Mô tả phân phối chuẩn bằng phương trình vi phân và ứng dụng

BỘ Y TẾ ĐẠI HỌC Y DƢỢC THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH CHƢƠNG TRÌNH KHOA HỌC VÀ CƠNG NGHỆ CẤP CƠ SỞ BÁO CÁO TỔNG HỢP KẾT QUẢ ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC ĐỀ TÀI MÔ TẢ PHÂN PHỐI CHUẨN BẰNG PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ ỨNG DỤNG Cơ quan chủ trì nhiệm vụ : KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN Chủ trì nhiệm vụ: Võ Đăng Khoa Thành phố Hồ Chí Minh – 2018-2019 ĐẠI HỌC Y DƢỢC THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH CHƢƠNG TRÌNH KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ CẤP CƠ SỞ BÁO CÁO TỔNG HỢP KẾT QUẢ NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ MÔ TẢ PHÂN PHỐI CHUẨN BẰNG PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ ỨNG DỤNG Cơ quan chủ quản Chủ trì nhiệm vụ Võ Đăng Khoa Cơ quan chủ trì nhiệm vụ CỘNG HỒ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập - Tự - Hạnh phúc Thành phố Hồ Chí Minh, ngày 04 tháng 05 năm 2019 BÁO CÁO THỐNG KÊ KẾT QUẢ THỰC HIỆN ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC I THÔNG TIN CHUNG Tên đề tài: Mô tả phân phối chuẩn phƣơng trình vi phân ứng dụng Thuộc lĩnh vực : Toán ứng dụng Chủ nhiệm nhiệm vụ: Họ tên: Võ Đăng Khoa Ngày, tháng, năm sinh: 20/04/1982 Nam/ Nữ: Nam Học hàm, học vị: Thạc sỹ Chức danh khoa học: Chức vụ Điện thoại: Tổ chức: Nhà riêng: Mobile: 0988056256 Fax: E-mail: vodangkhoa@ump.edu.vn Tên tổ chức công tác: Khoa Khoa học bản, Đại học Y dƣợc Địa tổ chức: 217 Hồng Bàng, Phƣờng 9, Quận Địa nhà riêng: 363/29/8/14A Đất Mới, Phƣờng Bình Trị Đơng A, Quận Bình Tân Tổ chức chủ trì nhiệm vụ(1): Tên tổ chức chủ trì nhiệm vụ: Khoa Khoa học Cơ Bản Tên Khoa Trung tâm, đơn vị - nơi quản lý trực tiếp cá nhân làm chủ nhiệm đề tài Điện thoại: 02838555673 Fax: E-mail: Website: www.yds.edu.vn Địa chỉ: 217 Hồng Bàng, Phƣờng 9, Quận Tên quan chủ quản đề tài: Đại học Y Dƣợc thành phố Hồ Chí Minh II TÌNH HÌNH THỰC HIỆN Thời gian thực nhiệm vụ: - Theo Hợp đồng ký kết: từ tháng 06 năm 2017 đến tháng 01 năm 2019 - Thực tế thực hiện: từ tháng 09 năm 2017 đến tháng 05 năm 2019 - Đƣợc gia hạn (nếu có): Từ tháng 01 năm 2019 đến tháng 05 năm 2019 Kinh phí sử dụng kinh phí: a) Tổng số kinh phí thực hiện: tr.đ, đó: + Kính phí hỗ trợ từ ngân sách khoa học nhà trƣờng: tr.đ + Kinh phí từ nguồn khác: tr.đ b) Tình hình cấp sử dụng kinh phí từ nguồn ngân sách khoa học: Số TT Theo kế hoạch Thực tế đạt Ghi Thời gian Kinh phí Thời gian Kinh phí (Số đề nghị (Tháng, năm) (Tr.đ) (Tháng, năm) (Tr.đ) toán) … c) Kết sử dụng kinh phí theo khoản chi: Đơn vị tính: Triệu đồng Số Nội dung Theo kế hoạch Thực tế đạt TT Tổng khoản chi NSKH Nguồn Tổng NSKH khác Nguồn khác Trả công lao động (khoa học, phổ thông) Nguyên, vật liệu, lƣợng Thiết bị, máy móc Xây dựng, sửa chữa nhỏ Chi khác Tổng cộng - Lý thay đổi (nếu có): Tổ chức phối hợp thực nhiệm vụ: Số TT Tên tổ chức Tên tổ chức Nội dung Sản phẩm đăng ký theo tham gia thực tham gia chủ chủ yếu đạt Thuyết minh yếu Ghi chú* - Lý thay đổi (nếu có): Cá nhân tham gia thực nhiệm vụ: (Người tham gia thực đề tài thuộc tổ chức chủ trì quan phối hợp, khơng q 10 người kể chủ nhiệm) Số TT Tên cá nhân Tên cá nhân Nội dung Sản phẩm đăng ký theo tham gia tham gia chủ yếu đạt Thuyết minh thực Ghi chú* - Lý thay đổi ( có): Tình hình hợp tác quốc tế: Số TT Theo kế hoạch Thực tế đạt (Nội dung, thời gian, kinh phí, (Nội dung, thời gian, kinh phí, địa điểm, tên tổ chức hợp tác, địa điểm, tên tổ chức hợp tác, số đoàn, số lượng người tham số đoàn, số lượng người tham gia ) gia ) Ghi chú* - Lý thay đổi (nếu có): Tình hình tổ chức hội thảo, hội nghị: Số TT Theo kế hoạch Thực tế đạt (Nội dung, thời gian, kinh phí, (Nội dung, thời gian, địa điểm ) Ghi chú* kinh phí, địa điểm ) - Lý thay đổi (nếu có): Tóm tắt nội dung, công việc chủ yếu: (Nêu mục .của đề cương, không bao gồm: Hội thảo khoa học, điều tra khảo sát nước nước ngoài) Số TT Các nội dung, công việc Thời gian Người, chủ yếu (Bắt đầu, kết thúc quan (Các mốc đánh giá chủ yếu) - tháng … năm) thực Theo kế Thực tế đạt hoạch đƣợc - Lý thay đổi (nếu có): III SẢN PHẨM KH&CN CỦA ĐỀ TÀI Sản phẩm KH&CN tạo ra: a) Sản phẩm Dạng I: Số TT Tên sản phẩm tiêu chất lượng chủ yếu Đơn vị đo Số lượng Theo kế Thực tế hoạch đạt - Lý thay đổi (nếu có): b) Sản phẩm Dạng II: Yêu cầu khoa học Số TT Tên sản phẩm cần đạt Theo kế hoạch Thực tế đạt đƣợc - Lý thay đổi (nếu có): c) Sản phẩm Dạng III: Ghi Số TT Tên sản phẩm Yêu cầu khoa học Số lượng, nơi cần đạt cơng bố Theo Thực tế (Tạp chí, nhà kế hoạch đạt đƣợc xuất bản) - Lý thay đổi (nếu có): d) Kết đào tạo: Số Cấp đào tạo, Chuyên TT ngành đào tạo Thạc sỹ Tiến sỹ Số lượng Theo kế hoạch Ghi Thực tế đạt (Thời gian kết đƣợc thúc) - Lý thay đổi (nếu có): đ) Tình hình đăng ký bảo hộ quyền sở hữu công nghiệp: Số Tên sản phẩm TT đăng ký Kết Ghi Theo Thực tế (Thời gian kết kế hoạch đạt đƣợc thúc) - Lý thay đổi (nếu có): e) Thống kê danh mục sản phẩm KHCN đƣợc ứng dụng vào thực tế Số Tên kết TT ứng dụng Thời gian Địa điểm Kết (Ghi rõ tên, địa sơ nơi ứng dụng) 2 Đánh giá hiệu đề tài mang lại: a) Hiệu khoa học công nghệ: (Nêu rõ danh mục công nghệ mức độ nắm vững, làm chủ, so sánh với trình độ cơng nghệ so với khu vực giới…) b) Hiệu kinh tế xã hội: (Nêu rõ hiệu làm lợi tính tiền dự kiến nhiệm vụ tạo so với sản phẩm loại thị trường…) Tình hình thực chế độ báo cáo, kiểm tra đề tài: Số Nội dung TT I Thời gian thực Ghi (Tóm tắt kết quả, kết luận chính, người chủ trì…) Báo cáo tiến độ Lần … II Báo cáo giám định kỳ Lần … Chủ nhiệm đề tài Thủ trƣởng tổ chức chủ trì (Họ tên, chữ ký đóng dấu) Võ Đăng Khoa Mục lục Danh mục ký hiệu, chữ viết tắt ĐẶT VẤN ĐỀ Chƣơng - TỔNG QUAN Y VĂN 1.1 Lịch sử phân phối chuẩn 1.2 Mô hình Vật lý đến phƣơng trình vi phân thƣờng phân phối chuẩn 1.3 Ứng dụng Chƣơng – PHƢƠNG PHÁP VÀ NỘI DUNG NGHIÊN CỨU 2.1 Phân phối chuẩn đƣợc biết đến từ nguyên lý phƣơng trình vi phân 2.1.1 Mơ hình vật lý giả thiết 2.1.2 Xác định hình dạng phân phối 2.1.3 Xác định hệ số A 2.1.4 Xác định k 2.1.5 Hàm mật độ phân phối chuẩn 2.2 Ứng dụng Mơ hình phƣơng trình vi phân ngẫu nhiên sinh học 2.2.1 Giới thiệu 2.2.2 Quá trình Wiener 2.2.3 Mơ hình uống thuốc KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ TÀI LIỆU THAM KHẢO 10 Theo định lý Fubini ta viết lại phƣơng trình  e  k ( x2  y ) dxdy  A2 Định lý bổ sung: Cho D D* hai miền trục xy va uv Giả sử T : R2  R2 đơn ánh hàm chuyển đổi hệ trục thuộc lớp C1 cho T  D   D* Nếu hàm f : D  R khả tích sử dụng hàm đổi biến T cách đổi biến x  x  u, v  y  y  u, v  ta có  D Trong    x, y   f  x, y  dxdy   f  x  u, v  , y  u, v   det   dudv  u , v   *   D   x, y    u, v  ma trận Jacobian theo phép biến đổi T  x  u    x, y   det   det    y    u, v    u x  v  x y x y   y  u v v u v  Ở ta sử dụng phép biến đổi tọa độ cực  x, y   T  r,    r cos ; r sin   Định thức ma trận Jacobian theo phép biến đổi    x, y   cos   r sin   det   det  sin  r cos    r  u , v       Từ ta có kết   k r 0 0 re dr  A2 Do A   k k ,do A > nên A  Hàm mật độ xác suất là: 2 2 18 k  k2 x2 p  x  e 2 2.1.4 Xác định k Một câu hỏi đặt phân phối xác suất “ Trung bình phƣơng sai phân phối gì” Có lẽ hệ số k trả lời đƣợc câu hỏi Trung bình,  , đƣợc   xp  x  dx Phƣơng sai,  định nghĩa giá trị tích phân sau , giá trị tích phân     x    p  x  dx Do xp  x  hàm lẽ nên ta có giá trị trung bình Giá trị phƣơng  sai cần phải đánh giá thêm  Để đánh giá  x p  x  dx   2 , ta dễ thấy hàm dƣới dấu tích phân hàm chẵn   k  x2 k x e dx   Từ dễ dàng ta có k  dạng p(x) vào ta có  2  2.1.5 Hàm mật độ phân phối chuẩn 1 x     Bây p  x   e    có hàm mật độ phân phối chuẩn xuất  2 phát từ giả thiết là: p  x  e  2 1 x     2   Phƣơng trình tổng quát cho phân phối chuẩn với trung bình  độ lệch chuẩn  đƣợc tạo phép dời hệ trục tọa độ ta có hàm mật độ phân phối chuẩn  x      p  x  e 2  2 19 2.2 Ứng dụng Mơ hình phƣơng trình vi phân ngẫu nhiên sinh học 2.2.1 Giới thiệu Tất hệ thống động lực sinh học phát triển dƣới tác động lực ngẫu nhiên, xác định ngẫu nhiên phần động lực học khơng thể dự đốn hiểu chọn đƣợc mơ hình rõ ràng Để thực tế, mơ hình hệ động lực sinh học nên bao gồm ảnh hƣởng ngẫu nhiên, chúng liên quan đến hệ thống giới thực tách biệt hoàn toàn với hiệu ứng bên ngồi mơ hình Các biện minh sinh lý để bao gồm hành vi thất thƣờng mơ hình đƣợc tìm thấy nhiều yếu tố khơng thể kiểm soát, nhƣ thay đổi nội tiết tố, biến đổi huyết áp, hơ hấp, kiểm sốt thần kinh, biến đổi bắp hoạt động, trình enzyme, yêu cầu lƣợng, chuyển hóa tế bào, hoạt động thần kinh giao cảm đặc điểm cá nhân nhƣ số khối lƣợng thể, gen, hút thuốc, tác động căng thẳng, v v Ngoài ảnh hƣởng bên ngồi, nhƣ khác biệt nhỏ quy trình thí nghiệm, nhiệt độ, khác biệt việc chuẩn bị quản lý thuốc, điều đƣợc bao gồm thí nghiệm, thí nghiệm đƣợc thực nhà thực nghiệm khác chắn thể khác biệt nhỏ thủ tục giao thức Các nguồn sai số khác u cầu mơ hình khác nhiễu, yếu tố nên đƣợc xem xét cẩn thận nhƣ mơ 20 hình phần xác định, để đƣa dự đốn mơ hình giá trị tham số giải thích Do đó, điều cần thiết phải hiểu điều tra ảnh hƣởng tham số nhiễu nhƣ phần tất yếu Trong nhiều trƣờng hợp, nhiễu đơn giản làm mờ động lực không ảnh hƣởng đến chất lƣợng nó, nhƣ trƣờng hợp có nhiễu lúc đo nhiều hệ thống tuyến tính Tuy nhiên, hệ động lực phi tuyến có nhiễu hệ thống Nhiễu thƣờng thay đổi mạnh mẽ động lực xác định tƣơng ứng Nói chung, hiệu ứng ngẫu nhiên ảnh hƣởng đến động lực học, tăng cƣờng, giảm bớt chí thay đổi hồn tồn hoạt động hệ thống 2.2.2 Quá trình Wiener (hoặc Brownian Motion) Quá trình ngẫu nhiên quan trọng trình thời gian liên tục q trình Wiener, cịn đƣợc gọi Chuyển động Brownian Nó đƣợc sử dụng nhƣ khối xây dựng mơ hình phức tạp Năm 1828, nhà thực vật học ngƣời Scotland Robert Brown quan sát thấy hạt phấn lơ lửng nƣớc di chuyển cách rõ ràng ngẫu nhiên, thay đổi hƣớng liên tục Điều sau đƣợc giải thích hạt phấn hoa bị tác động mạnh phân tử nƣớc, Brown đóng góp cho lý thuyết với tên Các cơng thức tốn học xác để giải thích tƣợng đƣợc đƣa Norbert Wiener vào năm 1923 Quá trình Wiener đƣợc coi giới hạn bƣớc ngẫu nhiên thời gian bƣớc kích thƣớc bƣớc nhảy theo cách phù hợp đƣợc định nghĩa thức nhƣ sau Định nghĩa (Quá trình Wiener) Một quy trình ngẫu nhiên {W (t)} t≥0 đƣợc gọi Wiener trình chuyển động Brown i) W (0) = ii) {W (t)}t≥0 có số gia độc lập, nghĩa là: Wt1, Wt2 − Wt1, · · · , Wtk − Wtk−1 biến ngẫu nhiên độc lập với phân hoạch ≤ t1, < t2 < · · · < tk iii) W (t + s) − W (s) ~ N(0, t) với t > Ở đây, N   ,   biểu thị phân phối chuẩn với trung bình phƣơng sai σ2 Nhƣ trình Wiener trình Gaussian: Một trình ngẫu nhiên X  t  đƣợc gọi trình Gaussian với tập hợp số hữu hạn 21 t1 , , tk biến vectơ ngẫu nhiên (X (t1), , X (tk)) tuân theo phân phối chuẩn k chiều Trong thực tế, đƣợc trình ngẫu nhiên thời gian liên tục với gia số độc lập mô men bậc hai hữu hạn: E  X  t    với t, trình Gaussian với điều kiện X (t0) Gaussian cho số t0 randn('state',100) % set the state of randn T = 1; N = 500; dt = T/N; dW = zeros(1,N); % preallocate arrays W = zeros(1,N); % for efficiency dW(1) = sqrt(dt)*randn; % first approximation outside the loop W(1) = dW(1); % since W(0) = is not allowed for j = 2:N dW(j) = sqrt(dt)*randn; % general increment W(j) = W(j-1) + dW(j); end plot([0:dt:T],[0,W],'r-') % plot W against t xlabel('t','FontSize',16) ylabel('W(t)','FontSize',16,'Rotation',0) Quá trình Wiener liên tục với giá trị trung bình phƣơng sai tỷ lệ với 22 Bản quyền tài liệu thuộc Thư viện Đại học Y Dược TP.Hồ Chí Minh thời gian trơi qua: E (W (t)) = Var (W (t)) = t Nếu X  t  trình ngẫu nhiên đứng n q trình, sau X  t  có phân phối với X  t  h  cho tất h  Do đó,q trình Wiener khơng thể đứng n phƣơng sai tăng theo t Các Hàm hiệp phƣơng sai đƣợc cho bởi: Cov (W(t), W(s)) = (s, t) 2.2.3 Mở rộng Phƣơng trình vi phân thƣờng sang phƣơng trình vi phân ngẫu nhiên Giả sử phƣơng trình vi phân thƣờng dx  a  x, t  (2) dt mô tả hệ thống động lực chiều Giả sử (2) thỏa mãn điều kiện cho tồn giải pháp nhất, x  t   x  t , x0 , t0  lời giải thỏa mãn điều kiện ban đầu x  t0   x0 Với điều kiện ban đầu bết, biết hệ phƣơng trình vi phân nhƣ với thời gian t bất kì, khơng thể tìm nghiệm minh bạch Chúng ta ln tìm giá trị t giải tích số đến độ xác mong muốn Trong nhiều hệ phƣơng trình vi phân sinh học khơng thực tế, mơ hình thực tế thu đƣợc chúngta cho phép số tính ngẫu nhiên mô tả Một phần mở rộng tự nhiên mơ hình phƣơng trình vi phân thơng thƣờng xác định đƣợc đƣa mơ hình phƣơng trình vi phân ngẫu nhiên, tham số có liên quan ngẫu nhiên đƣợc mơ hình hóa nhƣ q trình ngẫu nhiên số hình thức phù hợp, đơn giản thêm thuật ngữ tiếng ồn cho phƣơng trình lái xe hệ thống Cách tiếp cận giả định số mức độ tiếng ồn có mặt động lực trình Ở chúng tơi sử dụng quy trình Wiener Nó dẫn đến hệ thống hỗn hợp với hai yếu tố định phần ngẫu nhiên theo phƣơng trình vi phân ngẫu nhiên sau: dX t  µ  X t , t  dt    X t , t  dWt 1 Trong X t  X  t  trình ngẫu nhiên Wt  W  t  Quá trình Wiener khơng có đạo hàm thơng thƣờng (Khả vi Riemann) nên ta cần xác 23 Bản quyền tài liệu thuộc Thư viện Đại học Y Dược TP.Hồ Chí Minh định định nghĩa đạo hàm khác Đó dWt = ξt dt, ξt trình nhiễu trắng, đƣợc định nghĩa đƣợc phân phối bình thƣờng cho t cố định khơng tƣơng thích: E ts   t  s Nói ra, q trình nhiễu trắng không tồn nhƣ hàm thông thƣờng t, nhƣng đƣợc hiểu đạo hàm tổng qt q trình Wiener Chúng tơi gọi q trình đƣợc đƣa phƣơng trình có dạng (1) cho qúa trình Ito Các hàm  . σ (·) phi tuyến, đó,  . phần trơi thành phần xác định σ (·) phần khuếch tán thành phần ngẫu nhiên (hệ thống gây nhiễu), phụ thuộc vào trạng thái hệ thống, Xt Nếu  . σ (·) khơng phụ thuộc vào t trình đƣợc gọi đồng thời gian, ξt dt đƣợc viết dƣới dạng vi phân trình Wiener, dWt Điều dẫn đến Phƣơng trình (1) nên đƣợc giải nhƣ sau: t t t0 t0 X t  X t0     X s , s  ds     X s , s  dWs (2) Trong X t biến ngẫu nhiên độc lập với trình Wiener Nó đơn giản số Tích phân phía bên tay phải đƣợc hiểu tích phân thơng thƣờng, nhƣng tích phân thứ hai gì? Q trình Wiener không khả vi điểm cả, làm để có ý nghĩa cho khác biệt này? Chúng ta thử thủ thuật thơng thƣờng từ phép tính thơng thƣờng, nơi xác định tích phân cho lớp hàm đơn giản, sau mở rộng số thủ tục gần lớp hàm lớn Chúng muốn định nghĩa: t  f  s  dW s (3) t0 Nếu f  t    số, mong tích phân (3)  W  t   W  t0   Lƣu ý biến ngẫu nhiên có kỳ vọng số gia q trình Wiener có kỳ vọng Bây giả sử f (t) hàm bậc thang có dạng: 24 Bản quyền tài liệu thuộc Thư viện Đại học Y Dược TP.Hồ Chí Minh f  s    j t j  s  t j 1 với j  1, 2, , n t0  t1  t2   tn1  t Sau đó, chúng tơi xác định nhƣ sau: t    f  s  dWs    j W  t j 1   W  t j  n j 1 t0 Một cách tự nhiên ta xấp xỉ hàm f hàm bậc thang Ta định nghĩa phân hoạch  n khoảng [t0 ; t ] là: t0  t1  t2   tn1  t   n  max t j 1  t j : j  1, 2, , n chuẩn phân hoạch xấp xỉ f  t   f  t *j  với t j  t  t j 1 Trong t *j nằm khoảng [t0 ; t ] định nghĩa tích phân: t  t0 f  s  dWs  lim  f t  W t   W t  n  n 0 * j j 1 j 1 j Khi f (t) ngẫu nhiên, - khơng giống nhƣ tích phân thơng thƣờng - tạo khác biệt t *j đƣợc chọn Để xem điều này, xem xét f  t   Wt xác định hai xấp xỉ: t *j  t j , điểm cuối bên trái t *j  t j 1 , điểm cuối bên phải Lấy kỳ vọng thấy hai lựa chọn mang lại kết khác nhau:  n  n    W ( t ) W ( t ) W ( t )  j  j 1 j     E W (t j ) W (t j 1 )  W (t j )    j 1  j 1   E W (t j )  E W (t j 1 )  W (t j )    n j 1 Do qúa trình Weiner có lớp độc lập kỳ vọng Mặt khác: n  n  E   W (t j 1 ) W (t j 1 )  W (t j )     E W (t j 1 )  W (t j )     j 1  j 1     t j 1  t j   t  t0 n j 1 Do đó, ta có hai lựa chọn hữu ích phổ biến nhƣ sau: • Tích phân Ito: t *j  t j , điểm cuối bên trái • Tích phân Stratonovich: t *j   t j  t j 1  / , điểm 25 Bản quyền tài liệu thuộc Thư viện Đại học Y Dược TP.Hồ Chí Minh Có tranh luận để sử dụng kia, hầu hết chúng kỹ thuật không tham gia vào tranh luận Tuy nhiên, may mắn thay, khác biệt hai đại lƣợng xác định tính đƣợc tích phân từ tích phân khác Ở chúng tơi sử dụng tích phân Ito 2.2.3 Mơ hình uống thuốc Một loại thuốc đƣợc cung cấp nhƣ viên thuốc vào dòng máu trình trao đổi trọng lƣợng trung bình thuốc đƣợc mơ tả phân rã theo cấp số nhân thơng qua phƣơng trình vi phân thƣờng xác định x '  a.x , x nồng độ thuốc huyết tƣơng a tốc độ phân hủy Giả sử tốc độ phân rã thay đổi ngẫu nhiên hoạt động phức tạp enzyme máy móc liên quan đến cố thuốc Điều đƣợc mơ tả cho phép thay đổi ngẫu nhiên a     t ξt q trình nhiễu trắng Gaussian Lúc t dt đạo hàm q trình Weiner, ta có phƣơng trình vi phân ngẫu nhiên dXt = µXt dt + σXt dWt Dễ dàng giải ta đƣợc :    X t  X exp       t   Wt     Quá trình nhận giá trị dƣơng Xt tuân theo phân phối log-normal với tham số (µ − σ2/2) t σ2t %EM Euler-Maruyama method on linear SDE % % SDE is dX = mu*X dt + sigma*X dW, X(0) = Xzero, % where mu = 2, sigma = and Xzero = % % Discretized Brownian path over [0,1] has dt = 2^(-8) % Euler-Maruyama uses timestep R*dt randn('state',100) mu = 2; sigma = 1; Xzero = 1; % problem parameters T = 1; N = 2^8; dt = 1/N; dW = sqrt(dt)*randn(1,N); % Brownian increments 26 Bản quyền tài liệu thuộc Thư viện Đại học Y Dược TP.Hồ Chí Minh W = cumsum(dW); % discretized Brownian path Xtrue = Xzero*exp((mu-0.5*sigma^2)*([dt:dt:T])+sigma*W); plot([0:dt:T],[Xzero,Xtrue],'m-'), hold on R = 4; Dt = R*dt; L = N/R; % L EM steps of size Dt = R*dt Xem = zeros(1,L); % preallocate for efficiency Xtemp = Xzero; for j = 1:L Winc = sum(dW(R*(j-1)+1:R*j)); Xtemp = Xtemp + Dt*mu*Xtemp + sigma*Xtemp*Winc; Xem(j) = Xtemp; end plot([0:Dt:T],[Xzero,Xem],'r *'), hold off xlabel('t','FontSize',12) ylabel('X','FontSize',16,'Rotation',0,'HorizontalAlignment ','right') emerr = abs(Xem(end)-Xtrue(end)) 2.2.3 Mơ hình màng tế bào Trong tốn học, q trình Ornstein - Uhlenbeck q trình ngẫu nhiên với ứng dụng tốn học tài khoa học vật lý, sinh học Ứng dụng ban đầu vật lý nhƣ mơ hình cho vận tốc hạt Brown lớn dƣới tác 27 Bản quyền tài liệu thuộc Thư viện Đại học Y Dược TP.Hồ Chí Minh động ma sát Nó đƣợc đặt theo tên Leonard Ornstein George Eugene Uhlenbeck Quá trình q trình Markov Gauss cố định, có nghĩa q trình Gaussian, q trình Markov đồng theo thời gian Quá trình Ornsteinát Uhlenbeck q trình khơng cần thiết thỏa mãn ba điều kiện này, cho phép biến đổi tuyến tính biến khơng gian thời gian Theo thời gian, q trình có xu hƣớng trơi phía trung bình dài hạn nó: q trình nhƣ đƣợc gọi hồn ngun có nghĩa Q trình đƣợc coi sửa đổi bƣớc ngẫu nhiên thời gian liên tục, trình Wiener, thuộc tính q trình đƣợc thay đổi để có xu hƣớng trở lại vị trí trung tâm, với thu hút lớn trình xa trung tâm Quá trình Ornstein - Unlenbeck đƣợc coi tƣơng tự thời gian liên tục trình AR (1) rời rạc Q trình Ornstein-Uhlenbeck đƣợc mơ tả phƣơng trình vi phân dX t      X t  dt   dWt Trong     số Wt chuyển động Brownian Để giải phƣơng trình ta sử dụng phƣơng pháp biến phân Đặt f  X t , t   X t e t Lấy vi phân ta có df  X t , t    X t e t  e t dX t  e t dt   e t dWt Lấy tích phân từ đến t ta có t t X t e  X   e  ds    e s dWs t s 0 Do tá nghiệm phƣơng trình vi phân X t  X 0e  t   1  e  t t    e  ( t  s ) dWs Bây ta cho trƣớc   1;   1, 2;  0,3 Ta có đồ thi tƣơng ứng với giá trị dầu tƣơng ứng 28 Bản quyền tài liệu thuộc Thư viện Đại học Y Dược TP.Hồ Chí Minh Q trình Ornstein-Uhlenbeck Hình ảnh trình chịu lực phục hồi, tức trình bị thu hút đến mức độ không đổi nhƣng liên tục bị nhiễu loạn tiếng ồn Một ví dụ đƣợc đƣa tiềm màng tế bào thần kinh liên tục bị nhiễu loạn xung điện từ mạng lƣới xung quanh đồng thời bị thu hút giá trị cân tùy thuộc vào phần lại tiềm cho ion khác diện nồng độ khác tế bào kẽ Điều dẫn đến mơ hình có phƣơng trình:  X c  dX t    t  dt   dWt    Ở  có đơn vị thời gian số thời gian điển hình hệ Nó có lời giải rõ ràng 29 Bản quyền tài liệu thuộc Thư viện Đại học Y Dược TP.Hồ Chí Minh X t  X 0e  t /  c 1  e  t / t e e  t / s /  dWs Phƣơng trình vi phân ngẫu nhiên phƣơng pháp linh hoạt để mơ hình hóa phân phối ngẫu nhiên liên tục Phổ biến phƣơng trình vi phân cho Phân phối non-stationary Lognormal, non-stationary Normal Phân phối Ornstein-Uhlenbeck Hàm mật độ phân phối đƣợc biết qua điều kiện phƣơng trình vi phân Trong phần nghiên cứu phƣơng trình vi phân ngẫu nhiên thõa mãn hầu hết phân phối xác suất cổ điển ứng với trƣờng hợp đặc biệt mở rộng thêm số lớn phân phối đƣợc sử dụng mơ hình hệ đàn hồi ngẫu nhiên Đây lý sử dụng phƣơng trính vi phân nhằm tìm hàm mật độ phân phối Ba phân phối phổ biến non-stationary Lognormal, non-stationary Normal Ornstein-Uhlenbeck dY  Ydt   YdW dY  Ydt   dW dY  b Y    dt   dW Ở vế trái dY thay đổi ngẫu nhiên biến ngẫu nhiên Y Vế phải thay đổi kỳ vọng sai số Thay đổi kỳ vọng bao gồm thời gian dt sai số Weiner dW Vì phƣơng trình vi phân biên đổi trình Weiner thành trình ngẫu nhiên thời gian thay đổi Y biến ngẫu nhiên Phân phối biến ngẫu nhiên Y đƣợc xác định trình biến đổi Trong trƣờng hợp đặc biệt chúng tơi có kết nhƣ sau: 30 Bản quyền tài liệu thuộc Thư viện Đại học Y Dược TP.Hồ Chí Minh KẾT LUẬN Chúng ta dựa vào phƣơng trình vi phân để tìm hàm mật độ khác biến số ngẫu nhiên Điều cho ta thêm góc nhìn khác phân phối Chúng hy vọng mang đến cho sinh viên tiếp cận đƣợc thêm phân phối chuẩn dƣới góc nhìn phƣơng trình vi phân Từ ta nhìn đƣợc toán Vật Lý với nhiễu ngẫu nhiên cho ta thêm vài ứng dụng Y sinh học Mơ hình ngẫu nhiên đƣợc xem theo hai cách khác Ngƣời lạc quan tin vũ trụ mang tính định Các tính ngẫu nhiên đƣợc đƣa vào mơ hình tốn học cách đơn giản để tính đến khơng hồn hảo (xấp xỉ) đặc tả kỹ thuật mô hình, nhƣng tồn phiên mơ hình cung cấp giải thích hồn hảo quan sát mà không cần khắc phục đến mô hình ngẫu nhiên Ngƣời bi quan, mặt khác, tin vũ trụ chất ngẫu nhiên khơng có mơ hình xác định tồn Từ quan điểm thực dụng, hai xây dựng mơ hình ngƣời có nhìn khác nguồn gốc hành vi ngẫu nhiên Phƣơng trình vi phân ngẫu nhiên (SDE) tìm thấy ứng dụng nhiều lĩnh vực bao gồm liên quan đến kỹ thuật, kinh tế tài chính, mơi trƣờng, vật lý, động lực dân số, sinh học dƣợc phẩm Để có đƣợc hiểu biết ý nghĩa vật lý phƣơng trình vi phân ngẫu nhiên (SDE), có lợi xem xét vấn đề mà chế mang tính định hiểu đầy đủ Trong trƣờng hợp này, SDE phát sinh chế xác định không quan sát đầy đủ phải đƣợc thay quy trình ngẫu nhiên mơ tả hành vi hệ phƣơng trình vi phân ngẫu nhiên quy mơ thời gian lớn Trong thực tế, chế thực xác định, điều Cơ chế khơng thể đƣợc quan sát đầy đủ, biểu nhƣ trình ngẫu nhiên Để từ ta tìm phân phối, quy luật mà đánh giá chúng áp dụng vào thực tế 31 Bản quyền tài liệu thuộc Thư viện Đại học Y Dược TP.Hồ Chí Minh TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] The Normal Distribution: A derivation from basic principles- DanTeaague [2] X Mao, Stochastic Differential Equations and Applications, Horwood, Chichester, 1997 [3] A Stochastic Differential Equation for Modeling the “ Classical“ Probability Distribution – Greg Hertzlr [4] Information Geometry of Gaussian Distribution in View of Stochastic Optimization – Luigi Malagò [5] I Karatzas and S E Shreve, Brownian Motion and Stochastic Calculus, 2nd ed., SpringerVerlag, Berlin, 1991 [6] L N Trefethen, Spectral Methods in MATLAB, SIAM, Philadelphia, 2000 [7] Y Komori, Y Saito, and T Mitsui, Some issues in discrete approximate solution for stochastic differential equations, Comput Math Appl., 28 (1994), pp 269–278 [8] B Øksendal Stochastic Differential Equations An introduction with applications Springer Verlag, 2007 32 ... CHÍ MINH CHƢƠNG TRÌNH KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ CẤP CƠ SỞ BÁO CÁO TỔNG HỢP KẾT QUẢ NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU KHOA HỌC VÀ CƠNG NGHỆ MƠ TẢ PHÂN PHỐI CHUẨN BẰNG PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ ỨNG DỤNG Cơ quan chủ... hiệu, chữ vi? ??t tắt ĐẶT VẤN ĐỀ Chƣơng - TỔNG QUAN Y VĂN 1.1 Lịch sử phân phối chuẩn 1.2 Mơ hình Vật lý đến phƣơng trình vi phân thƣờng phân phối chuẩn 1.3 Ứng dụng Chƣơng – PHƢƠNG PHÁP VÀ NỘI DUNG... Sinh vi? ?n ngành Toán, Thống kê thƣờng học đƣờng cong phân phối chuẩn học làm cách để xác định xác suất biến cố vi? ??c sử dụng bảng phân phối giá trị hàm mật độ xác suất phân phối chuẩn tắc Sinh vi? ?n