Một số dạng toán thường áp dụng phương pháp tích phân từng phần

Trang | 11 Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những gi[r]

(1)

Trang | MỘT SỐ DẠNG TỐN THƢỜNG ÁP DỤNG PHƢƠNG PHÁP

TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN

1 Kiến thức cần nhớ

Cơng thức tích phân phần:

 

b b

b a

a a

udv uv  vdu

 

Ví dụ: Tính tích phân

1

ln

I  tdt

Giải:

Đặt ln

dt

u t du

t dv dt

v t 

 

 

  

  

Khi

2

2 2

1 1

1

ln ln ln

I t t dt t t t  

2 Một số toán thƣờng áp dụng phƣơng pháp tích phân phần

Dạng 1: Tích phân có chứa hàm số logarit Tính tích phân   ln 

n

m

f x ax b dx

 (trong f x  hàm số đa thức) Phƣơng pháp:

- Bƣớc 1: Đặt  

   

ln du a dx

u ax b

ax b dv f x dx

v f x dx

 

  

  

  

  

 

- Bƣớc 2: Tính tích phân theo cơng thức   ln 

n n

n m

m m

f x ax b dx uv  vdu

 

Ví dụ: Tính tích phân

ln d

e

I x x x

Giải:

Đặt ln 2

2 dx du

u x x

dv xdx x

v

 

 

 

  

  

(2)

Trang | Khi

2 2

1

ln 1

2 2 4

e e e

x x e x e

I   x   

Dạng 2: Tích phân có chứa hàm số mũ Tính tích phân  

n

ax b

m

f x e  dx

- Bƣớc 1: Đặt  

 

1

ax b ax b

du f x dx u f x

dv e dx v e

a

 



 

  

  



 

- Bƣớc 2: Tính tích phân theo cơng thức  

n n

n ax b

m

m m

f x e  dxuv  vdu

 

Ví dụ: Tính  

1

0

2 xd I  x e x

Giải: Đặt u 2xx du x2dx

dv e dx v e

  

 



   

 

Khi    

1

1 1

0 0

0

2 x x x x

I  x e  e dx x e  e  e Dạng 3: Tích phân có chứa hàm số lƣợng giác hàm đa thức Tính tích phân   sin 

n

m

f x ax b dx

   cos 

n

m

f x ax b dx

- Bƣớc 1: Đặt  

 

1

sin cos

du f x dx u f x

dv ax b dx v ax b

a 

 

 

   

  

 

 

1

cos sin

du f x dx u f x

dv ax b dx v ax b

a 

 

 

   

 

 

- Bƣớc 2: Tính tích phân theo cơng thức   sin 

n n

n m

m m

 

  cos 

n n

n m

m m

(3)

Trang | Ví dụ: Tính tích phân

4

0

sin d

I x x x





Giải:

Đặt cos 2

sin

2

du dx u x

x

dv xdx v

  

 

    

 

Khi

4

4 4

0 0

cos cos sin

cos

2 2 4

x x x x x

I xdx



  

       

Dạng 4: Tích phân có chứa hàm số lƣợng giác hàm số mũ Tính tích phân sin 

n ax b

m

e  cxd dx

 cos 

n ax b

m

e  cx d dx



Phƣơng pháp: - Bƣớc 1: Đặt

 

sin

ax b u e

dv cx d dx



  

  

 cos 

ax b u e

dv cx d dx



  

  

 - Bƣớc 2: Tính tích phân theo cơng thức

n n

n m

m m

udvuv  vdu

 

Ví dụ: Tính

cos d x

K e x x





Giải: Đặt u cos 2x x du x 2sin 2xdx

dv e dx v e

  

 



   

 

Suy  

0

cos 2 sin 2

x x

K e x e xdx e M



 

     

Tính

sin x

M e xdx





Ta đặt 1

1

sin 2 cos

x x

u x du x

dv e dx v e

 

 



   

 

Suy  

0

sin 2 cos2

x x

M e x e x K

 

(4)

Trang |

Khi 2  1

5 e

K e K K e K



  

        

- Đối với dạng toán này, ta cần thực hai lần tích phân phần

- Ở bước 1, ta đặt

 

sin

ax b u e

dv cx d dx



  

  

 cos 

ax b u e

dv cx d dx



  

  



3 Bài tập

Câu 1: Tích phân     

1

2

ln

I x x dx có giá trị là:

A I ln   1 

B I ln   1 

C I  ln   1 

D I  ln   1 

Câu 2: Tích phân



 

4

01 cos

x

I dx

x có giá trị là:

A    

 

tan 2ln cos

4 8

I B    

 

tan 2ln cos

4 8

I

C    

 

tan 2ln cos

4

I D    

 

tan 2ln cos

4

I



 



4

0

2 sin

2 cos

x x

I dx

A       

 

1

4ln ln

2

I B       

 

1

2ln ln

2

I

C       

 

1

4ln ln

2

I D       

 

1

2ln ln

2

I

Câu 4: Tích phân  



2 

0

cos cos

(5)

Trang | A  

4

I B   

4

I C  

4

I D   

4

I

 

 

 

 



0

sin cos

1

sin cos

a

x x

I dx

x x

Giá trị alà:

A  

2

a B  

4

a C 

3

a D 

6

a







2

3

sin

sin cos

x

I dx

x x có giá trị là:

A   ln 1  12

I B   ln 1

12

I C

  

 

  

 

3 ln

2

12

I D   ln 1

12

I

Câu 7: _

A      

 

 

1 2

ln ln

2 2 2

I B      

 

 

1 2

ln ln

2 2 2

I

C      

 

 

1 2

ln ln

2 2 2

I D      

 

 

1 2

ln ln

2 2 2

I



 



2

2 cos

sin

x x

I dx

A       

   

2 2

ln ln

4 16

I B       

   

2 2

ln ln

4 16

I

C       

   

2 2

ln ln

4 16

I D       

   

2 2

ln ln

4 16

I

Câu 9: Tích phân   



 32

1

ln

3

a

x

I dx

x x Giá trị a là:

A a1 B a2 C a3 D a4

Câu 10: Biết tích phân  

1

0

2

I xdx a Giá trị   

2

a

I x x dx là:

A 2 17

3

I B 2 19

3

I C 216

3

I D 213

3

(6)

Trang | ĐÁP ÁN

Câu 1: Phân tích:

Tích phân     

1

2

ln

I x x dx có giá trị là:

Đặt  

 

    

 

  

  

  

2

1 ln

1

du dx

u x x

x

dv dx v x

 

    



1

1

2 0

.ln

1

x

I x x x dx

x

Xét 



1

1 2

0

x

I dx

x

Đặt t x 2  1 dt 2xdx

Đổi cận       



0

1

x t

 

 1 2  2 

1

2

I dt t

t

 

   

   2     

1

0

.ln ln

I I x x x

Đáp án A Câu 2:

Phân tích:

Tích phân



 

4

01 cos

x

I dx

Ta biến đổi:

 

 



4 4

2

0

1

1 cos cos

2

x x

I dx I dx

x

Đặt

   

 

 

 

 

 

2

cos tan

2

u x du dx

x x

(7)

Trang |



 

  

 

 

         

 

             

     

   

   

  

cos

4

0

sin

1 2

2 tan tan tan tan tan 2ln cos

2 2 2 8 8

cos

x

x x

I x dx dx dt

x t

Đáp án B Câu 3:

Phân tích:

Tích phân



 

 2

3

2 sin

2 cos

x x

I dx

Ta biến đổi:

  



  

  

4 2 2

3 3

2 sin sin

2 2cos cos cos

x x x x

I dx dx dx

x x x

Xét

 

 



2 2

1

2

3

1

1 cos sin

2

x x

I dx dx

x

Đặt

 

 

  

 

 



1

2 cot

sin

2

u x

du dx

dv dx x

v

x

 

 

  

 

         

   

 

 

2

2

3 3

1

2 cot cot 4ln

2 2

x x

I x dx

Xét



  2

2

1 sin

2 cos

x

I dx

x

Đặt t 1 cosxdtsinxdx

Đổi cận

   



 

    

1

3

1

x t

 

    

1

2

1

2

1 1

ln ln

2 2

I dt t

(8)

Trang |

  

       

 

1

4ln ln

2

I I I

Đáp án C Câu 4:

Phân tích:

Tích phân  



2 

0

cos cos

I x xdx có giá trị là:

Ta biến đổi:    

   

    

             

 

  

1

2 2

0 0 0

1

cos cos cos sin cos sin

3 2

t

I x xdx x x dx xdx t x x ,

với tsinx Đáp án D Câu 5:

Phân tích:

Tích phân

 

 

 

 



0

sin cos

1

sin cos

a

x x

I dx

x x

Giá trị alà:

Ta có:

 



 



       



 





sin cos

0

sin cos 1

1, sin cos

cos sin

sin cos

a a a

x x

I dx t x x

t a a

x x

Theo đề bài, ta có:      

 

1

cos sin 1 3

casio a

a a

Phân tích:

Tích phân





 2

3

sin

sin cos

x

I dx

(9)

Trang | Xét





 2

1

cos

sin cos

x

I dx

x x

Ta có:







    





 

     

 

   

 

 

2

2 3

1

1 2

1

ln

2 , sin cos

2 12

1

I I I dx

I I

I t x x

I I I dt

t

Phân tích:

Tích phân







3

0

sin cos cos

x

I dx

Ta biến đổi:

  

      

          

        

  

1

3 3

2

0 0

1

sin sin sin 1 2

ln ln ln

cos cos cos 2cos 2 2 2 2

x x x t

I dxI dx dx

x x x x t ,

với tcosx Đáp án C Câu 8:

Phân tích:

Tích phân



 

 2

2 cos

sin

x x

I dx

Ta có:

  

 

  

         

    

 

2

1

2

4 16

2 cos

ln ln

4 16

sin

x x

I dx dt

t

x x , với  

2 sin

t x x

(10)

Trang | 10 Tích phân   



 32

1

ln

3

a

x

I dx

x x Giá trị a là:

Ta có:

 

 

   



 

3

2 3

3 4

1

1 1 1

ln ln

3 3

3

a a a a a

x a a

I dx dt t

t

x x , với  

3

t x x

Theo đề bài: 33 1 7 3      2    

ln ln 14 2

3

a a

a a a a a a

Phân tích:

Biết tích phân  

1

0

2

I xdx a Giá trị   

2

a

I x x dx là: Ta có:

       

           

 

  

2

1 1 2

2 2

1

0

0 1

1 16

2 2

3

a

I xdx x I x x dx x x dx x x

(11)

Trang | 11 Website HOC247 cung cấp môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thơng minh, nội dung giảng biên soạn công phu giảng dạy giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, giỏi kiến thức chuyên môn lẫn kỹ sƣ phạm đến từ trường Đại học trường chuyên danh tiếng

I. Luyện Thi Online

- Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ Trường ĐH THPT danh tiếng

xây dựng khóa luyện thi THPTQG mơn: Tốn, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học Sinh Học

- Luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán: Ôn thi HSG lớp luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán

trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An trường Chuyên khác TS.Trần Nam Dũng, TS Phạm Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo Thầy Nguyễn Đức Tấn.

II. Khoá Học Nâng Cao HSG

- Tốn Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Tốn Nâng Cao, Toán Chuyên dành cho em HS

THCS lớp 6, 7, 8, u thích mơn Tốn phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập trường đạt điểm tốt kỳ thi HSG

- Bồi dƣỡng HSG Toán: Bồi dưỡng phân mơn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học Tổ Hợp

dành cho học sinh khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Phạm Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn đơi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia

III. Kênh học tập miễn phí

- HOC247 NET: Website hoc miễn phí học theo chƣơng trình SGK từ lớp đến lớp 12 tất

các môn học với nội dung giảng chi tiết, sửa tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham khảo phong phú cộng đồng hỏi đáp sôi động

- HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp Video giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa tập, sửa đề thi

miễn phí từ lớp đến lớp 12 tất mơn Tốn- Lý - Hố, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học Tiếng Anh

Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai

Học lúc, nơi, thiết bi – Tiết kiệm 90%

Học Toán Online Chuyên Gia

Định dạng
Số trang	11
Dung lượng	0,99 MB