Bài giảng số 6: Phương pháp phân tích nhân tử trong giải phương trình lượng giác

- Nhận dạng thừa số chung của mỗi phương trình lượng giác -Kết hợp nghiệm với điều kiện ban đầu.. Bài giảng được cung cấp độc quyền bởi http://www.baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viế[r]

(1)

Bài giảng cung cấp độc quyền http://www.baigiangtoanhoc.com Biên soạn: Đỗ Viết Tuân –Nguyễn Thị Trang

Bài giảng số 6: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ĐƯA VỀ DẠNG TÍCH

A KIẾN THỨC TRỌNG TÂM

Để giải phương trình lượng giác phương pháp phân tích nhân tử chung cần ý: - Nắm vững công thức biến đổi lượng giác

- Nhận dạng thừa số chung phương trình lượng giác -Kết hợp nghiệm với điều kiện ban đầu

B CÁC VÍ DỤ MẪU

Dạng 1: Nếu phương trình lượng giác có chứa số hạng

cos2x; cot2x; + sin2x; + tanx; 1+ cotx; tanx - cotx, đưa sinxcosxlàm nhân tử chung

Ví dụ 1: Giải phương trình: 1 tan sin tan

x

x x



  

Giải:

Điều kiện: tan  

cos

2

x k

x

k Z x

x k

 

  

 

 

 

 

 



   

 

Phương trình cho tương đương với:

   

 

1

sin cos sin cos

1 tan cos

x x x x

x x

 

    



 

 

 

2

os sin

sin cos

cos sin

c x x

x x

   

   



 

2

sin cos

os sin

x x

c x x

 

  

   

tan

os2 x

c x

  

 



  

4

x k

k Z x k

 

 

   

 

  

(thỏa mãn)

Vậy nghiệm phương trình x k k Z x k

 

 

  

 

  

Dạng 2:Nếu phương trình có chứa số hạng sin ; os3 ; tan ; cot ;cot x c x x x x thì phân tích cos x nhân tử chung

Ví dụ 2: Tìm x 0,14 nghiệm phương trình cos3x4 cos 2x3cosx 4 2 

Giải:

Ta có:  2 4 cos3x3cosx 4 cos2 x13cosx  4 cos3x8 cos2x0 4 cos2xcosx20

  cos cos

x

x l

   

 

 

2

x  k k Z

(2)

Ta có: x 0,14 14 k 



    14

2 k

 

     

0, 14 3, k         

Mà kZ nên k 0;1; 2;3 Do ;3 ;5 ;7

2 2

x    

 

Nhận xét: Làm tương tự với sin ;sin ; tan ; tan ; tan x x x x x thì phân tích sin xlà nhân tử chung

Dạng 3:Nếu phương trình lượng giác có chứa os2 ; cot2 ;sin2 ; tan2

2

x x

c x x phân tích cos x là

nhân tử chung.

Ví dụ 3: Giải phương trình: sin2 tan2 os2 3 

2

x x

x c 

 

  

 

 

Giải: Điều kiện: cosx0sinx 1

Ta có:    

2

1 sin

3 os cos

2 os

x

c x x

c x 

  

        

 

 

    

2

1 sin os

1 cos sin

x c x

x x

 

   

  

2

1 os

1 cos sin

c x

x x



   

 1 cos  os

1 sin c x x

x 

 

    



  1 cos xcosxsinx0

cos

tan

x

x   

   



(thỏa mãn)

2

4

x k

 

    

 

    

Vậy nghiệm phương trình là:

2

4

x k

 

    



    

Nhận xét: Cách làm tương tự phương trình chứa số hạng 2 2

sin ; tan ;sin ; tan

2

x x

x xthì phân tích cos x là nhân tử chung

Dạng 4:Nếu phương trình chứa số hạng cos ; cot ; sin ; tan ;1 cot ; tanx x  x  x  x xcot x thì phân tích cosxsinxlàm thừa số chung

Ví dụ 4: Giải phương trình: cot os2 sin2 1sin 4 

1 tan

c x

x x x

x

   



Giải: Điều kiện: sin 2x 0 tanx  1

Ta có:  

2

2 cos os sin

os2 os sin

sin

1 tan cos sin

1 cos

x c x x

c x c x x

x

x x x

x

 

 

 



 

cosx cosx sinx

 

(3)

Do đó:   cos  

4 os sin cos sin sin

sin

x

c x x x x x

x

     

cos sin

1 sin sin

x x



   cosxsinxsinxcosxsinx2

 

cos sin

sin cos sin

x x

x x x

 

  

 



 

2

tan tan 1 sin

tan cos os cos

x tm x

x

x x

c x x

   

 

   



 

2

4

2 tan tan 

 

 



 



  



x k

k Z

x x l

 

4 



x k kZ (nhận sin 2x 0)

Vậy nghiệm phương trình  

4 



  

x k k Z

Dạng 5:Một số cách phân tích thành nhân tử chung khác Ví dụ 5: Giải phương trình sau: 2sinxcotx2 sin 2x1 5 

Giải: Điều kiện: sinx0cosx 1

Khi  5 sin cos sin cos sin

x

x x x

x

   

2

2 sin x cosx sin xcosx sinx

   

 

2

2 sin x sinx cosx sin x

    

     

sinx sinx cosx 2sinx sinx

     

    sin sin cos sin

x

x x x



  

  

  



Ta có:  5 sin

x

   (nhận sinx 0)  

2

2 



  

  

 

  



x k

k Z

x k

Xét  5 : đặt sin cos sin t x x x 

 , điều kiện: t  t  1

2

1 sin

t x

  

Khi đó:  5  t 1t20 t2  t

 

1

t tm

t l

      

  

(4)

1

2 sin

4

x   

 

   

 

1

sin sin

4 2

x    

 

    

 

2

x k



 



  



  

  

     

 

2

5

2

x k

k

x k



 



 



  



 

   





Ví dụ 6: Giải phương trình sau: tanx3cot 3x2 tan 2x (6)

Giải:

Điều kiện:

cos

sin

os2

x

c x

  

 

 



Phương trình tương đương với: sin os3 2.sin 2 os3 cos sin os2 sin

x c x x c x

x x  c x x

sin sin os3 cos sin sin os3 os2

cos sin os2 sin

x x c x x x x c x c x

x x c x x

 

 

os4 cos cos sin os2 sin

c x x

x x c x x

    cos4 os2x c x2 cos2 x

 

1 cos 2x cos2x cos2x

   

2 cos 2x

  

3

1

os2 os

2

c x c 

    (thỏa mãn)  

2

x  k k

     

Ví dụ 7: Giải phương trình lượng giác: 2sin 2xcos 2x7 sinx2 cosx4

Giải:

Phương trình cho tương đương với: 4sin cosx x 1 sin2x7 sinx2 cosx 

     

4 sin cosx x cosx 2sin x sinx sinx

      

     

2 cosx sinx sinx sinx sinx

      

2 sinx cos x sinx 3

    

2sin

2 cos sin x

x x

  

    



 

sin

2

2 cos sin x

x x



 

 





  



Ta có:  

2

5

x k

 

  

 

   

  



(5)

Vậy nghiệm phương trình là:

2

x k

 

  

  



  



Ví dụ 8: Cho phương trình: 2 cos 2xsin2 xcosxsin cosx xmsinxcosx   a) Giải phương trình m 2

b) Tìm m để phương trình có nghiệm 0, 

 

 

  Giải:

Ta có:  8 2cos2xsin2 xsin cosx xsinxcosxmsinxcosx

 

   

cos sin cos sin sin cos

x x

x x x x m



  

  

  



Đặt cos sin os t x x c x 

  (điều kiện: t  2)

2

1 sin cos

t x x

  

Ta có:  8 tan  

4

x x  k k Z

        

Ta có:  

2

1

8

2 t

t  m

     t2 4t 1 *m  

a) Khi m 2  * trở thành: t2 4t 3    

3

t tm

t l

   

 

os

4 4

c x   x   k 

        

   

2 2 x k

k

x k

 

 

 

 

    



Vậy nghiệm phương trình là:  

2

4 x k

x k

k

x k

 



  

 

   

 



   





b) Ta có: 0, ,3

2 4

x  x  

   

2

os

2 c x



 

     

     1 t

Do nghiệm 0, , ,

4

 

  

      

 

x k k Z nên yêu cầu toán  * có nghiệm đoạn 1,1

Xét

4

(6)

C BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1: Giải phương trình sau:

1 2 cosx1 sin xcosxsin 2xsinx ĐS:

2

4

x k

 

  

   



    

2 cosxcos2xcos3xcos4x0 ĐS:

2

5

2

x k

 



  



   



  



3 sin2xsin 32 xcos 22 x c os 42 x ĐS:

4

10

2

x k

 

  

  



   



   

4 3

sin xcos 3x c os xsin 3xsin 4x ĐS:

12

xk 

5 sin 32 x c os 42 xsin 52 x c os 62 x ĐS:

2

9

x k

 



 

  

        

6 sinxsin 3xsin 2xcosxcos3xcos2x ĐS:

2

8

x k

 



   



   

7 4sin3x3cos3 x3sinxsin2 xcosx ĐS:

x k

 

  

   



   

8 sinxcosx 1 sin 2xcos2x0 ĐS:

2

4

x k

 

  

   



(7)

9 2sinx1 3cos 4 x2sinx44 cos2 x3 ĐS:

2

x k



 

  

  

    



   

10 sin6xcos6x2 sin 8x c os8x ĐS:

4

x k

11  

sin 2x cotxtan 2x 4 cos x ĐS:

x k

 

  

  



    

12  

2

cot tan

16 os4 os2

x x

c x



  ĐS:

16

x  k

13 tan cot 2sin sin

x x x

x

   ĐS:

3

x  k

14 sin tan  cos  tan sin

x x

x

x x



  

 ĐS:

2

x   k 

15    

   

2

1 cos cos

tan sin sin tan

4 sin

x x

x x x x

x

  

   

 ĐS: x k

 

 

16  

4

sin os

tan cot

sin 2

x c x

x x

x 

  ĐS:

4

x k

17 tan2xcot2xcot 3xtan2 xcot 22 xcot 3x ĐS:

 1

6

4

x k k Z v k m

x l

 

  

    

 

   

Bài 2: Cho phương trình: sin cos sin 22 4sin2

4 2

x x x x   

  Tìm nghiệm phương trình

thỏa mãn: x  1 ĐS: ;7

6 x   

 

Bài 3: Giải phương trình sau:

1 sin 3xcos3x2 cosx0 ĐS:

x k

 

  

   



    

2 6sin cos3 5sin cos cos

x x

x

(8)

3 sinx4sin3xcosx ĐS:

4

x k

4 tan sinx 2x2 sin2 x3cos2xsin cosx x ĐS:

x k

 

  

   



    

5 sin3 os3 3sin 2

x c x x

    ĐS:

2

2 3 2

sin

2

4

2

x k

 



 



 

 



  

   

   

  

  

 

   



6 sin xcosxtanxcotx ĐS:

4

x k 

7 tan3 tan sin 2  cos2

os

x x

c x



  

     

  ĐS:

6

2 sin

4

x k

x 



 

   





  

 

 



 



8 sinxsin2xsin3xsin4xcosxcos2xcos3x c os4x ĐS:

4

2

x k

 

  

  



  



   



9 tan2x1 sin 3xcos3x  ĐS:

2

4

2 os

4

x k

c x

 



 

 

 

 

 

   

 

 



 



10 cos2x 5 2 cos  xsinxcosx ĐS: 2

x k

 



  



(9)

11 3

os sin os2

c x xc x ĐS:

4

2

x k

 

 

   

   

 

  12 tanxtan2 xtan3xcotxcot2xcot3x ĐS:

4

x k

13 22 tan2 tan 5cot

sin x x x x  ĐS: x k 

   

14

1 3sin x2 tanx ĐS:

3 17 tan

4

x k

x

  

   



 

 

15 tanxcotx2 sin 2 xcos2x ĐS:

8

x k

 



  



   

16 sin3x c os3xsin 2xcosxsinx ĐS:

2

sin

4

x k

x 



 

   





  

 

 



 

 17

2

4sin sin 3cos cos

x x x

x

  

 ĐS:

3

x  k

18 cos3xsin 3x ĐS:

6

3 x k

x k

 



  

  

   



   

19.8 cos3 os3

x  c x

 

 

 

 

ĐS:

4

x k 

Bài 4: Cho phương trình: cosx1cos2xmcosxmsin2 x

a) Giải phương trình m  2 ĐS: xk2 b) Tìm m cho phương trình có nghiệm 0,2

3 

 

 

  ĐS:

1

2

m

  

Bài 5: Cho phương trình: 1 tan2 cos

m x m

x

(10)

a) Giải phương trình

2

m  ĐS:

3

x  k 

b) Tìm m để phương trình có nhiều nghiệm 0; 

 

 

  ĐS:

1

1 m

m 

  

     

Bài 6: Tìm m để hai phương trình sau tương đương: 2 cos cos 2x x 1 cos2xcos3x

  

2

4 cos xcos3xmcosx 4m 1cos2x ĐS:

5 m

m

m   

    

Định dạng
Số trang	10
Dung lượng	426,56 KB