Tìm nguyên hàm bằng phương pháp nguyên hàm từng phần

- HOC247 NET: Website hoc miễn phí các bài học theo chƣơng trình SGK từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm m[r]

Trang | TÌM NGUYÊN HÀM BẰNG PHƢƠNG PHÁP NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN

1 Kiến thức cần nhớ

- Công thức nguyên hàm phần: udvuvvdu 2 Bài toán

Tính nguyên hàm  f x dx  g x h x dx    Phƣơng pháp:

- Bƣớc 1: Đặt  

 

   

du g x dx u g x

dv h x dx v h x dx



 

 

 

  



   (v x  nguyên hàm h x )

- Bƣớc 2: Tính nguyên hàm theo cơng thức f x dx  uvvdu Ví dụ: Tìm nguyên hàm hàm số f x lnx

Giải

Đặt

1 ln

u x du dx

x dv dx

v x 

 

 

  

  

Do lnxdx uv vdu x.lnx x.1dx xlnx dx xlnx x C x

        

   

3 Một số dạng toán thƣờng gặp Dạng 1: Hàm số logarit

Tính nguyên hàm  f x  ln ax b dx  với f x( ) hàm đa thức

Phƣơng pháp:

- Bƣớc 1: Đặt  

   

ln du a dx

u ax b

ax b dv f x dx

v f x dx  

  

  

  

  

 

- Bƣớc 2: Tính ngun hàm theo cơng thức f x  ln ax b dx  uvvdu Ví dụ: Tìm nguyên hàm hàm số f x xlnx

Trang |

Ta có F x  f x dx  xlnxdx

Đặt ln 2

2

dx du

u x x

dv xdx x

v

 

 

 

  

  



Theo công thức tính ngun hàm phần, ta có:

  1 2

ln ln

2 2

F x  x x xdx x x x C

Dạng 2: Hàm số mũ

Tính nguyên hàm   ax b f x e  dx

 với f x( ) hàm đa thức

Phƣơng pháp:

- Bƣớc 1: Đặt  

 

1

ax b ax b

du f x dx u f x

dv e dx v e a

 

  

  

  



 

- Bƣớc 2: Tính nguyên hàm theo công thức f x e  ax b dxuvvdu Ví dụ: Tính I xe xxd

Giải:

Đặt u x x du xdx

dv e dx v e

 

 



   

 

Theo cơng thức tính ngun hàm phần, ta có

x x x

I xe dxxe e dxxexd e x xex ex C Dạng 3: Hàm số lƣợng giác hàm đa thức

Tính nguyên hàm  f x  sin ax b dx  f x  cos ax b dx 

Trang | - Bƣớc 1: Đặt  

 

 

 

1

sin cos

du f x dx u f x

dv ax b dx v ax b

a              

 

        cos sin

du f x dx u f x

dv ax b dx v ax b

a               

- Bƣớc 2: Tính ngun hàm theo cơng thức f x  sin ax b dx  uvvdu

  cos 

f x ax b dx uv vdu

 

Ví dụ: Tính I xsinxdx

Giải:

Đặt

sin cos

u x du dx

dv xdx v x

 

 



    

 

Theo công thức nguyên hàm phần ta có:

cos cos cos sin

I  x x xdx x x x C Dạng 4: Hàm số lƣợng giác hàm số mũ

Tính nguyên hàm eax b sincxd dx eax b coscxd dx

Phƣơng pháp:

- Bƣớc 1: Đặt u sinax bcx d

dv e  dx

  

 



 

cos

ax b

u cx d

dv e  dx

  

 



- Bƣớc 2: Tính ngun hàm theo cơng thức uvvdu

Lƣu ý:

- Đối với dạng toán này, ta cần thực hai lần nguyên hàm phần

- Ở bước ta đổi lại đặt

 

sin ax b u e

dv cx d dx



  

  

 cos 

ax b u e

dv cx d dx



  

  

 Ví dụ: Tính nguyên hàm I sin dx e xx

Trang |

Đặt u sinxx du xcosxdx

dv e dx v e

 

 



   

 

Khi I exsinxcosxe dxx exsinxJ

Tính J cosxe dxx Đặt u cosxx du x sinxdx dv e dx v e

  

 



   

 

Suy xcos sin x xcos J e x xe dxe xI

Do I exsinx J exsinxexcosxI2I exsinx e xcosx

Vậy 1 sin cos 

x x

I  e x e x C

Trang | 4 Bài tập

Câu 1: Một nguyên hàm (x 2) sin 3xdx (x a) cos 3x 1sin 3x 2017

b c



    

 tổng Sa.b c bằng:

A S 14 B S 15 C S3 D S 10

Câu 2: m ngu ên hàm I(xcos x)xdx A

3 x

x sin x cos x c

3    B Đ p n h c

C

3 x

sin x x cos x c

3    D

3 x

x sin x cos x c

3   

Câu 3: Tìm họ nguyên hàm x

F(x)x e dx ?

A F(x)(x22x2)ex C B F(x)(2x2 x 2)ex C C F(x)(x22x2)exC D F(x)(x22x 2)e xC Câu 4: Biểu thức sau đâ với

x sin xdx

 ?

A

2x cos x x cos xdx

  B

x cos x 2x cos xdx

 

C

x cos x 2x cos xdx

  D

2x cos x x cos xdx

 

Câu 5: Nguyên hàm hàm số f x xexlà:

A xex  ex C B ex C C

2 x x

e C

2  D

x x

xe  e C

Câu 6: Gọi F(x) nguyên hàm hàm yx.cosx mà F(0) 1 Phát biểu sau đâ đúng:

A F(x) hàm chẵn

B F(x) hàm lẻ

C F(x) hàm tuần hoàn chu kỳ 2

D F(x) không hàm chẵn hông hàm lẻ

Câu 7: Nguyên hàm x cos xdx

Trang | Câu 8: Nguyên hàm x

2x.e dx 

A 2xex2ex C B 2xex 2ex C 2xex 2ex D 2xex 2exC Câu 9: x cos xdx bằng:

A

2 x

sin x C

2  B x sin x cosx C  C x sin x sinx C  D x

cosx C

2 

Câu 10: x sin x cos xdx bằng:

A 1 1sin 2x xcos2x C

2

  

 

  B

1 x

sin 2x cos2x C

2

 

   

 

C 1 1sin 2x xcos2x C

2

  

 

  D

1 x

sin 2x cos2x C

2

        Câu 11: x xe dx

 bằng:

A  

x

3 x e C B  

x

x3 e C C  

x

x e C

3   D  

x

x e C

3  

Câu 12: x ln xdx bằng:

A

2

x x

.ln x C

2   B

2

x x

.ln x C

4   C

2

x ln x x C

4

   D

2

x x

.ln x C

2  

Câu 13: Một nguyên hàm f x  x2 cos x 

A x tan x ln cos x B x tan x ln cos x   C x tan x ln cos x D x tan x ln sin x

Câu 14: Họ nguyên hàm hàm số f x excos x

A F x  1e xsin x cos x C



   B F x  1e xsin x cos x C

2



  

C F x  1e xsin x cos x C



    D F x  1e xsin x cos x C

2



   

Câu 15: Nguyên hàm ln xdxbằng:

Trang | Câu 16: Nguyên hàm hàm số: y =

2 x

x (x x)e

dx x e

 

 là:

A F(x) = x x

xe  1 ln xe  1 C B F(x) = x x

e  1 ln xe  1 C C F(x) = x x

xe  1 ln xe  1 C D F(x) = x x

xe  1 ln xe  1 C

Câu 17: Nguyên hàm hàm số: Icos 2x.ln(sin x cos x)dx là:

A F(x) = 11 sin 2x ln sin 2x   1sin 2x C

2   4 

B F(x) = 11 sin 2x ln sin 2x   1sin 2x C

4   2 

C F(x) = 11 sin 2x ln sin 2x   1sin 2x C

4   4 

D F(x) = 11 sin 2x ln sin 2x   1sin 2x C

4   4 

Câu 18: Nguyên hàm hàm số: Ix2 sin 3xdx là:

A F(x) = x cos 3x 1sin 3x C

3



   B F(x) = x cos 3x 1sin 3x C

3



 

C F(x) = x cos 3x 1sin 3x C

3



   D F(x) = x cos 3x 1sin 3x C

3



  

Câu 19: Nguyên hàm hàm số: Ix ln xdx.3 là:

A F(x) = 1x ln x4 x4 C

4 16  B F(x) =

4

1

x ln x x C

4 16 

C F(x) =1x ln x4 x3 C

4 16  D F(x) =

4

1

x ln x x C

4 16 

Câu 20: Tính Hx3 dxx A

x

H (x ln 1) C ln

   B

x

H (x ln 2) C ln

  

C

x

H (x ln 1) C ln

Trang | ĐÁP ÁN

Trang |

Website HOC247 cung cấp môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thơng minh, nội dung giảng biên soạn công phu giảng dạy giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, giỏi kiến thức chuyên môn lẫn kỹ sƣ phạm đến từ c c trường Đại học c c trường chuyên danh tiếng

I. Luyện Thi Online

- Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ c c rường ĐH HP danh tiếng xây dựng khóa luyện thi THPTQG các mơn: Tốn, Ngữ Văn, iếng Anh, Vật Lý, Hóa Học Sinh Học

- Luyện thi vào lớp 10 chun Tốn: Ơn thi HSG lớp 9 luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An c c trường Chuyên khác TS.Trần Nam Dũng, TS Phạm Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo Thầy Nguyễn Đức Tấn.

II Khoá Học Nâng Cao HSG

- Toán Nâng Cao THCS: Cung cấp chương tr nh o n Nâng Cao, o n Chu ên dành cho em HS THCS lớp 6, 7, 8, u thích mơn Tốn phát triển tư du , nâng cao thành tích học tập trường đạt điểm tốt kỳ thi HSG

- Bồi dƣỡng HSG Tốn: Bồi dưỡng phân mơn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học và Tổ Hợp

dành cho học sinh khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Phạm Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn đôi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia

III. Kênh học tập miễn phí

- HOC247 NET: Website hoc miễn phí học theo chƣơng trình SGK từ lớp đến lớp 12 tất môn học với nội dung giảng chi tiết, sửa tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, ho tư liệu tham khảo phong phú cộng đồng hỏi đ p sôi động

- HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp Video giảng, chu ên đề, ôn tập, sửa tập, sửa đề thi miễn phí từ lớp đến lớp 12 tất môn Toán- Lý - Hoá, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, in Học Tiếng Anh

Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai

Học lúc, nơi, thiết bi – Tiết kiệm 90%

Học Toán Online Chuyên Gia