Xác định hàm lượng đất hiếm bằng phương pháp phổ hấp thụ phân tử

Bằng cácchơng trình đã đợc cài đặt trong máy tính có tốc độ xử lý cao, ngời ta có thểgiải các bài toán xác định nồng độ các cấu tử có phổ hấp thụ xen phủ nhautrong mẫu phân tích với tập

Mở đầu

Ngày nay Khoa học kỹ thuật đã và đang có những bớc phát triển mạnh

mẽ và thu đợc những thành tựu to lớn Cùng với sự cuả Khoa học kỹ thuật ,khoa học Hoá học với sự hỗ trợ của các trang thiết bị hiện đại, của các phơngtiện thông tin đang có những bớc tiến đáng kể, đặc biệt là công nghệ hoá học

và các phơng pháp nghiên cứu hoá học Một trong những chuyên nghành đóngvai trò không nhỏ trong sự phát triển ấy là chuyên nghành Hoá phân tích Nhờ

có sự hỗ trợ của các phơng tiện thông tin, các máy móc hiện đại (đặc biệt làmáy chạy phổ hiện đại, máy tính điện tử,…), hóa học phân tích đã thành côngtrong nhiều phơng pháp phân tích mới đặc biệt là với phơng pháp phân tíchtrắc quang Phơng pháp này đã và đang có những ứng dụng quan trọng tronghóa học phân tích hiện đại

Trớc đây khi khoa học kỹ thuật còn cha thực sự phát triển thì việc phântích những hỗn hợp chứa các cấu tử có phổ hấp thụ xen phủ nhau là rất khókhăn và phức tạp Việc tách riêng từng cấu tử khỏi hỗn hợp để phân tích làviệc làm đòi hỏi nhiều công sức, tốn nhiều thời gian, kinh phí, tốn hoá chất,

độ xác không cao,

Ngày nay, nhờ có sự hỗ trợ của công nghệ thông tin, máy tính điện tử,các máy chạy phổ,.v việc phân tích những hỗn hợp chứa các cấu tử có phổhấp thụ xen phủ nhau trở nên đơn giản hơn và có độ chính xác cao Bằng cácchơng trình đã đợc cài đặt trong máy tính có tốc độ xử lý cao, ngời ta có thểgiải các bài toán xác định nồng độ các cấu tử có phổ hấp thụ xen phủ nhautrong mẫu phân tích với tập hợp số liệu đầu vào lớn để nâng cao độ chính xáccủa phép phân tích

Xuất phát từ những lý do trên tôi đã quyết định chọn đề tài: Xác định“ Xác định

nồng độ các cấu tử có phổ hấp thụ xen phủ nhau bằng phơng pháp trắc quang có sử dụng Computer ”

Trong đề tài này chúng tôi đã thực hiện một số nội dung cơ bản sau:

1 Khảo sát điều kiện tối u cho phản ứng tạo phức: ảnh hởng của pH và

ảnh hởng của lợng d thuốc thử tới mật độ quang A, ảnh hởng của thời gian

đến độ bền của phức, ảnh hởng của nồng độ nguyên tố đất hiếm (NTĐH) tới

sự cộng tính của định luật Buger - Lambert - Beer

Đồng Đức Thiện  1  Lớp Hoá K37A

2 Xác định phổ của các dung dịch phức màu của La3+, Nd3+, Pr3+ riêng rẽvới asenazo (III) và các hỗn hợp (La3+ và Nd3+), hỗn hợp (Nd3+ và Pr3+), hỗnhợp (La3+ và Pr3+), hỗn hợp (La3+, Nd3+ và Pr3+ ) với asenazo (III) trên máyquang phổ UV- VIS.

3 Sử dụng ngôn ngữ lập trình Pascal để lập trình xác định nồng độ La3+,

Nd3+, Pr3+ trong cùng một dung dịch dựa vào mật độ quang của dung dịch tơngứng; tính sai số tơng đối của phép xác định nồng độ La3+, Nd3+ và Pr3+ có mặttrong cùng một dung dịch hỗn hợp phân tích, trên cơ sở đó đa ra nhận xét

Chơng 1: Tổng quan tài liệu

1.1 Tổng quan về Lantan, Neodim và Prazeodim

1.1.1 Sơ lợc về các nguyên tố đất hiếm [7, 14]:

Các nguyên tố đất hiếm gồm Scandi, Ytri, Lantan và các Lantanoit CácLantanoit (kí hiệu là : Ln) gồm 14 nguyên tố từ Xeri (STT : 58) đến Lutexi(STT : 71) trong hệ thống tuần hoàn các nguyên tố hoá học, chúng chiếm0,015% khối lợng vỏ trái đất Các Lantanoit có số thứ tự chẵn có hàm lợng lớnhơn các Lantanoit có số thứ tự lẻ [7]

Cấu hình electron chung của các nguyên tố đất hiếm:

1s22s22p63s23d104s24p64fm5s25p65dn6s2 hay [Xe] 4fm5dn6s2

(m : 2  14, n : 0 hoặc 1)

Trong các Lantanoit, electron lần lợt điền vào obitan 4f của lớp thứ 3 từngoài vào, trong khi lớp ngoài cùng có 2 electron (6s2) và lớp thứ 2 của cácnguyên tố có 8 electron (5s25p6)

Đồng Đức Thiện  2  Lớp Hoá K37A

Dựa vào cấu hình phân lớp 4f ngời ta phân họ các nguyên tố đất hiếm ralàm hai nhóm :

Nhóm đất hiếm nhẹ

(Nhóm Xeri): Ce Pr Nd Pm S m Eu Gb 4f2 4f3 4f4 4f5 4f6 4f7 4f7 5d1Nhóm đất hiếm nặng

(Nhóm Tecbi ):Tb Dy Ho Er Tm Yb Lu

4f7+2 4f7+3 4f7+4 4f7+5 4f7+6 4f7+7 4f7+45d1

ở các nguyên tố thuộc phân nhóm nhẹ, mỗi obitan 4f mới đợc điền vào

1 electron; còn ở phân nhóm nặng thì ở obitan 4f đợc điền thêm electron thứ2

Các nguyên tố đất hiếm thờng là các kim loại màu trắng bạc, dẻo, dễ dátmỏng và kéo sợi Chúng khá hoạt động hoá học, tan trong dung dịch HCl,HNO3, H2SO4 tạo thành các halogenua, sunfua bền, phản ứng với H2, C, N2,P,

Các nguyên tố đất hiếm có khả năng tạo thành phức chất với nhiều phối

tử vô cơ và hữu cơ

Số oxi hoá đặc trng của các Latanit là +3 tơng ứng với cấu hình lớp ngoàicùng là: 5d16s2 Đó là kết quả của việc chuyển 1 electron từ phân lớp 4f sangphân lớp 5d Ngoài ra chúng còn có các số oxi hoá khác kém đặc trng hơn là:+2, +4 ( ở Ce và Pr nhng ở Pr kém đặc trng hơn Ce) Trong dung dịch, cácLantanit tồn tại ở mức oxi hoá +3

Các muối của La3+, Gb3+, Yb3+, Lu3+, Y3+ không màu, của Pr3+ có màu xanh lá cây, của Nd3+ có màu tím hồng,v.v

1.1.2 Sơ lợc về Lantan, Neodim và Prazeodim [7, 14]:

Lantan, Neodim và Prazeodim là các nguyên tố thuộc phân nhóm nhẹ

của các nguyên tố đất hiếm

Một số thông tin quan trọng về ba nguyên tố này đợc mô tả trong bảngsau( bảng 1.1):

Bảng 1.1: Các thông tin quan trọng của Lantan, Neodim, PrazeodimNguyên tố Lantan(La) Prazeodim(Pr) Neodim(Nd)

Đồng Đức Thiện  3  Lớp Hoá K37A

Cấu hình [Xe]5d16s2 [Xe]4f35d06s2 [Xe]4f45d06s2Năng lợng ion

Về mặt hoá học, Lantan, Neodim và Prazeodim là những kim loại tơng

đối hoạt động (chỉ kém kim loại kiềm và kiềm thổ)

Kim loại dạng tấm bền trong không khí khô Trong không khí ẩm, chúng

bị mờ đục nhanh chóng vì bị phủ một lớp màng cacbonat bazơ đợc tạo nên dotác dụng với H2O và CO2:

Ln + 3H2O = Ln(OH)3 + 3/2H2 (Ln = La, Nd, Pr)Ln(OH)3 + CO2 = Ln(OH)CO3 + H2O

ở 200 – 400 0C Lantan, Neodim và Prazeodim cháy trong không khí tạooxit và nitrua:

Đồng Đức Thiện  4  Lớp Hoá K37A

4Ln + 3O2 = 2 Lnto 2O3 2Ln + N2

to

= 2LnN (Ln = La, Nd, Pr) 12Pr + 11O2

to

= 2Pr6O11Lantan, Neodim và Prazeodim phản ứng với halogen ở nhiệt độ khôngcao, tác dụng với S, P, C, H2, N2, khi đun nóng:

2Ln + 3X2

to

= 2LnX3 (X: Halogen, t0 = 3000C) 2Ln + 3S = Lnto 2S3 (t0 = 5000C - 8000C )

Với H2O: phản ứng diễn ra chậm ở nhiệt độ thờng và nhanh ở nhiệt độcao giải phóng H2:

2LnF3 + 3Ca = 2Ln + 3CaFto 2

 Trạng thái tự nhiên: Trong tự nhiên Lantan, Neodim và Prazeodim

thờng tồn tại cùng nhau và chúng thờng đợc gọi là các nguuyên tố họ “ Xác địnhđấthiếm” Mặc dù trữ lợng của chúng tơng đối lớn (không kém Cu, I, Sb)nhngchúng tồn tại ở dạng phân tán nên chúng còn đợc gọi với cái tên là: “ Xác địnhcácnguyên tố phân tán” Trong tự nhiên các nguyên tố đất hiếm nhóm nặng tồntại nhiều hơn các nguyên tố nhóm nhẹ Những khoáng vật quan trọng của cácnguyên tố đất hiếm là mozanit, batnesit, loparit (Na, Cu, Ln)2(Ti, Nd, Ta)2O6 Những nớc giàu khoáng vật đất hiếm là: Nga, Mỹ, ấn Độ, Canada và Nam Phi.Nớc ta có khoáng vật đất hiếm ở Nậm Xe (Cao Bằng) và có cát mozanit trongcác sa khoáng ở ven biển miền Trung.[7]

1.1.3 Một số hợp chất của đất hiếm

Đồng Đức Thiện  5  Lớp Hoá K37A

1.1.3.1 Oxit cña Lantan, Neodim vµ Prazeodim Ln 2 O 3 [7, 14]:

La2O3 lµ chÊt r¾n mµu tr¾ng, khã nãng ch¶y,cãtÝnh chÊt gièng CaO,hÊp thô CO2 , H2O trong kh«ng khÝ t¹o cacbonat baz¬; La2O3 hÊp thô H2O to¶nhiÒu nhiÖt:

Pr2O3 lµ chÊt r¾n mµu lôc - vµng, khã nãng ch¶y, kh«ng tan trong H2O

vµ dung dÞch kiÒm nhng t¸c dông víi H2O t¹o hidroxit ph¸t nhiÖt, tan trongkiÒm nãng ch¶y vµ axit v« c¬:

1.1.3.2 Hydroxit của Lantan, Neodim và Prazeodim Ln(OH) 3 [7, 14]:

La(OH)3 làchất kết tủa màu trắng La(OH)3 là bazơ mạnh (tơng đơngvới Ca(OH)2), hấp thụ CO2 trong khí quyển, tác dụng với muối amoni giảiphóng NH3, bị mất H2O khi nung nóng tạo oxit:

2La(OH)3 + 3CO2 = La2(CO3)3 +3H2O

Pr(OH)3 là chất kết tủa dạng vô định hình, thực tế không tan trong nớc,

là bazơ mạnh (trong khoảng giữa Mg(OH)2 và Al(OH)3), hấp thụ CO2trongkhông khí Do đó hiđroxit của Prazeodim thờng lẫn cacbonat bazơ:

Pr(OH)3 + CO2 = Pr(OH)CO3 + H2O

La(OH)3 , Nd(OH)3 và Pr(OH)3 đợc điều chế bằng cách cho dung dịchmuối của La3+, Nd3+ và Pr3+ tác dụng với dung dịch kiềm hoặc dung dịch NH3

Ln3+ + 3OH- = Ln(OH)3

1.1.3.3 Các muối của Lantan, Neodim và Prazeodim Ln 3+ [7, 14]:

LnX3(X: halogen): là những chất rắn màu trắng, LnF3 khó nóng chảy(t0

nc = 1450  1550 0C) LnX3 (X = Cl, I, Br) có nhiệt độ nóng chảy thấp hơn(t0

nc = 800  900 0C), hút ẩm, tan trong nớc và bị thuỷ phân tạo polimeoxohalogenua LnOX:

LnX3 + H2O = LnOX + 2HX

Ln2(SO4)3, Ln(NO3)3 đều tan, kết tinh từ dung dịch ở dạng hiđrat, hút

ẩm chảy rữa trong không khí và bị nhiệt phân huỷ tạo oxit bền

Ln2(C2O4)3, Ln2(CO3)3 ít tan , khi đun nóng trong nớc tạo muốicacbonat bazơ

Các muối Ln3+ cũng giống các muối M2+ của kim loại kiềm thổ, có khảnăng hình thành muối kép với muối của kim loại kiềm và NH+

La2(CO3)3 + Na2CO3 + 12H2O = Na2La2(CO3)4.12H2O

1.1.3.4 Khả năng tạo phức của Lantan, Neodim và Prazeodim[7, 14] :

La3+, Nd3+, Pr3+ có khả năng tạo phức với những phối tử vô cơ thôngthờng nh: NH3, Cl-, CN- , NO3-, SO42-, những phức kém bền

La3+, Nd3+và Pr3+ có khả năng tạo phức tơng đối bền với những phối tử

đa càng, những phối tử hữu cơ nh: C2O42-,  _ đixetonat, EDTA, DTPA,IMDA,.v.v

Sự tạo phức của La3+, Nd3+ và Pr3+ với những phối tử hữu cơ đợc giảithích là do hai yếu tố là hiệu ứng Chelat và điện tích của các phối tử:

1 Hiệu ứng Chelat (hiệu ứng tạo vòng): làm cho entropi của hệ tănglàm tăng độ bền của phức, ví dụ nh: H5DTPA tạo phức với Ln3+: Ln(H2O)n3+ + DTPA5-  [Ln(H2O)n-8DTPA]2- + 8H2O

Số tiểu phân tạo thành tăng từ 2 đến 9 làm entropi của hệ tăng lêndẫn đến phức tạo thành bền

2 Điện tích của các phối tử: các phối tử có điện tích càng âm (điệntích âm của phối tử càng lớn) lực tơng tác giữa các phối tử với ion đất hiếmcàng mạnh, phức tạo thành càng bền

Phức của các Ln3+ có số phối trí cao và biến đổi Số phối trí đặc trng là 6,

7, 8, 9, 10, 11, 12 Nguyên nhân là do bán kính của các Ln3+ lớn( RLa3+ = 1.06

A0, RPr3+ = 1.013 A0) và bản chất của liên kết kim loại – phối tử trong phân tửphức chất gồm cả liên kết ion lẫn liên kết cộng hoá trị Trong dãy đất hiếm,khả năng tạo phức tăng theo chiều tăng của điện tích hạt nhân, đó là do điệntích hạt nhân tăng thì lực hút tới phối tử tăng.[7]

1.2 Giới thiệu về thuốc thử Asenazo (III)

1.2.1 Giới thiệu về thuốc thử asenazo (III) [3, 13]

Asenazo (III) là một thuốc thử hữu cơ, trong phân tử chứa các liên kết

đôi C = C, N=N, liên kết liên hợp do vậy chúng tạo ra phức bền với các ionkim loại trong các môi trờng pH khác nhau

Công thức cấu tạo của thuốc thử Asenazo (III):

Đồng Đức Thiện  8  Lớp Hoá K37A

OHOH

H2O3As

SO3H

HO3STên gọi: 2, 2 - [ 1, 8 - đihiđroxy - 3, 6 - đisunfo - 2, 7- naphtylendi (azo)]

đibenzen arsonic axit

Asenazo (III) có cực đại hấp thụ ở bớc sóng max = 540 nm và hệ số hấpthụ phân tử là  = 3,6.104

Hình 1.1 : Phổ UV - VIS của thuốc thử asenazo (III)

1.2.2 Phức của Asenazo III với các nguyên tố đất hiếm:[3]

Trong môi trờng axit, phản ứng của asenazo (III) với ion Ln3+ tạo phức1:1 có dạng:

Đồng Đức Thiện  9  Lớp Hoá K37A

OH O

H2O3As

H×nh 1.2: Phæ UV - VIS cña thuèc thö d¹ng tù do (1) vµ cña phøc mµu (2)

Ch¬ng 2: Ph¬ng ph¸p nghiªn cøu

2.1 Ph¬ng ph¸p ph©n tÝch tr¾c quang

 §Þnh luËt Buger - Lambe – Beer[4]

§ång §øc ThiÖn  10  Líp Ho¸ K37A

12

Độ hấp thụ ánh sáng của dung dịch phức màu (mật độ quang) tỷ lệ bậcnhất với nồng độ của dung dịch chất hấp thụ ánh sáng và bề dày lớp dungdịch.

Có thể biểu diễn định luật Buger - Lambert - Beer bằng phơng trình toánhọc:

A =   b C

Trong đó:

A : là độ hấp thụ của chất tại bớc sóng 

C : là nồng độ cấu tử (mol/l)

b : là bề dày cuvet đựng mẫu

 : là hệ số hấp thụ của cấu tử tại bứơc sóng 

 Tính chất cộng tính của độ hấp thụ quang [4]:

Độ hấp thụ ánh sáng ( mật độ quang) tại bớc sóng bất kỳ của một hỗnhợp bằng tổng độ hấp thụ ánh sáng của mỗi cấu tử trong hỗn hợp tại bớc sóng

đó

A  = A1,  + A2,  + A3,  + + An,  = 



n i

i

1 ,

A 

Trong đó:

n: số hấp thụ ánh sáng có trong dung dịch

Ai, :độ hấp thụ ánh sáng của cấu tử i tại bớc sóng 

Khi phân tích đồng thời nhiều cấu tử trong cùng một dung dịch thì tínhchất của độ hấp thụ quang không đảm bảo ảnh hởng đáng kể tới kết quả phântích Do vậy kiểm tra tính chất cộng tính của độ hấp thụ quang của hệ trớc khiphân tích là việc rất quan trọng

Để kiểm tra tính chất cộng tính của độ hấp thụ quang của hệ ở các nồng

độ khác nhau của các cấu tử trong hệ, ngời ta so sánh độ hấp thụ quang của hệhỗn hợp các cấu tử với tổng các độ hấp thụ của các cấu tử riêng rẽ đợc đo ởcùng điều kiện Sự kiểm tra nh vậy cho biết điều quan trọng là sự tơng tác giữacác thành phần hấp thụ ánh sáng có xảy ra trong hỗn hợp hay không, ở giớihạn nồng độ nào thì độ hấp thụ ánh sáng của hệ tuân theo định luật Buger -Lambert - Beer và tính chất cộng tính độ hấp thụ quang Từ đó, ngời ta có thểvận dụng để xác định hàm lợng các cấu tử trong khoảng nồng độ cho phép.[8]

Đồng Đức Thiện  11  Lớp Hoá K37A

2.2 Phơng pháp xác định nồng độ các cấu tử có phổ hấp thụ xen phủ nhau [1]

2.2.1 Phơng pháp Vierordt :

Để xác định nồng độ của từng cấu tử trong cùng hỗn hợp Vierordt đã ápdụng tính chất cộng tính của độ hấp thụ quang và định luật Buger - Lambert -Beer Ta đo độ hấp thụ của dung dịch mẫu ở các bớc sóng khác nhau và sau

đó thiết lập hệ phơng trình bậc nhất với số phơng trình bằng số ẩn để giải vàtính nồng độ các chất.[1]

Cụ thể với hệ gồm hai cấu tử:

A(1) = 11 b C1 + 21 b C2

A(2) = 12 b C1 + 22 b C2

Trongđó:

A(1), A(2) lần lợt là độ hấp thụ của hệ ở bớc sóng 1, 2

11 ,21 hệ số hấp thụ phân tử của cấu tử thứ nhất, thứ hai ở bớc sóng 1

12 ,22 hệ số hấp thụ phân tử của cấu tử thứ nhất, thứ hai ở bớc sóng 2 Với hệ có n cấu tử ta phải lập n phơng trình, hệ phơng trình này đợc thiếtlập bằng cách đo độ hấp thụ quang của hệ ở n bớc sóng khác nhau, đồng thời

ta phải xác định hệ số hấp thụ của riêng của từng cấu tử ứng với từng bớc sóng

 Ưu và nhợc điểm của phơng pháp Vierordt :

Khi hỗn hợp có ít cấu tử, phổ hỗn hợp xen phủ nhau không nhiều và thiết

bị đo tốt thì phơng pháp này cho kết quả khá chính xác Song với hệ nhiều cấu

Đồng Đức Thiện  12  Lớp Hoá K37A

tử, đặc biệt khi phổ hấp thụ của các cấu tử xen phủ nhau nhiều hoặc thiết bị đokhông chính xác thì phơng pháp có độ chính xác rất kém.

Nếu sai số đo của hệ hai cấu tử xen phủ nhau ít, ví dụ 10% ứng với mỗibớc sóng đo thì sai số nồng độ ứng với mỗi cấu tử sẽ là 10%

Nhng cũng sai số đo là 10%, trong hệ trong hệ các cấu tử có phổ hấp thụxen phủ nhau nhiều sai số khi tính toán nồng độ mỗi cấu tử rất lớn (có thể lêntới hơn 100% )

Phơng pháp Vierordt sử dụng dữ liệu ít, trong đó mỗi giá trị đo bao giờcũng kèm thêm sai số đo của thiết bị Điều này dẫn đến kết quả tính toánkhông đợc chính xác

2.2.2 Phơng pháp Vierotdt cải tiến

Khi phân tích đồng thời một hệ có nhiều cấu tử mà phổ của chúng xenphủ nhau, sự hấp thụ quang của hệ tuân theo định luật Beer và tính chất cộngtính, ngời ta có thể đo độ hấp thụ quang của dung dịch ở n bớc sóng khácnhau, lập hệ n phơng trình với n ẩn số (là nồng độ của các cấu tử) giải hệ ph-

ơng trình sẽ tính đợc nồng độ của các cấu tử Nhng nh đã trình bày ở trên, khi

số cấu tử của hệ tăng lên thì sai số của phép xác định rất lớn

Để giảm bớt sai số đó, ngời ta tiến hành cải tiến phơng pháp Vierordtbằng cách sử dụng nhiều bớc sóng hơn để lập hệ phơng trình mà số phơngtrình nhiều hơn số ẩn Ngời ta gọi phơng pháp này là phơng pháp Vierordt cảitiến (hay phơng pháp tính nồng độ các cấu tử theo sai số tuyệt đối) Khi sửdụng toàn bộ dữ liệu phổ đo đợc để tính toán, phơng pháp định lợng đợc gọi làphơng pháp phổ toàn phần [1]

Sau khi lập hệ m phơng trình tuyến tính n ẩn (m > n) ta phải chuyểnthành hệ phơng trình tuyến tính n phơng trình n ẩn số và giải bằng những ph-

Đồng Đức Thiện  13  Lớp Hoá K37A

A a

a

A a

a

A a

j j

a

C k C

k C k a

1

2 2

2 1

*

0 2

1 2

j j j

j j j i

m

j j i j

j j j

j j m

A a a a A a C

d

dS

a

A a C a

A a a

A a C dC

A a C a

A a

j j

k A a

ij

m

j

j

j j k a A

a









 

    m j j ij ij m j j j a a k k A 1 1 2                                     m j j nj n m j j nj nj m j j j nj m j j nj j m j j j n m j j nj j m j j j j m j j j a a a a a a a a k C k k C k k C k k k C k k C k k C k 1 1 2 2 1 2 2 1 1 2 1 1 1 1 2 1 2 1 2 2 1 1 1 2 1 *

* *

*

*                                     m j j nj m j j nj nj n m j j j nj m j j j nj m j j j m j j nj j n m j j j j m j j j j a a a a a a a a k k k C k k C k k C k k k C k k C k k C 1 1 2 1 2 2 2 1 2 1 1 1 1 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 1 1 *

* *

*

* * Đặt 

  m j j kj ij kj a a k k 1 2 * (Với j = 1 tới m, k = 1 tới n) 

  m j j kj k a b k 1 Khi đó ta có hệ phơng trình tuyến tính nh sau: a 11 C 1 + a12 C2 + a13 C3 + … + a1n Cn = b1 a 21 C1 + a22 C2 + a23 C3 + … + a2n Cn = b2 ………

a k1 C1 + ak2 C2 + ak3 C3 + … + akn Cn = bk

a n1 C1 + an2 C2 + an3 C3 + … + ann Cn = bn

Đồng Đức Thiện  15  Lớp Hoá K37A

Các hệ số ak1, ak2,aki, ,akn và bk đợc tính từ các giá trị C0

i ban đầu thôngqua phép bình phơng tối thiểu, thực chất đây là phép biến một ma trận khôngvuông thành ma trận vuông

Công việc này đợc thực hiện bởi một chơng trình con[5, 6, 9]: