Sáng kiến kinh nghiệm Một số bài toán liên quan đến tính đơn điệu của hàm số.

Nhận xét: Trong các ví dụ trên, ở tất cả các biểu thức của y’ thì tham số đều đồng bậc bậc nhất, và ta đều sử dụng cùng một cách biến đổi đó là độc lập tham số với biến số, sau đó sử dụn[r]

Một số bài toán liên quan đến tính đơn điệu hàm số Lêi nãi ®Çu Đồng biến, nghịch biến là các khái niệm hàm số, đặc biệt là chương trình toán phổ thông Sử dụng khảo sát biến thiên HS giúp chúng ta giải lớp rộng các bài toán Trong khu«n khæ bµi viÕt nµy, t«i chØ tr×nh bµy vài ứng dụng thường gặp tính đơn điệu hàm số việc giải số d¹ng bµi to¸n Vì thời gian và kinh nghiệm còn hạn chế, chắn thiếu sót có thể xảy ra, mong các thầy, cô giáo và các bạn độc giả đóng góp ý kiến để bài viết hoàn thiện Yên Phong, ngày 12/02/2009 Nguyễn Bá Nam NguyÔn B¸ Nam – THPT Yªn Phong sè Lop12.net Một số bài toán liên quan đến tính đơn điệu hàm số I Tóm tắt lý thuyết hàm số đơn điệu Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a, b) §Þnh nghÜa 1: - Hàm số y = f(x) đồng biến (tăng) trên khoảng (a,b)  x1, x2  (a,b), x1< x2 thì f(x1) < f(x2) - Hµm sè y = f(x) nghÞch biÕn (gi¶m) trªn kho¶ng (a,b) nÕu x1,x2 (a,b), x1< x2 th× f(x1) > f(x2) - Hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến ) trên khoảng (a; b) gọi chung là hàm số đơn điệu trên khoảng đó §Þnh nghÜa 2: - Hàm số y = f(x) đồng biến (a; b)  y > trªn kho¶ng (a, b) x - Hµm sè y = f(x) nghÞch biÕn (a; b)  y < trªn kho¶ng (a, b) x NhËn xÐt: - Hàm số y = f(x) đồng biến trên (a; b)  f'(x) = lim x 0 y  trªn kho¶ng (a; b) x - Hµm sè y = f(x) nghÞch biÕn trªn (a; b)  f'(x) = lim x 0 y  trªn kho¶ng (a; b) x §Þnh lý: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng (a; b) Nếu f'(x)  (hoặc f'(x)  0) và dấu "=" xảy số hữu hạn điểm trên khoảng (a; b) thì hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) trên khoảng đó II Một số dạng bài toán thường gặp: Tìm điều kiện tham số để hàm số đồng biến (nghịch biến) trên khoảng nào đó Ví dụ 1: Tìm m để hàm số y=(m + 2)x3 - 3x2 - 3x + luôn nghịch biến Gi¶i: Ta cã y’ =3(m + 2)x2 - 6x -3 Hµm sè lu«n nghÞch biÕn  y’≤ x m20  m  3  '  9m  27    NguyÔn B¸ Nam – THPT Yªn Phong sè Lop12.net Một số bài toán liên quan đến tính đơn điệu hàm số Ví dụ 2: Tìm m để hàm số y = x3 + 3x2 + mx + đồng biến trên (1 ; 2) Giải: Hàm số đồng biến trên (1 ; 2) y' = 3x2 + 6x + m  x  (1; 2)  3x2 + 6x  -m  x2 + 2x  - m  g ( x)  - m x1;2 x  (1; 2) x  (1; 2) (1), víi g(x) = x2 + 2x Ta có g'(x) = 2x + > x  (1; 2), nên hàm số g(x) đồng biến (1;2) và g ( x) = g(1) = x1;2 VËy (1)  - m   m  -6 Suy m  -6 lµ gi¸ trÞ cÇn t×m Ví dụ 3: Tìm m để hàm số y  HD: Ycbt  y '  x  3x  m đồng biến trên khoảng (3;  ) x 1 2x2  4x   m  x  1  0x   f(x)=2x2 - 4x + - m  0,  x>3…(tương tự ví dụ 2) §¸p sè: m  NhËn xÐt: Tõ vÝ dô vµ vÝ dô 3, ta cã tham sè y' ë hÖ sè kh«ng chøa biÕn sè Cã thÓ ®­a tham sè vµo hÖ sè chøa biÕn y' Ví dụ 4: Cho hàm số y = x3 + mx2 + x + Tìm m để hàm số đồng biến trên (1; 2) Gi¶i: Yªu cÇu bµi to¸n  y' = 3x2 + 2mx +  0; x  (1; 2)  3x +  -2m; x  g ( x)  -2m x1;2 Ta cã g'(x) = 3- x  (1; 2) (1), víi g(x) = 3x + 3x  1 = > x  [1; 2] x2 x2 Suy g ( x) = g(1) = VËy (1)   - 2m  m  -2 x1;2 §¸p sè: m  -2 NguyÔn B¸ Nam – THPT Yªn Phong sè Lop12.net x Một số bài toán liên quan đến tính đơn điệu hàm số Ví dụ 5: Cho hàm số y= x3 - (2m + 1)x2 +(3m + 2)x - 5m +2 Tìm m để hàm số nghịch biÕn kho¶ng (0; 1) HD: Ycbt  y' =x2 - (2m+1)x + 3m +  0, x (0; 1)  x2 - x +  m(2x-3), x (0; 1)  x2  x   m, x (0; 1), ( x (0; 1), nªn 2x-3 < 0) 2x   g ( x) ≥m, víi g(x)= x 0;1 x2  x  2x  B»ng c¸ch kh¸o s¸t hµm g(x), ta t×m ®­îc g ( x) =g(1) =-2 x 0;1 Vậy đáp số m  -2 Nhận xét: Trong các ví dụ trên, tất các biểu thức y’ thì tham số đồng bậc (bậc nhất), và ta sử dụng cùng cách biến đổi đó là độc lập tham số với biến số, sau đó sử dụng khảo sát hàm số đã độc lập với tham số trên khoảng xét và suy giá trị tham số thỏa mãn yêu cầu bài toán Tuy nhiên, số hàm số không thuộc dạng này thì ta không thể dùng cách đó Để minh họa, chúng ta xét ví dụ sau đây: VÝ dô 6: Cho hµm sè y= x  (3m  1) x  5m  xm Tìm m để hàm số đồng biến khoảng (0; 1) Gi¶i: §kx® x ≠ m m  (1) m 1 HS xác định khoảng (0; 1)   Ta cã y’= x  2mx  3m  4m  Hàm số đồng biến khoảng (0; 1)  y’ ≥ x (0; 1) ( x  m) Hay f(x) = x  2mx  3m  4m  ≥ x (0; 1) V× f(x) lµ mét tam thøc bËc hai cã  4m    m  3m  6m    f (0)  S =m  (0; 1), nªn f(x) ≥ x (0; 1)    f (1)  (2) Tõ (1) vµ (2) suy gi¸ trÞ tham sè tháa m·n yªu cÇu bµi to¸n lµ m  Ví dụ 7: Cho hàm số y = (2m + 3) sin x + (2 - m)x Tìm m để hàm số đồng biến trên R Gi¶i: TX§: R NguyÔn B¸ Nam – THPT Yªn Phong sè Lop12.net Một số bài toán liên quan đến tính đơn điệu hàm số Ta cã y' = (2m + 3) cosx + (2 - m) §Æt cosx = t  [-1; 1], suy y' = g(t) = (2m + 3)t + (2 - m) Hàm số đồng biến trên R y'  x  R  g(t)  t  [-1; 1] §iÒu kiÖn: g(-1)  -3m -   g(1)  m+50 -5m- §¸p sè -  m  - Nhận xét: Bằng phép tương tự, xét các hàm số nghịch biến trên khoảng (a, b); trên hai khoảng nào đó Bài 1: Tìm m để hàm số y = mx3 + 3x2 + đồng biến trên khoảng (1; 2) §¸p sè: m  -1 Bài 2: Tìm m để hàm số y= x3 -(3m - 1)x2 + (m + 3)x + 4m -3 đồng biến trên (1; +  ) §¸p sè: m ≤ 1 Bài 3: Tìm m để hàm số y = mx3 + 2(m - 1) x2 + 5mx + nghịch biến trên (-; 1) Bài 4: Tìm m để hàm số y = 2x2 + mx + nghÞch biÕn trªn (-3; -2) x - Bài 5: Tìm m để hàm số y = x2 + mx + 2m - nghÞch biÕn trªn kho¶ng (1;+) x - 2m Bµi 6: Cho hµm sè y= x  (1  m) x   m đồng biến trên khoảng (0; +  ) xm §¸p sè: m   ứng dụng tính đơn điệu hàm số vào giải phương trình, bất phương trình và hệ phương trình Ví dụ 1: Giải phương trình x 1  x x = (x - 1)2 (1) Gi¶i: Ta cã: x2 - x - (x - 1) = (x -1)2 Nªn (1) cã d¹ng: x 1  ( x  1)  x x + (x2 - x) (2) §Æt f(t) = 2t + t; f'(t) = 2tln2 + > nên phương trình (2)  tR <=> f(x - 1) = f(x2 - x) <=> (x2 - x) = x -1 NguyÔn B¸ Nam – THPT Yªn Phong sè Lop12.net Một số bài toán liên quan đến tính đơn điệu hàm số <=> x = là nghiệm phương trình NhËt xÐt: Ta cã thÓ kh¸i qu¸t ho¸ bµi to¸n trªn: Cứ cho phương trình f(x) = g(x) Khi đó: af(x) + f(x) = af(x) + g(x) (a > 0; a  1) Ta phương trình với cách giải tương tự Bài tập áp dụng: Giải các phương trình sau: 1/ e x 5 e x 1  1  2x  x 1 / 2 1 x x2 2 1 x x2  1  x / 2009cos x  2008cos x  cos x / 2009sin x  2009cos x  cos x x x 5* / 22  32  x  3x 1  x  Ví dụ 2: Giải phương trình: log x2  x   x  3x  2x2  2x  Gi¶i: §Æt u=x2 + x +1; v=2x2 - 3x + (u > 0, v > 0) Suy v - u=x2 -3x +2 u v Phương trình đã cho trở thành: log  v  u  log u  log v  v  u  log u  u  log v  v (1) XÐt hµm sè: f(t)= log t  t trªn (0;  ), ta cã f’(t)=   0, t  nên hàm số đồng biến t ln trªn (0;  )  x 1 x  VËy tõ (1) ta cã f(u) = f(v), suy u = v, hay v - u = 0, tøc lµ x2 -3x +2 =   NhËn xÐt: u v  Đối với các phương trình dạng log a  v  u , với u, v >0 và a > 1, ta thường biến đổi u v vÒ d¹ng log a  v  u  log a u  log a v  v  u  log a u  u  log a v  v Vì hàm số f(t)= log a t  t đồng biến trên (0;  ), nên ta có u = v  Với các điệu kiện trên, ta có bất phương trình: log a u  v  u  f (u )  f (v)  u  v v Ví dụ 3: Giải bất phương trình: log (3  x )  log x Gi¶i: §iÒu kiÖn x > NguyÔn B¸ Nam – THPT Yªn Phong sè Lop12.net Một số bài toán liên quan đến tính đơn điệu hàm số Đặt t = log4x  x = 4t, bất phương trình trở thành t log5(3 + t 2t) > t 3 + 2t > 5t  t 1 2       5 5 t Hµm sè f(t) =      nghÞch biÕn trªn R vµ f(1) = 5 5 Vậy bất phương trình trở thành f(t) > f(1)  t < Từ đó ta log4x <  < x < Chó ý:  Đối với BPT dạng logau < logbv, ta thường giải sau: Đặt t = logau (hoặc t = logbv), đưa BPT mũ; sử dụng tính đơn điệu hàm số để suy nghiÖm  Với PT dạng logau = logbv, ta thường giải sau: u  a t §Æt t = logau = logbv   v  b t ; sử dụng phương pháp để đưa PT mũ ẩn t Tìm t (thông thường có nghiệm t nhất); suy x Bµi tËp vËn dông: Giải phương trình: 1) log ( x  x  3)  log ( x  x  4) 2) log ( x  3log x )  log x  3) log5(3 + 3x  ) = log4(3x + 1) log 22 x 5)  4)3log  x  x  log x  3log x  log x  log 22 x Ví dụ 4: Giải hệ bất phương trình: 3 x  x   0(1)   x  x   0( 2) Giải: Nghiệm bất phương trình (1) là: - < x < Xét bất phương trình (2): đặt f(x) = x3 - 3x + 1, với x  (-1; ) Ta có: f'(x) = 3x2 - =  x =  BBT: x - -1 f'(x) + NguyÔn B¸ Nam – THPT Yªn Phong sè Lop12.net + + Một số bài toán liên quan đến tính đơn điệu hàm số f(x) - + 1 C¨n cø vµo b¶ng biÕn thiªn ®­îc hµm sè y = f(x) nghÞch biÕn trªn (-1; ),nªn x (-1; ) 3 1 th× f(x) >f( ) = >0 27 VËy f(x) > víi  x (-1; ) KÕt luËn: HÖ cã nghiÖm -1 < x <  x  y  e x  e y (1) log x  log y   0(2) Ví dụ 5: Giải hệ phương trình:  Gi¶i: §iÒu kiÖn: x, y > Tõ (1) <=> ex - x = ey - y (3) Đặt f(t) = et - t xét (0;+) có f'(t) = et - > 0, t > , nên f(t) đồng biến (0;+) Do vËy (3) <=> f(x) = f(y) <=> x = y Thay vµo (2): log 22 x  log x   ®­îc log2x = hoÆc log2x = ta ®­îc nghiÖm cña hÖ lµ x = hoÆc x = Nhận xét: Đối với loại hệ phương trình mà hệ có phương trình dạng f(x) = f(y), phương trình còn lại giúp ta giới hạn x, y để trên đó hàm số f đơn điệu Từ đó suy x=y  x3  x  y  y (1) Ví dụ 6: Giải hệ phương trình:   x  y  1(2) Gi¶i: Tõ PT (2) ta cã x8 ≤ 1, y4 ≤  x  1; y  Xét hàm số: f(t) = t5 - 5t, t   1;1 , ta có f’(t) =3t2 -5 < 0,  t   1;1 Do đó hàm số f(t) nghÞch biÕn trªn kho¶ng (-1; 1), nªn tõ PT (1) suy x=y Thay vµo PT (2) ta ®­îc: x8 + x4 - = Đặt a= x4  0, giải PT tương ứng ta a= 1  1   x  y  4 2  x  x  x   y 1  VÝ dô 7: Gi¶i hÖ PT   y  y  y   3x 1  NguyÔn B¸ Nam – THPT Yªn Phong sè Lop12.net Một số bài toán liên quan đến tính đơn điệu hàm số  u  u   3b (1) Gi¶i: §Æt u=x-1, v=y-1, ta ®­îc hÖ:  v  v   3u (2) Trừ tương ứng hai PT hệ ta u  u   3u  v  v   3v (3) XÐt hµm sè f(t) = t + t   3t , ta cã f’(t) = t2 1  t t 1  3t ln Vì t  ≥ t  -t  t  + t > => f’(t) > t  R , đó hàm số f(t) đồng biến trên R Từ đó PT (3) <=> u=v Thay vào PT (1) ta u  u   3u (4) Theo trªn ta cã u  + u > 0, nªn PT (4) <=> ln(u  u  1)  u ln =0 XÐt hµm sè g(u) = ln(u  u  1)  u ln , cã g’(u) = u2 1  ln   ln  0, u  R , nªn hµm số g(u) nghịch biến trên R và đó PT (4) có nghiệm u=0 Từ đó suy hệ PT ban đầu có nghiệm (x; y) = (1; 1) Một số bài tập tương tự: T×m x, y  (0; ) tho¶ m·n hÖ: cot x  cot y  x  y   x  y  2  x  y  (log y  log x)(1  xy ) xy  y    Gi¶i hÖ:   x  5x    x  x  x  10  Giải hệ bất phương trình:   log 22 x  log x  Giải hệ bất phương trình:   x  x  x   2( x3  x  y  1)  x ( y  1) Gi¶i hÖ:   y  x   ln( y  x)  Sử dụng tính đơn điệu hàm số giải các bài toán giải phương trình và bất phương trình chứa tham số: Ví dụ 1: Tìm a phương trình x2 + 3ax + =0 (1) có nghiệm phân biệt Gi¶i: Ta cã (1) <=> x3 + = - 3ax (2) NguyÔn B¸ Nam – THPT Yªn Phong sè Lop12.net Một số bài toán liên quan đến tính đơn điệu hàm số a) Với x = không là nghiệm phương trình (2) a b) Với x  0: phương trình (2) <=> x2 + §Æt f(x) = x2 + = -3a x 1 2x3 -  f'(x) = 2x = x x2 x2 f'(x) = <=> x = BBT: x - f'(x) - + f(x) - + + + + - §Æt g(x) = - 3a lµ ®­êng th¼ng song song víi trôc Ox C¨n cø vµo b¶ng biÕn thiªn ë trªn  (1) cã nghiÖm ph©n biÖt <=> f(x) c¾t g(x) t¹i ®iÓm ph©n biÖt <=> g(x) > f( <=> a < - ) <=> - 3a > 33 2 2 §¸p sè: a < - 2 Ví dụ 2: Tìm m để bất phương trình - x3 + 3mx - < Giải: Ta có (1) <=> x3 + <=> x2 + §Æt f(x) = x2 + > 3mx (do x  1) x3 > 3m x x3 (2) xÐt trªn [1; + ) x x3 NguyÔn B¸ Nam – THPT Yªn Phong sè Lop12.net (1) nghiệm đúng  x  x3 Một số bài toán liên quan đến tính đơn điệu hàm số Ta cã f'(x) = 2(x3 - 1) > x  => f(x) đồng biến [1; + ) + x2 x4 VËy 3m < f ( x) = f(1) = <=> m < x1;   §¸p sè: m < NhËn xÐt: C« lËp tham sè sang mét bªn Sö dông tÝnh biÕn thiªn cña hµm sè vµ hµm sè h»ng Một số bài toán tương tự: Bài toán 1: Tìm m phương trình: x3 + 3ax + = a Cã hai nghiÖm ph©n biÖt b Cã nhÊt nghiÖm Bài toán 2: m = ? phương trình x3 + 3x + 2m - = có nghiệm Bài toán 3: Tìm m để bất phương trình luôn nghiệm đúng x3 + 3ax + > x > Sử dụng tính đơn điệu hàm số để chứng minh bất đẳng thức: VÝ dô 1: Chøng minh r»ng: x - sin x > x > (1) Giải: Thật vậy, đặt f(x) = x - sin x, xÐt trªn (0; +) Ta cã f’(x) = - cos x  x > => f(x) đồng biến trên (0; +) và xác định x = nên x > thì f(x) > f(0) = nªn (1) ®­îc chøng minh NhËn xÐt: Sö dông vÝ dô trªn cã thÓ chøng minh ®­îc Bµi to¸n 1: CMR: cosx > Bµi to¸n 2: CMR: x - x2 víi x > x3 < sin x víi x >  VÝ dô 2: Chøng minh r»ng: sin x + tan x - 2x > víi x  (0; ) NguyÔn B¸ Nam – THPT Yªn Phong sè Lop12.net Một số bài toán liên quan đến tính đơn điệu hàm số  Gi¶i: §Æt f(x) = sin x + tan x - 2x xÐt trªn (0; ) Ta cã f'(x) = cos x + 1 - > cos2x + -22-2=0 cos2x cos2x  => f(x) đồng biến trên khoảng (0; ) mà f(x) xác định x =  nªn f(x) > f(0) = x  (0; ) => ®pcm Nhận xét: Sử dụng phương pháp bài toán trên ta chứng minh được:  x  (0; ) Bµi to¸n 1: CMR: 2sin x + 2tan x > 2x + Bµi to¸n 2: CMR: 22sin x + 2tan x >2 3x 1 sin x  Bµi to¸n 3: CMR:    cos x  x   x  (0; )  x  (0; ) NhËn xÐt:  Sö dông kÕt qu¶ bµi to¸n 1, ta cã thÓ CM ®­îc: Với tam giác ABC nhọn ta có: 2sinA + 2sinB + 2sinC + 2tanA + 2tanB + 2tanC > 2  Sö dông kÕt qu¶ bµi to¸n 2, ta cã thÓ CM ®­îc: Với tam giác ABC nhọn ta có: 4sinA + 4sinB + 4sinC + 2tanA + 2tanB + 2tanC > 2 VÝ dô 3: CMR: ex > + x + x2 , víi mäi x > Giải: Ta có BĐT cần CM tương đương với x > ln(1 + x + XÐt hµm sè f(x) = x - ln(1 + x + x2 ) x2 x2 ), ta cã f’(x) = >0, x  R x  2x  Vậy hàm số đồng biến trên R Do đó với x > 0, ta có f(x) > f(0) = NguyÔn B¸ Nam – THPT Yªn Phong sè Lop12.net Một số bài toán liên quan đến tính đơn điệu hàm số Hay x > ln(1 + x + x2 ) x  (®pcm) NhËn xÐt: Víi x>0 vµ n  N*, ta cã B§T tæng qu¸t sau: ex > + x + x2 xn x2 xn   , hay ln(1 + x +   ) < x 2! n! 2! n! Cách CM BĐT này tương tự trên NguyÔn B¸ Nam – THPT Yªn Phong sè Lop12.net