MỤC LỤCPHẦN I – ĐỀ BÀI4GIỚI HẠN DÃY SỐ4A – LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP4B – BÀI TẬP4DẠNG 1: TÍNH GIỚI HẠN BẰNG ĐỊNH NGHĨA4DẠNG 2: TÌM GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ DỰA VÀO CÁC ĐỊNH LÝ VÀ CÁC GIỚI HẠN CƠ BẢN7GIỚI HẠN HÀM SỐ15A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT15B – BÀI TẬP15DẠNG 1: TÍNH GIỚI HẠN DẠNG BẰNG ĐỊNH NGHĨA HOẶC TẠI MỘT ĐIỂM15DẠNG 2: TÍNH GIỚI HẠN DẠNG VÔ ĐỊNH 18DẠNG 3: TÍNH GIỚI HẠN DẠNG VÔ ĐỊNH 23DẠNG 4: GIỚI HẠN MỘ BÊN VÀ CÁC DẠNG VÔ ĐỊNH KHÁC27DẠNG 5 : GIỚI HẠN LƯỢNG GIÁC29HÀM SỐ LIÊN TỤC32A – LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP32B – BÀI TẬP32DẠNG 1: TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM32DẠNG 2: TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ TRÊN TẬP XÁC ĐỊNH37DẠNG 3: ÁP DỤNG TÍNH LIÊN TỤC XÉT SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH41ÔN TẬP CHƯƠNG IV42PHẦN II – HƯỚNG DẪN GIẢI50GIỚI HẠN DÃY SỐ50A – LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP50B – BÀI TẬP50DẠNG 1: TÍNH GIỚI HẠN BẰNG ĐỊNH NGHĨA50DẠNG 2: TÌM GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ DỰA VÀO CÁC ĐỊNH LÝ VÀ CÁC GIỚI HẠN CƠ BẢN55GIỚI HẠN HÀM SỐ78A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT78B – BÀI TẬP78DẠNG 1: TÍNH GIỚI HẠN DẠNG BẰNG ĐỊNH NGHĨA HOẶC TẠI MỘT ĐIỂM78DẠNG 2: TÍNH GIỚI HẠN DẠNG VÔ ĐỊNH 85DẠNG 3: TÍNH GIỚI HẠN DẠNG VÔ ĐỊNH 95DẠNG 4: GIỚI HẠN MỘ BÊN VÀ CÁC DẠNG VÔ ĐỊNH KHÁC106DẠNG 5 : GIỚI HẠN LƯỢNG GIÁC110HÀM SỐ LIÊN TỤC117A – LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP117B – BÀI TẬP117DẠNG 1: TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM117DẠNG 2: TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ TRÊN TẬP XÁC ĐỊNH125DẠNG 3: ÁP DỤNG TÍNH LIÊN TỤC XÉT SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH134ĐÁP ÁN ÔN TẬP CHƯƠNG IV135
ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Giới hạn – ĐS> 11 MỤC LỤ SĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Giới hạn – ĐS> 11 PHẦN I – ĐỀ BÀI GIỚI HẠN DÃY SỐ .4 A – LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP B – BÀI TẬP DẠNG 1: TÍNH GIỚI HẠN BẰNG ĐỊNH NGHĨA DẠNG 2: TÌM GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ DỰA VÀO CÁC ĐỊNH LÝ VÀ CÁC GIỚI HẠN CƠ BẢN GIỚI HẠN HÀM SỐ 15 A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT 15 B – BÀI TẬP 15 DẠNG 1: TÍNH GIỚI HẠN DẠNG BẰNG ĐỊNH NGHĨA HOẶC TẠI MỘT ĐIỂM 15 DẠNG 2: TÍNH GIỚI HẠN DẠNG VƠ ĐỊNH 18 � DẠNG 3: TÍNH GIỚI HẠN DẠNG VƠ ĐỊNH � 23 DẠNG 4: GIỚI HẠN MỘ BÊN VÀ CÁC DẠNG VÔ ĐỊNH KHÁC 27 DẠNG : GIỚI HẠN LƯỢNG GIÁC .29 HÀM SỐ LIÊN TỤC 32 A – LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP 32 B – BÀI TẬP 32 DẠNG 1: TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM .32 DẠNG 2: TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ TRÊN TẬP XÁC ĐỊNH 37 DẠNG 3: ÁP DỤNG TÍNH LIÊN TỤC XÉT SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH 41 ÔN TẬP CHƯƠNG IV 42 PHẦN II – HƯỚNG DẪN GIẢI 50 GIỚI HẠN DÃY SỐ .50 A – LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP 50 B – BÀI TẬP 50 DẠNG 1: TÍNH GIỚI HẠN BẰNG ĐỊNH NGHĨA .50 DẠNG 2: TÌM GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ DỰA VÀO CÁC ĐỊNH LÝ VÀ CÁC GIỚI HẠN CƠ BẢN 55 GIỚI HẠN HÀM SỐ 78 A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT 78 B – BÀI TẬP 78 DẠNG 1: TÍNH GIỚI HẠN DẠNG BẰNG ĐỊNH NGHĨA HOẶC TẠI MỘT ĐIỂM 78 SĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Giới hạn – ĐS> 11 DẠNG 2: TÍNH GIỚI HẠN DẠNG VƠ ĐỊNH 85 � DẠNG 3: TÍNH GIỚI HẠN DẠNG VƠ ĐỊNH � 95 DẠNG 4: GIỚI HẠN MỘ BÊN VÀ CÁC DẠNG VÔ ĐỊNH KHÁC 106 DẠNG : GIỚI HẠN LƯỢNG GIÁC 110 HÀM SỐ LIÊN TỤC 117 A – LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP 117 B – BÀI TẬP .117 DẠNG 1: TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM 117 DẠNG 2: TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ TRÊN TẬP XÁC ĐỊNH 125 DẠNG 3: ÁP DỤNG TÍNH LIÊN TỤC XÉT SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH 134 ĐÁP ÁN ÔN TẬP CHƯƠNG IV 135 SĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Giới hạn – ĐS> 11 PHẦN I – ĐỀ BÀI GIỚI HẠN DÃY SỐ A – LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP GIỚI HẠN HỮU HẠN 1.Giới hạn đặc biệt: 1 lim (k �� ) lim k n��n n��n ; lim qn ( q 1) n�� ; lim C C n�� 2.Định lí : a) Nếu lim un = a, lim = b lim (un + vn) = a + b lim (un – vn) = a – b lim (un.vn) = a.b u a lim n b (nếu b 0) b) Nếu un 0, n lim un= a un a a lim u �vn c) Nếu n ,n lim = lim un = lim un a d) Nếu lim un = a Tổng cấp số nhân lùi vô hạn u1 q 1 S = u1 + u1q + u1q2 + … = 1 q GIỚI HẠN VÔ CỰC Giới hạn đặc biệt: lim n � limnk �(k �� ) limqn �(q 1) Định lí: a) Nếu lim un � lim 0 un un v b) Nếu lim un = a, lim = lim n = c) Nếu lim un = a 0, lim = un � � ne� u a.vn � � ne� u a.vn v lim n = � d) Nếu lim un = +, lim = a � � ne� u a � � ne� u a lim(un.vn) = � * Khi tính giới hạn có dạng vô � định: , �, – , 0. phải tìm cách khử dạng vơ định B – BÀI TẬP DẠNG 1: TÍNH GIỚI HẠN BẰNG ĐỊNH NGHĨA Phương pháp: �Để chứng minh lim un ta chứng minh với số a nhỏ tùy ý tồn số na u a n na cho n �Để chứng minh lim un l ta chứng minh lim(un l ) �Để chứng minh lim un � ta chứng minh với số M lớn tùy ý, tồn số tự nhiên nM u M n nM cho n lim u � lim(un ) � n �Để chứng minh ta chứng minh SĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Giới hạn – ĐS> 11 �Một dãy số có giới hạn giới hạn Câu Chọn mệnh đề mệnh đề sau: lim un � lim un � A Nếu , lim un lim un C Nếu , lim n bằng: Câu Giá trị A B 1 lim k n ( k ��*) bằng: Câu Giá trị A B lim un � lim un � , lim un a lim un a D Nếu , B Nếu C D C D C D C D C D C D C D C D C D C D C D C D sin n n bằng: Câu Giá trị A B lim(2 n 1) Câu Giá trị bằng: A � B � lim 1 n n bằng: Câu Giá trị A � B � lim n bằng: Câu Giá trị A � B � cos n sin n lim n bằng: Câu Giá trị A � B � n 1 lim n bằng: Câu Giá trị A � B � 3n3 n lim n bằng: Câu 10 Giá trị A � B � 2n lim n bằng: Câu 11 Giá trị A � B � 2n A lim n bằng: Câu 12 Giá trị A � B � 2n B lim n bằng: Câu 13 Giá trị A � B � lim Câu 14 Giá trị C lim n2 n bằng: SĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A B � n2 n A lim 2n bằng: Câu 15 Giá trị Giới hạn – ĐS> 11 A � C D A � C D C 3 D C D C D C D C D Câu 16 Giá trị A � Câu 17 Giá trị A � Câu 18 Giá trị A � Câu 19 Giá trị A � B � n sin n 3n B lim n2 bằng: B � C lim n n bằng: B � 4n D lim n 3n bằng: B � n a lim n! bằng: B � n Câu 20 Giá trị lim a với a bằng: A � B � SĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Giới hạn – ĐS> 11 DẠNG 2: TÌM GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ DỰA VÀO CÁC ĐỊNH LÝ VÀ CÁC GIỚI HẠN CƠ BẢN Phương pháp: �Sử dụng định lí giới hạn, biến đổi đưa giới hạn f ( n) lim g (n) ta thường chia tử mẫu cho n k , k bậc lớn tử �Khi tìm mẫu k m � lim � � f ( n) g (n) �trong lim f (n) lim g ( n) � ta thường tách sử dụng �Khi tìm phương pháp nhân lượng liên + Dùng đẳng thức: a b a b a b; a b a2 ab b2 a b �Dùng định lí kẹp: Nếu un �vn ,n lim = thìlim un = Khi tính giới hạn dạng phân thức, ta ý số trường hợp sau đây: Nếu bậc tử nhỏ bậc mẫu kết giới hạn Nếu bậc từ bậc mẫu kết giới hạn tỉ số hệ số luỹ thừa cao tử mẫu Nếu bậc tử lớn bậc mẫu kết giới hạn + hệ số cao tử mẫu dấu kết – hệ số cao tử mẫu trái dấu Câu Cho dãy số A un với un un1 n Chọn giá trị lim un số sau: 4n un B � n cos 2n � lim � 5 � � n �là: Câu Kết A B 2n A lim 3n bằng: Câu Giá trị B � 4n 3n B lim (3n 1) bằng: Câu Giá trị C D C –4 D A � C A � C lim Câu Kết A B � n 2n 3n B 3 D D C SĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com D Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Câu Giới hạn dãy số un A � với un 3n n 4n là: B � Câu Chọn kết B � B lim Câu Giá trị C � D � C D C D C 16 D 1 3 C D C D C D 1 C D C D C D n 3n bằng: B � C lim D lim Câu 11 Giá trị 2n 1 n 2 n 1 B � 17 bằng: n 3n 2n n n bằng: B � A � C lim 3n3 n 2n 3n n bằng: B � (n 2)7 (2n 1)3 F lim (n 2)5 Câu 13 Giá trị bằng: A � B � n3 C lim n(2n 1) bằng: Câu 14 Giá trị Câu 12 Giá trị A � B � n3 3n D lim n 4n3 bằng: Câu 15 Giá trị A � B � n 2n E lim n2 Câu 16 Giá trị bằng: � � A B A � D n 2n A � Câu 10 Giá trị A � C n3 2n 5n : lim A B 2n 3n A lim 3n n bằng: Câu Giá trị A � Giới hạn – ĐS> 11 SĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A F lim Câu 17 Giá trị n 2n n 3n3 n n bằng: B � A � un un n 1 Câu 18 Cho dãy số với A � B 10 lim n n : Câu 19 A � B 10 n 1 lim n 1 n Câu 20 Tính giới hạn: C Câu 23 Giá trị bằng: A � lim C D � C 1 D C D C D n2 1 n 2n B ak n k a1n a0 D lim bp n p b1n b0 B � 5n lim n 2.5n là: Câu 24 Kết A B 50 a b �0 (Trong k , p số nguyên dương; k p ) C Đáp án khác D C D C D 25 n 1 4.2 3.2 n 4n Câu 25 bằng: A � B � 3.2n 3n C lim n 1 n1 bằng: Câu 26 Giá trị n D 2n n n Chọn kết lim un là: C.1 D � B 2n 1 lim 3n Câu 21 Tính giới hạn: A B Câu 22 Chọn kết 3 1 A A Giới hạn – ĐS> 11 lim A � Câu 27 Giá trị A � B � lim 3n 5n B � C là: C SĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com D D 2 Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Câu 28 Giá trị A Giới hạn – ĐS> 11 3.2n 3n 2n 1 3n 1 bằng: K lim B � C D B C D � C D � 1 3n : n lim Câu 29 A � Câu 30 lim 4n 2n 1 3n 4n : B A 3.3n 4n C lim n 1 n 1 4 Câu 31 Giá trị bằng: A � B D 1 a a a n I lim a 1; b 1 b b b n Câu 32 Cho số thực a,b thỏa Tìm giới hạn 1 b A � B � C a D k k 1 a n a n a1n a0 A lim k p k 1 p 1 a b �0 bp n bp 1n b1n b0 Câu 33 Tính giới hạn dãy số với k p : A � B � C Đáp án khác D n �2 � lim � n sin n3 � � �bằng: Câu 34 A � B C 2 D � C Câu 35 Giá trị A � Câu 36 Giá trị M lim H lim A � Câu 37 Giá trị A � Bài 40 Giá trị B lim n 6n n B � n2 n n B � 2n n B � K lim n n2 n bằng: bằng: bằng: B � A � Câu 38 Giá trị bằng: lim n 3n là: C D 1 C D C D 1 C D SĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com Trang 10 ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Câu 12 Chọn giá trị f (0) để hàm số A Hướng dẫn giải: Giới hạn – ĐS> 11 2x 1 1 x( x 1) liên tục điểm x f ( x) B C D ChọnA x 1 2x lim 1 x �0 x( x 1) x ( x 1) x lim f ( x) lim x �0 x �0 Ta có : Vậy ta chọn f (0) Câu 13.Chọn giá trị f (0) để hàm số A Hướng dẫn giải: lim f ( x) lim x �0 Ta có : Vậy ta chọn B ChọnC x �0 f ( x) f (0) Câu 14.Cho hàm số 3x 2x 3x liên tục điểm x C D (2 x 8) x 9 �x x x 1 � f ( x) � x � 2x x �1 � Khẳng định sau x 1 A Hàm số liên tục tại B Hàm số liên tục điểm C Hàm số không liên tục tại D Tất sai x0 1 Hướng dẫn giải: ChọnC lim f ( x) lim x 3 x �1 Ta có: f (1) x �1 x x2 x2 x lim x �1 x �1 x �1 ( x 1)( x x 1 x 2) x2 lim x �1 x x2 lim f ( x) �lim f ( x) lim f ( x) lim Suy x �1 x �1 Vậy hàm số không liên tục Câu 15.Cho hàm số x0 1 �x x x �0 � f ( x) � x � x � Khẳng định sau SĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com 130 Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A A Hàm số liên tục Giới hạn – ĐS> 11 x0 B Hàm số liên tục điểm gián đoạn C Hàm số không liên tục D Tất sai Hướng dẫn giải: x0 x0 ChọnC Ta có: f (0) lim f ( x) lim x �0 x �0 � 1 x 1 � x 1 x 1 lim � 1 � � x �0 � x x � � � � lim � 1 � f (0) x �0 � 1 x 1 x 1 � Vậy hàm số liên tục x �3 x x �1 � � f ( x) �x �1 x � �3 Câu 16.Cho hàm số Khẳng định sau x A Hàm số liên tục B Hàm số liên tục điểm C Hàm số không liên tục tại x D Tất sai Hướng dẫn giải: ChọnC x 1 1 lim f (1) x �1 x �4 x x �4 x x 1 Ta có : Hàm số liên tục điểm x lim f ( x) lim Câu 17.Cho hàm số �x x x x � f ( x) � x �x x x �2 � Khẳng định sau x 2 A Hàm số liên tục B Hàm số liên tục điẻm C Hàm số không liên tục D Tất sai Hướng dẫn giải: x0 ChọnC ( x 1)( x 2) � � lim f ( x) lim � x � x �2 x �2 � x2 � Ta có : lim f ( x) lim x x �lim f ( x) x �2 x �2 Hàm số không liên tục x0 x �2 SĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com 131 Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Giới hạn – ĐS> 11 � x 2a x f x �2 �x x x �0 liên tục x Câu 18 Tìm a để hàm số 1 A B C D Hướng dẫn giải: ChọnA lim f ( x) lim ( x x 1) Ta có : x �0 x �0 lim f ( x) lim ( x 2a) 2a x �0 x �0 Suy hàm số liên tục x0�a � 4x 1 x �0 � f ( x) �ax (2a 1) x � x � Câu 19.Tìm a để hàm số 1 A B C liên tục x D Hướng dẫn giải: ChọnC lim f ( x) lim Ta có : lim x �0 x �0 x �0 4x 1 x ax 2a 1 ax 2a 1 Hàm số liên tục 4x 1 1 x0� 2a 3� a 2a � 3x x � � x2 1 f ( x) � �a( x 2) x �1 � � x3 Câu 20.Tìm a để hàm số liên tục x 1 A B C D Hướng dẫn giải: ChọnC Ta có : lim f ( x) lim x �1 x �1 lim f ( x) lim x �1 x �1 3x x2 1 a ( x 2) a x3 Suy hàm số liên tục x 1� a 3 �a SĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com 132 Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Giới hạn – ĐS> 11 DẠNG 2: TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ TRÊN TẬP XÁC ĐỊNH Phương pháp: + Sử dụng định lí tính liên tục hàm đa thức, lương giác, phân thức hữu tỉ … + Nếu hàm số cho dạng nhiều cơng thức ta xét tính liên tục khoảng chia điểm chia khoảng Câu Tìm khẳng định khẳng định sau: f x I x2 1 � liên tục II sin x f x x có giới hạn x � III f x x liên tục đoạn 3;3 I II II III A Chỉ B Chỉ C Chỉ II D Chỉ III Hướng dẫn giải: ChọnB Dễ thấy kđ (I) sai, Kđ (II) lí thuyết Hàm số: f x x2 liên tục khoảng 3;3 Liên tục phải liên tục trái 3 f x x2 3;3 Nên liên tục đoạn Câu 2.Tìm khẳng định khẳng định sau: x 1 f x I x liên tục với x �1 II f x sin x III f x A Chỉ I liên tục � x x liên tục x B Chỉ I II C Chỉ I III D Chỉ II III Hướng dẫn giải: Chọn D Ta có II hàm số lượng giác liên tục khoảng tập xác định �x , x �0 x � �x f x � x �x , x III �x Ta có lim f x lim f x f 1 Khi x �1 Vậy hàm số x �1 y f x x x liên tục x SĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com 133 Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A �x ,x� � f x �x � ,x � Câu 3.Cho hàm số I f x Giới hạn – ĐS> 11 Tìm khẳng định khẳng định sau: liên tục x II f x gián đoạn x III f x liên tục � I II A Chỉ I III C Chỉ II III I , II , III D Cả B Chỉ Hướng dẫn giải: Chọn C x2 x liên tục khoảng �; 3; � , 1 Với x � ta có hàm số x2 lim f x lim 2 3 f f 2 x� x� x x Với ta có nên hàm số liên tục x , 2 f x 1 2 ta có hàm số liên tục � Câu 4.Tìm khẳng định khẳng định sau: Từ I f x x5 – x2 liên tục � II f x III x liên tục khoảng –1;1 f x x 2; � liên tục đoạn I A Chỉ Hướng dẫn giải: Chọn D Ta có I III 2; � Ta có f x x5 x Câu 5.Cho hàm số A B Chỉ f x x I II C Chỉ II III D Chỉ I III hàm đa thức nên liên tục � liên tục 2; � �3 x , 0 x9 � x � � f x � m ,x0 �3 � , x �9 �x 1 B C lim f x f x �2 nên hàm số liên tục f x 0; � Tìm m để liên tục D Hướng dẫn giải: Chọn C SĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com 134 Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A TXĐ: D 0; � Giới hạn – ĐS> 11 f 0 m Với x ta có Ta có lim f x lim x �0 x �0 1 x lim x �0 x x Vậy để hàm số liên tục Câu 6.Cho hàm số 3; 0; � f ( x) A Hướng dẫn giải: Chọn B lim f x m � m x �0 x 1 x x Khi hàm số y f x liên tục khoảng sau đây? 2; � �;3 2;3 B C D �x �3 x x �0 � � �x �2 Hàm số có nghĩa x2 f x x x liên tục khoảng �; 3 ; 3; 2 2; � Vậy theo định lí ta có hàm số �x x x � f x � x 16 � x x �2 � Câu Cho hàm số Khẳng định sau � A Hàm số liên tục B Hàm số liên tục điểm C Hàm số không liên tục : � D Hàm số gián đoạn điểm x Hướng dẫn giải: ChọnD D �\ 2 TXĐ : x2 5x � x3 16 �Với hàm số liên tục x � f ( x ) x � �Với hàm số liên tục �Tại x ta có : f (2) x � f ( x) lim f ( x) lim x x �2 x �2 ; ( x 2)( x 3) �lim f ( x) x �2 x �2 2( x 2)( x x 4) 24 x�2 Hàm số không liên tục x lim f ( x ) lim �3 x x � � x 1 f ( x) � �3 x x �1 � � x2 Câu 8.Cho hàm số Khẳng định sau A Hàm số liên tục � SĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com 135 Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Giới hạn – ĐS> 11 B Hàm số không liên tục � C Hàm số không liên tục 1: � D Hàm số gián đoạn điểm x Hướng dẫn giải: ChọnA Hàm số xác định với x thuộc � 1 x � x2 �Với hàm số liên tục x 1 x � f ( x) � x 1 �Với hàm số liên tục f (1) �Tại x ta có : x � f ( x) x 1 ( x 1)( x 1) lim 3 x � x 1 ( x 1)( x x 1) ; 1 x 2 lim f ( x) lim lim f ( x) f (1) x �2 x �1 x2 x �1 x Hàm số liên tục Vậy hàm số liên tục � �tan x , x �0�ٹ x k , k � f x � x � ,x0 � Câu 9.Cho hàm số lim f ( x) lim x �1 x �1 sau đây? �� 0; � � � � A � � �; � � � � B � Hàm số y f x � � ; � � 4� � C liên tục khoảng D �; � Hướng dẫn giải: Chọn A � � D �\ � k , k ��� �2 TXĐ: f 0 x0 Với ta có tan x sin x lim f x lim lim lim lim f x �f x �0 x �0 x �0 x x x �0 cos x hay x �0 x Vậy hàm số gián đoạn � a2 x2 , x � 2, a �� � f x � a x2 , x f x � Câu 10.Cho hàm số Giá trị a để liên tục � là: A B –1 C –1 D –2 Hướng dẫn giải: Chọn D TXĐ: D � f x a x2 Với x ta có hàm số liên tục khoảng 2;� SĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com 136 Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Giới hạn – ĐS> 11 �; f x a x2 Với x ta có hàm số liên tục khoảng f 2a x Với ta có lim f x lim a x a x� x� Để hàm số liên tục x ; lim f x lim a x 2a x� x� � lim f x lim f x f x� x� � 2a a � a2 a a 1 � �� a 2 � Vậy a a 2 hàm số liên tục � �x , x �1 � �2 x f x � , �x 1 x � �x sin x , x � Câu 11.Cho hàm số Tìm khẳng định khẳng định sau: A f x f x liên tục � C liên tục Hướng dẫn giải: Chọn A TXĐ: TXĐ: D � �\ 1 B D f x f x liên tục liên tục �\ 0 �\ 0;1 f x x2 1; � 1 x Với ta có hàm số liên tục khoảng x3 f x x liên tục khoảng 0;1 Với x ta có hàm số f x x sin x �; 3 x0 Với ta có Với x ta có Suy liên tục khoảng x3 lim f x lim 1 lim f x lim x f 1 x �1 x �1 x �1 x x �1 ; lim f x f 1 x �1 ; Vậy hàm số liên tục x f 0 Với x ta có ; suy lim f x f x �0 lim f x lim x �0 x �0 sin x x3 0 lim f x lim x.sin x lim x lim x �0 x �0 x 1 x x �0 ; x �0 4 Vậy hàm số liên tục x Từ 1 , , 3 4 suy hàm số liên tục � x2 x x Khẳng định sau Câu 12.Cho hàm số A Hàm số liên tục � D �\ 3; 2 x �D f ( x) B TXĐ : Ta có hàm số liên tục hàm số gián đoạn x 2, x SĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com 137 Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Giới hạn – ĐS> 11 C Hàm số liên tục x 2, x D Tất sai Hướng dẫn giải: ChọnB D �\ 3; 2 TXĐ : Ta có hàm số liên tục x �D hàm số gián đoạn x 2, x Câu 13.Cho hàm số f ( x) x Khẳng định sau A Hàm số liên tục � � �1 � � x ���; ��� ; �� 3� �3 � � B Hàm số liên tục điểm � �1 � � D� �; �� ; �� � 2� �2 � � C TXĐ : � 1 � x �� ; � � 3 � D Hàm số liên tục điểm Hướng dẫn giải: ChọnB � �1 � � D� �; ��� ; �� � �3 � � TXĐ : � �1 � � x ���; ��� ; �� 3� �3 � � Ta có hàm số liên tục điểm � � f ( x) f � �� � � � 3� x �� � lim x � 3� �1 � lim f ( x) f � �� �1 � �3� x �� � �3� hàm số liên tục trái x hàm số liên tục phải 3 � 1 � x �� ; � 3 � � Hàm số gián đoạn điểm Câu 14.Cho hàm số f ( x) 2sin x tan x Khẳng định sau A Hàm số liên tục � B Hàm số liên tục điểm � � D �\ � k , k ��� �2 C TXĐ : x k , k �� D Hàm số gián đoạn điểm Hướng dẫn giải: ChọnD � � D �\ � k , k ��� �4 TXĐ : Ta có hàm số liên tục điểm thuộc D gián đoạn điểm SĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com 138 Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A x Giới hạn – ĐS> 11 k , k �� �x 3x x �1 � f x � x 1 � a x � Câu 15.Cho hàm số Khẳng định sau A Hàm số liên tục � B Hàm số không liên tục � 1: � C Hàm số không liên tục D Hàm số gián đoạn điểm x Hướng dẫn giải: ChọnD Hàm số liên tục điểm x �1 gián đoạn x � 2x 1 1 x �0 � f x � x � x � Câu 16 Cho hàm số Khẳng định sau � A Hàm số liên tục B Hàm số không liên tục � 0; � C Hàm số không liên tục Hướng dẫn giải: D Hàm số gián đoạn điểm x ChọnD Hàm số liên tục điểm x �0 gián đoạn x �2 x x �0 � f ( x) � ( x 1)3 x � � x x �2 Câu 17.Cho hàm số Khẳng định sau � A Hàm số liên tục B Hàm số không liên tục � 2; � C Hàm số không liên tục Hướng dẫn giải: D Hàm số gián đoạn điểm x ChọnD Hàm số liên tục điểm x �2 gián đoạn x � x x x �1 � f ( x) � 3x x � Câu 18.Cho hàm số Khẳng định sau � A Hàm số liên tục B Hàm số không liên tục � 2; � C Hàm số không liên tục D Hàm số gián đoạn điểm x � Hướng dẫn giải: ChọnD gián đoạn x �1 Hàm số liên tục điểm x �� � sin x x � � � f x � � ax b x � liên tục � Câu 19.Xác định a, b để hàm số SĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com 139 Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A � a � � � b 1 A � � a � � � b2 B � Giới hạn – ĐS> 11 � a � � � b0 C � � a � � � b0 D � Hướng dẫn giải: ChọnD � a b 1 � � a �2 � �� � �� � b0 a b 1 � � �2 Hàm số liên tục �x 3x x x( x 2) �0 � x( x 2) � � f ( x) �a x � b x � � � Câu 20.Xác định a, b để hàm số liên tục � a 10 a 11 a 1 a 12 � � � � � � � � b 1 b 1 b 1 b 1 A � B � C � D � Hướng dẫn giải: ChọnC a 1 � �� � b 1 � Hàm số liên tục Câu 21.Tìm m để hàm số A m Hướng dẫn giải: �3 x x x �1 � f ( x) � x 1 � 3m x � B m liên tục � C m D m ChọnB x 2x 1 �\ 1 x 1 Với x �1 ta có nên hàm số liên tục khoảng Do hàm số liên tục � hàm số liên tục x Ta có: f (1) 3m f ( x) lim f ( x) lim x �1 x �1 3 x 2x 1 x 1 � x3 x lim � 1 x �1 � ( x 1) x x x ( x 2) � � � x2 x lim � 1 2 x �1 3 � � x x x ( x 2) � � � � � � � � � SĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com 140 Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Nên hàm số liên tục Vậy m x � 3m � m Giới hạn – ĐS> 11 4 giá trị cần tìm � x 1 1 x � f ( x) � x � x 3m x �0 � Câu 22.Tìm m để hàm số A m Hướng dẫn giải: B m liên tục � C m D m ChọnB x 1 0; � x �Với x ta có nên hàm số liên tục �Với x ta có f ( x ) x 3m nên hàm số liên tục (�;0) Do hàm số liên tục � hàm số liên tục x Ta có: f (0) 3m f ( x) x 1 1 lim x �0 x 1 x �0 x �0 x 1 1 2 lim f ( x) lim x 3m 3m lim f ( x) lim x �0 x �0 Do hàm số liên tục x � 3m 1 �m 6 hàm số liên tục � Vậy � 2x x �2 � f ( x) � x 1 x �2 x mx m � m Câu 23.Tìm để hàm số liên tục � m A m B C m D m m Hướng dẫn giải: ChọnC Với x ta có hàm số liên tục �; liên tục x Để hàm số liên tục � hàm số phải liên tục khoảng �Hàm số liên tục �; tam thức g ( x) x 2mx 3m �0, x �2 � ' m 3m �0 17 � ۣ � g (2) m �0 TH 1: � m 17 SĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com 141 Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Giới hạn – ĐS> 11 � m2 3m � ' m 3m � � �� m2 � �x1 m ' � ' (m 2) � TH 2: � 17 17 � m �� � m6 2 � m6 � 17 �m Nên (*) g ( x) �0, x �2 lim f ( x ) lim x x �2 �x �2 x 1 lim f ( x ) lim x �2 x � x mx 3m 6m x2� 3� m5 6m Hàm số liên tục (thỏa (*)) DẠNG 3: ÁP DỤNG TÍNH LIÊN TỤC XÉT SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH Phương pháp : �Để chứng minh phương trình f ( x) có nghiệm D, ta chứng minh hàm số y f ( x) liên tục D có hai số a, b �D cho f (a) f (b) �Để chứng minh phương trình f ( x) có k nghiệm D, ta chứng minh hàm số y f ( x) liên tục D tồn k khoảng rời (ai ; 1 ) (i=1,2,…,k) nằm D cho Câu Tìm khẳng định khẳng định sau: f x a; b f a f b I II f x liên tục đoạn a; b phương trình f a f b �0 f (ai ) f (ai 1 ) f x có nghiệm f x khơng liên tục phương trình A Chỉ I B Chỉ II C Cả I II Hướng dẫn giải: Chọn A Câu Tìm khẳng định khẳng định sau: vô nghiệm D Cả I II sai I f x liên tục đoạn a; b f a f b tồn số c � a; b cho f c II f x liên tục đoạn a; b b; c không liên tục a; c I II A Chỉ B Chỉ I II I II sai C Cả D Cả Hướng dẫn giải: ChọnD KĐ sai KĐ sai SĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com 142 Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Câu Cho hàm số f x x3 –1000 x 0, 01 Phương trình Giới hạn – ĐS> 11 f x có nghiệm thuộc khoảng khoảng sau đây? I 1;0 II 0;1 III 1; A Chỉ I Hướng dẫn giải: Chọn B TXĐ: D � Hàm số Ta có f x x 1000 x 0, 01 D Chỉ III 1; 0 , 0;1 1; 2 , 1 liên tục � nên liên tục f 1 1000,99 f 0, 01 ; C Chỉ II suy f 1 f , 2 suy phương trình f x có nghiệm khoảng 1;0 f 0, 01 f 1 999,99 f f 1 3 Ta có ; suy , 1 3 suy phương trình f x có nghiệm khoảng 0;1 Từ f 1 999,99 f 39991,99 f 1 f Ta có ; suy , 1 ta chưa thể kết luận nghiệm phương trình f x khoảng 1; Từ Từ 1 B Chỉ I II SĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com 143 Trang ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A Giới hạn – ĐS> 11 ĐÁP ÁN ÔN TẬP CHƯƠNG IV Câu Câu Câu Câu Câu Câu Câu Câu Câu Câu 10 C D A B C D B C A C Câu 11 Câu 12 Câu 13 Câu 14 Câu 15 Câu 16 Câu 17 Câu 18 Câu 19 Câu 20 A B C D B D B C D A Câu 21 Câu 22 Câu 23 Câu 24 Câu 25 Câu 26 Câu 27 Câu 28 Câu 29 Câu 30 C C B A C D A D C B Câu 31 Câu 32 Câu 33 Câu 34 Câu 35 Câu 36 Câu 37 Câu 38 Câu 39 Câu 40 B B A C D B C D B A Câu 41 Câu 42 Câu 43 Câu 44 Câu 45 Câu 46 Câu 47 Câu 48 Câu 49 Câu 50 C A D D B C C D D A Câu 51 Câu 52 Câu 53 Câu 54 Câu 55 Câu 56 Câu 57 Câu 58 Câu 59 Câu 60 D A D C B A B D B B Câu 61 Câu 62 Câu 63 Câu 64 Câu 65 Câu 66 Câu 67 Câu 68 Câu 69 Câu 70 A C D A B B D B C D Câu 71 Câu 72 Câu 73 Câu 74 Câu 75 Câu 76 Câu 77 Câu 78 Câu 79 Câu 80 B A C C D B C B D A Câu 81 Câu 82 Câu 83 Câu 84 Câu 85 Câu 86 Câu 87 Câu 88 Câu 89 Câu 90 C A C B D A C D D A Câu 91 B SĐT liên hệ: 0978064165 - Email: dangvietdong.bacgiang.vn@gmail.com 144 Trang ... � � �� n � � � Câu 85 Tính giới hạn: A B C D D GIỚI HẠN HÀM SỐ A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT Giới hạn hữu hạn Giới hạn vô cực, giới hạn vô cực Giới hạn đặc biệt: Giới hạn đặc biệt: lim x x0 lim... Quan A Giới hạn – ĐS> 11 DẠNG 2: TÌM GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ DỰA VÀO CÁC ĐỊNH LÝ VÀ CÁC GIỚI HẠN CƠ BẢN Phương pháp: �Sử dụng định lí giới hạn, biến đổi đưa giới hạn f ( n) lim g (n) ta thường chia... chuyển giới hạn hàm số giới hạn dãy số f (x) hàm số cho cơng thức giá trị giới hạn f (x0 ) + Nếu f (x) cho nhiều cơng thức, ta sử dụng điều kiện để hàm số có giới hạn ( Giới hạn + Nếu trái giới hạn