35 bài tập trắc nghiệm về Đại cương đường thẳng và mặt phẳng trong không gian Toán 11 có đáp án chi tiết

- HOC247 NET: Website hoc miễn phí các bài học theo chƣơng trình SGK từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm [r]

Trang |

35 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM VỀ ĐẠI CƢƠNG

ĐƢỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHƠNG GIAN TỐN 11 CÓ ĐÁP ÁN CHI TIẾT

Câu 1: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD tứ giác (AB không song song CD ) Gọi M trung điểm SD N, điểm nằm cạnh SB cho SN 2NB O, giao điểm AC BD Giả sử đường thẳng d giao tuyến SAB SCD Nhận xét sau sai:

A d cắt CD B d cắt MN C d cắt AB D d cắt SO Hƣớng dẫn giải

Chọn B

Gọi I  ABCD Ta có:

   

       

, ,

I AB AB SAB I SAB

I SAB SCD

I CD CD SCD I SCD

   

   



   



Lại có SSAB  SCD Do SI SAB  SCD

d SI

 

Vậy d cắtAB CD SO, ,

Giả sử d cắt MN Khi M thuộc mpSAB Suy D thuộc SAB (vô lý) Vậyd không cắt MN Đáp án B sai

Câu 2: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành BC/ /AD.Mặt phẳng  P di động chứa đường thẳng AB cắt đoạn SC SD, E F, Mặt phẳng  Q di động chứa đường thẳng CD cắt SA SB, G H I, giao điểm AE BF J, ; giao điểm CG DH, Xét mệnh đề sau:

 1 Đường thẳng EF qua điểm cố định  2 Đường thẳng GH qua điểm cố định  3 Đường thẳng IJ ln qua điểm cố dịnh Có mệnh đề đúng?

Trang | Chọn D

Trong mpABCD, gọi M ABCD O;  ACBD Khi M O, cố định

Như vậy: E F M, , nằm hai mp  P SCD, ba điểm E F M, , thẳng hàng Vậy đường thẳng EF qua điểm cố định M

Tương tự, ta có G H M, , nằm hai mp  Q SAB,do G H M, , thẳng hàng Vậy đường thẳng GH qua điểm cố định M

Do  

     

I AE SAC

I SAC SBD

I BF SBD

 

   



 



Tương tự ta có JSAC  SBD O; SAC  SBD

Do ba điểm I J O, , thẳng hàng Vậy IJ qua điểm cố định O

Câu 3: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi M trung điểm cạnh SC Gọi I giao điểm đường thẳng AM vơí mặt phẳng SBD Khi tỉ số MA

IA bao nhiêu:

A 2 B 3 C 3

2 D

4 3 Hƣớng dẫn giải

Chọn C

Gọi O ACBD Ta có: SOmp SAC   SBD; I AMSO

Trang | Xét tam giác SAC có hai đường trung tuyến SO MA cắt điểm I Vậy I trọng tâm tam giác SAC Vậy ta có

2 MA

IA 

Câu 4: Cho hình chóp S.ABCD , đáy ABCD hình thang với AD đáy lớn AD = 2BC, G trọng tâm tam giác SCD Mặt phẳng SAC cắt cạnh BG  K Khi đó, tỷ số KB

KG bằng: A 2 B 3

2 C 1 D

1 Hƣớng dẫn giải:

Chọn B

Gọi M trung điểm BC

ABCD : BM AC = I; SBM : SI BG  K BGSAC N ABCD : BM AD = N

Ta có:

BI BC MC MC

AD // BC ; BM = BN

IN AD MN MD

     

Suy ra, I trung điểm BM

Xét BGM: KB SG IM = KB

KG SM IB KG

  

Câu 5: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' Tìm điểm I đường chéo B'D điểm J đường chéo AC cho IJ // BC' Tính tỉ số ID

IB'bằng: A 1

3 B

1

2 C 2 D 1

Hƣớng dẫn giải:

Chọn A

Đặt BAx, BCy, BB'z

Suy ra: BC' y z; B'D  x y z Giả sử B'IhB'Dh x  y z

Trang |

Suy  

     

IJ B'J B'I

1

k x k y z hx h y hz

k h x k h y h z

        

      

Ta có:

1

1 3

IJ // BC'

1 2

3 k

k h k h

k h h k h

h                         

Suy B'I 2B'D ID

3 IB'

  

Câu 6: Cho tứ diện ABCD có P, Q trung điểm AB CD M điểm thuộc cạnh AD cho MA = 2MD Gọi N giao điểm BC với MPQ Tỉ số  NB

NC bằng: A 1

2 B

2

3 C 2 D 1

Hƣớng dẫn giải:

Chọn C

ACD : MG AC = I; ABC : PI  BC = N Suy ra: BCMNPN

Xét ACD: IC MG QD = IC

IA MD QC IA

  

Xét ABC: NB IC PA = NB

NC IA PB NC

  

Câu 7: Cho hình chóp S.ABCD , đáy ABCD hình thang AD // BC, AD > BC ,  E điểm thuộc cạnh SA cho SE = 2EA Mặt phẳng EBC cắt cạnh SD  F Khi đó, tỷ số SF

SD bằng: A 2

3 B C D Hƣớng dẫn giải:

Chọn A

Ta có:

   

   

EBC SAD , E d

BC EBD , AD SAD // BC // AD BC//AD d d           

Trang | Suy ra: SF SE

SDSA 3

Câu 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành, gọi M, Nlần lượt điểm thuộc cạnh SB,SD cho SM = MB,SN = 2ND Mặt phẳng AMN cắt SC  P thỏa mãn

SP = kSC Số k bằng? A 2

5 B

3

5 C

3

2 D

2 Hƣớng dẫn giải

Chọn A

ABCD : AC BD = ;O SBD : MN BD = T

ABCD : AT CD = K, SCD : KN  SC = P Xét ABD: TD NS MB = TD

TB ND MS TB

  

Ta có: TD KD KD KC TB AB  DC  2 KD 

Xét SCD: PS ND KC = PS SP= SC2

PC NS KD PD

   

Câu 9: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành tâm O Gọi M N P, , trung điểm AB AD, SO Gọi H giao điểm SC với MNP Tính SH?

SC A 1

3 B

1

4 C

3

4 D

2 Hƣớng dẫn giải

Chọn B

Trang | Do MN đường trung bình tam giác ABD nên I trung điểm AO Suy

4 AI

AC  PI đường trung bình tam giác OSA Do IH/ /SA

Áp dụng định lý Thales ta có: SH AI SD  AC 

Câu 10: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi M N, trung điểm AD CD Trên đường thẳng DS lấy điểm P cho D trung điểm SP Gọi R giao điểm SB với mặt phẳng (MNP) Tính SR?

SB A 1

3 B

1

4 C

3

4 D

2 Hƣớng dẫn giải

Chọn D

Trong mp(ABCD), gọi I BDMN O, ACBD Dễ thấy RIPSB

Do MN đường trung bình tam giác ABD nên I trung điểm DO Suy DI

IB  Áp dụng định lý Menelaus vào taam giác SBD ta có:

1

3

BR PS BI BR SR

RS PD ID  RS   SB 

Câu 11: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành tâm O Gọi M N, điểm nằm cạnh AB AD, cho 2,

3

BM NC

MA  BN  Gọi P điểm cạnh SD cho

5 PD

PS  J giao điểm SO với MNP Tính ? SJ SO A 10

11 B

1

11 C

3

4 D

5 Hƣớng dẫn giải

Trang |

Theo ý câu 30 ta có: 4 1

2 2

BA BC BO BO OI OI

BM BN     BI   BI  BO  OD

Áp dụng định lý Menelaus tam giác SOD ta có: 10 10 11 IO PD JS JS SJ ID PS JO   JO  SO  Câu 12: Cho hình chóp S ABC Gọi M, N trung điểm SA BC P điểm nằm

cạnh AB cho AP

AB  Gọi Q giao điểm SC với mặt phẳng MNP Tính SQ SC A 1

3 B

1

6 C

1

2 D

2 Hƣớng dẫn giải

Chọn A

Trong mặt phẳng ABC, gọi ENPAC Khi Q giao điểm SC với EM

Trang | Áp dụng địnhlý Menelaus vào tam giác SAC ta có: 1

2

AM SQ CE SQ SQ

MS QC EA QC   SC  Câu 13: Cho tứ diện ABCD có cạnh a Gọi E trung điểm AB, F điểm thuộc cạnh

BC cho BF 2FC G, điểm thuộc cạnh CD cho CG2GD Tính độ dài đoạn giao tuyến mặt phẳng EFG với mặt phẳng ACD hình chóp ABCD theo a

A 19

15 a B

141 30 a

C 34 15

15

a 

D 34 15 15

a 

Hƣớng dẫn giải

Chọn A

Trong mp BCD, gọi I FGBD Trong mpADB, gọi HIEAD Khi HGEFG  ACD

Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác BCD với ba điểm I G F, , thẳng hàng ta có:

4 ID FB GC ID IB FC GD   IB 

Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác ABD với ba điểm I, H, E thẳng hàng ta có:

4

HD EA IB HD a

HD HA EB ID  HA   

Áp dụng định lý cosin vào tam giác HDG ta có:

2 2

2 2

2 cos 60

19 19

25 15 225 15

HG HD DG DH DG

a a a a

HG a

  

     

Trang | A SI I thuộc AD cho AI b cID

a  

B SI I thuộc AD cho AI b cID a    C SI I thuộc AD cho AI a ID

b c 

 D SI I thuộc AD cho AI a ID

b c  



Hƣớng dẫn giải Chọn A

Do I thuộc đoạn AD nên AI ID, hướng Do B, D bị loại

AD phân giác tam giác ABC nên theo tính chất đường phân giác ta có:

BD AB c ac

BD

DC  AC  b b c

Ta có: BI phân giác tam giác ABD nên theo tính chất đường phân giác ta có:

IA BA b c b c

IA ID

ID BD a a

 

   

Do đó: AI b cID a  

Câu 15: Cho tứ diện SABC E F, , thuộc đoạn AC AB, Gọi K giao điểm BE CF Gọi D giao điểm SAK với BC Mệnh đề sau đúng?

A AK BK CK

KDKE KF  B AK BK CK KDKE KF  C AK BK CK

KDKE KF  D AK BK CK KDKE KF 

Trang | 10 Nếu K trùng với trọng tâm G AK BK CK

KDKE KF  Do C, D bị loại

Ta có KBC KAC KAB

ABC ABC ABC

S S S

DK EK FK

DA EB FC  S S S  Áp dụng định lý bất đẳng thức Cauchy ta có:

9

9

DK EK FK DA EB FC

DA EB FC DK EK FK

DA EB FC AK BK CK

DK EK FK KD KE KF

      

  

  

       

Câu 16: Cho hình chóp S ABCD D M , , trung điểm BC AD, Gọi E giao điểm SBM với AC F, giao điểm SCM với AB Tính MF ME

CM MEBM ME ?

A 1 B 2 C 1

2 D

1 Hƣớng dẫn giải

Trang | 11 Ta có:

CBM ABM CBM ABM

AME CME AME CME ABM CBM

AME

S S S

S BM

ME S S S S

S S BD BF

S CD FA



  

 

    

1

BF BM BM ME

AF ME ME



   

Tương tự ta chứng minh được: CM CE CD CE CM CM MF 2

MF AE BD AE MF MF



     

Và AM AE AF 3 MD CE BF

  

Từ (1,2,3) suy MF ME CM MF BM ME 

Câu 17: Cho hình bình hành ABCD, S điểm khơng thuộc ABCD,M N trung điểm đoạn AB SC Xác định giao điểm I, J AN MN với SBD,từ tìm khẳng định khẳng định sau:

A Ba điểmJ, I, M thẳng hàng. B Ba điểmJ, I, N thẳng hàng. C Ba điểmJ, I, D thẳng hàng. D Ba điểmJ, I, B thẳng hàng

Hƣớng dẫn giải Chọn D

*Xác định giao điểm I ANSBD Chọn mặt phẳng phụ SACAN

Tìm giao tuyến SACvà SBD: SAC  SBDSO

Trong (SAC), gọi I ANSO, IAN,ISO mà SOSBD I SBD

Vậy: I  ANSBD

* Xác định giao điểm J MNSBD Chọn mp phụ SMCMN

Tìm giao tuyến SMC SBD, S điểm chung SMCvà SBD Trong ABCD, gọi EMCBD SAC  SBDSE

Trang | 12 * Chứng minh I, J, B thẳng hàng

Ta có: B điểm chung ANB SBD • ISO mà SOSBD I SBD • IAN mà ANANB I ANB

I điểm chung ANB SBD • JSEmà SESBD J SBD • JMNmà NM ANB J ANB

 J điểm chung ANBvà SBD Vậy: B, I, J thẳng hàng

Câu 18: Cho tứ giác ABCD SABCD Gọi I, J hai điểm AD SB, AD cắt BC O OJ cắt SC M Xác định giao điểm K, L IJ DJ với SAC, từ tìm khẳng định khẳng định sau:

A Ba điểm A K L, , thẳng hàng B Ba điểm A L M, , thẳng hàng C Bốn điểm A K L M, , , thẳng hàng D Bốn điểm A K L J, , , thẳng hàng.

Hƣớng dẫn giải Chọn C

* Tìm giao điểm K IJSAC

 Chọn mp phụ  SIB IJ

 Tìm giao tuyến  SIB SAC, S điểm chung  SIB SAC Trong ABCD, gọi EACBI   SIB  SACSE

Trong  SIB , gọi K IJSE K IJ K, SE mà SESAC K SAC

Vậy: K IJSAC

* Xác định giao điểm LDJSAC

 Chọn mp phụ SBDDJ

Trang | 13 Trong SBD, gọi LDJSE L, DJ L, SF mà SF SAC L SAC

Vậy: LDJSAC

* Chứng minh A,K,L,M thẳng hàng

Ta có:A điểm chung SACvà AJO

 KIJmà IJ AJO K AJO

 KSE mà SESAC K SAC

 K điểm chung SACvà AJO LDJ mà DJ AJO L AJO LSFmà SF SAC L SAC

 L điểm chung SACvà AJO MJOmà JOAJOMAJO MSCmà SCSACMSAC

 M điểm chung SACvà AJO Vậy: Bốn điểm A,K,L,M thẳng hàng

Câu 19: Cho tứ diện SABC.Gọi L, M, N điểm cạnh SA, SB AC cho LM không song song với AB, LN không song song với SC Gọi LK giao tuyến mp LMNvà ABC Xác định I, J giao điểm BC SC với LMN Khẳng định sau đúng:

A Ba điểm L, I, J thẳng hàng B Ba điểm L, I, K thẳng hàng C Ba điểm M, I, J thẳng hàng. D Ba điểm M, I, K thẳng hàng

Hƣớng dẫn giải Chọn C

* Tìm giao tuyến mp LMN  ABC

Ta có: N điểm chung LMNvà ABC

Trang | 14 Gọi KABLM

KLM mà LM LMN K LMN KAB mà ABABC K ABC * Tìm giao điểm I BCLMN

 Chọn mp phụ ABCBC

 Tìm giao tuyến ABCvà LMN  ABC  LMNNK Trong ABC, gọi I NKBC, IBC I, NK mà NKLMN I LMN

Vậy: I BCLMN

*Tìm giao điểm J SCLMN

Trong SAC, LN khơng song song với SC Gọi J LNSC J, SC J, LN mà

   

LN LMN  J LMN Vậy: J SCLMN

* Chứng minh M, I, J thẳng hàng

Ta có: M, I, Jlà điểm chung LMNvà SBC Vậy: M, I, Jthẳng hàng

Câu 20: Cho tứ giác ABCD S không thuộc mặt phẳng ABCD Gọi M, N hai điểm BC

SD Xác định I, J giao điểm BN MN với SAC Từ tìm điểm thẳng hàng điểm sau:

A Ba điểm A, I, J thẳng hàng B Ba điểm K, I, K thẳng hàng C Ba điểm M, I, J thẳng hàng D Ba điểm C, I, J thẳng hàng

Hƣớng dẫn giải Chọn D

* Tìm giao điểm I BNSAC Chọn mp phụ SBDBN

 Tìm giao tuyến SBDvà SAC Trong ABCD,

   

OACBD SBD  SAC SO O

J

K I

M N

A

D

C B

Trang | 15

Trong SBD, gọi I BNSO I, BN I, SO mà SOSAC I SAC Vậy: I BNSAC

* Tìm giao điểm J MNSAC:

 Chọn mp phụ SMDMN

 Tìm giao tuyến SMDvà SAC

Trong ABCD, gọi K ACDMSMD  SACSK

Trong SMD, gọi J MNSK J, MN J, SK mà SK SAC J SAC Vậy: J MNSAC

* Chứng minh C, I, J thẳng hàng:

Ta có: C, I, Jlà điểm chung BCNvà SAC Vậy: C, I, J thẳng hàng

Câu 21: Cho tứ diện ABCD E điểm thuộc đoạn AB cho EA2EB F G , điểm thuộc đường thẳng BC cho FC5FB GC,  5GB H I , điểm thuộc đường thẳng CD cho HC  5HD ID,  5IC J, thuộc tia đối tia DA cho D trung điểm AJ Trong mệnh đề sau, mệnh đề đúng?

A Bốn điểm E F H J, , , đồng phẳng B Bốn điểm E F I J, , , đồng phẳng C Bốn điểm E G H I, , , đồng phẳng D Bốn điểm E G I J, , , đồng phẳng

Hƣớng dẫn giải Chọn A

Dựa vào nhận xét ví dụ 2, ta có:  

1

5

AE BF CH DJ

BE CF DH AJ     nên

, , ,

E F H J đồng phẳng

1 1

5 25 AE BF CI DJ

BE CF DI AJ

 

    

  nên

, , ,

E F I J không đồng phẳng  

1

5

AE BG CH DJ BE CG DH AJ

 

      

  nên E G H J, , , không đồng phẳng

1 1

5 25

AE BG CI DJ BE CG DI AJ

   

      

Trang | 16 Câu 22: Cho tứ diện ABCD E điểm thuộc đoạn AB cho EA2EB F G , điểm thuộc

đường thẳng BC cho FC5FB GC,  5GB H I , điểm thuộc đường thẳng CD cho HC  5HD ID,  5IC J, thuộc tia đối tia DA cho D trung điểm AJ Trong mệnh đề sau, mệnh đề đúng?

A Bốn điểm E F H J, , , đồng phẳng B Bốn điểm E F I J, , , đồng phẳng C Bốn điểm E G H I, , , đồng phẳng D Bốn điểm E G I J, , , đồng phẳng

Hƣớng dẫn giải Chọn A

Dựa vào nhận xét ví dụ 2, ta có:  

1

5

AE BF CH DJ

BE CF DH AJ     nên E F H J, , , đồng phẳng

1 1

5 25 AE BF CI DJ

BE CF DI AJ

 

    

  nên

, , ,

E F I J không đồng phẳng  

1

5

AE BG CH DJ BE CG DH AJ

 

      

  nên

, , ,

E G H J không đồng phẳng

1 1

5 25

AE BG CI DJ BE CG DI AJ

   

      

    nên

, , ,

E G I J không đồng phẳng

Câu 23: Cho tứ diện ABCD E U, , điểm thuộc đường thẳng AB cho

2 , ,

EA  EB UA UB F G điểm thuộc đường thẳng BC cho

5 , ,

FC  FB GC  GB H I điểm thuộc đường thẳng CD cho

5 , ,

HC  HD ID IC J K điểm nằm đường thẳng DA cho

2 ,

JA JD KD KA Bốn điểm lập nên tứ diện?

A E F H J, , , B E G I K, , , C U G H J, , , D U F I K, , , Hƣớng dẫn giải

Chọn D

Dựa vào nhận xét ví dụ 2, ta có:  

1

5

AE BF CH DJ

BE CF DH AJ     nên E F H J, , , đồng phẳng  

1

2

AE BG CI DK CG

BE DI AK

 

    

Trang | 17  

4 1

5 2

AU BG CH DJ BU CG DH AJ

 

    

  nên U, G,H J, đồng phẳng

 

4 1

5 5 25

AU BF CI DK BU CF DI AK

 

   

  nên U, F, I, K không đồng phẳng Do điểm

lập nên tứ diện

Câu 24: Cho tứ diện ABCDvà điểm M N P Q thuộc cạnh , , , AB BC CD DA, , , cho MN không song song với AC M N P Q, , , đồng phẳng :

A AM BN CP DQ

BM CN DP AQ  B

BM CN CP DQ AM BN DP AQ  C BM CN DP DQ

AM BN CP AQ  D

AM BN DP AQ BM CN CP DQ Hƣớng dẫn giải

Chọn A

+ Giả sử M N P Q, , , thuộc mặt phẳng  

Nếu MN cắt AC K K điểm chung mặt phẳng    , ABC,ADC nên PQ qua K

Áp dụng định lí Menelaus cho tam giác ABC ADC, ta :

AM BN CK

BM CN AK  ; AK CP DQ

CK DP AQ 

AM BN CP DQ BM CN DP AQ

 

Nhận xét :

Trường hợp MN song song với AC ví dụ + Liệu trường hợp ngược lại, có AM BN CP DQ

BM CN DP AQ  M N P Q, , , có đồng phẳng hay không ?

Câu trả lời trường hợp ngược ví dụ Ta chứng minh : Trong mặt phẳng ACD, KO cắt AD Q điểm M N P Q, , ,  đồng phẳng Theo ví dụ ta có: AM BN CP AQ

BM CN DP DQ

   DQ DQ Q Q AQ AQ      

 Ví dụ chứng minh

+ Ví dụ mở rộng điểm M N P Q, , , đường thẳng

, , ,

AB BC CD DA sau : , , ,

M N P Q đồng phẳng AM BN CP DQ

Trang | 18 Câu 25: Cho tứ diện ABCD có M N, trung điểm AB CD, P điểm thuộc cạnh

BC (P không trung điểm BC ) Gọi Q giao điểm MNP với AD I, giao điểm MN với PQ Mệnh đề sau đúng?

A SMNPQ 2SMPN B SMNPQ 2SMPQ C SMNPQ 4SMPI D SMNPQ 4SPIN Hƣớng dẫn giải

Chọn A

Do tứ diện ABCD có mặt nên thiết diện khơng thể ngũ giác hay lục giác Nó tam giác tứ giác

Trong mp ABC, gọi KMPAC (P trung điểm đoạn BC nên MP cắt AC)

Trong mpACD, gọi QKNAD

Do QKNMNP nên QMNPAD

Ta có:

   

   

   

   

MNP ABD MQ MNP ABC MP MNP BCD PN MNP ACD NQ

 

 

 

 

 



  



Suy thiết diện cần tìm tứ giác MPNQ Ta chọn đáp án B

Áp dụng ví dụ 11, M N P Q, , , đồng phẳng nên AM BP CN DQ BP DQ BM CP DN AQ  CP AQ  (Do M, N trung điểm AB, CD) Từ suy BP AQ

CP  DQ Giả sử BP k

PC  Khi ta suy BPk PC AQ, kQD Suy BPAQ k CP QD   1

Do J trung điểm PQ

Ta có: MJ MB BP PJ 2MJ AQ BP 2

MJ MA AQ QJ

   

   



  



Chứng minh tương tự ta có: 2NJCPDQ 3

Trang | 19 Điều suy SMNPQ 2SMPN

Chọn đáp án A

Câu 26: Cho hình chóp SA A1 2 An với đáy đa giác lồi A A1 An n3,n  Trên tia đối tia

1

A S lấy điểm B B1, 2, Bn điểm nằm cạnh SA SA2, n Thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng B B B1 n là:

A Đa giác n2 cạnh B Đa giác n1 cạnh C Đa giác n cạnh D Đa giác n1 cạnh Hƣớng dẫn giải

Chọn D

Trong mặt phẳng SA A1 2 gọi C2 giao điểm B B1 2 với A A1 2

Trong mặt phẳng SA A1 n gọi Cn giao điểm B B1 n với A A1 n

Trong mặt phẳng A A1 2 An gọi Ok k3, 4, ,n1 giao điểm A A1 k với

2 n

A A

Trong mặt phẳng SA A2 n, gọi Ik k3, 4, ,n1 giao điểm SOk với B B2 n Trong mặt phẳng SA A1 k, gọi Bk k 3, 4, ,n1 giao điểm SAk với B I1 k

Do BkB I1 k B B B1 n nên Bk giao điểm SAk k3, 4, ,n1 với mặt phẳng

B B B1 n

Vậy thiết diện hình chóp cắt B B B1 n đa giác C B2 B Cn n

Câu 27: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành, E điểm thuộc cạnh bên SD cho SD3SE F trọng tâm tam giác SAB G, điểm thay đổi cạnh BC Thiết diện cắt mặt phẳng EFG là:

A Tam giác B Tứ giác C Ngũ giác D Lục giác Hƣớng dẫn giải

Trang | 20 Gọi M trung điểm AB, S, F , M thẳng hàng

Trong mặt phẳng ABCD, gọi I giao điểm MG với AD Khi

   

SI  SMG  SAD

Trong mặt phẳng SMG, gọi J giao điểm FG với SI Ta thấy J thuộc FG nên J thuộc EFG Trong SAD, gọi K giao điểm JE với SA Trong mặt phẳng SAB, gọi L giao điểm KF với AB

Trong mặt phẳng ABCD, gọi H giao điểm LG với CD Trong mặt phẳng SCD, gọi N giao điểm EH với SC

Ta có:

       

       

   

; ;

EFG ABCD LG EFG SBC GN

EFG SCD NE EFG SAD EK

EFG SAB KL

   

 

   



  



Vậy ngũ giác LGNEK thiết diện hình chóp cắt EFG

Chú ý: Mấu chốt ví dụ việc dựng điểm J giao điểm FG với SAD (thông qua việc dựng giao tuyến SI mặt phẳng SFG với mặt phẳng SAD) Có thể dựng thiết diện nhiều cách với việc dựng giao điểm (khác E F G, , ) đường thẳng EF FG, ; GE với mặt hình chóp Sau đây, tơi xin trình bày cách hai, điểm mấu chốt xác định giao điểm EF với mặt phẳng ABCD

Trang | 21 Trong mặt phẳng SM D, gọi P giao điểm EF với M D

Trong mặt phẳng ABCD, gọi H L, giao điểm P G, với CD, AB Trong mặt phẳng SAB, gọi K giao điểm LF với SA

Trong mặt phẳng SCD, gọi N giao điểm EH với SC

Ta có:

       

       

   

; ;

EFG ABCD LG EFG SBC GN

EFG SCD NE EFG SAD EK

EFG SAB KL

   

 

   



  



Vậy ngũ giác LGNEK thiết diện hình chóp cắt EFG

Câu 28: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thang với đáy lớn AD, E điểm thuộc mặt bên SCD F, G điểm thuộc cạnh AB SB Thiết diện hình chóp

S ABCD cắt mặt phẳng EFG là:

A Tam giác, tứ giác B Tứ giác, ngũ giác C Tam giác, ngũ giác D Ngũ giác Hƣớng dẫn giải

Chọn B

Trong mặt phẳng ABCD, gọi H giao điểm AB CD Trong mặt phẳng SAB, gọi I giao điểm FG SH

Trang | 22 Trƣờng hợp 1:

Trong mặt phẳng SCD, IE cắt SC J cắt đoạn CD K Ta có JIEEFG nên J giao điểm EFG với SC,

 

KIE EFG nên K giao điểm EFG với CD

Ta có        

       

; ;

EFG ABCD FK EFG SAB FG

EFG SBC GJ EFG SCD JK

   

 

   



Trang | 23 Trong mặt phẳng SCD, IE cắt SC J cắt đoạn SD K(cắt CD điểm nằm đoạn CD)

Trong mặt phẳng SBC:

Nếu GJ song song với BC ta có:

S S

BG CJ

G  J Gọi T giao điểm IE với CD Áp dụng định lí Menelaus vào tam giác SBH SCH ta có

S S

FB IH G TC IH J FB TC

FH IS GB TH IS JC  FH TH Điều xảy T thuộc đoạn CD (vơ lí)

Do vây GJ cắt BC, giả sử L

Trong mặt phẳng ABCD, gọi M giao điểm LF với AD

Ta có

       

       

   

; ;

EFG ABCD FM EFG SAB FG

EFG SBC GJ EFG SCD JK

EFG SAD KM

   

 

   



  



Suy ngũ giác KJGFM thiết diện hình chóp cắt EFG

Vậy thiết diện hình chóp S ABCD cắt mặt phẳng EFG tứ giác ngũ giác

Trang | 24 Hƣớng dẫn giải

Chọn B

Trong mặt phẳng SBC, gọi J giao điểm EF với BC Trong mặt phẳng SAD, gọi I giao điểm SG với AD Trong mặt phẳng ABCD, gọi N giao điểm IJ với CD Trong mặt phẳng  SIJ , gọi K giáo điểm JG với SN

Trong mặt phẳng SCD, có hai khả xảy sau: Trường hợp 1: FK cắt đoạn CD P

Trong mặt phẳng ABCD, gọi Q giao điểm JP với AD Trong mặt phẳng SAD, gọi

R giao điểm QG với SA Ta có

       

       

   

; ;

EFG ABCD PQ EFG SAD QR

EFG SAB RE EFG SBC EF

EFG SCD FP

   

 

   



  



Trường hợp này, ngũ giác REFPQ thiết diện hình chóp S ABCD cắt EFG

Trường hợp 2: FK cắt SD H (FK không cắt đoạn CD )

Trong mặt phẳng SAD, gọi M giao điểm HG với SA (HG khơng thể cắt đoạn AD giả sử ngược lại HG cắt cạnh AD O, JO cắt cạnh CD (vơ lí EFG cắt cạnh SC SD, ))

Khi

       

       

; ;

EFG SCD FH EFG SAD MH

EFG SAB ME EFG SBC EF

   

 

   



Trường hợp này, tứ giác MEFH thiết diện hình chóp cắt EFG

Câu 30: Cho tứ diện ABCD có cạnh a Trên tia đối tia CB, DA lấy điểm E, F cho CEa DF, a Gọi M trung điểm đoạn AB Diện tích S thiết diện tứ diện

Trang | 25 A 33 18 a

S  B

2

3 a

S  C

2

6 a

S  D

2 33 a

S 

Hƣớng dẫn giải Chọn C

Trong mặt phẳng ABC, gọi H giao điểm ME với AC Trong mặt phẳng ABD, gọi K giao điểm MF AD

Ta có:

   

   

   

MEF ABC MH

MEF ABD MK

MEF ACD HK

          

Do tam giác MHK thiết diện tứ diện cắt MEF

Dễ thấy H K, trọng tâm tam giác ABE ABF

Ta có:

3 a AH AK HK 

Xét hai tam giác AMH AMK có AM

chung, 60 ,0

3 a MAH MAK  AH  AK  nên

hai tam giác Suy MHMK Vậy tam giác MHK cân M Áp dụng định lí cosin tam giác AMH:

2 2 2

2 2 13 13

2 cos 60

2 3 36

a a a a a

MH  AM AH  AMAH        MH 

   

Gọi I trung điểm đoạn HK Ta có MI HK Suy ra:

2 2

2 2 13

36

a a a a

MI MH HI    MI 

Diện tích thiết diện MHK là:

2

1

2

a a a

S MI HK 

Câu 31: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình bình hành Một mặt phẳng   cắt cạnh bên SA SB SC SD, , , tương ứng điểm E F G H, , , Gọi I  ACBD J, EGSI Mệnh đề sau đúng?

A SA SC SB SD

SESG  SF SH B SA SC SI SESG SJ C SA SC SB SD

SESG  SF SH D SB SD SI SF SH  SJ Hƣớng dẫn giải

Trang | 26 Xét trường hợp đặc biệt E F G H, , , trung điểm SA SB SC SD, , , Khi ta dễ dàng loại đáp án D

Dựng AT/ /EG T SI,CK/ /EG KESI  Theo định lý Thales, ta có:

, ;

SA ST SC SK IT IA SE  SJ SG  SJ IK  IC 

Suy ra: SA SC ST SK SI IT SI IK 2SI

SE SG SJ SJ SJ

   

   

Như vậy, ý B bị loại

Tương tự, ta chứng minh SB SD 2SI SF SH  SJ

Từ ta thấy ý C bị loại A đáp án A đáp án lựa chọn

Chú ý: Cho tam giác ABC Gọi O trung điểm AC, M, N hai điểm nằm cạnh AB AC,

MN cắt BO I Khi đó: BA BC 2BO BM BN  BI

Câu 32: Cho hai hình vng ABCD ABEF chung cạnhAB thuộc hai mặt phẳng vng góc Lấy hai điểm M N, hai đường chéo AC BF cho AM BN Tìm quĩ tích trung điểm MN, biết O trung điểm AB

A Quỹ tích I đoạn OI với I trung điểm CF

B Quỹ tích I tia phân giác góc xOy với Ox/ /BF Oy/ /AC

C Quỹ tích I đường phân phân giác góc xOy với Ox/ /BF Oy/ /AC D Quỹ tích I đường đoạnOI với I trung điểm CE

Trang | 27 Do điểm I trung điểm MN, theo định lý Thales đảo I nằm mặt phẳng qua O

và song song với AC BN Mặt phẳng dựng sau: Từ O kẻ Ox// AC, Oy //BF

Ox, Oy tạo mặt phẳng (P) chứa I Quỹ tích I (P)

Xác định điểm I: ( phương pháp dựng giao điểm đường thẳng mặt phẳng )

+ Chọn mặt phẳng chứa I: Từ M N kẻ đường thẳng song song với AB Chúng cắt Ox, Oy M’ N’ Mặt phẳng (NN’MM’) mặt phẳng

+ Giao tuyến (NN’MM’) với P M’N’ Nó cắt MN I I trung điểm MN trung điểm M’N’

Trên (P) di chuyển I phụ thuộc vào M’ N’ Tính chất M’ N’ OM’= ON’

Vì OM’ = ON’ nên trung điểm I chạy đường phân giác góc xOy Giới hạn: Khi M chạy đến C N chạy đến F I chạy đến trung điểm I’ CF Kết luận: Quỹ tích I đoạn thẳng OI’ mặt phẳng (Ox;Oy)

Các hình vẽ minh họa:

Câu 33: Cho tứ diện ABCD Gọi E, F điểm cố định cạnh AB AC cho EF không song song với BC Điểm M di động cạnh CD Gọi N giao điểm mp (MEF) BD Tìm tập giao điểm I EM FN

A Tập hợp I đoạn thẳng DG với GECBF B Tập hợp I đường thẳng DG với GECBF C Tập hợp I tia DG với GECBF

D Tập hợp I là đường thẳng DK với K giao điểm EF BC Hƣớng dẫn giải:

Trang | 28 Do IEM EM (ECD) cố định nên I thuộc mặt phẳng (ECD) Tương tự IFN FN thuộc mặt phẳng (FBD) cố định Nên I thuộc giao tuyến mp(FBD) (ECD) Gọi

GECBF I thuộc đường thẳng DG giao tuyến mặt phẳng (ECD) (FBD) Khi M

di động CD I di động đoạn DG Vậy tập hợp I đoạn thẳng DG

Câu 34: Cho hình chóp S ABCD Giả sử AD BC cắt H Gọi O giao điểm AC BD, E F trung điểm SA SB Điểm M di động cạnh SC Gọi N giao điểm SD mp(EFM) Tìm tập hợp giao điểm J EN FM

A Tập hợp J đoạn thẳng SJ1 với J1 = CF  SH

B Tập hợp J đoạn thẳng SJ1 với J1 = DE  SH

C Tập hợp J đoạn thẳng SH D Tập hợp J đường thẳng SH

Hƣớng dẫn giải:

Gọi O giao điểm AC BD Suy (SAC) cắt (SBD) theo giao tuyến SO Gọi I giao EM SO Khi FI cắt SD N Do FM thuộc mp (SBC) cố định EN thuộc mp (SAD) cố định nên giao điểm J FM EN thuộc giao tuyến mp (SBC) mp (SAD) Gọi H =AD  BC, suy (SBC) (SAD) =SH Do I thuộc đường thẳng SH

Trang | 29 Câu 35: Cho hình chóp S.ABCD, AD khơng song song với BC Gọi O giao điểm AC

BD, E giao điểm AD BC Điểm M di động cạnh SB, EM cắt SC N Tập hợp giao điển I AN DM

A Tập hợp giao điển I đoạn thẳng SO B Tập hợp giao điển I đường thẳng SO

C Tập hợp giao điển I đoạn thẳng SO trừ điểm S O D Tập hợp giao điển I đoạn thẳng SE

Hƣớng dẫn giải:

Trang | 30 Website HOC247 cung cấp môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thơng minh, nội dung giảng biên soạn công phu giảng dạy giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, giỏi kiến thức chuyên môn lẫn kỹ sƣ phạm đến từ trường Đại học trường chuyên danh tiếng

I. Luyện Thi Online

- Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ Trường ĐH THPT danh tiếng xây dựng khóa luyện thi THPTQG các mơn: Tốn, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học Sinh Học

- Luyện thi vào lớp 10 chun Tốn: Ơn thi HSG lớp 9 luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An trường Chuyên khác TS.Trần Nam Dũng, TS Phạm Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo Thầy Nguyễn Đức Tấn.

II. Khoá Học Nâng Cao HSG

- Tốn Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Tốn Nâng Cao, Toán Chuyên dành cho em HS THCS lớp 6, 7, 8, u thích mơn Tốn phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập trường đạt điểm tốt kỳ thi HSG

- Bồi dƣỡng HSG Toán: Bồi dưỡng phân mơn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học và Tổ Hợp dành cho học sinh khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Phạm Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn đôi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia

III. Kênh học tập miễn phí

- HOC247 NET: Website hoc miễn phí học theo chƣơng trình SGK từ lớp đến lớp 12 tất môn học với nội dung giảng chi tiết, sửa tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham khảo phong phú cộng đồng hỏi đáp sôi động

- HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp Video giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa tập, sửa đề thi miễn phí từ lớp đến lớp 12 tất mơn Tốn- Lý - Hoá, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học Tiếng Anh

Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai

Học lúc, nơi, thiết bi – Tiết kiệm 90%

Học Toán Online Chuyên Gia