Câu 1: Trong không gian cho ba đường thẳng phân biệt , , . Khẳng định nào sau đây đúng?A. Nếu và cùng vuông góc với thì .B. Nếu và thì .C. Nếu góc giữa và bằng góc giữa và thì .D. Nếu và cùng nằm trong mp thì góc giữa và bằng góc giữa và .Hướng dẫn giải:Chọn B.Nếu và cùng vuông góc với thì và hoặc song song hoặc chéo nhau.C sai do:Giả sử hai đường thẳng và chéo nhau, ta dựng đường thẳng là đường vuông góc chung của và . Khi đó góc giữa và bằng với góc giữa và và cùng bằng , nhưng hiển nhiên hai đường thẳng và không song song.D sai do: giả sử vuông góc với , song song với , khi đó góc giữa và bằng , còn góc giữa và bằng .Do đó B đúng.Câu 2: Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng?A. Góc giữa hai đường thẳng và bằng góc giữa hai đường thẳng và khi song song với (hoặc trùng với ).B. Góc giữa hai đường thẳng và bằng góc giữa hai đường thẳng và thì song song với C. Góc giữa hai đường thẳng là góc nhọn.D. Góc giữa hai đường thẳng bằng góc giữa hai véctơ chỉ phương của hai đường thẳng đó.Hướng dẫn giải:Chọn A. Câu 3: Cho tứ diện có hai cặp cạnh đối vuông góc. Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng?A. Tứ diện có ít nhất một mặt là tam giác nhọn.B. Tứ diện có ít nhất hai mặt là tam giác nhọn.C. Tứ diện có ít nhất ba mặt là tam giác nhọn.D. Tứ diện có cả bốn mặt là tam giác nhọn.Hướng dẫn giải:Chọn A. Câu 4: Trong các mệnh đề dưới đây mệnh đề đúng là?A. Cho hai đường thẳng song song, đường thẳng nào vuông góc với đường thẳng thứ nhất thì cũng vuông góc với đường thẳng thứ hai.B. Trong không gian, hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.C. Hai đường thẳng phân biệt vuông góc với nhau thì chúng cắt nhau.D. Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì vuông góc với nhau.Hướng dẫn giải:Chọn A. Theo lý thuyết.Câu 5: Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào là đúng?A. Nếu đường thẳng vuông góc với đường thẳng và đường thẳng vuông góc với đường thẳng thì vuông góc với B. Cho ba đường thẳng vuông góc với nhau từng đôi một. Nếu có một đường thẳng vuông góc với thì song song với hoặc C. Nếu đường thẳng vuông góc với đường thẳng và đường thẳng song song với đường thẳng thì vuông góc với D. Cho hai đường thẳng và song song với nhau. Một đường thẳng vuông góc với thì vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng .Hướng dẫn giải:Chọn C. Câu 6: Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào là đúng?A. Một đường thẳng cắt hai đường thẳng cho trước thì cả ba đường thẳng đó cùng nằm trong một mặt phẳngB. Ba đường thẳng cắt nhau từng đôi một và không nằm trong một mặt phẳng thì đồng quyC. Một đường thẳng cắt hai đường thẳng cắt nhau cho trước thì cả ba đường thẳng đó cùng nằm trong một mặt phẳngD. Ba đường thẳng cắt nhau từng đôi một thì cùng nằm trong một mặt phẳngHướng dẫn giải:Chọn B. Gọi , , là 3 đường thẳng cắt nhau từng đôi một. Giả sử , cắt nhau tại , vì không nằm cùng mặt phẳng với , mà cắt , nên phải đi qua . Thật vậy giả sử không đi qua thì nó phải cắt , tại hai điểm , điều này là vô lí, một đường thẳng không thể cắt một mặt phẳng tại hai điểm phân biệt.Câu 7: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng ?A. Hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.B. Nếu đường thẳng vuông góc với đường thẳng và đường thẳng vuông góc với đường thẳng thì vuông góc với .C. Cho hai đường thẳng phân biệt và . Nếu đường thẳng c vuông góc với và thì , , không đồng phẳng.D. Cho hai đường thẳng và song song, nếu vuông góc với thì cũng vuông góc với .Hướng dẫn giải:Theo nhận xét phần hai đường thẳng vuông góc trong SGK thì đáp án D đúng.Câu 8: Mệnh đề nào sau đây là đúng?A. Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng vuông góc thì song song với đường thẳng còn lại.B. Hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau.C. Hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì vuông góc với nhau.D. Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì vuông góc với đường thẳng kia.Hướng dẫn giải:Theo nhận xét phần hai đường thẳng vuông góc trong SGK thì đáp án D đúng.Câu 9: Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào đúng?A. Hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau.B. Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng vuông góc với nhau thì song song với đường thẳng còn lại.C. Hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì vuông góc với nhau.D. Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì vuông góc với đường thẳng kia.Hướng dẫn giải:Theo nhận xét phần hai đường thẳng vuông góc trong SGK thì đáp án D đúng.Câu 10: Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào đúng?A. Cho hai đường thẳng song song với nhau. Một đường thẳng vuông góc với thì vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng B. Cho ba đường thẳng vuông góc với nhau từng đôi một. Nếu có một đường thẳng vuông góc với thì song song với hoặc .C. Nếu đường thẳng vuông góc với đường thẳng và đường thẳng vuông góc với đường thẳng thì đường thẳng vuông góc với đường thẳng .D. Nếu đường thẳng vuông góc với đường thẳng và đường thẳng song song với đường thẳng thì đường thẳng vuông góc với đường thẳng .Hướng dẫn giải:Chọn D. Theo định lýsgkDẠNG 1: TÍNH GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG.Phương pháp:Để tính góc giữa hai đường thẳng trong không gian ta có thể thực hiện theo hai cáchCách 1. Tìm góc giữa hai đường thẳng bằng cách chọn một điểm thích hợp ( thường nằm trên một trong hai đường thẳng).Từ dựng các đường thẳng lần lượt song song ( có thể tròng nếu nằm trên một trong hai đường thẳng) với và . Góc giữa hai đường thẳng chính là góc giữa hai đường thẳng .Lưu ý 1: Để tính góc này ta thường sử dụng định lí côsin trong tam giác . Cách 2. Tìm hai vec tơ chỉ phương của hai đường thẳng Khi đó góc giữa hai đường thẳng xác định bởi .Lưu ý 2: Để tính ta chọn ba vec tơ không đồng phẳng mà có thể tính được độ dàivà góc giữa chúng,sau đó biểu thị các vec tơ qua các vec tơ rồi thực hiện các tính toánCâu 1: Cho tứ diện có , ( , lần lượt là trung điểm của và ). Số đo góc giữa hai đường thẳng và làA. .B. .C. .D. .Hướng dẫn giải:Chọn C.Gọi , lần lượt là trung điểm , .Ta có: là hình thoi.Gọi là giao điểm của và .Ta có: .Xét vuông tại , ta có: .Mà: .Câu 2: Cho hình hộp . Giả sử tam giác và đều có 3 góc nhọn. Góc giữa hai đường thẳng và là góc nào sau đây?A. .B. .C. .D. .Hướng dẫn giải:Chọn D.Ta có: (tính chất của hình hộp) (do giả thiết cho nhọn).Câu 3: Cho tứ diện đều (Tứ diện có tất cả các cạnh bằng nhau). Số đo góc giữa hai đường thẳng và bằngA. .B. .C. .D. .Hướng dẫn giải:Chọn D.Gọi là tâm đường tròn ngoại tiếp .Gọi là trung điểm (do đều).Do .Ta có: .Câu 17. 1H32 Cho tứ diện đều , là trung điểm của cạnh . Khi đó bằngA. .B. .C. .D. .Hướng dẫn giải:Chọn A.Không mất tính tổng quát, giả sử tứ diện có cạnh bằng .Gọi là tâm đường tròn ngoại tiếp .Gọi là trung điểm Ta có: .Do các mặt của tứ diện đều là tam giác đều, từ đó ta dễ dàng tính được độ dài các cạnh của : , .Xét , ta có: .Từ đó: .Câu 4: Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh bằng và các cạnh bên đều bằng . Gọi và lần lượt là trung điểm của và . Số đo của góc bằngA. .B. .C. .D. .Hướng dẫn giải:Chọn D.Gọi là tâm của hình vuông là tâm đường tròn ngoại tiếp của hình vuông (1).Ta có: nằm trên trục của đường tròn ngoại tiếp hình vuông (2).Từ (1) và (2) .Từ giả thiết ta có: (do là đường trung bình của ). .Xét , ta có: vuông tại . .Câu 5: Cho hình chóp có tất cả các cạnh đều bằng . Gọi và lần lượt là trung điểm của và . Số đo của góc bằngA. .B. .C. .D. .Hướng dẫn giải:Chọn C.Gọi là tâm của hình vuông là tâm đường tròn ngoại tiếp của hình vuông (1).Ta có: nằm trên trục của đường tròn ngoại tiếp hình vuông (2).Từ (1) và (2) . Từ giả thiết ta có: (do là đường trung bình của ). .Mặt khác, ta lại có đều, do đó .Câu 6: Cho tứ diện có . Gọi , , , lần lượt là trung điểm của , , , . Góc giữa bằngA. .B. .C. .D. .Hướng dẫn giải:Chọn D.Từ giả thiết ta có: (tính chất đường trung bình trong tam giác)Từ đó suy ra tứ giác là hình bình hành.Mặt khác: là hình thoi (tính chất hai đường chéo của hình thoi) .Câu 7: Cho hình lập phương . Hãy xác định góc giữa cặp vectơ và ?A. B. C. D. Hướng dẫn giải:Chọn B. Câu 8: Trong không gian cho hai hình vuông và có chung cạnh và nằm trong hai mặt phẳng khác nhau, lần lượt có tâm và . Hãy xác định góc giữa cặp vectơ và ?A. B. C. D. Hướng dẫn giải:Chọn D. Vì và là hình vuông nên là hình bình hành Mà là tâm của 2 hình vuông nên là trung điểm của và là đường trung bình của Mặt khác, nên Câu 9: Cho tứ diện có và . Gọi và lần lượt là trung điểm của và Hãy xác định góc giữa cặp vectơ và ?A. B. C. D. Hướng dẫn giải:Chọn B. Ta có và là 2 tam giác đều, là trung điểm của nên (2 đường trung tuyến của 2 tam giác đều chung cạnh ) nên là tam giác cân ở . Do đó Câu 10: Cho hình chóp có và . Hãy xác định góc giữa cặp vectơ và ?A. .B. .C. .D. . Hướng dẫn giải:Chọn D. Ta có: .Do đótam giác đều. Gọi là trọng tâm của tam giác .Vì hình chóp có nên hình chiếu của trùng với Hay .Ta có: Suy ra . Vậy góc giữa cặp vectơ và bằng .
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Quan hệ vng góc – HH 11 HAI ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC A – LÝ THUYẾT TĨM TẮT r r r Vectơ phương đường thẳng: a �0 VTCP d giá a song song trùng với d Góc hai đường thẳng: � � a//a, b//b a, b a ', b ' r r r r Giả sử u VTCP a, v VTCP b, (u , v ) � ne� u 00 � �1800 a�,b � � 180 ne� u 900 �1800 � Khi đó: � Nếu a//b a b a, b 0 � Chú ý: � a, b �90 Hai đường thẳng vng góc: � a b a, b 90 r r rr Giả sử u VTCP a, v VTCP b Khi a b � u v Lưu ý: Hai đường thẳng vng góc với cắt chéo B – BÀI TẬP Câu 1: Trong không gian cho ba đường thẳng phân biệt a , b , c Khẳng định sau đúng? A Nếu a b vuông góc với c a // b B Nếu a // b c a c b C Nếu góc a c góc b c a // b // c góc a c góc b c D Nếu a b nằm mp Hướng dẫn giải: Chọn B Nếu a b vng góc với c a b song song chéo C sai do: Giả sử hai đường thẳng a b chéo nhau, ta dựng đường thẳng c đường vng góc chung a b Khi góc a c với góc b c 90�, hiển nhiên hai đường thẳng a b không song song D sai do: giả sử a vng góc với c , b song song với c , góc a c 90�, cịn góc b c 0� Do B Câu 2: Trong mệnh đề sau mệnh đề đúng? A Góc hai đường thẳng a b góc hai đường thẳng a c b song song với c (hoặc b trùng với c ) B Góc hai đường thẳng a b góc hai đường thẳng a c b song song với c C Góc hai đường thẳng góc nhọn D Góc hai đường thẳng góc hai véctơ phương hai đường thẳng SĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Quan hệ vng góc – HH 11 Hướng dẫn giải: Chọn A Câu 3: Cho tứ diện ABCD có hai cặp cạnh đối vng góc Trong mệnh đề sau mệnh đề đúng? A Tứ diện có mặt tam giác nhọn B Tứ diện có hai mặt tam giác nhọn C Tứ diện có ba mặt tam giác nhọn D Tứ diện có bốn mặt tam giác nhọn Hướng dẫn giải: Chọn A Câu 4: Trong mệnh đề mệnh đề là? A Cho hai đường thẳng song song, đường thẳng vng góc với đường thẳng thứ vng góc với đường thẳng thứ hai B Trong không gian, hai đường thẳng phân biệt vng góc với đường thẳng thứ ba song song với C Hai đường thẳng phân biệt vng góc với chúng cắt D Hai đường thẳng phân biệt vng góc với đường thẳng thứ ba vng góc với Hướng dẫn giải: Chọn A Theo lý thuyết Câu 5: Trong mệnh đề sau đây, mệnh đề đúng? A Nếu đường thẳng a vng góc với đường thẳng b đường thẳng b vng góc với đường thẳng c a vng góc với c B Cho ba đường thẳng a, b, c vng góc với đơi Nếu có đường thẳng d vng góc với a d song song với b c C Nếu đường thẳng a vng góc với đường thẳng b đường thẳng b song song với đường thẳng c a vng góc với c D Cho hai đường thẳng a b song song với Một đường thẳng c vng góc với a c a, b vng góc với đường thẳng nằm mặt phẳng Hướng dẫn giải: Chọn C Câu 6: Trong mệnh đề sau đây, mệnh đề đúng? A Một đường thẳng cắt hai đường thẳng cho trước ba đường thẳng nằm mặt phẳng B Ba đường thẳng cắt đôi khơng nằm mặt phẳng đồng quy C Một đường thẳng cắt hai đường thẳng cắt cho trước ba đường thẳng nằm mặt phẳng D Ba đường thẳng cắt đơi nằm mặt phẳng Hướng dẫn giải: Chọn B Gọi d1 , d , d3 đường thẳng cắt đôi Giả sử d1 , d cắt A , d khơng nằm mặt phẳng với d1 , d mà d3 cắt d1 , d nên d3 phải qua A Thật giả sử d không qua A phải cắt d1 , d hai điểm B , C điều vơ lí, đường thẳng cắt mặt phẳng hai điểm phân biệt Câu 7: Trong khẳng định sau, khẳng định ? A Hai đường thẳng vng góc với đường thẳng thứ ba song song với SĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Quan hệ vng góc – HH 11 B Nếu đường thẳng a vng góc với đường thẳng b đường thẳng b vng góc với đường thẳng c a vng góc với c C Cho hai đường thẳng phân biệt a b Nếu đường thẳng c vng góc với a b a , b , c không đồng phẳng D Cho hai đường thẳng a b song song, a vng góc với c b vng góc với c Hướng dẫn giải: Theo nhận xét phần hai đường thẳng vng góc SGK đáp án D Câu 8: Mệnh đề sau đúng? A Một đường thẳng vng góc với hai đường thẳng vng góc song song với đường thẳng cịn lại B Hai đường thẳng vng góc với đường thẳng song song với C Hai đường thẳng vng góc với đường thẳng vng góc với D Một đường thẳng vng góc với hai đường thẳng song song vng góc với đường thẳng Hướng dẫn giải: Theo nhận xét phần hai đường thẳng vng góc SGK đáp án D Câu 9: Trong mệnh đề sau đây, mệnh đề đúng? A Hai đường thẳng vuông góc với đường thẳng song song với B Một đường thẳng vng góc với hai đường thẳng vng góc với song song với đường thẳng cịn lại C Hai đường thẳng vng góc với đường thẳng vng góc với D Một đường thẳng vng góc với hai đường thẳng song song vng góc với đường thẳng Hướng dẫn giải: Theo nhận xét phần hai đường thẳng vng góc SGK đáp án D Câu 10: Trong mệnh đề sau đây, mệnh đề đúng? A Cho hai đường thẳng a, b song song với Một đường thẳng c vng góc với a c ( a,b) vng góc với đường thẳng nằm mặt phẳng B Cho ba đường thẳng a, b, c vng góc với đơi Nếu có đường thẳng d vng góc với a d song song với b c C Nếu đường thẳng a vng góc với đường thẳng b đường thẳng b vng góc với đường thẳng c đường thẳng a vng góc với đường thẳng c D Nếu đường thẳng a vng góc với đường thẳng b đường thẳng b song song với đường thẳng c đường thẳng a vng góc với đường thẳng c Hướng dẫn giải: Chọn D Theo định lý-sgk SĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Quan hệ vng góc – HH 11 DẠNG 1: TÍNH GĨC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG Phương pháp: Để tính góc hai đường thẳng d1 ,d2 khơng gian ta thực theo hai cách Cách Tìm góc hai đường thẳng d1 ,d2 cách chọn điểm O thích hợp ( O thường nằm hai đường thẳng) ' ' d ,d Từ O dựng đường thẳng song song ( trịng O nằm hai d' ,d' đường thẳng) với d1 d2 Góc hai đường thẳng góc hai đường thẳng d1 ,d2 Lưu ý 1: Để tính góc ta thường sử dụng định lí cơsin tam giác b2 c2 a2 cos A 2bc uu r uu r u1 ,u2 Cách Tìm hai vec tơ phương hai đường thẳng d1 ,d2 uu r uu r u1.u2 cos d1, d2 uu r uu r u u Khi góc hai đường thẳng d1 ,d2 xác định uu r uu r uu r uu r r r r u1u2 , u1 , u2 Lưu ý 2: Để tính ta chọn ba vecuu tơ ra,b,c khơng đồng phẳng mà tính độ dài r uu r r r u1 ,u2 a góc chúng,sau biểu thị vec tơ qua vec tơ ,b,c thực tính tốn IJ a ( I , J trung điểm BC AD Câu 1: Cho tứ diện ABCD có AB CD a , ) Số đo góc hai đường thẳng AB CD A 30� B 45� Hướng dẫn giải: Chọn C Gọi M , N trung điểm AC , BC Ta có: 1 a � �MI NI AB CD 2 � MINJ � � �MI // AB // CD // NI hình thoi C 60� D 90� Gọi O giao điểm MN IJ � � Ta có: MIN MIO SĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Quan hệ vng góc – HH 11 a � IO � MIO � 30�� MIN � 60� cos MIO a MI 2 Xét MIO vuông O , ta có: � 60� AB, CD IM , IN MIN Mà: B C D Giả sử tam giác AB� C A� DC �đều có góc nhọn Góc Câu 2: Cho hình hộp ABCD A���� D góc sau đây? hai đường thẳng AC A� � C � �� DB B A BDB� B AB� C � C D DA�� Hướng dẫn giải: Chọn D C (tính chất hình hộp) Ta có: AC // A�� � �� � AC , A� D A�� C , A� D DA C (do giả thiết C nhọn) cho DA�� Câu 3: Cho tứ diện ABCD (Tứ diện có tất cạnh nhau) Số đo góc hai đường thẳng AB CD A 30� B 45� C 60� D 90� Hướng dẫn giải: Chọn D BCD � AH BCD Gọi H tâm đường tròn ngoại tiếp Gọi E trung điểm CD � BE CD (do BCD đều) AH BCD � AH CD Do CD BE � � CD ABE � CD AB � � AB, CD 90� � CD AH � Ta có: cos AB, DM Câu 17 [1H3-2] Cho tứ diện ABCD , M trung điểm cạnh BC Khi A B C D Hướng dẫn giải: Chọn A Khơng tính tổng quát, giả sử tứ diện ABCD có cạnh a BCD � AH BCD Gọi H tâm đường tròn ngoại tiếp � ME // AB � AB, DM ME , MD Gọi E trung điểm AC uuur uuuu r � cos AB, DM cos ME , MD cos ME , MD cos EMD Ta có: Do mặt tứ diện tam giác đều, từ ta dễ dàng tính độ dài cạnh MED : ME a , ED MD a SĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Quan hệ vng góc – HH 11 ME MD ED � cos EMD ME.MD Xét MED , ta có: cos AB, DM 2 �a � �a � �a � � � � � � � �2 � � � � � a a 2 3 6 Từ đó: S ABCD Câu 4: Cho hình chóp có đáy hình vng ABCD cạnh a cạnh bên a Gọi M N trung điểm AD SD Số đo góc MN , SC A 30� B 45� C 60� D 90� Hướng dẫn giải: Chọn D Gọi O tâm hình vng ABCD � O tâm đường trịn ngoại tiếp hình vng ABCD (1) Ta có: SA SB SC SD � S nằm trục đường trịn ngoại tiếp hình vng ABCD (2) � SO ABCD Từ (1) (2) MN // SA Từ giả thiết ta có: (do MN đường trung bình � MN , SC SA, SC SAD ) 2 �SA SC a a 2a � SAC � 2 AC AD a � Xét SAC , ta có: vuông S � SA SC � SA, SC MN , SC 90� Câu 5: Cho hình chóp S ABCD có tất cạnh a Gọi I J trung điểm SC BC Số đo góc IJ , CD A 30� B 45� C 60� D 90� Hướng dẫn giải: Chọn C Gọi O tâm hình vng ABCD � O tâm đường trịn ngoại tiếp hình vng ABCD (1) Ta có: SA SB SC SD � S nằm trục đường trịn ngoại tiếp hình vng ABCD (2) � SO ABCD Từ (1) (2) IJ // SB Từ giả thiết ta có: (do IJ đường trung bình SAB ) � IJ , CD SB, AB � 60�� SB, AB 60�� IJ , CD 60� SBA Mặt khác, ta lại có SAB đều, ABCD AB CD J Câu 6: Cho tứ diện có Gọi I , , E , F trung điểm AC , BC , BD IE , JF , AD Góc A 30� B 45� C 60� D 90� SĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Quan hệ vuông góc – HH 11 Hướng dẫn giải: Chọn D �IJ // EF // AB � Từ giả thiết ta có: �JE // IF // CD (tính chất đường trung bình tam giác) Từ suy tứ giác IJEF hình bình hành 1 AB CD � IJ AB JE CD � ABCD 2 Mặt khác: hình thoi � IE JF (tính chất hai đường chéo hình thoi) � IE , JF 90� uuu r uuuu r Câu 7: Cho hình lập phương ABCD.EFGH Hãy xác định góc cặp vectơ AB DH ? A 45� B 90� C 120� D 60� Hướng dẫn giải: Chọn B AB AE � � �� AB DH � AB , DH 90� AE // DH � Câu 8: Trong không gian cho hai hình vng ABCD ABC ' D ' có chung cạnh AB nằm uuuu r uuu r hai mặt phẳng khác nhau, có tâm O O ' Hãy xác định góc cặp vectơ AB OO ' ? A 60� B 45� C 120� D 90� Hướng dẫn giải: Chọn D Vì ABCD ABC ' D ' hình vng nên AD // BC '; AD BC ' � ADBC ' hình bình hành Mà O; O ' tâm hình vng nên O; O ' trung điểm BD AC ' � OO ' đường trung bình ADBC ' � OO ' // AD OO ' AB � � OO ', AB 90o Mặt khác, AD AB nên � � � Câu 9: Cho tứ diện ABCD có AB AC AD BAC BAD 60 , CAD 90 Gọi I J lần uu r uuur lượt trung điểm AB CD Hãy xác định góc cặp vectơ IJ CD ? A 45� B 90� C 60� D 120� Hướng dẫn giải: Chọn B Ta có BAC BAD tam giác đều, I trung điểm AB nên CI DI (2 đường trung tuyến tam giác chung cạnh AB ) nên CID tam giác cân I Do IJ CD � � � Câu 10: Cho hình chóp S ABC có SA SB SC ASB BSC CSA Hãy xác định góc cặp uur uuur vectơ SB AC ? A 60� B 120� C 45� D 90� Hướng dẫn giải: SĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Quan hệ vng góc – HH 11 Chọn D SAB SBC SCA c g c � AB BC CA Ta có: Do đótam giác ABC Gọi G trọng tâm tam giác ABC Vì hình chóp S ABC có SA SB SC nên hình chiếu S trùng với G SG ABC Hay AC BG � � AC SBG � AC SG Ta có: � Suy AC SB uur uuur Vậy góc cặp vectơ SB AC 90 � � � Câu 11: Cho tứ diện ABCD có AB AC AD BAC BAD 60 , CAD 90 Gọi I J lần uu r uuu r lượt trung điểm AB CD Hãy xác định góc cặp vectơ AB IJ ? A 120� B 90� C 60� D 45� Hướng dẫn giải: Chọn B Xét tam giác ICD có J trung điểm đoạn CD uur uur uur IJ IC ID Ta có: � Vì tam giác ABC có AB AC BAC 60� Nên tam giác ABC Suy ra: CI AB Tương tự ta có tam giác ABD nên DI AB uu r uuu r uur uur uuu r uur uuu r uur uuu r r IJ AB IC ID AB IC AB ID AB 2 Xét uur uuu r uu r uuu r Suy I J AB Hay góc cặp vectơ AB IJ 90 Câu 12: Cho tứ diện ABCD có trọng tâm G Chọn khẳng định đúng? AB AC AD BC BD CD GA2 GB GC GD A 2 2 2 2 2 AB AC AD BC BD CD GA GB GC GD B 2 2 2 2 2 AB AC AD BC BD CD GA GB GC GD C 2 2 2 2 2 AB AC AD BC BD CD GA GB GC GD D Hướng dẫn giải: Chọn B AB AC AD BC BD CD uuur uuu r uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur AG GB AG GC AG GD BG GC BG GD CG GD uuur uuu r uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur AG 3BG 3CG 3DG AG.GB AG.GC AG.GD BG.GD BG.GD CG.GD 1 SĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Lại có: Quan hệ vng góc – HH 11 uuu r uuu r uuur uuur r GA GB GC GD � GA2 GB GC GD2 uuur uuu r uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur AG.GB AG.GC AG.GD BG.GD BG.GD CG.GD Từ (1) (2) ta có điều phải chứng minh Câu 13: Cho tứ diện ABCD có hai mặt ABC ABD tam giác Góc AB CD là? A 120� B 60� C 90� D 30� Hướng dẫn giải: Chọn C Gọi I trung điểm AB Vì ABC ABD tam giác CI AB � � Nên �DI AB Suy AB CID � AB CD Câu 14: Cho hình chóp S ABCD có tất cạnh a Gọi I J trung điểm IJ , CD bằng: SC BC Số đo góc A 90� B 45� Hướng dẫn giải: Chọn D Gọi O tâm hình thoi ABCD Ta có: OJ //CD Nên góc IJ CD góc IJ OJ C 30� D 60� Xét tam giác IOJ có a a a I J SB , OJ CD , IO SA 2 2 2 Nên tam giác IOJ Vậy góc IJ CD góc IJ OJ � góc IJO 60 B C D Giả sử tam giác AB� C A� DC �đều có góc nhọn Góc Câu 15: Cho hình hộp ABCD A���� D góc sau đây? hai đường thẳng AC A� � C � C � D � A AB� B DA�� C BB� D BDB� Hướng dẫn giải: SĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Quan hệ vng góc – HH 11 Chọn B C nên góc hai đường thẳng AC A� D Ta có: AC //A�� C A� D góc hai đường thẳng A�� � C DC �đều có góc nhọn góc nhọn DA�� (Vì tam giác A� Câu 16: Cho tứ diện ABCD Số đo góc hai đường thẳng AB CD bằng: A 60� B 30� C 90� D 45� Hướng dẫn giải: Chọn C Gọi G trọng tâm tam giác ABC AG BCD Vì tứ diện ABCD nên CD AG � � CD ABG � CD AB � CD BG � Ta có: CD Vậy số đo góc hai đường thẳng AB 90 Câu 17: Cho tứ diện ABCD có hai cặp cạnh đối vng góc Cắt tứ diện mặt phẳng song song với cặp cạnh đối diện tứ diện Trong mệnh đề sau mệnh đề đúng? A Thiết diện hình chữ nhật B Thiết diện hình vng C Thiết diện hình bình hành D Thiết diện hình thang A Hướng dẫn giải: Chọn A Gỉa sử thiết diện tứ giác MNPQ Q M Ta có: MN //PQ MN PQ nên MNPQ hình bình hành Lại có AC BD � MQ PQ B D P N Vậy tứ giác MNPQ hình chữ nhật C uuu r uuur uuur uuur uuur uuu r Câu 18: Cho tứ diện ABCD Chứng minh AB AC AC AD AD AB AB CD , AC BD , AD BC Điều ngược lại không? Sau lời giải: SĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 10 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Quan hệ vng góc – HH 11 Mặt khác, AB CD � MQ MN Do đó, MNPQ hình chữ nhật MQ CM x � MQ x AB x MQ // AB Vì nên AB CB MC x.BC � BM x BC Theo giả thiết MN BM x � MN x CD x Vì MN //CD nên CD BC Diên tích hình chữ nhật MNPQ �x x � S MNPQ MN MQ x x 36 x x �36 � � � � x 1 x � x S 9 Ta có MNPQ Vậy diện tích tứ giác MNPQ lớn M trung điểm BC Câu 34: Cho tứ diện ABCD cạnh a Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD Góc AO CD ? 0 0 A B 30 C 90 D 60 Hướng dẫn giải: uuur uuur uuur uuu r uuur AO.CD CO CA CD Taucó uur uuur uuu r uuur CO.CD CA.CD CO.CD.cos 300 CA.CD.cos 600 a 3 a2 a2 a a.a 2 2 Suy AO CD Câu 35: Cho tứ diện ABCD có AB CD Gọi I , J , E , F trung điểm AC , BC , BD, AD Góc IE , JF 0 A 30 B 45 Hướng dẫn giải: Tứ giác IJEF hình bình hành � IJ AB � � � �JE CD Mặt khác � mà AB CD nên IJ JE Do IJEF hình thoi Suy C 60 D 90 IE , JF 900 SĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 16 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Câu 36: Cho tứ diện ABCD với AC � DAB � 600 , CD AD AD, CAB Gọi góc AB CD Chọn khẳng định ? cos A B 60 Hướng dẫn giải: uuu r uuur uuu r uuur uuu r uuur AB.CD AB.CD cos AB, CD uuu r uuur AB CD AB.CD Ta có Mặt khác uuu r uuur uuu r uuur uuur uuu r uuur uuu r uuur AB.CD AB AD AC AB AD AB AC Quan hệ vng góc – HH 11 C 30 D cos AB AD.cos 600 AB AC.cos 600 1 AB AD AB AD AB AD AB.CD 2 4 AB.CD uuu r uuur 1 cos AB, CD cos AB.CD Suy Do có Câu 37: Trong khơng gian cho hai hình vng ABCD ABC ' D ' có chung cạnh AB nằm hai mặt phẳng khác nhau, có tâm O O ' Tứ giác CDD ' C ' hình gì? A Hình bình hành B Hình vng C Hình thang D Hình chữ nhật Hướng dẫn giải: DC ADD ' � DC DD ' Tứ giác CDD ' C ' hình bình hành Lại có: Vậy tứ giác CDD ' C ' hình chữ nhật a AB CD a, IJ= ( I , J trung điểm BC AD ) Câu 38: Cho tứ diện ABCD có Số đo góc hai đường thẳng AB CD : 0 0 A 30 B 45 C 60 D 90 Hướng dẫn giải: Gọi M trung điểm AC A Góc hai đường thẳng AB CD góc hai đường thẳng MI MJ J IM MJ IJ cosIMJ MI MJ Tính được: M Từ suy số đo góc hai đường thẳng AB CD là: 60 B D I Câu 38: Cho tứ diện ABCD với AB AC , AB BD Gọi P, Q trung điểm AB CD Góc PQ AB là? 0 A 90 B 60 C 30 SĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com D 45 Trang 17 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Quan hệ vng góc – HH 11 Hướng uuu r uuur dẫn giải: AB.PQ � AB PQ r r r r r r r r a 4; b 3; a b a , b a Câu 39: Cho hai vectơ thỏa mãn: Gọi góc hai vectơ , b Chọn khẳng định đúng? cos cos 0 A B 30 C D 60 Hướng dẫn giải: r r r2 r2 rr rr (a b) a b 2a.b � a.b rr a.b cos r r a.b Do đó: uuu r uuur uuur uuur uuur uuur ABCD AB CD AC.DB AD.BC k Câu 40: Cho tứ diện Tìm giá trị k thích hợp thỏa mãn: A k B k C k D k Hướng dẫn giải: uuu r uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuu r uuur uuur uuur uuur uuu r AB.CD AC.DB AD.BC AC CB CD AC DB AD.CB uuur uuur uuur uuu r uuur uuur uuur uuu r uuu r uuur AC CD DB CB CD AD AC CB CB.AC Chọn đáp án C Câu 41: Trong không gian cho tam giác ABC có trọng tâm G Chọn hệ thức đúng? AB AC BC GA2 GB GC A 2 2 2 B AB AC BC GA GB GC C AB AC BC GA2 GB GC AB AC BC GA2 GB GC D Hướng dẫn giải: Cách Ta có uuu r uuur uuur GA GB GC uuu r uuur uuu r uuur uuu r uuur � GA2 GB GC 2GA.GB 2GA.GC 2GB.GC � GA2 GB GC GA2 GB AB GA2 GC AC GB GC BC � AB AC BC GA2 GB GC Cách 2: Ta có: � AB + AC BC � MA = � � AB + AC BC � � � GA2 = � � � � � � � � � � � � � GA = MA � � � Tương tự ta suy SĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 18 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Quan hệ vng góc – HH 11 �AB + AC BC BA2 + BC AC CA2 + CB AB � � � GA2 + GB + GC = � + + � � � 9� 4 � � ( AB + BC + CA2 ) � 3( GA2 + GB + GC ) = AB + BC + CA2 = Chọn đáp án D Cách 3: Chuẩn hóa giả sử tam giác ABC có cạnh Khi �AB + BC + CA2 = � � 3( GA2 + GB + GC ) = AB + BC + CA2 � 2 � GA + GB + GC = � Chọn đáp án D Câu 42: Trong không gian cho tam giác ABC Tìm M cho giá trị biểu thức P MA2 MB MC đạt giá trị nhỏ A M trọng tâm tam giác ABC B M tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC C M trực tâm tam giác ABC D M tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC Hướng dẫn giải: uur uuu r uuu r r G ABC � G GA + GB + GC = Gọi trọng tâm tam giác cố định uuur uur uuur uuu r2 uuur uuu r2 P = MG + GA + MG + GB + MG + GC uuur uur uuu r uuu r = 3MG + MG GA + GB + GC + GA2 + GB + GC ( ) ( ( ) ( ) ) = 3MG + GA2 + GB + GC �GA2 + GB + GC M G Dấu xảy ۺۺۺۺۺۺۺۺۺۺۺۺۺ 2 Vậy Pmin = GA + GB + GC với M �G trọng tâm tam giác ABC Chọn đáp án A r r r r r r r r a 26; b 28; a b 48 a , b a Câu 43: Cho hai vectơ thỏa mãn: Độ dài vectơ b bằng? A 25 B 616 C D 618 Hướng dẫn giải: r r2 r r r r2 rr r2 r2 r r a b a b a b 2a.b a b a b r2 r2� r r2 2 2� �a b � a b 26 28 48 616 � � r r � a b 616 � � � Câu 44: Cho tứ diện ABCD có DA DB DC BDA 60 , ADC 90 , BDC 120 Trong mặt tứ diện đó: A Tam giác ABD có diện tích lớn C Tam giác ACD có diện tích lớn Hướng dẫn giải: B Tam giác BCD có diện tích lớn D Tam giác ABC có diện tích lớn SĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 19 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Quan hệ vng góc – HH 11 Đặt DA DB DC a a2 Tam giác ABD cạnh a nên diện tích a2 S ACD DA.DC 2 Tam giác ACD D nên diện tích a2 S BCD DB.DC sin1200 Diện tích tam giác BCD Tam giác ABC có AB a, AC a 2, BC a nên tam giác ABC S ABD a2 AB AC 2 S ABC vuông A Diện tích tam giác ABC Vậy diện tích tam giác ABC lớn r r rr r r u r r r r r r a 4; b 3; a b 10 y a b x a 2b, Gọi Câu 45: Cho hai vectơ a, b thỏa mãn: Xét hai vectơ r u r x , y α góc hai vectơ Chọn khẳng định 2 15 A B Hướng dẫn giải: ru r r r r r x y a 2b a b Ta có r r r r x x a 2b cos u r y u r y r r a b ru r x y cos r u r x y r 15 r C cos 15 D cos 15 rr a b 3a.b r r rr a b 4a.b cos 2 2 r r rr a b 2a.b 15 ABC có diện tích S Tìm giá trị k thích hợp thỏa mãn: r uuur uuu r uuur uuu S AB AC 2k AB AC 1 k k A B k = C D k Hướng dẫn giải: 1 S AB AC.sin C AB AC sin C AB AC cos2 C 2 r uuur uuu r uuur uuu AB AC AB AC Chọn C Câu 47: Cho tứ diện ABCD có hai mặt ABC ABD tam giác a) Khẳng định sau A AB CD chéo B AB CD vng góc với C AB CD đồng phẳng Câu 46: Cho tam giác SĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 20 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Quan hệ vng góc – HH 11 D AB CD cắt b) Gọi M , N , P, Q trung điểm cạnh AC , BC , BD, DA Khẳng định sau nhất? Chứng minh MNPQ hình chữ nhật A MNPQ hình vng B MNPQ hình bình hành D MNPQ hình thoi C MNPQ hình chữ nhật Hướng dẫn giải: a) Đặt AB AD AC a uuur uuur uuur uuur uuur CD AB AD AC AB Ta có uuu r uuur uuur uuur 1 AB AD cos 600 AB AC cos 600 a.a a.a 2 Vậy AB CD AB a MN PQ 2 nên tứ giác b) Ta có MN PPQ P AB MNPQ hình bình hành �MN P AB � �NP PCD � MN NP �AB CD � , MNPQ hình chữ nhật Câu 48: Cho hình chóp S ABC có SA SB SC a BC a Tính góc hai đường thẳng AB SC AB, SC 600 AB, SC 450 � � A B AB, SC 300 AB, SC 900 � � C D Hướng dẫn giải: Gọi M , N , P trung điểm SA, SB, AC , Lại có MN P AB nên AB, SC � MN , SC � � Đặt NMP , tam giác MNP có MN MP NP cos 1 2MN MP a MN MP , AB AC BC � ABC vng A , Ta có 5a 3a PB AP AC PS , Trong tam giác PBS theo cơng thứ tính đường trung tuyến ta có 5a 3a 2 PB PS SB 2 4 a 3a PN 4 SĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 21 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Quan hệ vng góc – HH 11 cos � 1200 1 MN , MP , NP Thay vào ta AB, SC � MN , SC 600 � Vậy S ABCD Câu 49: Cho hình chóp có đáy ABCD hình thoi, SA AB SA BC a) Tính góc hai đường thẳng SD BC BC , SD 300 BC , SD 450 BC , SD 600 BC , SD 500 � � � � A B C D b) Gọi I , J điểm thuộc SB SD cho IJ P BD Chứng minh góc AC IJ khơng phụ thuộc vào vị trí I J IJ , AC 900 IJ , AC 600 IJ , AC 300 IJ , AC 450 � � � � A B C D Hướng dẫn giải: BC , SD 450 IJ , AC 900 � � a) b) Câu 50: Cho hai tam giác cân ABC DBC có chung cạnh đáy BC nằm hai mặt phẳng khác a) Khẳng định sau nhất? A AD BC B AD cắt BC C AD BC chéo D Cả A, B, C uuur uuur uuur uuur M , N MA k MB , ND k NB AB DB b) Gọi điểm thuộc đường thẳng cho Tính góc hai đường thẳng MN BC � � MN , BC 900 MN , BC 800 A B � MN , BC 450 MN , BC 60 � C D Hướng dẫn giải: a) Gọi P trung điểm BC , tam giác �AP BC � ABC DBC cân nên �DP BC uuur uuur uuur uuur uuu r BC AD BC PD PA Ta có Vậy BC AD uuur uuur uuur uuur MA ND MA k MB � k ND k NB � k MB NB b) Ta có , MA ND � MB NB MN P AD � � MN , BC � AD, BC 900 suy ( Theo câu a) SĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 22 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Quan hệ vng góc – HH 11 Câu 51: Cho hình hộp thoi ABCD A ' B ' C ' D ' có tất cạnh a � �' BA B �' BC 600 ABC B Tính góc hai đường thẳng AC B’D’ AC, B 'D' 900 AC, B 'D' 600 AC, B 'D' 450 � � � A B C Hướng dẫn giải: HS tự giải D AC, B 'D' 300 � Câu 52: Cho tứ diện ABCD Gọi M , N trung điểm cạnh BC AD Cho biết AB CD 2a MN a Tính góc hai đường thẳng AB CD AB, CD 300 AB, CD 450 � � A B AB, CD 600 AB, CD 900 � � C D Hướng dẫn giải: Gọi O trung điểm AC , ta có OM ON a OM P AB � � � AB, CD � OM , ON � ON PCD � Áp dụng định lí cơsin cho tam giác OMN ta có � cos MON Vậy OM ON MN 2OM ON 2 a2 a2 a 2.a.a AB, CD 600 � Câu 53: Cho tứ diện ABCD có AB CD a, AC BD b, AD BC c a)Khẳng định sau A đoạn nối trung điểm cặp cạnh đối vng góc với hai cạnh B đoạn nối trung điểm cặp cạnh đối khơng vng góc với hai cạnh C đoạn nối trung điểm cặp cạnh đối vng góc khơng vng góc với hai cạnh D A, B, C sai b) Tính góc hai đường thẳng AC BD SĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 23 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A A B C Quan hệ vng góc – HH 11 a c2 � AC , BD arccos b2 a2 c2 � AC , BD arccos b2 a2 c2 � AC , BD arccos 3b 2 a2 c2 � AC , BD arccos b2 D Hướng dẫn giải: Gọi M , N , P trung điểm cạnh AB, CD, AD a) Do hai tam giác ACD BCD có CD chung AC BD, AD BC nên chúng nhau, suy MC MD Vậy tam giác MCD cân M có trung tuyến MN nên MN CD Tương tự MN AB Chứng minh tương tự cho hai cặp cạnh đối lại �PM P BD � � BD, AC � PM , PN � b) Ta có �PN P AC Theo cơng thức tính đường trung tuyến ta có 2 CA2 CB AB 2 b c a CM 4 2 2 b c a DM Tương tự , nên 2 2 b2 c2 a a b2 c2 a MC MD CD MN 4 PMN Áp dụng định lí sin cho tam giác ta có 2 2 �b � �b � b c a � �� a2 c2 PM PN MN � � �2 � � � cos MPN 2.PM PN b2 �b � �b � 2� � �� �2 � �2 � Vậy a2 c2 � AC , BD arccos b2 SĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 24 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Quan hệ vng góc – HH 11 DẠNG 2: CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN Phương pháp: Để chứng minh d1 d2 ta có phầnuu ta thựcuu theo cách sau: r uu r r uu r Chứng minh d1 d2 ta chứng minh u1u2 u1 ,u2 vec tơ phương d1 d2 � bPc � a b � a c � Sử dụng tính chất Sử dụng định lí Pitago xác định góc d1 ,d2 tính trực tiếp góc Tính độ dài đoạn thẳng, diện tích đa giác Tính tích vơ hướng… B C D có tất cạnh Trong mệnh đề sau, Câu 1: Cho hình hộp ABCD A���� mệnh đề sai? C BD B DC � A� D BD A A�� B BB� C A� D BC � Hướng dẫn giải: Chọn B Chú ý: Hình hộp có tất cạnh cịn gọi hình hộp thoi A vì: C B�� D �A�� � A�� C BD � D // BD �B�� B sai vì: B AB� �A� � A� B DC � � � � AB // DC � C vì: � � BC B C � � BC � A� D � � � D vì: �B C // A D uuu r uuur uuur uuur uuur uuu r Câu 2: Cho tứ diện ABCD Chứng minh AB AC AC AD AD AB AB CD , AC BD , AD BC Điều ngược lại không? Sau lời giải: uuur uuur uuur uuu r uuur uuur uuur AC AB AD AC BD Bước 1: AB AC AC AD Bước 2: Chứng minh tương tự, từ ta AD BC ta AB CD Bước 3: Ngược lại đúng, trình chứng minh bước trình biến đổi tương đương Bài giải hay sai? Nếu sai sai đâu? A Đúng B Sai từ bước C Sai từ bước D Sai bước Hướng dẫn giải: Chọn A SĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 25 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Quan hệ vng góc – HH 11 P song song với AB CD lần Câu 4: Cho tứ diện ABCD có AB vng góc với CD Mặt phẳng lượt cắt BC , DB, AD, AC M , N , P, Q Tứ giác MNPQ hình gì? A Hình thang B Hình bình hành C Hình chữ nhật D Tứ giác khơng phải hình thang Hướng dẫn giải: Chọn C � MNPQ //AB � � MQ //AB � MNPQ � ABC MQ � Ta có: Tương tự ta có: MN //CD, NP //AB, QP //CD Do tứ giác MNPQ hình bình hành MN MQ AB CD lại có Vậy tứ giác MNPQ hình chữ nhật Câu 5: Cho tứ diện ABCD có cạnh a Gọi M , N , P, Q, R trung điểm AB, CD, AD, BC AC a) Khẳng định sau nhất? A MN RP, MN RQ B MN RP, MN cắt RQ D Cả A, B, C sai C MN chéo RP; MN chéo RQ b) Tính góc hai đường thẳng AB CD? AB, CD 600 AB, CD 300 � � A B AB, CD 450 AB, CD 900 � � C D Hướng dẫn giải: a MC MD nên tam giác MCD cân M , MN CD a) Ta có Lại có RP PCD � MN RQ b) Tương tự ta có QP AD Trong tam giác vng PDQ ta có 2 �a � �a � a2 QP QD DP � �2 � � �� � � �2 � Ta có : 2 �a � �a � 2 RQ RP � � � � a QP �2 � �2 � Do tam giác RPQ vng R , hay RP RQ �AB PRQ � CD PRP � AB CD � �RP RQ Vì � 2 SĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 26 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Quan hệ vng góc – HH 11 Câu 6: Trong không gian cho hai tam giác ABC ABC �có chung cạnh AB nằm hai A Tứ mặt phẳng khác Gọi M , N , P, Q trung điểm cạnh AC , CB, BC �và C � giác MNPQ hình gì? A Hình bình hành B Hình chữ nhật C Hình vng Hướng dẫn giải: Chọn B Vì M , N , P, Q nên dễ thấy tứ giác MNPQ hình bhình hành D Hình thang Gọi H trung điểm AB CH AB � � C� H AB Vì hai tam giác ABC ABC �nên � AB CHC � Do AB CC � Suy �PQ //AB � �PN //CC �� PQ PN �AB CC � Ta có: � Vậy tứ giác MNPQ hình chữ nhật Câu 7: Cho hình chóp S ABCD có đáy hình bình hành với AB a, AD 2a Tam giác SAB vuông can A , M điểm cạnh AD ( M khác A D ) Mặt phẳng SAB cắt BC , SC , SD N , P, Q qua M song sog với a) MNPQ hình gi? A MNPQ hình thang vng C MNPQ hình chữ nhật b)Tính diện tích MNPQ theo a 3a a2 S MNPQ S MNPQ 8 A B Hướng dẫn giải: � P SAB � SAB � ABCD AB � � � ABCD MN � MN P AB a) Ta có � � P SAB � SBC � SAB SB � NP PSB � � � SBC NP Tương tự � � P SAB � SAD � SAB SA � MQ PSA � � � SAD MQ � B MNPQ hình vng D MNPQ hình bình hành C S MNPQ 3a D SĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com S MNPQ a2 Trang 27 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Quan hệ vng góc – HH 11 Dễ thấy MN P PQ P AB PCD nên MNPQ hình bình hành �MN P AB � �MQ PSA � MN MQ �AB SA Lại có � Vậy MNPQ hình thang vuông SA a CD a PQ 2, 2 b) Ta có MN AB a , � a �a 3a a � S MNPQ MN PQ MQ � 2 �2 � Vậy MQ Câu 8: Cho hình lập phương ABCD A ' B ' C ' D ' cạnh a Trên cạnh DC BB ' lấy điểm M MD NB x �x �a N cho Khẳng định sau đúng? a) Khẳng định sau đúng? A AC ' B ' D ' B AC’ cắt B’D’ C AC’và B’D’ đồng phẳng D Cả A, B, C b) khẳng định sau ? A AC ' MN B AC’ MN cắt C AC’ MN đồng phẳng D Cả A, B, C Hướng uuurdẫnr giải: uuu r r uuur r AA ' a , AB b, AD c Đặt uuuu r r r r uuuu ur r r a) Ta có AC ' a b c , B ' D ' c b nên uuuur uuuuur r r r r r AC '.B ' D ' a b c c b r r r r2 r2 a c b c b a2 a2 � AC ' B ' D ' r x r � x r � x �r r uuuu r uuur uuuu r uuur uuur uuur uuuur �r x r �� b a c b � a � 1- � b-c � �� MN AN AM AB BN AD DM a a a a � �� � � � b) uuuu r uuuu r r r r �r x r �� r x r� x r � x � r r AC '.MN a b c [ � b a �� - c b � a � 1- � b - c] � a �� a � a � a� Từ ta có x r � x �r r � x �2 a � 1 � b c x.a � 1 � a a2 a � a� � a� AC ' MN Vậy Câu 9: Cho tứ diện ABCD có AC a , BD 3a Gọi M N trung điểm AD BC Biết AC vng góc với BD Tính MN a 10 a MN A B Hướng dẫn giải: Chọn A Gọi E , F trung điểm AB CD MN C MN 3a 2 SĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com D MN 2a 3 Trang 28 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Quan hệ vng góc – HH 11 �EN // AC � AC , BD NE , NF 90�� NE NF � NF // BD � Ta có: (1) � NE FM AC � � � �NF ME BD Mà: � (2) � MENF Từ (1), (2) hình chữ nhật 2 2 �AC � �BD � �a � �3a � a 10 MN NE NF � � � � � � � � � � �2 � �2 � �2 � Từ ta có: Chọn D Câu 10: Trong khơng gian cho ba điểm A, B, C bất kỳ, chọn đẳng thức đúng? uuu r uuur uuu r uuur AC AB AC BC 2 AB AC AB AC BC A 2uuAB B u r uuur uuu r uuur AB AC AB AC BC AB AC AB AC BC D C Hướng dẫn giải: Chọn A uuu r uuur BC AB AC AB AC.cos AB, AC AB AC AB AC uuu r uuur Câu 11: Cho hình lập phương ABCD.EFGH có cạnh a Tính AB.EG 2 a2 C 2 a2 B a A Hướng dẫn giải: Chọn B uuu r uuur uuu r uuur uuur uuu r uuur Ta có AB.EG AB AC , mặt khác AC AB AD uuu r uuur uuu r uuur uuu r uuu r uuur uuuur uuu r uuur AB.EG AB AC AB AB AD AB AB AD a Suy Câu 12: Cho tứ diện ABCD có AB a, BD 3a Gọi M , N trung điểm AD BC Biết AC vng góc với BD Tính MN a a 10 MN MN B C A 2a 3a MN MN D Hướng dẫn giải: Chọn B D a SĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 29 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Kẻ NP //AC P �AB Quan hệ vng góc – HH 11 , nối MP a AC NP đường trung bình ABC 2 3a � PM BD 2 MP đường trung bình ABD uuuuuu r AC , BD PN , PM NPM 90� Lại có suy � MNP vuông P � PN Vậy MN PN PM a 10 Câu 13: Cho tứ diện ABCD AB , CD , góc AB CD 60�và điểm M BC cho BM MC Mặt phẳng P qua M song song với AB CD cắt BD , AD , AC M , N , Q Diện tích MNPQ bằng: 2 B C D A Hướng dẫn giải: Chọn C Thiết diện MNPQ hình bình hành � 60� AB, CD QM , MP QMP S MPNQ QN QN sin 60� Suy Lại có CM MO CMQ # CBA � � MQ AB AB AQ QN AQN # ACD � � QN AC CD S QM QN sin 60� 2.2.sin 60� Do MPNQ Câu 14: Cho tứ diện ABCD có AB vng góc với CD , AB 4, CD M điểm thuộc cạnh BC Ta có cho MC BM Mặt phẳng P với tứ diện là? A Hướng dẫn giải: B P qua M song song với AB CD Diện tích thiết diện 17 C SĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com 16 D Trang 30 ... hai đường thẳng vng góc song song với đường thẳng cịn lại B Hai đường thẳng vng góc với đường thẳng song song với C Hai đường thẳng vng góc với đường thẳng vng góc với D Một đường thẳng vng góc. .. C Nếu đường thẳng a vng góc với đường thẳng b đường thẳng b vng góc với đường thẳng c đường thẳng a vng góc với đường thẳng c D Nếu đường thẳng a vuông góc với đường thẳng b đường thẳng b song... đường thẳng song song với B Một đường thẳng vng góc với hai đường thẳng vng góc với song song với đường thẳng lại C Hai đường thẳng vng góc với đường thẳng vng góc với D Một đường thẳng vng góc