Đang tải... (xem toàn văn)
VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI 1... Chứng minh phương trình có nghiệm, tìm điều kiện để phương trình có nghiệm.[r]
(1)CHUYÊN ĐỀ ỨNG DỤNG CỦA HÀM SỐ Vấn đề Giải phương trình hệ phương trình.
Dạng Sử dụng tính đơn điệu. Phương pháp:
Nếu y=f x( )là hàm số đơn điệu ( ln tăng ln giảm) thì: f u( ) =f v( ) Û u=v
Bài Tập
Bài Giải phương trình:
a) cos2 cos 2 2
3 x- 3- x+ = - cos x- cosx+2 b)
2
2 2
1
log
2 3
x x x
x x
+ = + +
+ +
Bài Cho phương trình: 2 2 22 4 2 2
5x+mx+ - 5x+mx+ +m =x +2mx+m Tìm m để phương trình cho có nghiệm thuộc ( )0;1 Bài Giải hệ phương trình
3
2
7
2
x x y y
x y x y
ìï + = +
ïïí
ï + = + +
ïïỵ (CĐSP Trà Vinh Khối A – 2005 )
Bài Giải hệ phương trình
3
6
3
1
x x y y
x y
ìï - =
-ïïí
ï + =
ïïỵ (ĐH Ngoại Thương Khối A – 2001 )
Dạng Sử dụng GTLN VÀ GTNN Phương pháp:Giải phương trình f x( ) =a
(2)Vấn đề 2. SỬ DỤNG GTLN VÀ GTNN ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Phương Pháp:
( ) ( )
x D
f x x D f x m
Ỵ
³ " Ỵ Û = ³
( ) max ( )
x D
f x x D f x M
Ỵ
£ " Î Û = £
Ví dụ Chứng minh rằng:
a) sinx x- <0, " >x b) cos 2,
2
x
x> - " >x Giải.
a) Cách Dùng bảng biến thiên Đặt f x( ) =sinx x- với x>0 Ta có f x'( ) =cosx- 0,£ "x
Dựa vào bảng biến thiên ta có f x( ) <0, " > Û sinx x x- <0, " >x Cách không dùng bảng biến thiên
Đặt f x( ) =sinx x- với x>0 Ta có f x'( ) =cosx- 0,£ "x Suy hàm số nghịch biến " >x
Với x> Þ0 f x( ) <f( )0 Û sinx x- <0 b) Đặt ( ) cos
2
x
f x = x- + với x>0
Ta có f x'( ) = - sinx+ >x 0, " >x theo câu a)
Dựa vào bảng biến thiên ta có f x( ) >0, " > Ûx cos 2,
x
x> - " >x x
y’ y
0 +
0
–
_
x y’ y
0 +
+
0
(3)Ví dụ CMR: 3a3+7b3>9ab2 "a b, >0 (CĐSP Trà Vinh Khối B – 2005)
Giải.
Đặt f x( ) =3x3- 9b x2 +7b3vi xẻ (0;+Ơ )
ị f x'( ) =9x2- 9b2, f x'( ) = Û0 x=b
Từ bảng biến thiên ta có: f x( ) ³ b3> " ẻ0 x (0;+Ơ ) M aẻ (0;+Ơ ị) f a( )> Û0 3a3+7b3- 9ab2>0
Vậy: 3a3+7b3>9ab2 "a b, >0
Ví dụ 3.Cho 256b3³ 27a4, CMR: x4+ax b+ ³ 0 " Ỵ ¡x
Giải.
Đặt f x( ) =x4+ax b+ ³ 0
Þ f x'( ) =4x3+a, '( ) 0 3
4
a f x = Û x=
-Từ bảng biến thiên ta có: ( )
4
a a
f x ³ b- "x Theo giả thuyết: 256b3³ 27a4Þ 3
4
a a
b³
4
a a b
Û - ³
Vậy: f x( ) ³ 0, " Ỵ ¡x Û x4+ax b+ ³ 0," Ỵ ¡x
x y’ y
0 b +
0
3 b
+ _
x y’ y
– +
3
4
a
+ +
0
3
4 4
a a
b
(4)Ví dụ 4.CMR: sin200
3 >
Giải.
Ta có sin600= - 4sin 203 0+3sin200 Û 4sin 203 3sin200
2
- + =
Đặt f x( ) = - 4x3+3x xẻ (0;+Ơ ị) (sin200)
2
f =
Þ f x'( ) = - 12x2+3, f x'( ) =0 Û
2
x=
Ta có: sin200 sin300
2
< = Þ 1,sin200 0;1
3
ỉ ửữ
ỗ ữ
ẻ ỗỗ ữữ ỗố ứ
(sin200)
2 23 27 f f ỹ ùù ù = ùù ý ổửữ ù ỗ ữ = ù ỗ ữ ù ỗ ữ ù ỗố ứ ùỵ
ị (sin200)
3
f > ỗ ữổửỗ ữỗ ữữ
ỗố ứ (1)
Từ bảng biến thiêng ta có hàm số f đồng bin trờn khong 0;1
2 ổ ửữ
ỗ ữ
ỗ ữ
ỗ ữ
ỗố ứ (2)
Từ (1) (2) suy sin200
3 >
BÀI TẬP
Bài Chứng minh
a) ex ³ 1+x, " ³x b) 2,
x x
e ³ + +x " ³x Bài Chứng minh
a) x>ln(x+1 ,) " >x b) ln 2( 1),
x
x x
x
-> " > +
Bài Chứng minh rẳng: lnx< x, " >x Bài Chứng minh rằng: x4- x+ >1 0, " Ỵ Ăx
Bi Chng minh rng: 1+xlnỗỗỗốổx+ 1+x2ữữữứửữ 1+x2, " Ỵx ¡
Bài Tìm tất giá trị a để ln(1x) x ax2, x Đáp số: 0< £a
Bài a) Chứng minh a > số cho ax 1 x với x0 a e
b) Tìm tất giá trị a để : ax 1 x x
(HSG 12 Nam Định 2006)
Bài Cho x³ y³ z³ Chứng minh rằng: x z y x y z z + + ³y x y+ +z x x
y’ y
0 1 +
2
0 -
0
(5)VẤN ĐỀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI 1 Nhắc lại số kiến thức
a) Định nghĩa giá trị tuyệt đối: A = íìïïï -AA khi Akhi A³<00
ïỵ
b) Định lý bản: A =B Û íìï ³ïïBA = ±0B
ïỵ
c) Một số tính chất đồ thị:
+ Đồ thị hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng + Đồ thị hàm số lẻ nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng
2 Ba dạng toán bản:
Dạng 1: Từ đồ thị( ) :C y=f x( )®( ) :C1 y= f x( )
Cách giải
B1. Ta có : ( ) :1 ( ) ( ) f(x) (1) ( ) f(x) (2)
f x
C y f x
f x
ìï ³
ï
= = íï - <
ïỵ
B2. Từ đồ thị (C) vẽ ta suy đồ thị (C1) sau:
Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm phía trục Ox ( (1) )
Lấy đối xứng qua Ox phần đồ thị (C) nằm phía trục Ox ( (2) ) Bỏ phần đồ thị (C) nằm phía trục Ox ta (C1)
Minh họa: ( ) :C y=x3- 3x+ ®2 ( ) :C1 y= x3- 3x+2
O -1 -2
2
x y
O -1 -2
2
x y
( )
y = f x
( )
y= f - x
( )
y= - f x
( )
y= - f x
-y
(6)Dạng 2:Từ đồ thị ( ) :C y=f x( )®( ) :C2 y=f x( ) ( hàm số chẵn)
Cách giải
B1. Ta có : ( ) :C2 y=f x( ) = íìïï -ïf xf x( ) x( ) x³<0 (1)0 (2)
ïỵ
B2 Từ đồ thị (C) vẽ ta suy đồ thị (C2) sau
Do đồ thị hàm số chẳn nên ta cần vẽ phần nằm bên phải trục oy, lấy đối xứng qua oy ta (C2)
Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm phía bên phải trục Oy ( (1) )
Lấy đối xứng qua Oy phần đồ thị (C) nằm phía bên phải trục Oy ( tính chất hàm chẳn ) Bỏ phần đồ thị (C) nằm phía bên trái trục Oy (nếu có) ta đượ (C2)
Minh họa: 3
2
( ) :C y=x - 3x+ ®2 ( ) :C y= x - 3x +2
O -1 -2
2
x y
O -1 -2
2
(7)Dạng 3:Từ đồ thị( ) :C y=f x( )®( ) :C3 y =f x( )
Cách giải B1. Ta có : 3
( )
( ) (1)
( ) : ( )
( ) (2)
f x
y f x
C y f x
y f x
ìï ³ ïï ï é = = Û í ê ïï ê =-ï ê ï ë ỵ
B2. Từ đồ thị (C) vẽ ta suy đồ thị (C3) sau:
Bỏ phần đồ thị (C) nằm phía trục Ox ( f x( ) ³ 0)
Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm phía trục Ox ( (1) ) Lấy đối xứng qua Ox phần đồ thị (C) nằm phía trục Ox ( (2) )
Minh họa: ( ) :C y=x3- 3x+ ®2 ( ) :C3 y =x3- 3x+2
BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài 1: Cho hàm số : y= - x3+3x (1)
1 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số (1) Từ đồ thị (C) vẽ, suy đồ thị hàm số sau:
3
)
a y= - x + x b) y= - x3+3x c) y = - x3+3x
Bài 2: Cho hàm số :
1 x y x + =
- (1)
1 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số (1) Từ đồ thị (C) vẽ, suy đồ thị hàm số sau:
1 ) x a y x + =
- b)
1 x y x + =
- c)
1 x y x + =
- d)
1 x y x + =
- e)
(8)3 Dùng đồ thị biện luận phương trình.
Nhắc lại lý thuyết: Xét phương trình f(x) = g(x) (*)
Số nghiệm phương trình (*) số giao điểm hai đồ thị (C1): y = f(x) (C2): y = g(x)
(nghiệm phương trình hồnh độ giao điểm)
Bài toán: Biện luận theo m số nghiệm phương trình: f x( ) =m (*)
Phương pháp:
Số nghiệm phương trình (*) số giao điểm đồ thị ( )C :y=f x( ) đường thẳng y=m
Ví dụ: (ĐH 2006 khối A)
1)Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số y=2x3- 9x2+12x- 4
2) Biện luận theo m số nghiệm phương trình: 2x3- 9x2+12x- 4- m=0
3) Tìm m để phương trình sau có nghiệm phân biệt: 2x3- 9x2+12x =m
BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài 1. Đại học – khối D – 2009.
Cho hàm số y=2x4- 4x2 (1)
a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (1)
b) Với giá trị m phương trình x x2 2- 2=m có nghiệm phân biệt
Bài 2 Tìm m để phương trình sau có nghiệm phân biệt: - x3+3x2- 2- log2m=0
Bài 3. Tìm m để ptrình sau có hai nghiệm phân biệt: 2x2- 4x- 2+ m x- 1=0
Bài 4 Biện luận theo m số nghiệm pt : a)
1
x
m
x- = b)
2
1
x m
x- =
y
x
0
x
) (C1
(9)Vấn đề Chứng minh phương trình có nghiệm, tìm điều kiện để phương trình có nghiệm. Dạng Chứng minh phương trình có k nghiệm
Bài tốn: Chứng minh phương trình f x( ) =m (*) có k nghiệm
Phương pháp:
Phương trình (*) có k nghiệm đồ thị ( )C :y=f x( ) cắt đường thẳng y=mtại k điểm Nói riêng:
Phương trình f x( ) =0 có k nghiệm Û đồ thị hàm số ( )C :y=f x( ) cắt trục hoành k điểm
Bài 1. Chứng minh phương trình sau có ba nghiệm: x33x2 0
Bài 2. Chứng minh phương trình 2x x2 - 2=11 có nghiệm nhất.
Bài 3 Đại Học – Khối D – 2004.
Chứng minh phương trình sau có nghiệm: x5- x2- 2x- 1 0=
Bài 4 THTT.
Phương trình x2=100sinx có nghiệm thuộc đoạn éê2 ;3p pùú
ë û
Dạng Xác định m để phương trình có nghiệm
Phương trình f x( ) =m có nghiệm Û minf x( ) £ m£ maxf x( )
Bài 1. Tìm điều kiện m để phương trình x2+2x- m=2x 1- (1)
1) có nghiệm thực, 2) có nghiệm thực, 3) có nghiệm thực phân biệt HƯỚNG DẪN GIẢI
(1)
2 2
1
x x
2
x 2x m (2x 1) m 3x 6x
ì ì
ï ï
ï ³ ï ³
ï ï
Û íï Û íï
ï + - = - ï = - +
-ï ï
ỵ ỵ
Đặt y= - 3x2+6x 1- , với x
2 ³ ta có: Bảng biến thiên
x - ¥
2 +¥
y
4 - ¥
Dựa vào bảng biến thiên, ta có:
1) m£ 2, 2) m m
< Ú = , 3) m
4£ <
Bài 2. Tìm điều kiện m để x+ -1 m x x- + 2- 1= 0 (5) có nghiệm thực.
HƯỚNG DẪN GIẢI Điều kiện: x³
+ x = 1: (5) vô nghiệm
+ x > 1: (5) x m4 x
x x
+
-Û - + =
- +
Đặt t x 41 t (1; )
x x
+
= = + ị ẻ +¥
- - ,
(10)Bài (trích đề thi ĐH khối B – 2004). Tìm điều kiện m để phương trình:
( 2 ) 2
m x+ - x- +2 =2 x- + x+ - x- (18) có nghiệm thực
HƯỚNG DẪN GIẢI Đặt t = 1 x+ 2- 1 x , - - 1£ x£ 1
( 2)
2
x x x
t' x
1 x x
+ +
-Þ = = Û =
+
-t( 1) = 2, t(0) = ị0 tẻ ộờở0; , xùúû" Ỵ -éë 1; ùû (18) trở thành m(t 2) 2 t2 t m t2 t
t
- + +
+ = - + Û =
+
Xét hàm số
2
2
t t t 4t
y y' 0, t 0;
t (t 2)
- + + - - ộ ự
= ị = Ê " ẻ ờở úû
+ +
Bảng biến thiên
x - ¥ 2 +¥ y’ – y
2 1
-Dựa vào bảng biến thiên, (18) có nghiệm thực Û 1- £ m£
Bài tập:
Bài 1 Tìm m để phương trình x3- 3x2- m=0 có nghiệm xỴ ê úé ù1;3
ë û Đáp số:- 4£ m£ 0
Bài 2. Biện luận theo m số nghiệm phương trình : 2 3
3
x
x x
e - e + e =m Đáp số:
Bài Tìm k để phương trình sau có ba nghiệm phân biệt: - x3+3x2+k3- 3k2=0
Đáp số: - < <1 k 3,k¹ 0,k¹ 2
Bài 4 Tìm a để phương trình sau có nghiệm: 1 1 1 1
9+ -x - (a+2).3+ -x +2a+ =1 Đáp số:a³ 4
Bài 5 Cho phương trình(2+ 3) (x+ -2 3)x =m a) Giải phương trình m =
b) Xác định m để phương trình có nghiệm Đáp số:
Bài 6 Tìm m để phương trình sau có nghiệm 7- x+ 2+ -x (7- x)(2+x) =m Đáp số:
Bài 7 Cho phương trình x2+ 1- x+ 1+ =x m
a) Giải phương trình m =
b) Xác định m để phương trình có nghiệm
Đáp số: a) b)1 2 5
2
m
+ £ £
Bài 8 Tìm m để phương trình sau có nghiệm x+ 9- x- - x2+9x+m=0
(11)Đặt t = - x2+9x, 0
2
t
£ £
(1) Û m = - t2+2t+9 Đáp số: 10
4 m
- £ £ )
Bài 9 (ĐH 2006 Khối B)
Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm thực phân biệt x2+mx+ =2 2x+1
Đáp số:
Bài 10 (ĐH 2007 Khối A)
Tìm m đề phương trình sau có nghiệm 3 x- 1+m x+ =1 24x2- 1
Đáp số:
Bài 11 (ĐH 2007 Khối B)
Chứng minh với giá trị dương tham số m, phương trình sau có hai nghiệm thực phân biệt: x2+2x- 8= m x( - 2)
Đáp số:
Bài 12 (ĐH 2008 khối A)
Tìm tham số m để phương trình sau có hai nghiệm
42x+ 2x+2 64 - x+2 6- x=m
Đáp số:
Bài 13. (ĐH 2007 khối D)
Tìm giá trị tham số m để hệ ptrình có nghiệm
3
3
1 5
1 15 10
x y
x y
x y m
x y
ìïï + + + = ïïï
íï
ï + + + =
-ïï ïỵ
Đáp số:
Mệnh đề 3:
a) Bất phương trình f x( ) ³ m có nghiệm Û maxf x( ) ³ m
b) Bất phương trình f x( ) ³ m nghiệm với "x Û minf x( ) ³ m Mệnh đề 4:
a) Bất phương trình f x( ) £ m có nghiệm Û minf x( ) £ m
b) Bất phương trình f x( ) £ m nghiệm với "x Û maxf x( ) £ m
Bài 4 Cho tam giác ABC khơng tù thỏa mãn: cos2A+2 2cosB +2 2cosC =3 Tìm A, B, C ( ĐH 2004 Khối A)
Bài 5 Tính góc tam giác ABC cos cos( cos )
A+ B + C =
Bài 6 Tam giác ABC vuông tù, tìm góc tam giác ABC biết cosA+cosB +cosC =
Bài 7 Cho tam giác ABC nhọn có A =Max A B C( , , ), tìm giá trị lớn biểu thức
2
sin2 sin2
sin
P B C
A
(12)cos2A+2 2cosB +2 2cosC =3Û - sin2A+2 2sin cosA2 B C-2 - 0= Do tam giác ABC không tù nên sin sin cos
2 2
A ³ A B C
-Suy ra: sin2 2 2sin 1 sin2 2 2sin cos 1
2 2
A A B C
A A
+ - ³ - +
-Þ sin2 2 2sin 1 0
2
A A