Câu 1: Cho 2 đường thẳng cắt nhau và không đi qua điểm . Xác định được nhiều nhất bao nhiêu mặt phẳng bởi a, b và A ? A. 1 B. 2 C. 3 D. 4. Hướng dẫn giải: Chọn B. Có 3 mặt phẳng gồm . Câu 2: Cho tứ giác lồi và điểm S không thuộc mp (ABCD). Có nhiều nhất bao nhiêu mặt phẳng xác định bởi các điểm A, B, C, D, S ? A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 Hướng dẫn giải: Chọn A. Có mặt phẳng. Câu 3: Cho bốn điểm không đồng phẳng, ta có thể xác định được nhiều nhất bao nhiêu mặt phẳng phân biệt từ bốn điểm đã cho ? A. B. C. D. Hướng dẫn giải: Chọn C. Do bốn điểm không đồng phẳng nên không tồn tại bộ ba điểm thẳng hàng trong số bốn điểm đó. Cứ ba điểm không thẳng hàng xác định một mặt phẳng nên số mặt phẳng phân biệt có thể lập được từ bốn điểm đã cho là Câu 4: Trong mp , cho bốn điểm , , , trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Điểm . Có mấy mặt phẳng tạo bởi và hai trong số bốn điểm nói trên? A. . B. . C. . D. . Hướng dẫn giải: Chọn C. Điểm cùng với hai trong số bốn điểm , , , tạo thành một mặt phẳng, từ bốn điểm ta có cách chọn ra hai điểm, nên có tất cả mặt phẳng tạo bởi và hai trong số bốn điểm nói trên. Câu 5: Trong mặt phẳng cho tứ giác , điểm . Hỏi có bao nhiêu mặt phẳng tạo bởi ba trong năm điểm ? A. . B. . C. . D. . Hướng dẫn giải: Chọn B. Điểm và 2 điểm bất kì trong 4 điểm tạo thành 6 mặt phẳng, bốn điểm tạo thành 1 mặt phẳng. Vậy có tất cả 7 mặt phẳng. Câu 6: Cho năm điểm , , , , trong đó không có bốn điểm nào ở trên cùng một mặt phẳng. Hỏi có bao nhiêu mặt phẳng tạo bởi ba trong số năm điểm đã cho? A. . B. . C. . D. . Hướng dẫn giải: Chọn A. Cứ chọn ra ba điểm trong số năm điểm , , , , ta sẽ có một mặt phẳng. Từ năm điểm ta có cách chọn ra ba điểm bất kỳ trong số năm điểm đã cho, nên có phẳng tạo bởi ba trong số năm điểm đã cho. Câu 7: Trong các hình sau : (I) (II) (III) (IV) Hình nào có thể là hình biểu diễn của một hình tứ diện ? (Chọn Câu đúng nhất) A. (I). B. (I), (II). C. (I), (II), (III). D. (I), (II), (III), (IV). Hướng dẫn giải: Chọn B. Hình (III) sai vì đó là hình phẳng. Câu 8: Một hình chóp có đáy là ngũ giác có số mặt và số cạnh là : A. 5 mặt, 5 cạnh. B. 6 mặt, 5 cạnh. C. 6 mặt, 10 cạnh. D. 5 mặt, 10 cạnh. Hướng dẫn giải: Chọn C. Hình chóp ngũ giác có 5 mặt bên + 1 mặt đáy. 5 cạnh bên và 5 cạnh đáy. Câu 9: Một hình chóp cụt có đáy là một n giác, có số mặt và số cạnh là : A. mặt, cạnh. B. mặt, cạnh. C. mặt, cạnh. D. mặt, cạnh. Hướng dẫn giải: Chọn A. Lấy ví dụ hình chóp cụt tam giác ( ) có 5 mặt và 9 cạnh đáp án B. Câu 10: Trong các hình chóp, hình chóp có ít cạnh nhất có số cạnh là bao nhiêu? A. . B. . C. . D. . Hướng dẫn giải: Chọn D. Hình tứ diện là hình chóp có số cạnh ít nhất. Câu 11: Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau? A. Hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng còn có vô số điểm chung khác nữa. B. Hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất. C. Hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất. D. Nếu ba điểm phân biệt cùng thuộc hai mặt phẳng phân biệt thì chúng thẳng hàng. Hướng dẫn giải: Chọn B. Hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng có thể trùng nhau. Khi đó, chúng có vô số đường thẳng chung B sai. DẠNG 1: XÁC ĐỊNH GIAO TUYẾN CỦA HAI MẶT PHẲNG Phương pháp 1 Cơ sở của phương pháp tìm giao tuyến của hai mặt phẳng và cần thực hiện: Bước 1: Tìm hai điểm chung và của và . Bước 2: Đường thẳng là giao tuyến cần tìm ( ). Câu 1: Cho hình chóp có và Giao tuyến của mặt phẳng và mặt phẳng là đường thẳng A. B. C. D. Hướng dẫn giải: Chọn D. Giao tuyến của mặt phẳng và mặt phẳng là đường thẳng Câu 2: Cho hình chóp có và Giao tuyến của mặt phẳng và mặt phẳng là đường thẳng A. B. C. D. Hướng dẫn giải: Chọn A. Câu 3: Cho hình chóp có đáy là hình thang . Khẳng định nào sau đây sai? A. Hình chóp có mặt bên. B. Giao tuyến của hai mặt phẳng và là ( là giao điểm của và ). C. Giao tuyến của hai mặt phẳng và là ( là giao điểm của và ). D. Giao tuyến của hai mặt phẳng và là đường trung bình của . Hướng dẫn giải: Chọn D.
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Trang Quan hệ song song – HH 11 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Trang Quan hệ song song – HH 11 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Quan hệ song song – HH 11 ĐẠI CƯƠNG VỀ ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN A – LÝ THUYẾT TĨM TẮT Các tính chất • Có đường thẳng qua hai điểm phân biệt • Có mặt phẳng qua ba điểm khơng thẳng hàng • Nếu đường thẳng có hai điểm phân biệt thuộc mặt phẳng điểm đường thẳng thuộc mặt phẳng • Có bốn điểm khơng thuộc mặt phẳng • Nếu hai mặt phẳng phân biệt có điểm chung chúng cịn có điểm chung khác Vậy thì: Nếu hai mặt phẳng phân biệt có điểm chung chúng có đường thẳng chung qua điểm chung Đường thẳng gọi giao tuyến hai mặt phẳng • Trên mặt phẳng các, kết biết hình học phẳng Các cách xác định mặt phẳng • Ba điểm khơng thẳng hàng thuộc mặt phẳng (mp(ABC), (ABC)) • Một điểm đường thẳng khơng qua điểm thuộc mặt phẳng (mp(A,d)) • Hai đường thẳng cắt thuộc mặt phẳng (mp(a, b)) Các quy tắc vẽ hình, biểu diễn hình khơng gian • Hình biểu diễn đường thẳng đường thẳng, đoạn thẳng đoạn thẳng • Hình biểu diễn hai đường thẳng song song hai đường thẳng song song, hai đường thẳng cắt hai đường thẳng cắt • Hình biểu diễn phải giữ nguyên quan hệ thuộc điểm đường thẳng • Đường nhìn thấy vẽ nét liền, đường bị che khuất vẽ nét đứt Hình chóp hình tứ diện a) Hình chóp (α) (α) A1 A2 An S Trong mặt phẳng cho đa giác lồi Lấy điểm nằm A , A , , A SA A , SA A , , SAn A1 S n n 2 Lần lượt nối với đỉnh ta tam giác Hình gồm đa giác A1 A2 An SA1 A2 , SA2 A3 , , SAn A1 S A1 A2 An n tam giác gọi hình chóp, kí hiệu A1 A2 An SA1 , SA2 , , SAn S Ta gọi đỉnh, đa giác đáy, đoạn cạnh bên, A1 A2 , A2 A3 , , An A1 SA1 A2 , SA2 A3 , , SAn A1 cạnh đáy, tam giác mặt bên… b) Hình Tứ diện A, B, C , D ABC , ABD, Cho bốn điểm khơng đồng phẳng Hình gồm bốn tam giác ( BCD ) ACD ABCD gọi tứ diện B - BÀI TẬP a, b A Câu 1: Cho đường thẳng cắt không qua điểm Xác định nhiều mặt phẳng a, b A ? A B C D Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Hướng dẫn giải: Chọn B Quan hệ song song – HH 11 ( a, b ) , ( A, a ) , ( B, b ) Có mặt phẳng gồm ABCD Câu 2: Cho tứ giác lồi điểm S khơng thuộc mp (ABCD) Có nhiều mặt phẳng xác định điểm A, B, C, D, S ? A B C D Hướng dẫn giải: Chọn A C42 + = Có mặt phẳng Câu 3: Cho bốn điểm khơng đồng phẳng, ta xác định nhiều mặt phẳng phân biệt từ bốn điểm cho ? A B C D Hướng dẫn giải: Chọn C Do bốn điểm không đồng phẳng nên không tồn ba điểm thẳng hàng số bốn điểm Cứ ba điểm không thẳng hàng xác định mặt phẳng nên số mặt phẳng phân biệt lập từ bốn C43 = điểm cho (α) A B C D , cho bốn điểm , , , khơng có ba điểm thẳng hàng Điểm Câu 4: Trong mp S ∉ mp ( α ) S Có mặt phẳng tạo hai số bốn điểm nói trên? A B C D Hướng dẫn giải: Chọn C S A B C D Điểm với hai số bốn điểm , , , tạo thành mặt phẳng, từ bốn điểm ta có S cách chọn hai điểm, nên có tất mặt phẳng tạo hai số bốn điểm nói E ∉( α ) (α) ABCD Câu 5: Trong mặt phẳng cho tứ giác , điểm Hỏi có mặt phẳng tạo A, B, C , D, E ba năm điểm ? A B C D Hướng dẫn giải: Chọn B A, B, C , D A, B, C , D E Điểm điểm điểm tạo thành mặt phẳng, bốn điểm tạo thành mặt phẳng Vậy có tất mặt phẳng A B C D E Câu 6: Cho năm điểm , , , , khơng có bốn điểm mặt phẳng Hỏi có mặt phẳng tạo ba số năm điểm cho? Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A 10 A Hướng dẫn giải: Chọn A B 12 C Quan hệ song song – HH 11 D 14 A B C D E Cứ chọn ba điểm số năm điểm , , , , ta có mặt phẳng Từ năm điểm ta có 10 10 cách chọn ba điểm số năm điểm cho, nên có phẳng tạo ba số năm điểm cho Câu 7: Trong hình sau : A A A(II) A (I) (III) (IV) B C D C B C D B C D B D Hình hình biểu diễn hình tứ diện ? (Chọn Câu nhất) A (I) B (I), (II) C (I), (II), (III) D (I), (II), (III), (IV) Hướng dẫn giải: Chọn B Hình (III) sai hình phẳng Câu 8: Một hình chóp có đáy ngũ giác có số mặt số cạnh : A mặt, cạnh B mặt, cạnh C mặt, 10 cạnh D mặt, 10 cạnh Hướng dẫn giải: Chọn C Hình chóp ngũ giác có mặt bên + mặt đáy cạnh bên cạnh đáy Câu 9: Một hình chóp cụt có đáy n giác, có số mặt số cạnh : n+2 2n n+2 3n A mặt, cạnh B mặt, cạnh n n n+2 3n C mặt, cạnh D mặt, cạnh Hướng dẫn giải: Chọn A n=3 Lấy ví dụ hình chóp cụt tam giác ( ) có mặt cạnh ⇒ đáp án B Câu 10: Trong hình chóp, hình chóp có cạnh có số cạnh bao nhiêu? A B C D Hướng dẫn giải: Chọn D Hình tứ diện hình chóp có số cạnh Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A Quan hệ song song – HH 11 Câu 11: Chọn khẳng định sai khẳng định sau? A Hai mặt phẳng có điểm chung chúng cịn có vơ số điểm chung khác B Hai mặt phẳng có điểm chung chúng có đường thẳng chung C Hai mặt phẳng phân biệt có điểm chung chúng có đường thẳng chung M , N, P D Nếu ba điểm phân biệt thuộc hai mặt phẳng phân biệt chúng thẳng hàng Hướng dẫn giải: Chọn B Hai mặt phẳng có điểm chung chúng trùng Khi đó, chúng có vô số đường thẳng ⇒ chung B sai Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Quan hệ song song – HH 11 DẠNG 1: XÁC ĐỊNH GIAO TUYẾN CỦA HAI MẶT PHẲNG Phương pháp (α ) (β ) Cơ sở phương pháp tìm giao tuyến hai mặt phẳng cần thực hiện: ( α ) ( β ) A B - Bước 1: Tìm hai điểm chung và AB = (α ) ∩ ( β ) AB - Bước 2: Đường thẳng giao tuyến cần tìm ( ) S ABCD AC ∩ BD = M AB ∩ CD = N Câu 1: Cho hình chóp có Giao tuyến mặt phẳng ( SAC ) ( SBD ) mặt phẳng đường thẳng SN SC SB SM A B C D Hướng dẫn giải: Chọn D ( SAC ) Giao tuyến mặt phẳng mặt ( SBD ) SM phẳng đường thẳng S ABCD AC ∩ BD = M AB ∩ CD = N Câu 2: Cho hình chóp có Giao tuyến mặt phẳng ( SAB ) ( SCD ) mặt phẳng đường thẳng SN SA MN SM A B C D Hướng dẫn giải: Chọn A S ABCD ABCD ( AB / /CD ) Câu 3: Cho hình chóp có đáy hình thang Khẳng định sau sai? S ABCD A Hình chóp có mặt bên ( SAC ) ( SBD ) SO O AC BD B Giao tuyến hai mặt phẳng ( giao điểm ) ( SAD ) ( SBC ) SI I BC AD C Giao tuyến hai mặt phẳng ( giao điểm ) Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A ( SAB ) D Giao tuyến hai mặt phẳng Hướng dẫn giải: Chọn D Hình chóp S ABCD có Quan hệ song song – HH 11 ( SAD ) đường trung bình ABCD ( SAB ) ( SBC ) ( SCD ) ( SAD ) mặt bên , , , nên A ( SAC ) ( SBD ) S O , hai điểm chung nên B ( SAD ) ( SBC ) S I , hai điểm chung nên C ( SAB ) ( SAD ) SA SA Giao tuyến , rõ ràng khơng thể đường trung bình hình thang ABCD ABCD O BCD M Câu 4: Cho tứ diện Gọi điểm bên tam giác điểm I, J AO BC BD IJ CD IJ K BO E đoạn Gọi hai điểm cạnh , Giả sử cắt , cắt cắt ( MIJ ) ( ACD ) CD H ME AH F , cắt Giao tuyến hai mặt phẳng đường thẳng: KM AK MF KF A B C D Hướng dẫn giải: Chọn D IJ CD K Do giao điểm nên K ∈ ( MIJ ) I ( ACD ) (1) Ta có F giao điểm ME AH AH ⊂ ( ACD ) ME ⊂ ( MIJ ) Mà , nên F ∈ ( MIJ ) I ( ACD ) (2) Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Quan hệ song song – HH 11 ( MIJ ) I ( ACD ) = KF Từ (1) (2) có ( ACD ) ABCD G BCD Câu 5: Cho tứ diện trọng tâm tam giác Giao tuyến hai mặt phẳng ( GAB ) là: AM M AB A , trung điểm CD AH H B C , hình chiếu Hướng dẫn giải: Chọn B A ( ACD ) A ( ABCD ) AN N CD , trung điểm C AK K BD D , hình chiếu B ( GAB ) điểm chung thứ G BCD N CD N ∈ BG N trọng tâm tam giác , trung điểm nên nên điểm chung thứ hai ( ACD ) ( GAB ) ( ACD ) ( GAB ) AN Vậy giao tuyến hai mặt phẳng S ABCD SD J SC I Câu 6: Cho hình chóp Gọi trung điểm , điểm không trùng ( ABCD ) ( AIJ ) SC trung điểm Giao tuyến hai mặt phẳng là: IJ BC IJ AK K AH H AB A , giao điểm B , giao điểm AG G IJ IJ CD AD AF F C , giao điểm D , giao điểm Hướng dẫn giải: Chọn D điểm chung thứ ( AIJ ) Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Quan hệ song song – HH 11 IJ CD IJ BC AD AB F F cắt , cịn khơng cắt , , nên điểm chung thứ hai ( ABCD ) ( AIJ ) ( ABCD ) ( AIJ ) AF Vậy giao tuyến ( MBD ) ( ABN ) Câu 7: phẳng là: MN AM A B BG G ACD ACD AH H C , trọng tâm tam giác D , trực tâm tam giác Hướng dẫn giải: Chọn C ( MBD ) ( ABN ) B điểm chung thứ G ∈ AN , G ∈ DM G ACD trọng tâm tam giác nên ( MBD ) ( ABN ) G điểm chung thứ hai Vậy giao ( MBD ) ( ABN ) BG tuyến hai mặt phẳng M N hình bình hành Gọi , trung điểm ( SMN ) ( SAC ) BC AD Giao tuyến hai mặt phẳng là: SD SO O ABCD A B , tâm hình bình hành SG G SF F CD AB C , trung điểm D , trung điểm Hướng dẫn giải: Chọn B Câu 8: Cho hình chóp S S ABCD có đáy ABCD ( SMN ) điểm chung thứ ( SAC ) Trang 10 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A O AC O ∈ AC , O ∈ MN MN Quan hệ song song – HH 11 O ( SMN ) giao điểm nên điểm chung thứ hai ( SAC ) ( SMN ) ( SAC ) SO Vậy giao tuyến hai mặt phẳng S ABCD ABCD SA I J Câu 9: Cho hình chóp có đáy hình bình hành Gọi , trung điểm SB Khẳng định sau sai? IJCD A hình thang ( SAB ) ∩ ( IBC ) = IB B ( SBD ) ∩ ( JCD ) = JD C ( IAC ) ∩ ( JBD ) = AO O ABCD D , tâm hình bình hành Hướng dẫn giải: Chọn D ( IAC ) ≡ ( SAC ) Ta có ( SAC ) ∩ ( SBD ) = SO ( JBD ) ≡ ( SBD ) ABCD O Mà tâm hình bình hành S ABCD ( AD €BC ) CD M có đáy hình thang Gọi trung điểm ( MSB ) ( SAC ) Giao tuyến hai mặt phẳng là: SI I AC SJ J BM AM BD A , giao điểm B , giao điểm SO O AC SP P CD BD AB C , giao điểm D , giao điểm Hướng dẫn giải: Chọn A Câu 10: Cho hình chóp S ABCD ( MSB ) điểm chung thứ ( SAC ) Trang 11 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Quan hệ song song – HH 11 ( MSB ) I ∈ AC I ∈ BM I giao điểm nên , điểm chung thứ hai ( SAC ) ( MSB ) ( SAC ) SI Vậy giao tuyến hai mặt phẳng I AC BM ABCD G BCD M CD I trọng tâm tam giác , trung điểm , điểm ( ACD ) J AG BI đoạn thẳng , cắt mặt phẳng Khẳng định sau sai? AM = ( ACD ) ∩ ( ABG ) A J M A B , , thẳng hàng DJ = ( ACD ) ∩ ( BDJ ) J AM C trung điểm D Hướng dẫn giải: Chọn C A ∈ ( ACD ) ∩ ( ABG ) Ta có , M ∈ BG ⇒ M ∈ ( ACD ) ∩ ( ABG ) M ∈ CD nên AM = ( ACD ) ∩ ( ABG ) AM = ( ACD ) ∩ ( ABG ) Nên A ( ACD ) , ( ABG ) A J M A J M , , thuộc hai mặt phẳng phân biệt nên , , thẳng hàng, B AG J I AM Vì điểm tùy ý nên lúc trung điểm S ABCD ABCD AD / / BC I Câu 12: Cho hình chóp có đáy hình thang Gọi giao điểm ( SAB ) J DC M SC DM AB , trung điểm cắt mặt phẳng Khẳng định sau sai? DM ⊂ mp ( SCI ) S I J A , , thẳng hàng B JM ⊂ mp ( SAB ) C D SI = ( SAB ) ∩ ( SCD ) Hướng dẫn giải: Chọn C Câu 11: Cho tứ diện Trang 12 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Quan hệ song song – HH 11 ( SAB ) ( SCD ) S I J , , thẳng hàng ba điểm thuộc hai mp nên A M ∈ SC ⇒ M ∈ ( SCI ) DM ⊂ mp ( SCI ) nên B M ∉ ( SAB ) JM ⊄ mp ( SAB ) nên C sai Hiển nhiên D theo giải thích A Trang 13 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Quan hệ song song – HH 11 DẠNG 2: XÁC ĐỊNH GIAO ĐIỂM CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG Phương pháp d I Cơ sở phương pháp tìm giao điểm đường thẳng mặt phẳng xảy ra: (α ) d ∆ ∆ I - Trường hợp 1: chứa đường thẳng cắt đường thẳng I = d ∩ ∆ ⇒ I = d ∩ (α ) Khi đó: (α ) - Trường hợp 2: khơng chứa đường thẳng cắt (β ) ⊃ d (α ) ∩ ( β ) = ∆ + Tìm ; I = d ∩∆ + Tìm ; ⇒ I = d ∩ (α ) d (α ) xét hai khả A, B, C , D AB, AD Câu 1: Cho bốn điểm không nằm mặt phẳng Trên lấy N MN M BD I I điểm cho cắt Điểm không thuộc mặt phẳng đây: ( BCD ) ( ABD ) ( CMN ) ( ACD ) A B C D Hướng dẫn giải: Chọn D Trang 14 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Quan hệ song song – HH 11 A M N B D I C I ∈ BD ⇒ I ∈ ( BCD ), ( ABD) I ∈ MN ⇒ I ∈ (CMN ) S ABCD ABCD Câu 2: Cho hình chóp tứ giác với đáy có cạnh đối diện khơng song song với SA M điểm cạnh ( MCD ) SB a) Tìm giao điểm đường thẳng với mặt phẳng E = AB ∩ CD H = SA ∩ EM A Điểm H, , E = AB ∩ CD N = SB ∩ EM B Điểm N, , E = AB ∩ CD F = SC ∩ EM C Điểm F, , E = AB ∩ CD T = SD ∩ EM D Điểm T, , ( SBD ) MC b) Tìm giao điểm đường thẳng mặt phẳng I = AC ∩ BD H = MA ∩ SI A Điểm H, , I = AC ∩ BD F = MD ∩ SI B Điểm F, , I = AC ∩ BD K = MC ∩ SI C Điểm K, , I = AC ∩ BD V = MB ∩ SI D Điểm V, , Hướng dẫn giải: ( ABCD ) a) Trong mặt phẳng , gọi E = AB ∩ CD ( SAB ) Trong gọi Trang 15 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Quan hệ song song – HH 11 N ∈ EM ⊂ ( MCD ) ⇒ N ∈ ( MCD ) Ta có N ∈ SB N = SB ∩ ( MCD ) nên ( ABCD ) I = AC ∩ BD b) Trong gọi ( SAC ) K = MC ∩ SI Trong gọi K ∈ SI ⊂ ( SBD ) K ∈ MC Ta có nên K = MC ∩ ( SBD ) S ABCD M SC N BC Câu 3: Cho hình chóp tứ giác , điểm cạnh , cạnh Tìm giao ( AMN ) SD điểm đường thẳng với mặt phẳng K = IJ ∩ SD I = SO ∩ AM O = AC ∩ BD, J = AN ∩ BD A Điểm K, , , H = IJ ∩ SA I = SO ∩ AM O = AC ∩ BD, J = AN ∩ BD B Điểm H, , , V = IJ ∩ SB I = SO ∩ AM O = AC ∩ BD, J = AN ∩ BD C Điểm V, , , P = IJ ∩ SC I = SO ∩ AM O = AC ∩ BD, J = AN ∩ BD D Điểm P, , , Hướng dẫn giải: ( ABCD ) Trong mặt phẳng gọi O = AC ∩ BD, J = AN ∩ BD ( SAC ) I = SO ∩ AM Trong gọi K = IJ ∩ SD I ∈ AM ⊂ ( AMN ) , J ∈ AN ⊂ ( AMN ) Ta có ⇒ IJ ⊂ ( AMN ) K ∈ IJ ⊂ ( AMN ) ⇒ K ∈ ( AMN ) Do K = SD ∩ ( AMN ) Vậy Trang 16 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Quan hệ song song – HH 11 DẠNG 3: BA ĐIỂM THẲNG HÀNG, BA ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUY TRONG KHÔNG GIAN a) Để chứng minh ba điểm ( hay nhiều điểm) thẳng hàng ta chứng minh chúng điểm chung hai mặt phẳng phân biệt, chúng nằm đường thẳng giao tuyên hai mặt phẳng nên thẳng hàng tức là: - Tìm d = (α ) ∩ (β ) ; - Chỉ (chứng minh) d A, B, C ⇒ A, B, C qua ba điểm thẳng hàng ⇒ A , B , C C AB Hoặc chứng minh đường thẳng qua thẳng hàng b) Để chứng minh ba đường thẳng đồng qui ta chứng minh giao điểm hai đường thẳng thuộc đường đường thẳng lại Phương pháp Cơ sở phương pháp ta cần chứng minh đường thẳng thứ qua giao điểm hai đường thẳng lại I = d1 ∩ d - Bước 1: Tìm d3 I - Bước 2: Chứng minh qua ⇒ d1 , d , d I đồng quy Phương pháp Cơ sở phương pháp ta cần chứng minh chúng đôi cắt dôi ba mặt phẳng phân biệt - Bước 1: Xác định Trang 17 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A d1 , d ⊂ (α ); d1 ∩ d = I1 d , d3 ⊂ ( β ); d ∩ d3 = I d , d ⊂ (γ ); d ∩ d = I 3 Quan hệ song song – HH 11 (α ) ( β ) (γ ) , , phân biệt d1 , d , d I ≡ I1 ≡ I ≡ I - Bước 2: Kết luận đồng quy ABCD NQ MP I Ta có cắt I ∈ MP I ∈ ( ABD ) ⇒ ⇒ I ∈ NQ I ∈ ( CBD ) ⇒ I ∈ ( ABD ) ∩ ( CBD ) ⇒ I ∈ BD N (α) MN Câu 1: Cho tứ diện Gọi , trung điểm Mặt phẳng qua NQ BC AD P Q MP I cắt , Biết cắt Ba điểm sau thẳng hàng? I A C I B D I A B I C D A , , B , , C , , D , , Hướng dẫn giải: Chọn B M AB CD I B D Vậy , , thẳng hàng SA, SB SABC D, E SC Câu 2: Cho tứ diện Trên lấy điểm BC J CA EF FD K cắt , cắt Khẳng định sau đúng? B, J , K A Ba điểm thẳng hàng I, J, K B Ba điểm thẳng hàng I, J, K C Ba điểm không thẳng hàng I, J,C D Ba điểm thẳng hàng Hướng dẫn giải: Ta có I = DE ∩ AB, DE ⊂ ( DEF ) ⇒ I ∈ ( DEF ) ; AB ⊂ ( ABC ) ⇒ I ∈ ( ABC ) J = EF ∩ BC ( 1) Tương tự Trang 18 F cho DE cắt AB I , ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A J ∈ EF ∈ ( DEF ) ⇒ J ∈ BC ⊂ ( ABC ) ( 2) K ∈ DF ⊂ ( DEF ) ⇒ K ∈ AC ⊂ ( ABC ) ( 3) Quan hệ song song – HH 11 K = DF ∩ AC Từ (1),(2) (3) ta I, J, K có ( ABC ) điểm chung hai mặt phẳng ( DEF ) nên chúng thẳng hàng D, E AC , BC SABC G Câu 3: Cho tứ diện có trung điểm trọng tâm tam (α) ABC AC SE , SB M,N (β) giác Mặt phẳng qua cắt Một mặt phẳng qua SD, SA Q P cắt tương ứng I = AM ∩ DN , J = BP ∩ EQ a) Gọi Khẳng định sau đúng? S, I , J ,G S, I , J ,G A Bốn điểm thẳng hàng B Bốn điểm không thẳng hàng P, I , J I, J,Q C Ba điểm thẳng hàng D Bốn điểm thẳng hàng K = AN ∩ DM , L = BQ ∩ EP b) Giả sử Khằng định sau đúng? S, K, L S, K , L A Ba điểm thẳng hàng B Ba điểm không thẳng hàng B, K , L C, K , L C Ba điểm thẳng hàng D Ba điểm thẳng hàng Hướng dẫn giải: S ∈ ( SAE ) ∩ ( SBD ) a) Ta có , (1) G ∈ AE ⊂ ( SAE ) G = AE ∩ BD ⇒ G ∈ BD ⊂ ( SBD ) G ∈ ( SAE ) ⇒ G ∈ ( SBD ) ( 2) I ∈ DN ⊂ ( SBD ) I = AM ∩ DN ⇒ I ∈ AM ⊂ ( SAE ) I ∈ ( SBD ) ⇒ I ∈ ( SAE ) ( 3) Trang 19 BC ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A J ∈ BP ⊂ ( SBD ) J ∈ ( SBD ) J = BP ∩ EQ ⇒ ⇒ J ∈ ( SAE ) J ∈ EQ ⊂ ( SAE ) Quan hệ song song – HH 11 ( 4) S, I , J ,G Từ (1),(2),(3) (4) ta có điểm chung ( SBD ) ( SAE ) hai mặt phẳng nên chúng thẳng hàng S ABCD O AC BD Câu 4: Cho hình chóp tứ giác , gọi giao điểm hai đường chéo Một (α) mặt phẳng đúng? SA, SB, SC , SD cắt cạnh bên M , N , P, Q tưng ứng điểm MP, NQ, SO A Các đường thẳng Khẳng định MP, NQ, SO đồng qui MP, NQ, SO C Các đường thẳng song song Hướng dẫn giải: ( MNPQ ) I = MP ∩ NQ Trong mặt phẳng gọi I ∈ SO Ta chứng minh SO = ( SAC ) ∩ ( SBD ) Dễ thấy I ∈ MP ⊂ ( SAC ) I ∈ NQ ⊂ ( SBD ) B Các đường thẳng chéo MP, NQ, SO D Các đường thẳng trùng I ∈ ( SAC ) ⇒ ⇒ I ∈ SO I ∈ ( SBD ) MP, NQ, SO I đồng qui ( P) ( Q) ( P) a Câu 5: Cho hai mặt phẳng cắt theo giao tuyến đường thẳng Trong lấy hai ( P) A, B SA, SB a S điểm không thuộc điểm không thuộc Các đường thẳng cắt ( Q) C, D a E AB tương ứng điểm Gọi giao điểm Khẳng định đúng? AB, CD AB, CD a a A đồng qui B chéo AB, CD AB, CD a a C song song D trùng Hướng dẫn giải: S ∈ AB ⊂ ( P ) ⇒ S ∈ ( P ) S ∉ AB Trước tiên ta có ngược lại Vậy Trang 20 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A Quan hệ song song – HH 11 ( SAB ) S , A, B (mâu thuẫn giả thiết) khơng thẳng hàng, ta có mặt phẳng C ∈ SA ⊂ ( SAB ) C = SA ∩ ( Q ) ⇒ C ∈ ( Q ) Do C ∈ ( SAB ) ⇒ ( 1) C ∈ Q ( ) D ∈ SB ⊂ ( SAB ) D = SB ∩ ( Q ) ⇒ D ∈ ( Q ) Tương tự D ∈ ( SAB ) ⇒ D ∈ ( Q ) ( 2) CD = ( SAB ) ∩ ( Q ) Từ (1) (2) suy E ∈ AB ⊂ ( SAB ) E ∈ ( SAB ) E = AB ∩ a ⇒ ⇒ E ∈ a ⊂ ( Q ) E ∈ ( Q ) ⇒ E ∈ CD Mà AB, CD a E Vậy đồng qui đồng qui Trang 21 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Quan hệ song song – HH 11 DẠNG 4: XÁC ĐỊNH THIẾT DIỆN CỦA MỘT MẶT PHẲNG VỚI HÌNH CHĨP Phương pháp: (α ) S A1 A2 An Để xác định thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng (α) phẳng , ta tìm giao điểm mặt với đường thẳng chứa cạnh hình chóp Thiết diện đa giác có đỉnh giao (α) điểm với hình chóp ( cạnh thiết diện phải đoạn giao tuyến với mặt hình chóp) Trong phần xét thiết diện mặt phẳng qua ba điểm không thẳng hàng (α) Lưu ý: Điểm chung hai mặt phẳng đó; giao điểm (α) a, b Tìm hai đường thẳng (β) thuộc M = a ∩b thường tìm sau : (β) (γ ) , đồng thời chúng nằm mặt phẳng (α) điểm chung (β) ABCD Câu 1: Cho tứ giác lồi Hình sau khơng thể thiết diện hình chóp S ABCD ? A Tam giác B Tứ giác C Ngũ giác D Lục giác Hướng dẫn giải: Chọn D S ABCD Hình chóp có mặt nên thiết diện hình chóp có tối đa cạnh Vậy thiết diện khơng thể lục giác S ABCD (α) ABCD Câu 2: Cho hình chóp với đáy tứ giác lồi Thiết diện mặt phẳng tuỳ ý với hình chóp là: A Lục giác B Ngũ giác C Tứ giác D Tam giác Hướng dẫn giải: Chọn A Thiết diện mặt phẳng với hình chóp đa giác tạo giao tuyến mặt phẳng với mặt hình chóp Hai mặt phẳng có nhiều giao tuyến Trang 22 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Quan hệ song song – HH 11 (α) S ABCD Hình chóp tứ giác có mặt nên thiết diện khơng thể hình lục giác cạnh S ABCD ABCD với S ABCD M có khơng qua cạnh, SB Câu 3: Cho hình chóp có đáy hình bình hành điểm cạnh Mặt ( ADM ) phẳng cắt hình chóp theo thiết diện A tam giác B hình thang C hình bình hành D hình chữ nhật Hướng dẫn giải: Chọn B S ABCD AD P Câu 4: Cho hình chóp tứ giác , có đáy hình thang với đáy lớn điểm SD cạnh ( PAB ) a) Thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng hình gì? A Tam giác B Tứ giác C Hình thang D Hình bình hành ( MNP ) M,N AB, BC b) Gọi trung điểm cạnh Thiết diện hình chóp cắt hình gì? A Ngũ giác B Tứ giác C Hình thang D Hình bình hành Hướng dẫn giải: ( ABCD ) a) Trong mặt phẳng , gọi E = AB ∩ CD ( SCD ) Q = SC ∩ EP Trong mặt phẳng gọi EP ⊂ ( ABP ) ⇒ Q ∈ ( ABP ) E ∈ AB Ta có nên Q = SC ∩ ( ABP ) , ABQP Thiết diện tứ giác ( ABCD ) b)Trong mặt phẳng F,G gọi lần MN CD AD lượt giao điểm với ( SAD ) H = SA ∩ FP Trong mặt phẳng gọi ( SCD ) K = SC ∩ PG Trong mặt phẳng gọi F ∈ MN ⇒ F ∈ ( MNP ) Ta có , Trang 23 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Quan hệ song song – HH 11 ⇒ FP ⊂ ( MNP ) ⇒ H ∈ ( MNP ) H ∈ SA ⇒ H = SA ∩ ( MNP ) H ∈ ( MNP ) Vậy K = SC ∩ ( MNP ) tự Thiết diện ngũ giác MNKPH Tương C′ SC Điểm nằm cạnh ( ABC ′ ) Thiết diện hình chóp với mp đa giác có cạnh? A B C Hướng dẫn giải: Chọn B Câu 5: Cho hình chóp ( ABA′) S ABCD ( SCD ) Xét có A′ ∈ SC , SC ⊂ ( SCD ) A′ ∈ ( ABA′ ) ⇒ A′ Gọi I = AB ∩ CD điểm chung I ∈ AB, AB ⊂ ( ABA′ ) I ∈ CD, CD ⊂ ( SCD ) ⇒ I Có ⇒ ( ABA′ ) ∩ ( SCD ) = IA′ điểm chung M = IA′ ∩ SD Gọi Có ( ABA′) ∩ ( SCD ) = A′M ( ABA′) ∩ ( SAD ) = AM ( ABA′) ∩ ( ABCD ) = AB ( ABA′) ∩ ( SBC ) = BA′ Thiết diện tứ giác ABA′M Trang 24 D ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Câu 6: Cho hình chóp hình chóp S ABCD S ABCD A Tam giác IBC có đáy ABCD cắt mặt phẳng Quan hệ song song – HH 11 hình bình hành Gọi I ( IBC ) trung điểm SA Thiết diện là: IJCB J SD B Hình thang ( trung điểm ) IBCD D Tứ giác IGBC G SB C Hình thang ( trung điểm ) Hướng dẫn giải: Chọn B O AC CI SO BD G Gọi giao điểm , giao điểm G SAC G Khi trọng tâm tam giác Suy trọng tâm tam SBD giác J = BG ∩ SD J SD Gọi Khi trung điểm ( IBC ) IJCB Do thiết điện hình chóp cắt hình thang ( J SD trung điểm ) S IB G A O J C D M , N, P S ABCD ABCD O Câu 7: Cho hình chóp có đáy hình bình hành tâm Gọi ba AD, CD, SO ( MNP ) điểm cạnh Thiết diện hình chóp với mặt phẳng hình gì? A Ngũ giác B Tứ giác C Hình thang D Hình bình hành Hướng dẫn giải: ( ABCD) E, K , F Trong mặt phẳng gọi DA, DB, DC MN giao điểm với ( SDB ) H = KP ∩ SB Trong mặt phẳng gọi ( SAB ) T = EH ∩ SA Trong mặt phẳng gọi ( SBC ) R = FH ∩ SC Trong mặt phẳng gọi E ∈ MN ⇒ EH ⊂ ( MNP ) H ∈ KP Ta có , T ∈ SA ⇒ T = SA ∩ ( MNP ) T ∈ EH ⊂ ( MNP ) Trang 25 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Quan hệ song song – HH 11 R = SC ∩ ( MNP ) Lí luận tương tự ta có MNRHT Thiết diện ngũ giác (α ) ABCD M N AC MN AB Câu 8: Cho tứ diện , trung điểm Mặt phẳng qua (T) ABCD cắt tứ diện theo thiết diện đa giác Khẳng định sau đúng? (T) (T) A hình chữ nhật B tam giác (T) (T) C hình thoi D tam giác hình thang hình bình hành Hướng dẫn giải: Chọn D (α) (α ) qua MN MN qua hình thang cắt AD A cắt hai cạnh BD CD ta thiết diện Đặc biệt mặt phẳng qua trung điểm thiết diện hình bình hành Câu 9: Cho hình chóp M ta thiết diện tam giác S ABCD có đáy BD CD , ta N B D C M , N,Q ABCD hình bình hành Gọi trung điểm ( MNQ ) AB, AD, SC cạnh Thiết diện hình chóp với mặt phẳng đa giác có cạnh ? A B C D Hướng dẫn giải: Chọn C Trang 26 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Quan hệ song song – HH 11 ( MNQ ) Thiết diện hình chóp với mặt phẳng MNPQR ngũ giác Đa giác có cạnh S ABCD ABCD Câu 10: Cho hình chóp , đáy tứ giác có cặp cạnh đối không song song, điểm SA M thuộc cạnh Tìm giao tuyến cặp mặt phẳng : ( SAC ) ( SBD ) a) A SC B SB { S} O = AC ∩ BD C SO D ( SAC ) ( MBD ) b) A SM B MB O = AC ∩ BD C OM D SD ( MBC ) ( SAD ) c) F = BC ∩ AD A SM B FM O = AC ∩ BD C SO D SD ( SAB ) ( SCD ) d) E = AB ∩ CD F = BC ∩ AD A SE B FM O = AC ∩ BD C SO D SD Hướng dẫn giải: O = AC ∩ BD a) Gọi O ∈ AC ⊂ ( SAC ) ⇒ O ∈ BD ⊂ ( SBD ) S ∈ ( SAC ) ∩ ( SBD ) ⇒ O ∈ ( SAC ) ∩ ( SBD ) Lại có ⇒ SO = ( SAC ) ∩ ( SBD ) Trang 27 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A b) Quan hệ song song – HH 11 O = AC ∩ BD O ∈ AC ⊂ ( SAC ) ⇒ O ∈ BD ⊂ ( MBD ) ⇒ O ∈ ( SAC ) ∩ ( MBD ) M ∈ ( SAC ) ∩ ( MBD ) ⇒ OM = ( SAC ) ∩ ( MBD ) Và ( ABCD ) c) Trong gọi F ∈ BC ⊂ ( MBC ) F = BC ∩ AD ⇒ ⇒ F ∈ ( MBC ) ∩ ( SAD ) F ∈ AD ⊂ ( SAD ) M ∈ ( MBC ) ∩ ( SAD ) ⇒ FM = ( MBC ) ∩ ( SAD ) Và ( ABCD ) E = AB ∩ CD d) Trong gọi , ta có SE = ( SAB ) ∩ ( SCD ) ABCD O BCD M Câu 11: Cho tứ diện , điểm thuộc miền tam giác , điểm đoạn AO ( MCD ) ( ABC ) a) Tìm giao tuyến mặt phẳng với mặt phẳng P = DC ∩ AN N = DO ∩ BC A PC , P = DM ∩ AN N = DA ∩ BC B PC , P = DM ∩ AB N = DO ∩ BC C PC , P = DM ∩ AN N = DO ∩ BC D PC , ( MCD ) ( ABD ) b) Tìm giao tuyến mặt phẳng với mặt phẳng R = CM ∩ AQ Q = CA ∩ BD A DR , R = CB ∩ AQ Q = CO ∩ BD B DR , R = CM ∩ AQ Q = CO ∩ BA C DR , R = CM ∩ AQ Q = CO ∩ BD D DR , Trang 28 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đơng Trường THPT Nho Quan A Quan hệ song song – HH 11 I, J BC IJ CD BD điểm tương ứng cạnh cho không song song với ( IJM ) ( ACD ) Tìm giao tuyến hai mặt phẳng F = IJ ∩ CD G = KM ∩ AE K = BE ∩ IA E = BO ∩ CD A FG , , , F = IA ∩ CD G = KM ∩ AE K = BA ∩ IJ E = BO ∩ CD B FG , , , F = IJ ∩ CD G = KM ∩ AE K = BA ∩ IJ E = BO ∩ CD C FG , , , F = IJ ∩ CD G = KM ∩ AE K = BE ∩ IJ E = BO ∩ CD D FG , , , Hướng dẫn giải: ( BCD ) N = DO ∩ BC a) Trong gọi , ( ADN ) P = DM ∩ AN gọi P ∈ DM ⊂ ( CDM ) ⇒ P ∈ AN ⊂ ( ABC ) c) Gọi ⇒ P ∈ ( CDM ) ∩ ( ABC ) Lại có C ∈ ( CDM ) ∩ ( ABC ) ⇒ PC = ( CDM ) ∩ ( ABC ) ( BCD ) Q = CO ∩ BD b)Tương tự, gọi , ( ACQ ) R = CM ∩ AQ gọi R ∈ CM ⊂ ( CDM ) ⇒ ⇒ R ∈ ( CDM ) ∩ ( ABD ) R ∈ AQ ⊂ ( ABD ) ( MCD ) D điểm chung thứ hai DR = ( CDM ) ∩ ( ABD ) ( ABD ) nên ( BCD ) ( ABE ) E = BO ∩ CD, F = IJ ∩ CD K = BE ∩ IJ G = KM ∩ AE c) Trong gọi , ; gọi F ∈ IJ ⊂ ( IJM ) G ∈ KM ⊂ ( IJM ) ⇒ F ∈ ( IJM ) ∩ ( ACD ) F ∈ CD ⊂ ( ACD ) G ∈ AE ⊂ ( ACD ) Có , Trang 29 ... CƯƠNG VỀ ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN A – LÝ THUYẾT TĨM TẮT Các tính chất • Có đường thẳng qua hai điểm phân biệt • Có mặt phẳng qua ba điểm khơng thẳng hàng • Nếu đường thẳng có hai... chúng có đường thẳng chung qua điểm chung Đường thẳng gọi giao tuyến hai mặt phẳng • Trên mặt phẳng các, kết biết hình học phẳng Các cách xác định mặt phẳng • Ba điểm khơng thẳng hàng thuộc mặt phẳng. .. thuộc mặt phẳng điểm đường thẳng thuộc mặt phẳng • Có bốn điểm khơng thuộc mặt phẳng • Nếu hai mặt phẳng phân biệt có điểm chung chúng cịn có điểm chung khác Vậy thì: Nếu hai mặt phẳng phân biệt có