Tính diện tích của thiết diện này theo a.. Thi ết diện h ình gì?. Ch ứng minh. Tìm x để thiết diện có diện tích lớn nhất.. Tính kho ảng cách giữa hai đường thẳng BM v à CD.. b) Tín[r]
(1)Bài 1:1) Tính giới hạn sau a)
2 2
3
lim x
x x
x
b)
2
4 lim
3 x
x x x
x
(1 điểm):
2) Cho hàm số
3
yx x Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số cho biết tiếp tuyến song song với đường thẳng d: 9x y (1 điểm)
Bài 2:
Cho hàm số
2
4
2
( )
x
khi x x
f x ax a khi x
x x khi x
a
1) Chứng tỏ hàm số f(x) liên tục x = với số thực a (1 điểm)
2) Xác định tất số thực a để hàm số f(x) liên tục toàn tập xác định (1 điểm) Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SB(ABCD), SB = 3a Trên cạnh AD lấy điểm M (M A M; D)
1) Chứng minh rằng: AC SD (0,5 điểm) 2) Xác định tính góc SA mp(SBD) (0,5 điểm)
3) Gọi (P) mặt phẳng qua M đồng thời song song với DC SB Xác định thiết diện hình chóp S.ABCD với mặt phẳng (P) Thiết diện hình gì? (1 điểm ) Bài 4: Tìm bốn số nguyên lập thành cấp số cộng, biết tổng bốn số tích bốn số 15
Bài Tính giới hạn sau: a)
2
2
lim
2 x
x x
x x
b)
1 lim
3 x
x x
Bài Xét liên tục hàm số sau R:
Bài Cho tứ diện SABC có tam giácABC cạnh a, SA (ABC), SA = a
Gọi I trung điểm cạnh BC
a) Chứng minh: BC mp(SAI)
b) Tính góc mp (ABC) mp(SBC) Từ suy diện tích tam giác SBC Bài 8
Cho hàm số: Với giá trị a f '(1) 2
Bài Chứng minh phương trình x4 – x – = có nghiệm xo (1; 2) xo > 712
nếu x x =2
3 ( )
5 x f x
nếu x x <
2007 2008 ( 3) ( ) a a f x
x x
(2)Câu 10 Tìm giới hạn hàm số sau: a) 2
1
1
lim
x
x
x x
b)
4 ( 1)
lim
x
x x
c) lim( )
x
x x
d) 2
2
lim
x
x
x x
Câu 11 Cho hàm số:
,
( )
3, x
x f x x
a x
a) Tính
2 ( )
lim
x
f x
b) Tìm a để hàm số liên tục R
Câu 12 Cho hàm số
( )
f x x x x a) Tính đạo hàm hàm số R. b) b) Giải bất phương trình f x'( )0
c) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y=f(x) tạiđiểm có hồnh độ -5 Câu 13 Cho hàm số f(x)=sinx(1+cosx).
a) Tính đạo hàm hàm số R b) Giải phương trình f’(x)=0
Câu 14 Cho hình chóp S.ABCD, ABCD hình vng cạnh a,SA(ABCD),góc SBA 300 a) Chứng minh SBC tam giác vuông
b) Chứng minh (SAB)(SAD)
c) Tính khoảng cách hai đường thẳng SD AB
d) Gọi M, N trung điểm BC DC Tính góc hai mặt phẳng (SAN), (SAM) BÀI 15 : Tính giới hạn sau
a (1đ)
3 lim
2
x
x
x b ( 1đ )
x x x x
x 1 2
1
lim
2
BÀI 16
Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f(x) =
2 5 4
x x x
điểm có hồnh độ x0= BÀI 17 Cho hàm số f(x) = 3x32x2 g(x) =
2
2
x
x Giải bất phương trình f /(x) g/(x) BÀI 18: Tính đạo hàm hàm số sau:
a (1đ)
x x x y
cos
sin cos
b ( 1đ ) (23x).( x1)
x
(3)BÀI 19 Cho hình chóp SABC có SA(ABC) A ABC vng B Xác định góc hai mặt phẳng (ABC) (SBC)
BÀI 20 : Cho tứ diện ABCD có hai mặt ABC BCD hai tam giác cân có chung cạnh đáy BC Gọi I trung điểm cạnh BC
a.(1,5đ) C/m: BCAD
b (1đ) Gọi AH đường cao tam giác ADI C/m AH (BCD)
Câu 21 Tìm a để hàm số:
3
5 )
(
2
ax x
x x x
f liên tục R
Câu 22: Gọi (C) đồ thị hàm số:
x x
y
2
Viết phương trình tiếp tuyến (C) biết song song với đường thẳng 3x – y – =
Câu 23 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a SA vng góc với mặt phẳng đáy, SA =a
a) ( điểm )Chứng minh (SAB) vng góc (SBC) b) ( điểm )Tính khoảng cách : AD SC
c) ( điểm )Một mặt phẳng (P) qua A vng góc SC Tính diện tích thiết diện hình chóp S.ABCD cắt mp(P)
Bài 24Xét tính liên tục hàm số yf x x0 0, biết
sin
nÕu
5 nÕu
x
x
f x x
x x
Bài 25a) Xét tính tăng, giảm bị chặn dãy số un víi un n n
b) Tìm giới hạn sau: 2
2
3
lim
4 x
x x
Bài 26 Cho cấp số cộng
7 10
29 íi
41
n
u u u v
u u
Tính u20 S16
Bài 27 Cho hàm số
2
1
x x
y f x
x
có đồ thị (C) a) Giải bất phương trình y’ >
b) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) biết tiếp tuyến song song với đường 5x – y + 12 = Bài 28 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh a
a) Chứng minh AC(BB D D' ' ) b) Chứng minh BD'( 'B AC) c) Chứng minh (B’AC) // (DA’C’)
nếu x1
(4)Câu 29 Tính giới hạn sau : 1. (1đ)
2
1 lim
3
x
x x
L
x
2 (1đ)
2sin sin lim
x
x x
L
x
Câu 30 1. (1đ) Cho hàm số :
2
3
1
víi
( ) 1
1 víi
x
x
f x x
m x
(m tham số)
Tìm m để hàm số f liên tục x 1
2. (1đ) Cho phương trình : 1m2008x 12009 x2x 3 (m tham số) Chứng minh phương trình ln có nghiệm với giá trị tham số m Câu 31
1. (1đ) Cho hàm số f x( )x x2 1 Chứng minh : f x'( )0, x 2. (1đ) Cho hàm số ( ) 4
1 tan
f x
x
Tính f'
3. (1đ) Cho hàm số
2
x y
x
Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số cho, biết tiếp tuyến
vng góc với đường thẳng
5
y x
Câu 32 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng tâm O cạnh a Đường thẳng SO vng góc với mặt phẳng (ABCD) đoạn SO
2
a
1 (1đ)Gọi góc đường thẳng SC mặt phẳng (ABCD) Tính cos 2 (1đ)Chứng minh hai mặt phẳng (SAC) (SBD) vng góc với
3. (1đ) Gọi (P) mặt phẳng chứa AD vng góc với mặt phẳng (SBC) Xác định thiết diện hình chóp S.ABCD cắt mặt phẳng (P) Tính diện tích thiết diện theo a
Bài 33
Tính giới hạn sau: a) lim
1 ) ( 13
2
n n n n
n
b)
5 3
1 lim
2
1
x x
x x x
c) 2
5
2 cos
cos lim
x
x x
x
(5)a) Tính đạo hàm hàm số sau: cos3
3
sin2 x x y
b) Cho hàm số y=
x x x
x
cot
sin tan
1
cos2
Chứng minh rằng: y(
1 ) ( ' )
4
y
Bài 35
Cho hàm số y= 2x3 + x2 + x + 1, có đồ thị (C)
a) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số biết tiếp tuyến song song với (d): 5x – 6y – = b) Chứng minh đồ thị (C) khơng có hai điểm mà tiếp tuyến với đồ thị (C) hai điểm vng góc với
Bài 36 Cho hàm số y= f(x)=
1
/ /
x x
Chứng minh hàm số liên tục x= khơng có đạo hàm x=
Bài 37
Cho tứ diện ABCD có AD vng góc với mặt phẳng (ABC), AC= AD= 5, AB= 12, BC= 13 a) Vẽ đoạn vng góc chung AD BC Tính d(AD; BC)
b) Tính d(A; (BCD)
Bài 38 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh a Lấy điểm M cạnh DC điểm N cạnh BB’ cho DM= BN= x, < x < a
a) Chứng minh CD’ vng góc với AC’ mặt phẳng (A’BD) vng góc với mặt phẳng (ACC’A’) b) Chứng minh AC’ vng góc với MN
Câu 39: Tính a)
2 2
2
lim
x
x x x
b)
2 2
5
5
lim
x
x x
Câu 40: a) Cho hàm số y = f(x) =2x3 -3 x2 + Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số tạiđiểm A(1/2 ;3/2)
b) Chứng minh : phương trình 2sin3x + (m+1)cos5x -1 = ln có nghiệm với giá trị m
Câu 41: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông A , AB = a, CA = 2a, cạnh bên SA vng góc với mặt đáy, SA = 2a Gọi M mộtđiểm nằm đoạn AB.Gọi (P) mặt phẳng qua M vng góc với AB
a) C/m: mặt phẳng (P) song song với mp(SAC), b) C/m: AC SM
(6)Câu 42/Cho hàm số : y = f ( x ) =
2 x x+1 x >
x x
m
Tìm m để hàm số liên tục x =
Câu 43/ Cho hàm số y = f( x) = x4 – 2x2 + có đồ thị đường cong (C) a/ Tính f ’(2)
b/ Viết phương trình tiếp tuyến d đường cong (C) điểm M ( ; 2) c/ Tìm x cho f ’(x) < 24
Câu44 /Cho hình chóp S.ABC có mặt (SAB), (ABC) tam giác cân S C Gọi I trung điểm cạnh AB
a/ Chứng minh AB SC
b/ Gọi H hình chiếu vng góc S lên IC Chứng minh SH (AIC)
Câu45 /Cho phương trình bậc hai ax2 + bx + c = ( a 0) có hệ số a, b, c thỏa mãn điều kiện 2a + 3b + 6c = Chứng minh phương trình ln có nghiệm x0 với
2
3 x
Câu 46 Dùng định nghĩa tính đạo hàm hàm số sau: a) y =x3-1 b) y =
2
x ; 2 2;
Câu 47 Tính đạo hàm hàm số sau:
a) y =
3 2
2 x
x x
b) y = sin4 3x
Câu 48 Tính giới hạn sau: 0
1 cos lim
x
x x
Câu 49 Cho hàm số: y = f(x) = x3-3x+5 có đồ thị (C)
a) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) điểm thuộc đồ thị có hồnh độ x=-2 b) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) biết tiếp tuyến qua điểm A(0;-11)
Câu 50 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a có cạnh bên SB=SD=a. Chứng
minh:
a) Mp(SAC) vng góc với mp(ABCD) b) Tam giác SAC vng
Câu 51 Tính đạo hàm hàm số sau:
(7)Câu 52 Tính giới hạn sau: a)
3
2
8 lim
4
x
x x
b)
2 1
lim
2
x
x x
Câu 53 Cho hàm số:
( )
f x x x có đồ thị (C).Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) điểm thuộc đồ thị có hồnh độ x=-1
Câu 54 Cho hàm số
2
5 ( )
2
x x
f x
x
Hãy giải bất phương trình f x'( )0
Câu 55 Cho hình tứ diện ABCD, biết tam giác BCD vuông C ABBCD Chứng minh rằng: a) BCA góc hai mp (BCD) (ACD)
b) Mp(BCA) vng góc với mp(CDA) Câu 56
a) Tìm điều kiện xác định tính đạo hàm y' hàm số y = x
cos2x (1,0 điểm) b) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) hàm số
y = f(x) = 2x + 3x 1 giao điểm (C) với trục tung (1,0 điểm) Câu 57 Tính:
x
2x x +
lim
x
Câu 58 Cho hàm số
4
x 8x
ˆ
ne u x <
f(x) = x 2 (a R)
ˆ
ax + ne u x
Xác định giá trị a để hàm sốđã cho liên tục tập xác định Câu 59 Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD hình vng cạnha O tâm
của Đường thẳng SO vng góc với mặt phẳng (ABCD) SO = a
2 Gọi M trung điểm CD
a) Chứng minh CD mp(SMO) (1,25 điểm) b) Tính góc đường thẳng SA mp(ABCD); tính theo a khoảng cách từđiểm
O tới mp(SCD) (1,25 điểm)
Câu 60
a) Cho hàm số y = xsinx Chứng minh rằng: 2(y' sinx) x(y'' + y) = 0 (1,0 điểm) b) Chứng minh phương trình sau ln có nghiệm với giá trị tham số thực m: 2009
(1 m )x 3x = 0 (1,0 điểm) Câu 61 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A1B1C1D1 có AB = a, BC = b, CC1 = c
Chứng tỏ tất đường chéo hình hộp tính độ dài
(8)Câu 62 a) Cho dãy số (un) với
n
n n
( 2) u
3
Chứng tỏ (un) cấp số nhân Hãy tính
1 n
lim(u u u ) (1,0 điểm)
b) Cho hàm số
1 x ˆ
ne u x
f(x) = x (m R)
ˆ
m ne u x =
Xác địnhmđể hàm số f có đạo hàm tạiđiểm x0 Khi tính đạo hàm hàm số tạiđiểm x0 (1,0 điểm) Câu 63 Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnha Tính góc hai mặt
phẳng (AB'C') (AC'D') Câu 64 Tìm giới hạn sau:
a/ lim 1 1.2.3 2.3.4 n n( 1)(n 2)
b/ 2
0
1 sin cos lim
3
x
x x
x
; biết
sin lim
x
x x
Câu 65 Cho hàm số
3
2
27
;
6 ( )
;
3 ;
x
x
x x
f x
ax x
bx x
Xác định a, b để hàm số liên tục
Câu 66 Chứng minh phương trình
2 16
( )( )
m x x x x x ln có hai nghiệm với giá trị m
Câu 67 Tính đạo hàm hàm số:
3
2 ( )
1
x x
y f x
x x
Câu 68 Cho hàm số ( )
1 x y f x
x
với x < Tìm x để f '( )x 1x
Câu 69 Cho hình tứ diện ABCD, có ABC tam giác vng B, AB = a, góc 60
BAC , AD vng góc với mặt phẳng (ABC), AD = a M điểm tuỳ ý cạnh AB, đặt AM = x (0 < x < a) Gọi
( ) mặt phẳng qua M song song với AD, BC a/ Chứng minh rằng: BC(ABD)
b/ Gọi H hình chiếu A lên BD Chứng minh rằng: AH CD
c/ Tìm thiết diện tứ diện ABCD với ( ) Thiết diện hình gì? Chứng minh d/ Tính diện tích thiết diện theo a x Tìm x để thiết diện có diện tích lớn Bài 70 Tìm giới hạn sau :
a/
xlim ( x 3x x 2) b/
2
x
2
lim
2
x x
x
c/
2
(9)Bài 71
a/ Cho hai hàm số y f x( )2xx 4x25 , y g x( ) tan (sin )2 x Tính f ‘(1) g’(0)
b/ Giải phương trình y’’= -36 , biết y = cos(6 )
4 x Bài 72 Cho hàm số
2
2
x x
y
x
a/ Tìm khoảng x để y ’ >
b/ Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số cho điểm có hồnh độ
Bài 73 Cho hàm số ( ) (3 2)
3
y f x x mx m x với m là một tham số thực
a/ Khi m = , tính y ''(1)
b/ Với giá trị m phương trình y’ = có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 cho ba số , , x2
x lập thành cấp số nhân hữu hạn theo thứ tự
Bài 74 Với giá trị a hàm số
2
4
x
( ) 3
a + 3x x =
x x
y f x x
liên tục x =
Bài 75Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật tâm O , AB = a ; AD = 2a ; SA = 2a SA (ABCD) ( với a > 0) , M trung điểm SD
a/ Chứng minh : (SAM) (SCD) Tính AM
b/ Tính góc tạo đường thẳng SB mặt phẳng (ABCD)
c/ Mặt phẳng (Q) qua đường thẳng AM vng góc với SD Mặt phẳng (Q) cắt SC điểm N Chứng minh : Bốn điểm A , M , N, B đồng phẳng MN // (ABCD)
Tính khoảng cách hai đường thẳng BM CD Bài 76 Gọi S tổng hệ số đa thức sau :
2 99 99 100 99
1 1
f(x) = 1- ( 1)
2 x 4x 8x x x Hãy so sánh tổng S với số Câu 77
a) Tìm điều kiện xác định tính đạo hàm y' hàm số y = x
cos2x (1,0 điểm) b) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) hàm số
y = f(x) = 2x + 3x 1 giao điểm (C) với trục tung (1,0 điểm) Câu 78 Tính:
x
2x x +
lim
x
Câu 79 Cho hàm số
4
x 8x
ˆ
ne u x <
f(x) = x 2 (a R)
ˆ
ax + ne u x
(10)Câu 80 Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD hình vng cạnha O tâmcủa Đường thẳng SO vng góc với mặt phẳng (ABCD) SO = a
2 Gọi M làtrung điểm CD a) Chứng minh CD mp(SMO) (1,25 điểm)
b) Tính góc đường thẳng SA mp(ABCD); tính theo a khoảng cách từđiểm O tới mp(SCD) Câu 81a) Cho hàm số y = xsinx Chứng minh rằng: 2(y' sinx) x(y'' + y) = 0 (1,0 điểm)
b) CMR phương trình sau ln có nghiệm với giá trị tham số thực m:(1 m )x 20093x = 0 Câu 82 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A1B1C1D1 có AB = a, BC = b, CC1 = c
Chứng tỏ tất đường chéo hình hộp tính độ dài
đường chéo Từ suy độ dài đường chéo hình lập phương cạnha Câu 83
a) Cho dãy số (un) với
n
n n
( 2) u
3
Chứng tỏ (un) cấp số nhân Hãy tính lim(u1u2 u )n
b) Cho hàm số
1 x ˆ
ne u x
f(x) = x (m R)
ˆ
m ne u x =
Xác địnhmđể hàm số f có đạo hàm tạiđiểm x0 Khi tính đạo hàm hàm số tạiđiểm x0 (1,0 điểm) Câu 84 Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnha Tính góc hai mặt
phẳng (AB'C') (AC'D') Câu 85 Tìm giới hạn sau:
a) lim 5
x x x b)
3 2
2 lim
2
x
x x x
x x x
Câu 86 Cho hàm số 2
2
x>2
x x
x
f x x
a
Tìm a để hàm số f x liên tục điểm x2 Câu 86 Cho hàm số f x 2x3 4x2 3
a) Tìm x cho f x 0
b) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị biết tiếp tuyến song song với đường thẳng 2x y 5
Câu 87 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, có cạnh SAa SA vng góc với mặt phẳngABCD Gọi H K hình chiếu vng góc điểm A lên SB
và SD
a) Chứng minh BC SAB SCAHK