3./ Phương trình thuần nhất bậc hai đối với sinx và cosx.[r]
(1)Chương I: Hàm số lượng giác
§ Hàm số lượng giác bản 1.Hàm số y = sinx y = cosx
Định nghĩa: Quy tắc đặt tương ứng số thực x với sin của góc lượng giác có số đo rađian bằng x được gọi là hàm số sin, kí hiệu là y = sinx
Quy tắc đặt tương ứng số thực x với cos của góc lượng giác có số đo radddian bằng x được gọi là hàm số cos, kí hiệu là y = cosx
Hàm số y = sinx Hàm số y = cosx
- có tập xác định là R - có tập giá trị là [-1;1]
- Là hàm số tuần hoàn với chu kì 2π
- Là hàm số lẻ;
- Đồng biến khoảng (
2 ;
2 k k
; k є Z) - Nghịch biến khoảng (
2
2 ;
2 k k ; k є Z)
- Có đồ thị là một đường hình sin
- có tập xác định là R - có tập giá trị là [-1;1]
- Là hàm số tuần hoàn với chu kì 2π
- Là hàm số chẵn;
- Đồng biến khoảng (- k2;k2 ; k є Z)
- Nghịch biến khoảng (
;
2 k
k ; k є Z)
- Có đồ thị là một đường hình sin
2.Hàm số y = tanx y = cotx.
Định nghĩa: Quy tắc đặt tương ứng số x є D1 (với D1 là tập xác định của hàm số y = tanx) với số thực tanx = cossinxx gọi là hàm số tan, kí hiệu là y = tanx
Quy tắc đặt tương ứng số x є D2 (với D1 là tập xác định của hàm số y = cotx) với số thực cotx = cossinxx gọi là hàm số cot, kí hiệu là y = cotx
Hàm số y = tanx Hàm số y = cotx
- R Có tập xác định là D1 = \{
k
2 ; k є Z};
- Là hàm số lẻ;
- Là hàm số tuần hoàn với chu
- R Có tập xác định là D1 = \{kπ ; k є Z};
- Là hàm số lẻ;
(2)kì π ;
- Đồng biến khoảng (
k
k
2 ;
2 ; k є Z);
- Có đồ thị nhận đường thẳng x = k
2 là đường tiệm cận
- Nghịch biến khoảng {k π ; π + k π }, k є Z
- Có đồ thị nhận đường x = k π là đường tiệm cận
§ Phương trình lượng giác 1/ Phương trình sinx = m
sinx = m (1)
Nếu m > thì phương trình (1) vô nghiệm
Nếu m ≤ thì phương trình (1) có nghiệm x = α + k2π x = π – α + k2π Đặc biệt : sinx = x = 2
2 k sinx = x = kπ
sinx = - x = 2 k
Nếu m không là các giá trị đặc biệt thì sinx = m x = arcsin(m) + k2π
x = π – arcsin(m) + k2π 2./Hàm số cosx = m
cosx = m (2)
Nếu m > thì phương trình vô nghiệm
Nếu m ≤ thì phương trình có nghiệm x = ± α + k2π Đặc biệt : cosx = x = k2π
cosx = x = k
2 cosx = -1 x = π + k2π
Nếu m không phải là các giá trị đặc biệt thì cosx = m x = ±arcos(m) + k2π 3./ Hàm số tanx = m
Điều kiện: x ≠ k
2
Phương trình có nghiệm x = α + kπ Đặc biệt: tanx = x = k
4
tanx = x = kπ
tanx = - x = - k
4
(3)Điều kiện: x ≠ kπ
Với mọi m phương trình cotx = m có nghiệm x = α + kπ Đặc biệt: cotx = x = k
4 cotx = x = k
2 cotx = -1 x = - k
4
Nếu m không là các giá trị đặc biệt thì cotx = arccot(m) + kπ
§ 3: Một số phương trình lượng giác đơn giản
1./ Phương trình bậc bậc hai hàm số lượng giác. a) Phương trình bậc đối với một hàm số lượng giác
Dạng tổng quát: at + b = (a ≠ 0) Với t là : sin, cos, tan, cot
b) Phương trình bậc hai đối với hàm số lượng giác Dạng tổng quát: at2 + bt + c = (a ≠ 0).
Với t là : sin, cos, tan, cot
2./ Phương trình bậc sinx cosx
Dạng tổng quát: asinx + bcosx = c ( a2 +b2 ≠ 0) (1) a, b, c є R
Phương pháp giải:
Cách 1: Chia cả hai vế của phương trình cho a2 b2
Phương trình (1) có dạng : 2 sin 2 cos a2 b2
c x
b a
b x b a
a
sin(x + α) = a2 b2
c
(phương trình lượng giác bản) Cách 2: Chia cả hai vế cho a b
+) Chia cả hai vế cho a
Phương trình (1) trở thành: sinx + ab cosx = ac Đặt tan φ = ab Phương trình (1) sin(x + φ) = ac
(phương trình lượng giác bản) Cách 3: Đăt tan 2x = t sinx = 1
2
t t
; cosx =
2 1
t t
Phương trình (1) trở thành: a 1 2
t t
+ b
2 1
t t
= c.
(4)3./ Phương trình bậc hai sinx cosx Dạng : asin2x + bsinxcosx + ccos2x = ( 2)
Trong đó: a, b, c є R ; a ≠ b ≠ c ≠ Phương pháp giải:
Cách 1:
Trường hợp 1: xét cosx = sinx = có là nghiệm của phương trình (2) hay không?
Trường hợp 2: Nếu sinx ≠ cosx ≠ thì chia cả hai vế của phương trình cho sin2x cos2x.
+/ Nếu chia cho sin2x thì (2) a + bcotx + ccot2x = 0
(giải phương trình giải phương trình bậc hai) +/ Nếu chia cho cos2x thì (2)
atan2x + btanx + c =
(giải phương trình giải phương trình bậc hai) Cách 2: Sử dụng công thức hạ bậc & nâng cung
(2)
2 ) cos
.( x
a
0
) cos (
2 sin
c x
x b
(c – a)cos2x + bsin2x = - a – c
(Phương trình thuần bậc đối với sinx và cosx) Chú ý: +/ Nếu vế phải của phương trình (2) không bằng thì asin2x + bsinxcosx + ccos2x = d
(a – d)sin2x + bsinxcosx + (c – d)cos2x =
Đến ta tiếp tục giải phương trình
+/ Các phương trình lượng giác chứa sin và cos của một cung và số hạng phương trình có tổng bậc là lẻ (thường là 3) thì ta sử dụng phương pháp giải theo cách của phương trình thuần bậc hai
+/ Khi giải các phương trình lượng giác khác, thông thường ta hay sử dụng các phép biến đổi như:
- Có tích biến đổi thành tổng - Có tổng biến đổi thành tích
- Có bình phương hay mũ thì dùng công thức hạ bậc
Các cách thực hiện nhằm đưa phương trình lượng giác khác thành nhân tử là phương trình lượng giác bản đơn giản