI CẢM ƠN Lời luận văn tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn PGS.TS Trương Công Quỳnh tận tình hướng dẫn tác giả suốt trình thực để tác giả hồn thành luận văn Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành đến tất thầy giáo tận tình dạy bảo tác giả suốt thời gian học tập khóa học Đồng thời, tác giả xin gửi lời cảm ơn đến anh chị em lớp phương pháp Toán sơ cấp K36 -Đà Nẵng nhiệt tình giúp đỡ tác giả q trình học tập lớp Tác giả Ngơ Hoài Thanh MỤC LỤC MỞ ĐẦU CHƯƠNG Các bất đẳng thức số toán bất đẳng thức 1.1 Bất đẳng thức Cauchy 1.2 Bất đẳng thức Bunyakovsky 1.3 Bất đẳng thức Minkowsky 1.4 Bất đẳng thức BCS dạng cộng mẫu (Cauchy-Swarchz) .9 CHƯƠNG Ứng dụng bất đẳng thức để giải phương trình 10 2.1 Ứng dụng bất đẳng thức để giải phương trình ẩn 10 2.2 Ứng dụng bất đẳng thức để giải phương trình nhiều ẩn 22 2.3 Giải phương trình nhiều cách nhiều bất đẳng thức khác 2.4 Ứng dụng bất đẳng thức khác để giải phương trình 2.5 Ứng dụng bất đẳng thức để giải phương trình chứa tham số 26 32 35 CHƯƠNG Ứng dụng bất đẳng thức để giải hệ phương trình 41 3.1 Ứng dụng bất đẳng thức để giải hệ phương trình hai ẩn 41 3.2 Ứng dụng bất đẳng thức để giải hệ phương trình ba ẩn trở lên 57 3.3 Ứng dụng bất đẳng thức để giải hệ phương trình chứa tham số 62 CHƯƠNG Phát triển phương trình hệ phương trình qua bất đẳng thức 67 4.1 Phát triển phương trình bất đẳng thức Cauchy 4.2 Phát triển phương trình bất đẳng thức Bunyakovsky 4.3 Phát triển hệ phương trình bất đẳng thức 67 73 77 KẾT LUẬN 82 TÀI LIỆU THAM KHẢO 83 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Hiện nay, chương trình tốn phổ thơng để giải phương trình hệ phương trình học sinh cịn lúng túng, mắc sai lầm không định hướng lời giải, tài liệu tham khảo dạng tốn có nhiều đề cập tới nhiều phương pháp giải như: phương pháp biến đổi đại số, phương pháp logic, phương pháp lượng giác, phương pháp hình học, Các phương pháp góp phần quan trọng để giải tốn phương trình hệ phương trình, nhiên học sinh gặp khó khăn sử dụng phương pháp giải để giải tốn khó Chẳng hạn tốn giải phương trình hệ phương trình thiết kế ý tưởng bất đẳng thức hay tính chất bất đẳng thức Nếu giải phương pháp gặp nhiều khó khăn Đặc biệt tốn thường gặp kì thi chọn học sinh giỏi cấp trung học cở sở trung học phổ thơng Chính để giải phương trình hệ phương trình phương pháp bất đẳng thức phối hợp nhiều kiến thức, kĩ giải tốn Bài tốn địi hỏi người làm tốn phải hiểu biết sâu sắc bất đẳng thức, linh hoạt sử dụng Người làm tốn cần tìm tịi, củng cố, hệ thống, liên hệ kiến thức, đồng thời tập cho làm quen với việc nghiên cứu, khám phá vẻ đẹp tốn Bởi lí với định hướng giúp đỡ thầy giáo PGS.TS Trương Công Quỳnh, chọn đề tài nghiên cứu luận văn là: “Ứng dụng bất đẳng thức để giải phương trình hệ phương trình” Mục đích nghiên cứu Hệ thống lại kiến thức bất đẳng thức chứng minh Áp dụng 80 với điều kiện ban đầu hai biến x, y thỏa mãn x ≥ 2, y ≥ Khi ta có bất đẳng thức 1 + ≥ x2 y x2 + y + x+ x + y+ y √ ≥ Dấu xảy x = 2; y = Từ nghiệm phương trình ta lập phương trình thứ hai nhận cặp (x; y) làm nghiệm với điều kiện x ≥ 2, y ≥ Khi ta có tốn sau: Ví dụ 4.3.4 Giải hệ phương trình    √ + = x2 + y + y2 √ x x − y − = Giải Điều kiện x ≥ 2, y ≥ Áp dụng bất đẳng thức Minkowski, ta có: x2 + y2 1 + ≥ x2 y + x+ x + y+ y Vì x ≥ 2; y ≥ nên ta có x+ 5 ≥ y + ≥ x y Suy √ 2 (x + ) + (y + ) ≥ x y √ + ≥ Do x2 + y + x2 y 2 x=2 Dấu xảy y = 81 Qua ví dụ trên, hy vọng người đọc hiểu phần ý tưởng phát triển số tốn phương trình hệ phương trình cách sử dụng bất đẳng thức Ở toán để phát triển thực hai giai đoạn: Một lựa chọn bất đẳng thức cần sử dụng, đặt biểu thức để gán vào bất đẳng thức, sau dấu đẳng thức xảy nào, để chọn nghiệm thỏa mãn điều kiện toán Hai từ toán cụ thể đơn giản giải phương pháp bất đẳng thức, từ ta phát triển thành nhiều toán khác, cách thay thành nhiều biểu thức phức tạp 82 KẾT LUẬN Từ nhận thức thân sở thực tiễn chọn đề tài biện pháp triển khai đề tài, qua khảo sát thực tế việc tiếp thu học sinh, thấy đạt số kết cụ thể sau: Với việc trình bày tốn bản, với ví dụ minh họa sau đó, giúp tăng cường giảng cho thầy, cô giáo với em học sinh dễ hiểu biết cách trình bày bài, học sinh biết vận dụng thành thạo kiến thức học làm sở cho việc tiếp thu cách thuận lợi, vững Đặc biệt nội dung phần bình luận sau vài tập ví dụ giúp em học sinh củng cố hiểu biết chưa thật thấu đáo, với cách nhìn nhận vấn đề đặt cho em học sinh, để trả lời cách thỏa đáng cấu hỏi “Tại lại nghĩ làm vậy?” Luyện tập cho học sinh thói quen suy nghĩ, quan sát, lập luận để học sinh phát huy trí thơng minh, óc sáng tạo, khả phân tích, tổng hợp, tư độc lập thông qua việc thảo luận, tranh luận mà học sinh phát triển khả nói lưu lốt, biết lí luận chặt chẽ giải tốn Học sinh biết vận dụng kiến thức đơn lẻ để giải toán tổng hợp nhiều kiến thức Ngồi có nhiều tốn giải nhiều cách khác giúp em học sinh trở nên linh hoạt việc lựa chọn phương pháp giải 83 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Tạp chí Toán học tuổi trẻ số 149, 150, Nhà xuất Giáo dục năm 1986 Tạp chí Tốn học tuổi trể số 164, Nhà xuất giáo dục năm 2016 [2] Các đề thi Olympic, đề thi học sinh giỏi Quốc gia, đề thi học sinh giỏi tỉnh đề thi đại học từ năm 1994 đến 2018 [3] Vũ Quốc Anh, Tuyển tập 324 tốn lơgarít chọn lọc thi vào Đại học cao đẳng từ năm 1970 đến năm 2002 Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội năm 2002 [4] Nguyễn Cam, Phương pháp giải toán lượng giác Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội năm 2006 [5] Nguyễn Tài Chung, Sáng tạo phương trình, hệ phương trình, bất phương trình Nhà xuất tổng hợp Thành phố Hồ Chí Minh năm 2013 [6] Lê Văn Đồn, Tư sáng tạo tìm tịi lời giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình vô tỉ Nhà xuất Quốc gia Hà Nội năm 2015 [7] Nguyễn Trung Kiên, Phương trình, hệ phương trình, bất phương trình, bất đẳng thức trình Nhà xuất Đại Học Quốc Gia Hà Nội năm 2017 [8] Phan Huy Khải, Tuyển tập toán Bất đẳng thức tập Nhà xuất giáo dục năm 1996 [9] Nguyễn Văn Mậu, Một số phương pháp giải phương trình bất phương trình Nhà Xuất Giáo dục năm 1996 84 [10] Nguyễn Văn Mậu, Đặng Thủy Thanh, Đặng Huy Ruận, Một số phương pháp giải phương trình bất phương trình Nhà xuất giáo dục năm 1999 [11] Đặng Thành Nam, Kĩ thuật giải nhanh hệ phương trình Nhà xuất Đại Học Quốc Gia Hà Nội năm 2018 [12] Nguyễn Đức Tấn, Giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình, hệ bất phương trình bất đẳng thức Nhà xuất Đại Học Quốc Gia TP.Hồ Chí Minh năm 2006 [13] Mai Xuân Vinh, Tư logic tìm tịi lời giải hệ phương trình Nhà xuất Đại Học Quốc Gia Hà Nội năm 2017 ... 3.1 Ứng dụng bất đẳng thức để giải hệ phương trình hai ẩn 41 3.2 Ứng dụng bất đẳng thức để giải hệ phương trình ba ẩn trở lên 57 3.3 Ứng dụng bất đẳng thức để giải hệ phương. .. là: ? ?Ứng dụng bất đẳng thức để giải phương trình hệ phương trình? ?? Mục đích nghiên cứu Hệ thống lại kiến thức bất đẳng thức chứng minh Áp dụng bất đẳng thức vào giải phương trình hệ phương trình. .. 2.5,dùng phương trình bất đẳng thức để giải phương trình chứa tham số Chương 3, trình bày ứng dụng bất đẳng thức để giải hệ phương trình, bao gồm mục Mục 3.1, dùng phương pháp bất đẳng thức để giải hệ