Hiêu chỉnh phương trình toán tử loại I dựa trên toán tử tuyến tính đơn điệu mạnh

[...]... hiệu chỉnh cho phương trình toán tử lo i I trong không gian Banach phản xạ thực vô hạn chiều và được trình bày trong 3 mục Trong mục 2.1 chúng t i trình bày phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov hiệu chỉnh phương trình toán tử lo i I dựa trên việc sử dụng toán tử tuyến tính đơn i u mạnh làm thành phần hiệu chỉnh Một số kết quả cơ bản về sự h i tụ của nghiệm hiệu chỉnh và tốc độ h i tụ của nghiệm hiệu chỉnh. .. dựa trên toán tử tuyến tính đơn i u mạnh Xét phương trình toán tử A(x) = f, f X , trong đó xạ X (2.1) A là một toán tử đơn i u và h-liên tục từ không gian Banach phản vào X Nếu toán tử A không có tính đơn i u đều hoặc đơn i u mạnh thì b i toán (2.1), n i chung, là một b i toán đặt không chỉnh Giả sử (2.1) có nghiệm, tức là của (2.1) Khi đó, S0 cũng giả sử đ i v i X f R(A) Ta kí hiệu là một tập... xạ, và là một toán tử đơn i u, h-liên tục xác định trên là toán tử đơn i u cực đ i Ngo i ra, nếu A X Khi đó là toán tử bức thì ta có R(A) = X Ký hiệu S0 là tập nghiệm của phương trình (1.3), giả thiết nghiệm tồn t i Ta có định lý sau (xem [4]) Định lý 1.2.5 A : X X Cho là tập tất cả các phần tử Ax = f Khi đó S0 Chứng minh Lấy x0 X là toán tử đơn i u cực đ i G i sao cho x0 là tập l i và đóng trong... (2.3) phương trình (2.2) có duy nhất {x } thoả mãn Ngo i ra, nếu , thì dãy nghiệm Bx1 , x x1 0, h i tụ đến x S0 (2.4) Chứng minh Trước hết ta chứng minh phương trình (2.2) có nghiệm Thật vậy, vì D(A) = X, 1.2.4 ta có và A A là toán tử đơn i u cực đ i tính đơn i u mạnh nên gi i n i và là toán tử đơn i u, B h-liên tục nên theo Định lý Mặt khác, do là toán tử liên tục từ D(B) B là toán tử tuyến. .. yn y Khi đó, do tính và nghiệm của phương trình A(x) = f không phụ thuộc liên tục vào dữ kiện ban đầu Tuy nhiên, cũng có một v i trường hợp đặc biệt cho phương trình toán tử v i toán tử liên tục mạnh Chẳng hạn, nếu miền xác định toán tử A D(A) của là hữu hạn chiều thì m i dãy h i tụ yếu đều h i tụ mạnh, do đó chứng minh trên không áp dụng được Và nếu ta xét một toán tử tuyến tính compact v i miền ảnh... h-liên tục và cũng đều là toán tử đơn i u cực đ i X là một không gian Banach thực phản xạ, là một toán tử đơn i u, là toán tử đơn i u cực đ i Khi đó h-liên tục và bị chặn, A : X X A+B cũng là một toán tử đơn i u cực đ i Tính bị chặn của toán tử nó là toàn bộ không gian B sẽ là không cần thiết nếu miền xác định của X Ta có kết quả sau 17 (xem [4]) Cho Định lý 1.2.4 A : X X A X là không gian... được trình bày trong mục này Mục 2.2 đề cập đến việc xây dựng xấp xỉ hữu hạn chiều cho nghiệm hiệu chỉnh của phương trình toán tử lo i I Một phương pháp lặp tìm nghiệm hiệu chỉnh của phương trình toán tử lo i I được trình bày trong mục 2.3 cùng v i một ví dụ minh họa Các kết quả của chương này được tham khảo trong hai b i báo của Nguyễn Bường và Nguyễn Thị Thu Thủy [6], [8] 2.1 Hiệu chỉnh dựa trên toán. .. và t i liệu dẫn): Định nghĩa 1.2.1 A Cho là một toán tử từ không gian X vào không gian Y B i toán (1.3) được g i là b i toán đặt chỉnh nếu 1) phương trình A(x) = f có nghiệm v i m i f Y; 2) nghiệm duy nhất; 3) nghiệm phụ thuộc liên tục vào dữ kiện ban đầu Nếu ít nhất một trong ba i u kiện trên không thoả mãn thì b i toán (1.3) được g i là b i toán đặt không chỉnh Nhận xét: 1) B i toán tìm nghiệm x... n V i m i > 0 và f X , i u kiện cần và đủ để dãy của (2.9) h i tụ đến nghiệm hiệu chỉnh hiệu chỉnh (2.2) là x của phương trình Pn x x, khi n +, v i m i x X Chứng minh i u kiện cần: Lấy bất kì một phần tử phương trình hiệu chỉnh (2.2) ta có x X Khi đó, do tính chất của x x, khi 0, ở đây x là nghiệm của phương trình A(x) + Bx = A(x) 27 (2.10) sao cho v i m i < thì x x Do v i m i ... (2.11) và tính đơn i u mạnh của B h i tụ yếu đến x Từ bất đẳng thức suy ra tính h i tụ mạnh của dãy {x } n 2 Bây giờ ta xây dựng nghiệm hiệu chỉnh hữu hạn chiều của phương trình (2.7) trên cơ sở gi i phương trình n An (x) + B n x = f h Ta có kết quả sau (xem [6]) Định lý 2.2.2 Giả sử: i) Các i u kiện i) và ii) của Định lý 2.1.3 thỏa mãn; ii) = (h, , n) 0 sao cho h/, / 0 và n (x) + L (I Pn )x .