Trong bài báo này chúng tôi sẽ trình bày cách giải phương trình với một toán tử D, nó không giao hoán với một toán tử đối hợp S cấp N... Mời các bạn cùng tham khảo bài viết để nắm chi tiết hơn nội dung nghiên cứu.
ISSN2354-0575 2354-0575 ISSN PHƢƠNG TRÌNH TỐN TỬ PHẢN GIAO HỐN VỚI ĐỐI HỢP Trịnh Xuân Yến - Nguyễn Thị Hạnh Bộ mơn Tốn – khoa Khoa Học Cơ Bản- Đại Học Sư Phạm Kỹ Thuật Hưng Yên Ngày tòa soạn nhận báo: 23- 11 - 2019 Ngày phản biện đánh giá sửa chữa: 14- 12 - 2019 Ngày báo duyệt đăng: 22- 12 - 2019 Tóm tắt: Trong báo chúng tơi trình bày cách giải phương trình với tốn tử D, khơng giao hốn với tốn tử đối hợp S cấp N thỏa mãn quan hệ SD DS , e2 i / N D gọi toán tử chuyển vị N=2, ta có SD DS ta nói D phản giao hốn với S Từ khóa: Tốn tử đại số, phương trình hàm với đối số biến đổi tính chất toán tử đại số toán tử đối Đặt vấn đề hợp để giải số dạng phương trình tốn tử đặc Lý thuyết tốn tử xây dựng phát triển biệt mạnh mẽ năm đầu kỷ 20 Các kết gắn với tên tuổi nhiều nhà tốn học tiếng Phƣơng trình toán tử phản giao hoán với A Pazy, T.Kato, D Przeworska, Rolewicz, đối hợp Cùng song hành tiếp sau đời Định nghĩa 2.1: ([4]) Cho X không gian hàng loạt lý thuyết tốn tử khơng tuyến tính (trên trường số phức) Một toán tử đại gian tuyến tính tổng quát gắn với lý thuyết số S đối hợp cấp N ( N 2) đa thức đặc phương trình hàm Trong [7] D.Przeworska trưng có dạng P(t ) t N 1 , tức Rolewicz trình bày cách sử dụng toán tử đại số S N I X Trong trường hợp N=2, S gọi phương trình vi tích phân Trong [4] T Kato đơn giản đối hợp sử dụng toán tử xây dựng lý thuyết nhiễu Giả sử S đối hợp cấp N khơng để giải phương trình vi phân phi tuyến, nửa gian X Các nghiệm đặc trưng tốn tử S tuyến tính không gian Banach Trong [6] A bậc N đơn vị: Pazy sử dụng toán tử xây dựng hồn thiện lý 2 i / N thuyết nửa nhóm ứng dụng vào giải phương e , , , N 1 , N trình đạo hàm riêng Giả sử S đối hợp X, tức S I Tại Việt Nam, từ cuối kỷ 20 có nhiều Cho nhà khoa học quan tâm đến lĩnh vực này, số 1 ấn phẩm khoa học tiêu biểu hữu ích việc P ( I S ), P ( I S ) 2 học tập, nghiên cứu tốn tử-phương trình hàm Các tốn tử P P phép chiếu rời kể đến [1,2,3,5] Nếu [3] tác giả cho phân hoạch đơn vị: xây dựng hệ thống lý thuyết chặt chẽ, tuần tự, tổng qt liên quan đến tốn tử khơng gian P P P P 0,( P )2 P ,( P )2 P , P P I tuyến tính [5] tác giả lại tập trung xây Các giá trị riêng toán tử S -1 dựng khai thác tính chất ứng dụng không gian riêng tương ứng X P X phần tử đại số, toán tử đối hợp, toán tử chuyển vị tức là, ta viết X P X , để giải tốn phương trình hàm x P x, x P x x X , ta có Trong viết này, sử dụng số 24 16| Khoa học & Công nghệ - Số 24/ Tháng 12 – 2019 Khoa học & Công nghệ - Số 24/ Tháng 12 – 2019 Jornal of Science and technology Jornal of Science and technology ISSN ISSN2354-0575 2354-0575 Mệnh đề 2.4: ([4]) Sx x , Sx x Không gian X tổng trực tiếp không gian X X Đối với toán tử đối hợp S không gian X, giả sử D tốn tử tuyến tính tác động X phản giao hốn với S Khi tốn tử D giao hoán với S 2.2: ([4]) Nếu S I SD DS khơng gian tuyến tính X, Tính chất , P D DP P D DP (tương tự, Z A Z D2 I Z RA Z D2 I ) Định lý 2.5: ([4]) Ta có Z D2 I z X : z z1 Sz2 , z1 , z2 Z D I Chứng minh: Giả sử z z1 Sz2 , z1 , z2 Z D I Khi đó, ( D2 I ) z ( D2 I ) z1 ( D2 I )S z2 Chứng minh: Thật vậy, SD DS , ta có P D 1 1 ( I S ) D ( D SD) ( D DS ) D( I S ) DP , 2 2 P D 1 1 ( I S ) D ( D SD) ( D SD) D( I S ) DP 2 2 Từ tính chất suy Dx ( Dx) X , Dx ( Dx) X Thật vậy, ( D I ) z1 S ( D I ) z2 ( D I )( D I ) z1 S ( D I )( D I ) z 0 D2 S SD2 Vậy nên z Z D I Ngược lại, giả sử z Z D2 I Toán tử D đối hợp không gian Z Thật vậy, D I , ta có z Z ,ta có D I Dx DP x P Dx ( Dx) , D z z 0, Dx DP x P Dx ( Dx) Các tính chất đặc biệt tốn tử phản giao hốn phân biệt với lớp toán tử chuyển vị Giả sử khơng gian tuyến tính X ta có toán tử A (a0 I b0 S ) (a1I b1S ) D, S đối hợp X, D toán tử tuyến tính X phản giao hốn với S a0 , b0 , a1 , b1 vơ hướng Để giải phương trình Ax y, y X , báo xét số trường hợp đặc biệt Cụ thể, ta giả sử a02 b02 0; a12 b12 D không đối Z Z D D2 I Vậy I Z D z z1 z2 ' , z1 Z D I , z2 ' Z D I I I độc lập tuyến tính Ta z ' Sz2 , z2 Z D I Do , ta có Dz2 ' z2 ' Vậy nên, B (a0 I b0 S ) (a1I b1S ) D; điều Khi AR RA A D I , A (1) Trong đó, a0 b0 a12 b12 Sz2 ' S z2 ' SDz2 ' DSz2 ', RA (a12 b12 )1 B nên z2 ' Z D hợp Mệnh đề 2.3: ([4]) Cho 2 D I Z D2 I Điều dẫn đến phân tích thành tổng trực tiếp Z D I tức (2) Khoa Khoahọc học&&Công Côngnghệ nghệ- -Số Số24/ 24/Tháng Tháng12 12––2019 2019 suy z2 Sz2 ' Z D I ( D I )Sz2 ' Nhưng z2 ' S z2 ' S (Sz ') Sz2 , suy điều phải chứng minh Mệnh đề 2.6: ([4]) Nếu x* nghiệm phương trình ( D2 I ) x* y, x RA x* nghiệm phương trình Ax y JornalofofScience Scienceand andtechnology technology Jornal |17 25 ISSN ISSN2354-0575 2354-0575 Định lý 2.7:([4]) Ta có Z A z X : z a0 a1 I b0 b1 S z1 Z RA z X : z a0 a1 I b0 b1 S z1 z1 Z D I Cuối cùng, ta thu định lý sau kết nối với dạng tổng quát nghiệm phương trình Ax=y RAu y Định lý 2.8: Xét toán tử A (a0 I b0 S ) (a1I b1S ) D, S I SD+DS=0 khơng gian tuyến tính X D không đối hợp a02 b02 a12 b12 u Ax a0 a1 I b0 b1 S z1 Trong đó: RA xác định (1) (2) Chứng minh: Ta xét I b b S z Ax A RA x* a0 a1 I b0 b1 S z1 Ax AR A x* A a0 a1 1 Do đó, theo Mệnh đề 2.6 Định lý 2.7 ta suy Ax y Tương tự ta có kết nghiệm phương trình RAu y có dạng u Ax a0 a1 I b0 b1 S z1 Kết luận: Trong báo chúng tơi sử dụng tính chất tốn tử đối hợp S toán tử chuyển vị Giả sử x* nghiệm phương trình ( D I ) x* y, y X Khi nghiệm phương trình Ax=y có dạng D không đối hợp để áp dụng giải phương trình hàm với tốn tử xây dựng x RA x* a0 a1 I b0 b1 S z1 , z1 nghiệm phương trình số thỏa mãn số điều kiện buộc cụ thể A (a0 I b0 S ) (a1I b1S ) D, (D I )z 0, đồng thời nghiệm phương trình RAu y có dạng Tài liệu tham khảo [1] P.K Anh, T.Đ.Long Giáo trình Hàm thực Giải tích hàm NXB ĐHQG HÀ NỘI, 2001 [2] N.V Mau Lý thuyết toán tử phương trình tích phân kỳ dị , NXB ĐHQG HÀ NỘI, 2006 [3] H Tụy Giáo trình Hàm thực Giải tích hàm NXB ĐHQG HÀ NỘI , 2002 Publishers, Hanoi, 2005 [4] T Kato Perturbation Theory for Linear Operators Springer-Verlag, 1976 [5] N.V Mau Algebraic Elements and Boundary Value Problems Vietnam Nation University [6] A Pazy Semigroups of Linear Operators anh Application to Partial Differential Equations Springer, New York, 1983 [7] D.Przeworska, Rolewicz Algebraic Analysis PWN-Polish Scientific Publishers, D.Reidel Publ Co, 1988 THE EQUATION OF NON-COMMUTATIVE OPERATOR WITH INVOLUTION OPERATOR Abstract: In this paper we will show how to solve an equation with a D operator, which is non-commutative with a involution operator S order N but satisfies the relationship SD DS , where e2 i / N D is called a transpose operator if N = 2, then we have SD+DS=0 and we say D is non-commutative with S Keywords: Algebra operators, the function equation of variable arguments 18| 26 Khoa học học & & Công Công nghệ nghệ Số Số 24/ 24/ Tháng Tháng 12 12 –– 2019 2019 Khoa Jornal Science and technology Jornal ofof Science and technology ... biệt toán tử phản giao hoán phân biệt với lớp tốn tử chuyển vị Giả sử khơng gian tuyến tính X ta có tốn tử A (a0 I b0 S ) (a1I b1S ) D, S đối hợp X, D tốn tử tuyến tính X phản giao hoán với. .. tổng trực tiếp không gian X X Đối với toán tử đối hợp S khơng gian X, giả sử D tốn tử tuyến tính tác động X phản giao hốn với S Khi tốn tử D giao hoán với S 2.2: ([4]) Nếu S I SD DS... nghiệm phương trình RAu y có dạng u Ax a0 a1 I b0 b1 S z1 Kết luận: Trong báo chúng tơi sử dụng tính chất toán tử đối hợp S toán tử chuyển vị Giả sử x* nghiệm phương