Phương pháp ẩn phụ trong giải phương trình, hệ phương trình và bất phương trình

ĐẠIăH CăĐÀăN NG TR NGăĐẠIăH CăS ăPHẠM XOKTILATH CHANLANOUVONG PH GIẢIăPH NGăPHÁPăẨNăPHỤăTRONGă NGăTRÌNH,ăHỆăPH NGăTRÌNHă VÀăB TăPH NGăTRÌNH LU NăV NăTHẠCăSĨăKHOA H C ĐƠăN ngă- N mă2018 ĐẠIăH CăĐÀăN NG TR NGăĐẠIăH CăS ăPHẠM XOKTILATH CHANLANOUVONG PH GIẢIăPH NGăPHÁPăẨNăPHỤăTRONGă NGăTRÌNH,ăHỆăPH NGăTRÌNHă VÀăB TăPH NGăTRÌNH Chun ngành: Ph ngăpháp Tốn s ăc p Mưăsố:ă60.46.01.13 LU NăV NăTHẠCăSĨăKHOA H C Ng iăh ngăd năkhoaăh c:ăTS.ăNGUYỄNăNG CăCHÂU ĐƠăN ngă- N mă2018 LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng Các số liệu, kết nêu luận văn trung thực chưa rừng cơng bố cơng trình khác Tác giả XOKTILATH CHANLANOUVONG MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 Lí chọn đề tài Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu .1 Đối tượng phạm vi nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Cấu trúc luận văn Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 KHÁI NIỆM BIẾN, ẨN, ẨN PHỤ 1.2 PHƯƠNG PHÁP ẨN PHỤ .4 1.3 CÁC KẾT QUẢ CẦN THIẾT 1.3.1 Một số kết đại số 1.3.1.1 Hai bất đẳng thức 1.3.1.2 Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình 1.3.2 Một số hệ thức lượng giác Chương 2: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP ẨN PHỤ 2.1 GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP ẨN PHỤ 2.1.1 Giải phương trình đa thức, phương trình hữu tỉ 2.1.1.1 Đặt ẩn phụ hoàn toàn 2.1.1.2 Đặt ẩn phụ khơng hồn tồn 15 2.1.1.3 Đặt ẩn phụ để đưa hệ phương trình 17 2.1.1.4 Đặt ẩn phụ lượng giác .19 2.1.2 Giải phương trình vơ tỉ .21 2.1.2.1 Đặt ẩn phụ hoàn toàn .21 2.1.2.2 Đặt ẩn phụ khơng hồn tồn 25 2.1.2.3 Đặt ẩn phụ đưa hệ phương trình 26 2.1.2.4 Đặt ẩn phụ lượng giác 32 2.1.3 Giải phương trình hàm số mũ, hàm số logalit 34 2.1.3.1 Giải phương trình hàm số mũ 34 2.1.3.2 Giải phương trình hàm số logalit 36 2.2 GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP ẨN PHỤ .38 2.2.1 Giải hệ phương trình ẩn phụ đại số 38 2.2.2 Giải hệ phương trình ẩn phụ lượng giác 42 Chương GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP ẨN PHỤ .46 3.1 Giải bất phương trình đa thức, bất phương trình hữu tỉ 46 3.1.1 Đặt ẩn phụ hoàn toàn .46 3.1.2 Đặt ẩn phụ khơng hồn tồn 49 3.2 Giải bất phương trình vơ tỉ 53 3.2.1 Đặt ẩn phụ hoàn toàn 53 3.2.2 Đặt ẩn phụ khơng hồn tồn 58 3.2.3 Đặt ẩn phụ đưa bất phương trình hệ bất phương trình 60 3.2.4 Đặt ẩn phụ lượng giác 62 3.3 Giải bất phương trình hàm số mũ, hàm số logalit 64 KẾT LUẬN 70 TÀI LIỆU THAM KHẢO 71 MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Phương trình, hệ phương trình bất phương trình nội dung quan trọng chương trình tốn bậc phổ thơng Có nhiều phương pháp giải phương trình, hệ phương trình bất phương trình, phương pháp ẩn phụ tỏ có hiệu số lớp phương trình, hệ phương trình bất phương trình Trong chương trình tốn bậc phổ thơng quốc gia Lào, học sinh làm quen với phương pháp ẩn phụ giải phương trình, hệ phương trình bất phương trình, nhiên với thời lượng khơng nhiều mức độ định Việc vận dụng phương pháp ẩn phụ vào giải toán rèn luyện kỹ cần thiết học sinh phổ thơng Là giáo viên giảng dạy tốn bậc phổ thông quốc gia Lào, học viên học sau đại học ngành phương pháp toán sơ cấp tơi muốn tìm hiểu kĩ phương pháp ẩn phụ giải tốn, nên tơi chọn đề tài: “Phương pháp ẩn phụ giải phương trình, hệ phương trình bất phương trình” cho luận văn tốt nghiệp Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu dấu hiệu để nhận biết phương trình, hệ phương trình, bất phương trình giải phương pháp ẩn phụ Hệ thống phân loại lớp toán giải phương pháp ẩn phụ Đưa quy trình giải cho lớp tốn, với ví dụ minh hoạ Đối tượng phạm vi nghiên cứu Khái niệm ẩn phụ, phương pháp ẩn phụ giải toán Phương trình, hệ phương trình bất phương trình thuộc chương trình phổ thơng (của Việt Nam Lào) Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu tư liệu: Nghiên cứu qua sách giáo khoa, sách tham khảo, tạp chí tốn tài liệu internet Phương pháp tiếp cận: Phân tích, tổng hợp, hệ thống tài liệu sưu tầm để thực luận văn Trao đổi, thảo luận với người hướng dẫn chuyên gia Cấu trúc luận văn Luận văn gồm phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo chương Chương Kiến thức chuẩn bị Trình bày sơ lược khái niệm ẩn phụ, phương pháp ẩn phụ Nhắc lại số hệ thức đại số hệ thức lượng giác để làm sở cho chương sau Chương Giải phương trình, hệ phương trình phương pháp ẩn phụ Trình bày phương pháp ẩn phụ để giải phương trình hệ phương trình đại số Chương Giải bất phương trình phương pháp ẩn phụ Chương trình bày phương pháp ẩn phụ để giải bất phương trình đại số Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Chương giới thiệu sơ lượt khái niệm ẩn phụ, phương pháp ẩn phụ, nhắc lại số hệ thức đại số, hệ thức lượng giác để làm sở cho chương sau 1.1 KHÁI NIỆM BIẾN, ẨN, ẨN PHỤ Thuật ngữ biến dùng để đại lượng (chẳng hạn đại lượng vật lý khối lượng, thời gian, đại lượng hình học độ dài, diện tích, thể tích, ) nhận giá trị khác tập hợp (được gọi miền biến thiên nó) Theo quan điểm động, người ta gọi chúng đại lượng biến thiên, hay đơn giản biến Nếu tập hợp giá trị biến tập hợp số gọi biến số Nói cách khác biến số đại lượng nhận giá trị bất kỳ, khơng bắt buộc phải có giá trị (khơng có giá trị định), biến số đại lượng thay đổi giá trị tình thay đổi Ngược lại với khái niệm biến số khái niệm số Hằng số số thay đổi tình Cũng có biến biến số như: biến lôgic, biến Boolean, biến ký tự, Giá trị biến thường liên quan với Khi xét quan hệ biến với nhau, biến mà độc lập với biến khác gọi biến độc lập, biến mà nhận giá trị phụ thuộc vào biến khác, gọi biến phụ thuộc Khi xét quan hệ phụ thuộc biến, mà biết giá trị số biến đó, ta xác định giá trị nhiều biến chưa biết Khi biến cần tìm giá trị gọi ẩn (ẩn số), biến biết giá trị gọi tham biến (tham số), hệ thức biểu diễn mối liên hệ biến (thường đẳng thức, bất đẳng thức) gọi phương trình, bất phương trình, việc tìm giá trị ẩn gọi giải phương trình, bất 65 Vậy bất phương trình có tập nghiệm   1,  Bài tốn 81 Giải bất phương trình 6.9  13.6   x x x Lời giải Điều kiện bất phương trình x  x Chia vế bất phương trình cho ta  x  x 6.   13.    4 4  1   x x     3     13        2    x Đặt t     , bất phương trình trở thành 6t  13t   2  t  3    2 1  1  thoả điều kiện x    2 2 1  x  1 1   x  x 1  x  1 Vậy nghiệm bất phương trình cho  x 1 3x   x  Bài toán 82 Giải bất phương trình 3x  x Lời giải Điều kiện bất phương trình x  Chia vế bất phương trình cho x ta  66 3    2  x 3 2    x 3 Đặt t    , điều kiện  t  2 x 3t   t 1 Bất phương trình trở thành  2t  3   1 t  t 1 Đối chiếu điều kiện t   t   3  3  3  1      2 2 2  0 x x thoả điều kiện Vy bất phương trình cho có tập hợp nghiệm  ,1  Bài toán 83 Giải bất phương trình log2 x 64  log x2 16   0 x  Lời giải Điều kiện bất phương trình là:   x  Sử dụng cơng thức đổi số bất phương trình cho trở thành log2 26 log2  3 log2 x log2 x   3  log2 x log2 x Đặt t  log2 x , điều kiện t  0, t  1 67 Bất phương trình trở thành   3t  5t  0  t  t  1   1  t      t    Với t   1 ,       3 1 t t 3t  1   t   t  t  1  1  x ,    Với t   ,   x   1,   1  Vậy bất phương trình cho có tập nghiệm  ,    ,    Bài toán 84 Giải bất phương trình log x log2 x  log4 x Lời giải Điều kiện bất phương trình là: x  0, x  1, x  (1) 1 , x  Sử dụng công thức đổi số hàm logalit, ta có log x  1 , log2 x  , log4 x  log2 x  log2 x  log2 x Bất phương trình (1) trở thành: 1  log2 x  log2 x  log2 x Đặt t  log2 x , điều kiện t  0, t   1, t   Bất phương trình (2) trở thành  1  2t t 1t  t2  t 1  t    t    t  2     t  1  0  t  (2) 68        0 x  log2 x      log2 x      x 2   log2 x  1 x     2  Vậy tập nghiệm bất phương trình cho    1   ,    ,   1,       Bài tốn 85 Giải bất phương trình log x  x     log 3 x  x   Lời giải Điều kiện bất phương trình 3 x  x        log x x       x    x    Đặt t  log9 x  x    log3 x  x   2t Bất phương trình cho trở thành:    t   2t           0t t   2t  t   t   2t  12   0t 1    log9 x  x    1  x     3x  x     x thoả điều kiện 69  1   Vậy tập nghiệm bất phương trình cho là:  1,    1,     Bài tốn 86 Giải bất phương trình log62 x  x  12 log6 x Lời giải Điều kiện bất phương trình x  Đặt t  log6 x  x  6t ; x  6t log6 x Bất phương trình cho trở thành: 6t  6t  12  6t   t      log6 x   1  t  1  x 6   Vậy tập nghiệm bất phương trình là:  , thoả điều kiện 70 KẾT LUẬN Luận văn: “Phương pháp ẩn phụ giải phương trình, hệ phương trình bất phương trình” đạt mục tiêu nhiệm vụ đề ra, cụ thể thực vấn đề sau - Tìm hiểu dấu hiệu để hệ thống phân loại số lớp toán giải phương pháp ẩn phụ - Sưu tầm, giới thiệu số phương trình, hệ phương trình bất phương trình giải phương pháp ẩn phụ Hy vọng nội dung luận văn tiếp tục bổ sung hồn thiện nhằm chứng tỏ tính hiệu phương pháp ẩn phụ giải phương trình, hệ phương trình bất phương trình 71 TÀI LIỆU THAM KHẢO [ ] Trần Thị Vân Anh (2008), Phương pháp giải toán tự luận hàm số mũ hàm số logalit, NXB ĐHQG Hà Nội [2] Trần Lưu Cường - Huỳnh Công Thái - Hồ Thành Lợi (2013), Phương trình bất phương trình chứa - hệ phương trình, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [ ] Trần Minh Dũng - Trịnh Anh Dũng (2015), Chinh phục phương trình - bất phương trình vơ tỷ, NXB Đại học quốc gia Hà Nội [ ] Nguyễn Viết Đơng - Phạm Hồng (2007), Tốn bồi dưỡng nâng cao đại số 10, NXB Đại học quốc gia TP Hồ Chí Minh [5] Lê Hồng Đức (chủ biên) - Đ Thiện Khải - Lê Bính N gọc (2004), Phương pháp giải toán đại số, NXB Đại học Sư phạm [ ] Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên) - Vũ Tuấn (chủ biên) - Doãn Minh Cường - Đỗ Mạnh Hùng - Nguyễn Tiến Tài (2010), Đại số 10, NXB Giáo Dục Việt Nam [7] Nguyễn Phụ Hy (2001), Phương pháp giải phương trình bất phương trình - hệ phương trình NXB Giáo Dục [ ] Nguyễn Văn Mậu (2010), Phương pháp giải phương trình bất phương trình, NXB Giáo dục [ ] Nguyễn Văn Mậu, Nguyễn Văn Tiến (2010), Một số chuyên đề đại số bồi dưỡng học sinh giỏi, NXB Giáo Dục [10] Vũ Tuấn (chủ biên) - Doãn Minh Cường - Trần Minh Hạo - Đỗ Minh Hùng - Phạm Phu - Nguyễn Tiến Tài (2012), Bài tập đại số lớp 10, NXB Giáo Dục [11] Hồ Sĩ Vinh (2011), Những tốn chọn lọc & Phương pháp giải phương trình - hệ phương trình, bất phương trình, NXB Đại số quốc gia Hà Nội ... Chương GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP ẨN PHỤ Một phận lớn phương trình, hệ phương trình giải cách dùng ẩn phụ Khi giải phương trình, hệ phương trình phương pháp ẩn phụ, ta... phương trình, hệ phương trình, bất phương trình để làm xuất dấu hiệu ẩn phụ (nếu cần) Chọn ẩn phụ, đặt điều kiện cho ẩn phụ, biểu diễn phương trình, hệ phương trình, bất phương trình qua ẩn phụ. .. ẩn phụ Trình bày phương pháp ẩn phụ để giải phương trình hệ phương trình đại số Chương Giải bất phương trình phương pháp ẩn phụ Chương trình bày phương pháp ẩn phụ để giải bất phương trình đại