SANG KIEN KINH NGHIEM DH TOAN

Trªn ®©y lµ mét sè ph¬ng ph¸p chøng minh tø gi¸c néi tiÕp ®êng trßn ®ång thêi sö dông ph¬ng ph¸p tø gi¸c néi tiÕp ®Ó chøng minh mét sè bµi to¸n hay vµ khã. Do kinh nghiÖm cña m×nh qua th[r]

Môc lôc

Néi dung Trang

A Đặt vấn đề

I Lý chọn đề tài

1 C¬ së lý ln

2 C¬ së thùc tiƠn

II Mục đích nghiên cứu

III Nhiệm vụ đề tài

IV Giới hạn đề tài

B Giải vấn đề

I Phơng pháp nghiên cứu

II Nội dung cụ thể

1 Kiến thức

2 Bài tập minh hoạ

2.1 Bi tập chứng minh tứ giác nội tiếp đờng tròn

Phơng pháp

Phơng pháp

Phơng pháp

Phơng pháp

2.2 Bài tốn hay khó vận dụng phơng pháp tứ giác nội tiếp 10 Chứng minh nhiều điểm nằm đờng tròn 10 Chứng minh đờng tròn qua điểm cố định 11

Chứng minh quan hệ đại lợng 13

Chứng minh tứ giác nội tiếp đờng trịn để tìm quỹ tích điểm 15 Chứng minh tứ giác nội tiếp đờng trịn để dựng hình 16

III Kết thu đợc 18

IV Bµi häc kinh nghiƯm 18

A - Đặt vấn đề I Lý chọn đề tài

1 C¬ së lý luËn

Trong hoạt động giáo dục nay, đòi hỏi học sinh cần phải tự học tự nghiên cứu cao Tức đích cần phải biến trình giáo dục thành trình tự giáo dục Nh vậy, học sinh phát huy đợc lực sáng tạo, t khoa học, từ xử lý linh hoạt đợc vấn đề đời sống xã hội Một phơng pháp để giúp học sinh đạt đợc điều mơn Tốn (cụ thể mơn Hình Học 9) khích lệ em sau đơn vị kiến thức cần khắc sâu, tìm tịi tốn liên quan Làm đợc nh có nghĩa em cần say mê học tập, tự nghiên cứu đào sâu kiến thức

2 C¬ së thùc tiƠn

Đối với học sinh lớp học tốn đờng trịn chun đề tứ giác nội tiếp toán liên quan quan trọng Đóng vai trị đơn vị kiến thức trọng tâm nội dung Hình Học lớp Mà đa số em biết đến chứng minh tứ giác nội tiếp đờng tròn nh nào, cịn biết vận dụng phơng pháp tứ giác nội tiếp để làm ?

Ta biết có nhiều phơng pháp để chứng minh tứ giác nội tiếp đờng tròn Khi biết tứ giác nội tiếp đờng trịn suy đợc góc đỉnh góc ngồi đỉnh đối diện với hay vận dụng Định lý mối liên hệ giữ loại góc đờng trịn để tìm cặp góc Với phơng pháp tứ giác nội tiếp ta vận dụng để giải số tốn hay khó

Với lý đó, tơi chọn đề tài nghiên cứu cho là: “Phơng pháp tứ giác nội tiếp”

II.Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu đề tài nhằm mục đích giúp giáo viên nắm rõ ph-ơng pháp chứng minh tứ giác nội tiếp đồng thời vận dụng phph-ơng pháp tứ giác nội tiếp để giải số tốn hay khó nh sau:

Chứng minh tứ giác nội tiếp đờng trịn để tìm quỹ tích điểm Chứng minh tứ giác nội tiếp đờng trịn để dựng hình

Nh vậy, giáo viên giúp học sinh nắm vững, khai thác sâu, đầy đủ cách có hệ thống đơn vị kiến thức “Tứ giác nội tiếp đờng tròn”

III Nhiệm vụ đề ti

+ Đa phơng pháp chứng minh tứ giác nội tiếp có minh họa

+ Đa loại tập vận dụng phơng pháp tứ giác nội tiếp hay khó có tập minh häa

IV Giới hạn đề tài

B – Giải vấn đề I – Ph ơng pháp nghiên cứu

Để nghiên cứu đề tài này, sử dụng phơng pháp sau: 1 Phơng pháp nghiên cứu lý thuyết

Kết hợp kinh nghiệm giảng dạy có đợc với nghiên cứu tài liệu, tơi sử dụng tài liệu nh:

- S¸ch giáo khoa Tóan (tập II) - Sách tập To¸n (tËp II)

- Tóan nâng cao Hình học – NXB Thành phố Hồ Chí Minh - Tóan nâng cao chuyên đề – NXB Giáo dục

- Các tóan hay khó đờng tròn – NXB Đà Nẵng 2 Phơng pháp nghiên cứu thực tiễn.

Tôi tiến hành dạy thử nghiệm học sinh lớp 9A – Trờng THCS Đại Đồng bồi dỡng đội tuyển học sinh Giỏi trờng

3 Phơng pháp đánh giá.

II – Néi dung thĨ

1 Kiến thức

1.1 Khái niƯm tø gi¸c néi tiÕp

* Tứ giác nội tiếp đờng trịn tứ giác có bốn đỉnh nằm đờng trịn đó.

* Trong h×nh 1, tứ giác ABCD nội tiếp (O) (O) ngoại tiÕp tø gi¸c ABCD

O

C B

D A

Hình 1.2.Định lý.

* Trong tứ giác nội tiếp tổng số đo hai góc đối diện bằng180o.

* Nếu tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện bằng180o tứ giác đó

nội tiếp đợc đờng trịn.

1.3 Một số phơng pháp chứng minh tứ giác nội tiếp - Tứ giác có tổng hai góc đối 1800.

- Tứ giác có góc ngồi đỉnh góc đỉnh đối diện.

- Tứ giác có đỉnh cách điểm (mà ta xác định đợc) Điểm đó là tâm đờng tròn ngoại tiếp tứ giác.

- Tứ giác có hai đỉnh kề nhìn cạnh chứa hai đỉnh cịn lại dới một góc a

1.4 Một số toán hay khó vận dụng phơng pháp tứ giác nội tiếp.

Chng minh nhiều điểm nằm đờng tròn. Chứng minh đờng tròn qua điểm cố định.

Chứng minh quan hệ đại lợng.

Chứng minh tứ giác nội tiếp đờng trịn để tìm quỹ tích điểm. Chứng minh tứ giác nội tiếp đờng tròn dng hỡnh.

2 - Bài tập minh hoạ

2.1 Bài tập chứng minh tứ giác nội tiếp đờng tròn

Ph

ơng pháp 1: Dựa vo nh ngha.

Bài toán 1:

Cho tam giác ABC, đờng cao BB’, CC’ Chứng minh tứ giác BCB’C’ nội tiếp

O C' B'

B C

A

Chứng minh:

Cách 1: Lấy O trung điểm cạnh BC Xét BBC có : BB’C = 900 (GT)

OB’ đờng trung tuyến ứng với cạnh huyền  OB’ = OB = OC = r (1)

XÐt BC’C cã :  BC’C = 900 (GT)

Tơng tự OC = OB = OC = r (2)

Từ (1) (2)  B, C’, B’, C  (O; r)  BC’B’C nội tiếp đờng trịn

C¸ch 2: Ta cã: BB’  AC (GT)  BB’C = 900.

CC’  AB (GT)   BC’C = 900.

Ph

ơng pháp 2: Da vo nh lý

Bài toán 2:

Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O), đờng cao BB’, CC’ a/ Chứng minh tứ giác BCB’C’ nội tiếp

b/ Tia AO c¾t (O) D cắt BC I Chứng minh tø gi¸c BDIC’ néi tiÕp

I

O C' B'

B

A

C

D

Chứng minh: a/ (Bài toán 1)

b/ Từ câu a  C +  BC’B’ = 1800

(Tổng hai góc đối tứ giác nội tiếp)

Mµ :  C =  D (hai gãc néi tiÕp cïng ch¾n cung AB)  D +  BC’I = 1800

 BDIC’ nội tiếp đờng tròn

Ph

ơng pháp 3: Dựa vào quỹ tích cung chứa

góc

Bài toán 3:

Cho  ABC cân A nội tiếp (O) Trên tia đối tia AB lấy điểm M, tia đối tia CA lấy điểm N cho AM=CN

Chøng minh  AMNO néi tiÕp

B

1

1

O

2

C M

N A

Chøng minh:

Ta có:  ABC cân A O tâm đờng tròn ngoại tiếp  ABC  A1 =  A2

Tứ giác ABCD nội tiếp đờng tròn  A + C = 1800

AOC cân O (vì OA = OC)

A2 = C1 nªn A1 = A2 = C1

Mµ A1 + OAM = 1800 vµ C1+ OCN= 1800 AOM = OCN

XÐt OAM vµ OCN cã : OA = OC; AOM = OCN; AM = CN  OAM = OCN (c.g.c)

 AMO = CNO hay AMO = ANO

  AMNO nội tiếp đờng tròn (hai đỉnh kề M N nhìn cạnh OA dới góc)

Ph

ơng pháp 4: Dựa vào: tứ giác có gãc ngoµi

tại đỉnh góc ca nh i din.

Bài toán 4:

Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O), M điểm chÝnh gi÷a cđa cung AB Nèi M víi D, M với C cắt AB lần lợt E P

Chứng minh tứ giác PEDC nội tiếp đợc đờng tròn

A E P

C O

B

D

M

Chøng minh:

Ta có :  MEP góc có đỉnh nằm bên (O)

 ®(AD  ) MEP

2

s MB

 

Mà   ®DM

s

DCP (gãc néi tiÕp)

Hay   ®(AD  )

s MA

DCP

Lại có : AMMB

Nên : MEP = DCP

Nghĩa là:  PEDC có góc ngồi đỉnh E góc đỉnh C Vậy  PEDC nội tiếp đợc đờng tròn

Cho h×nh vÏ:

BiÕt AC  BD t¹i O, OE AB t¹i E; OF  BC t¹i F; OG  DC t¹i G; OH AD H

HÃy tìm tứ giác nội tiếp hình vẽ bên

F

H E

G O

A C

B

D

Chøng minh:

* Các tứ giác nội tiếp có hai góc đối góc vng là:

AEOH; BFOE; CGOF; DHOG

* Các tứ giác nội tiếp có góc ngồi đỉnh góc đỉnh đối diện

AEFC; AHGC; BEHD; BFGD ThËt vËy: XÐt tø gi¸c AEFC

Ta cã: EAC =  EOB (cïng phô víi  ABO)

 BFE = EOB (Hai gãc néi tiÕp cïng ch¾n cung EB) EAC =  BFE

Các tứ giác AHGC; BEHD; BFGD chứng minh tơng tù

* Tứ giác EFGH nội tiếp có tổng hai góc đối 1800 Thật vậy: Ta có :  OEH = OAH ( chắn cung OH)

OAH = HOD (v× cïng phơ víi AOH) HOD = HGD ( chắn cung HD) OEH =HGD

Chứng minh tơng tự ta đợc : OEF = FGC

Từ :  OEH + OEF =HGD + FGC  FEH =HGD + FGC

Mặt khác: HGD + FGC+ HGF = 1800

FEH + HGF = 1800 ( điều phải chứng minh)

2.2 Bài toán hay khó vận dụng ph ơng pháp tứ giác nội tiếp Bài tóan Chứng minh nhiều điểm nằm đ ờng tròn

a Phơng pháp:

b Ví dụ 1: (Bài tốn đờng tròn Euler) Chứng minh rằng,

tam giác bất kì, ba trung điểm cạnh, ba chân đờng cao, ba trung điểm đoạn thẳng nối trực tâm với đỉnh đờng tròn

l

O

N P

M

H L

K

I D

F E

B C

A

Chøng minh:

Ta có: ME đờng trung bình AHC ND đờng trung bình BHC  ME = ND = HC/2

tứ giác MNDE hình bình hành (1)

Li cú : ME // CH; MN // AB (vì MN đờng trung bình HAB) Mà CH  AB (GT)

 ME  MN (2)

Tõ (1) vµ (2)  Tø giác MNDE hình chữ nhật

Gọi O trung điểm MD O trung điểm NE Nên hình chữ nhật MNDE nội tiếp (O; OM)

Chứng minh tơng tự ta đợc hình chữ nhật FMPD nội tiếp (O; OM) Vì  MID = 900 I  (O; OM)

V×  FLP = 900 ;  NKE = 900  L; K  (O; OM)

VËy ta cã : ®iĨm M; K; E; P; D; I; N; F; L  (O; OM)

(Điều phải chứng minh) c.Bài tập:

1. Cho hình bình hành ABCD có  A nhọn Đờng trịn tâm A bán kính AB cắt đờng thẳng BC điểm thứ hai E Đờng tròn tâm C bán kính CB cắt đờng thẳng AB điểm thứ hai K Chứng minh rằng:

a DE = DK

b năm điểm A, D, C, K, E thuộc đờng tròn

c năm điểm O, A, M, E, H thuộc đờng trịn

Bài tóan Chứng minh đ ờng tròn qua điểm cố định.

a Phơng pháp:

Nu ta phi chng minh mt đờng tròn (ABC) qua điểm cố định, Cách 1: Ta xét thêm điểm D cố định chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp đờng trịn Từ suy điều phải chứng minh.

Cách 2: Ta chọn điểm đờng trịn (ABC) sau ta chứng minh điểm chọn điểm cố định.

b VÝ dơ 1:

Cho đờng trịn tâm O đờng kính AB, điểm C cố định đờng kính (C khác O) Điểm M chuyển động đờng trịn Đ-ờng vng góc với AB C cắt MA, MB theo thứ tự E F Chứng minh đờng trịn ngoại tiếp tam giác AEF ln qua điểm cố định khác A

2

K F E

A

O

B C M

Chøng minh:

Gọi K giao điểm đờng tròn qua ba điểm A, E, F với AB Nối K với F

Ta cã  F1 =  A ( cïng b»ng nöa sè ®o cung KE)

 F2 =  A ( cïng phơ víi  MBA)  F1 =  F2

 K đối xứng với B qua C

Do B C hai điểm cố định nên suy K cố định

Từ điểm A ngồi đờng trịn (O) ta vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đờng tròn Lấy điểm D nằm B C Qua D vẽ đờng thẳng vng góc với OD cắt AB, AC lần lợt E F

Khi điểm D di động BC, chứng minh đờng trịn (AEF) ln qua điểm cố định khác A

F E

A O

C B

D

Chøng minh:

Ta cã :  EBO = 900 (AB lµ tiÕp tun víi (O) t¹i B)  EDO = 900 (GT)

 hai đỉnh B D nhìn đoạn OE dới góc vng  EBOD nội tiếp đờng tròn

 BEO =  BDO (1) (cïng ch¾n cung OB)

Chứng minh tơng tự ta có :  ODCF nội tiếp đờng tròn

 OFC =  BDO (2) (góc đỉnh góc đỉnh đối diện) Từ (1) (2)  OFC =  BEO

 AEOF nội tiếp đờng trịn (theo dấu hiệu góc đỉnh góc ngồi đỉnh đối diện)

Vậy đờng trịn (AEF) qua điểm O cố định c Bài tập:

1 Cho tam gi¸c ABC néi tiÕp (O), I điểm cung BC không chứa A Vẽ (O1) qua I tiếp xúc với AB B, vẽ (O2) qua I tiếp

xúc với AC C Gọi K giao điểm thứ hai hai đờng tròn (O1)

(O2)

a/ Chøng minh r»ng ba ®iĨm B, K, C thẳng hàng

b/ Ly im D bt kỡ thuc cạnh AB, điểm E thuộc tia đối tia CA cho BD = CE Chứng minh đờng tròn ngoại tiếp tam giác ADE qua điểm cố định khác A

Bài tóan Chứng minh quan hệ đại l ợng.

Một số toán đề cập tới quan hệ đại lợng nh:

- Chứng minh hệ thức hình học.

Chứng minh tứ giác nội tiếp, tích hai đờng chéo tổng tích hai cặp cạnh đối

Chøng minh:

Ta cã :  ABCD néi tiÕp (O) Ta ph¶i chøng minh: AC BD = AB DC + AD BC

ThËt vËy

LÊy E  BD cho  BAC =  EAD

 DAE  CAB (g g)  AD DE

AC BC

C O

B

D A

E

 AD BC = AC DE (1)

T¬ng tù:  BAE  CAD (g g)  BE AB

CD AC

 BE AC = CD AB (2)

Tõ (1) vµ (2)  AD BC + AB CD = AC DE + EB AC  AD BC + AB CD = AC DB (§PCM) c Bµi tËp

1.Sử dụng Định lý Ptơ - lê – mê để chứng minh ( Định lý Các – nô)

Chứng minh tổng khoảng cách từ tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác nhọn đến cạnh tam giác tổng bán kính đờng trịn ngoại tiếp đờng trịn nội tiếp tam giác

2. Cho  ABC nhọn với trực tâm H Vẽ hình bình hành BHCD Đờng thẳng qua D song song với BC cắt đờng thẳng AH E

a.Chứng minh điểm A, B, C, D, E thuộc đờng tròn b.Gọi O tâm đờng tròn ngoại tiếp  ABC , chứng minh:

 BAE =  OAC vµ BE = CD

c Gọi M trung điểm BC, đờng thẳng AM cắt OH G Chứng minh G trọng tâm  ABC

Bài tóan Chứng minh tứ giác nội tiếp đ ờng trịn để tìm quỹ tích điểm.

a Các bớc giải toán quỹ tích: B

íc1 : Chøng minh phÇn thuËn

Chứng minh điểm M có tính chất cho thuộc hình H

+ Giíi h¹n q tÝch B

ớc 2: chứng minh phần đảo

Chứng minh điểm hình H đề có tính chất cho.

B

b VÝ dơ :

Cho hình vng ABCD, tâm O Một đờng thẳng xy quay quanh O cắt hai cạnh AD BC lần lợt M N Trên CD lấy điểm K cho DK = DM Gọi H hình chiếu K xy Tìm quỹ tích điểm H

2 l K H N O B A D C M Chøng minh: PhÇn thn:

Ta có CN = AM (tính chất đối xứng tâm) Vì DK = DM (GT) nên CK = AM

 CK = CN

Lại có  MHKD  NHKC nội tiếp (vì có hai góc đối vng)  M1 =  H1 = 450  N2 =  H2 = 450

 DHC = 900

Vậy H nằm đờng trịn đờng kính DC

Giíi h¹n:

Vì đờng thẳng xy quay quanh O nhng phải cắt hai cạnh AD BC lần lợt M N nên điểm H nằm nửa đờng trịn đờng kính CD nằm hình vng

Phần đảo:

Lấy điểm H nửa đờng trịn đờng kính CD Vẽ đờng thẳng HO cắt AD BC lần lợt M N Lấy điểm K CD cho DK = DM

Ta phải chứng minh H hình chiếu K MN ThËt vËy,

V×  DHC =900

; DOC = 900 nªn  HOCD néi tiÕp  DHM = DCO = 450

Mặt khác DKM = 450 nªn  DHM =  DKM  HKDM néi tiÕp  KHM = 900

 KH NM

H hình chiếu K trªn MN

KÕt luËn:

a VÝ dô:

Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC), điểm D di động cạnh BC Vẽ DE  AB, DF  AC Xác định vị trí điểm D để: a/ EF có độ dài nhỏ b/ EF có độ dài lớn

a

M O

F E

B C

A

D

Chøng minh:

Gäi O trung điểm AD

 AEDF néi tiÕp (O; OA) VÏ OM EF ME = MF Đặt BAC = a

Ta cã :  EOM =  EOF: =  BAC = a XÐt  MOE cã  OME = 900.

 EM = OE sin a  EF = OE sin a

 EF = AD sin a (*) ( v× AD = 2OE)

a/ Do a không đổi nên từ (*) suy EF nhỏ  AD nhỏ  AD  BC  D hình chiếu A trờn BC

b/ Vì D BC AB < AC nªn AD  AC Tõ (*)  EF lín nhÊt  AD lín nhÊt

 D trïng víi C b Bµi tËp:

III Kết thu đ ợc

Sau chuyên đề “Phơng pháp tứ giác nội tiếp” tiến hành dạy cho đối tợng học sinh, thu đợc kết nh sau:

1 Đối với đội tuyển học sinh giỏi trờng THCS Đại Đồng Kết kiểm tra cuối chuyên đề học sinh

Ph¬ng : Hoa : 8,5

TiỊn : 8,5 Hun :

§øc :

2 §èi víi häc sinh líp 9A

Sĩ số : 42 Số lợng làm : 42

§iĨm - 10 : 11 §iĨm - : 21

§iĨm – : §iĨm – :

IV – bµi häc kinh nghiÖm

Qua việc nghiên cứu tiến hành dạy thử nghiệm chun đề đồng thời tơi có lấy ý kiến học sinh Thấy đợc:

+ Bản thân nắm rõ ràng hệ thống kiến thức vỊ tø gi¸c néi tiÕp + Häc sinh hiĨu râ khắc sâu kiến thức

Vỡ vy, cỏc chuyên đề đa yêu cầu học sinh dựa vào cách học nh tự nghiên cứu trớc nhà thảo luận nhóm nhỏ sau tơi hồn chỉnh giúp em buổi học chuyên đề

C KÕt luËn

Trên số phơng pháp chứng minh tứ giác nội tiếp đờng tròn đồng thời sử dụng phơng pháp tứ giác nội tiếp để chứng minh số toán hay khó Do kinh nghiệm qua thực tế giảng dạy cịn nên sáng kiến kinh nghiệm tơi sẽ cịn nhiều thiếu xót Rất mong nhận đợc ý kiến đóng góp của đồng nghiệp giúp sửa chữa bổ sung đợc đầy đủ tt hn.

Tôi xin chân thành cảm ơn !

Đại Đồng, ngày 11 tháng 04 năm 2009

Ngêi viÕt