Tài liệu hinh hoc hay 2

Chương 8: MẶT PHẲNG KIẾN THỨC CƠ BẢN A. Phương trình mặt phẳng. 1. Định nghĩa: Hai vectơ , 0a b ≠ r r r được gọi là 1 cặp vectơ chỉ phương của ( ) mp α nếu a r không cùng phương với b r và giá của chúng song song hoặc nằm trên ( ) mp α . 2. Định nghĩa: 0n ≠ r r được gọi là vectơ pháp tuyến của ( ) mp α nếu giá của nó vuông góc với ( ) mp α . Nhận xét: nếu ,a b r r là cặp vectơ chỉ phương của ( ) mp α thì n a b= ∧ r r r là pháp vectơ của ( ) mp α . 3. Định lí: Phương trình tổng quát của mặt phẳng có dạng: ( ) 2 2 2 0 0Ax By Cz D A B C+ + + = + + ≠ . Trong đó ( ) ; ;n A B C= r là pháp vectơ của mặt phẳng. Hệ quả 1: Phương trình mặt phẳng đi qua ( ) 0 0 0 ; ;M x y z và có pháp vectơ ( ) ; ;n A B C= r là: ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0A x x B y y C z z− + − + − = . Hệ quả 2: Phương trình mặt phẳng đi qua ( ) ( ) ( ) ;0;0 , 0; ;0 , 0;0;A a B b C c là: ( ) 1 0 x y z abc a b c + + = ≠ . 4. Định lí: Phương trình mặt phẳng qua giao tuyến của 2 mặt phẳng cắt nhau: 0Ax By Cz D+ + + = và 0A x B y C z D ′ ′ ′ ′ + + + = là: ( ) ( ) 0m Ax By Cz D n A x B y C z D ′ ′ ′ ′ + + + + + + + = với 2 2 0m n+ > . B. Khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng. Khoảng cách từ ( ) 0 0 0 ; ;M x y z đến ( ) : 0mp Ax By Cz D α + + + = được tính bởi công thức: ( ) ( ) 0 0 0 2 2 2 ; Ax By Cz D d M A B C α + + + = + + C. Góc giữa hai mặt phẳng. Cho: ( ) 1 1 1 1 : 0A x B y C z D α + + + = có PVT ( ) ( ) 1 1 1 ; ;n A B C α = r ( ) 2 2 2 2 : 0A x B y C z D β + + + = có PVT ( ) ( ) 2 2 2 ; ;n A B C β = r Gọi ( ) ( ) ( ) ( ) 0 ; 0 90 ϕ α β ϕ = ≤ ≤ thì: ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 . cos . . n n A A B B C C n n A B C A B C α β α β ϕ + + = = + + + + r r r r . D. Vị trí tương đối của hai mặt phẳng. Cho: ( ) 1 1 1 1 : 0A x B y C z D α + + + = có PVT ( ) ( ) 1 1 1 ; ;n A B C α = r ( ) 2 2 2 2 : 0A x B y C z D β + + + = có PVT ( ) ( ) 2 2 2 ; ;n A B C β = r a) Nếu ( ) n α r và ( ) n β r không cùng phương thì ( ) α cắt ( ) β . b) Nếu ( ) n α r và ( ) n β r cùng phương và * ( ) ( ) , α β không có điểm chung thì ( ) ( ) // α β . * ( ) ( ) , α β có điểm chung thì ( ) ( ) α β ≡ . Ghi chú: Nếu 2 2 2 2 , , , 0A B C D ≠ thì: * ( ) α cắt ( ) β 1 1 1 2 2 2 A B C A B C ⇔ ≠ ≠ ( chỉ cần một dấu ≠ ). * ( ) ( ) // α β 1 1 1 1 2 2 2 2 A B C D A B C D ⇔ = = ≠ . 1 * ( ) ( ) α β ≡ 1 1 1 1 2 2 2 2 A B C D A B C D ⇔ = = = . E. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song cho trước. ( ) ( ) // α β Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ; ;d d M M α β β α = ∀ ∈ . ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ; ;d d N N α β α β = ∀ ∈ . . BÀI TẬP Bài 1. Lập phương trình tổng quát của ( ) mp α đi qua ( ) 2;1; 1A − và vuông góc với đường thẳng xác định bởi 2 điểm ( ) ( ) 1;0; 4 , 0; 2; 1B C− − − − . Bài 2. Lập phương trình tổng quát của ( ) mp α đi qua hai điểm ( ) ( ) 2; 1;4 , 3;2; 1A B− − và vuông góc với ( ) : 2 3 0mp x y z β + + − = . Bài 3. a) Lập phương trình tổng quát của ( ) mp α đi qua ( ) 1;0;5A và song song với ( ) : 2 17 0mp x y z γ − + − = . b) Lập phương trình ( ) mp β đi qua 3 điểm ( ) ( ) ( ) 1; 2;1 , 1;0;0 , 0;1;0B C D− và tính góc nhọn ϕ tạo bởi 2 ( ) mp α và ( ) β . Bài 4. Lập phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng ( ) 2 0 : 3 2 3 0 x z x y z − =  ∆  − + − =  và vuông góc với ( ) : 2 5 0mp P x y z− + + = . Bài 5. Viết phương trình ( ) mp P chứa Ox và tạo với ( ) : 2 5 0mp x y z α + − = một góc 0 60 . Bài 6. Trong không gian Oxyz . a) Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng qua ( ) ( ) 0;0;1 , 3;0;0M N và tạo với ( ) mp Oxy một góc 3 π . b) Cho 3 điểm ( ) ( ) ( ) ;0;0 , 0; ;0 , 0;0;A a B b C c với , , 0a b c > thay đổi luôn luôn thỏa: 2 2 2 3a b c+ + = . Xác định , ,a b c sao cho khoảng cách từ O đến ( ) mp ABC đạt GTLN. Bài 7. Viết phương trình ( ) mp α chứa gốc tọa độ O và vuông góc với 2 ( ) : 7 0mp P x y z− + − = và ( ) :3 2 12 5 0Q x y z+ − + = . Bài 8. Cho ( ) ( ) ( ) 5;1;3 , 1;6;2 , 5;0;4A B C . a) Viết phương trình ( ) mp ABC . Tính khoảng cách từ gốc tọa độ O đến ( ) mp ABC . b) Viết phương trình mặt phẳng qua ,O A và song song với BC. c) Viết phương trình mặt phẳng qua ,C A và vuông góc với ( ) : 2 3 1 0mp x y z α − + + = . d) Viết phương trình mặt phẳng qua O và vuông góc với ( ) mp α và ( ) mp ABC . e) Viết phương trình mặt phẳng qua giao tuyến của 2 ( ) mp α , ( ) ABC và qua ( ) 1;2;3I − . Bài 9. Xác định các tham số m, n để mặt phẳng 5 4 0x ny z m+ + + = thuộc chùm mặt phẳng có phương trình: ( ) ( ) 3 7 3 9 3 5 0x y z x y z α β − + − + − − + = . Bài 10. Trong không gian Oxyz cho ( ) ( ) : 2 1 1 0 m mp P x y z m x y z+ + + + + + + = với m là tham số. a) Chứng minh rằng với mọi m, ( ) m mp P luôn đi qua đường thẳng ( ) d cố định, b) Tìm m để ( ) m mp P vuông góc với ( ) 0 : 2 1 0P x y z+ + + = . 2 c) Tìm khoảng cách từ O đến đường thẳng ( ) d . Bài 11. Trong không gian Oxyz cho 2 ( ) ( ) : 2 3 1 0, : 5 0mp x y z x y z α β − + + = + − + = và điểm ( ) 1;0;5M . a) Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng ( ) mp α . b) Viết phương trình ( ) mp P đi qua giao tuyến ( ) d của ( ) α và ( ) β đồng thời vuông góc với ( ) :3 1 0mp Q x y− + = . Bài 12. Cho ( ) ( ) ( ) 1;1;3 , 1;3;2 , 1;2;3A B C− − . a) Kiểm chứng ba điểm A, B, C không thẳng hàng và viết phương trình ( ) mp P chứa 3 điểm này. Tính khoảng cách từ gốc tọa độ O đến ( ) mp P . b) Tính ABC S ∆ và tính thể tích tứ diện OABC. Bài 13. Cho ( ) ( ) ( ) 2;0;0 , 0;3;0 , 0;0;3A B C . Các điểm M, N lần lượt là trung điểm OA và BC; P, Q là 2 điểm trên OC và AB sao cho 2 3 OP OC = và 2 đường thẳng MN, PQ cắt nhau. Viết phương trình ( ) mp MNPQ và tìm tỉ số AQ AB . Bài 14. Trong không gian Oxyz cho ( ) ( ) ( ) ( ) ;0;0 , 0; ;0 , ; ;0 , 0;0;A a B a C a a D d với 0, 0a d> > . Gọi là hình chiếu vuông góc của O xuống hai đường thẳng DA, DB. a) Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng OA, OB. Chứng minh rằng mặt phẳng đó vuông góc CD. b) Tính d theo a để số đo · 0 45AOB = . Bài 15. Tìm trên trục tung các điểm cách đều 2 ( ) ( ) : 1 0, : 5 0mp x y z x y z α β + − + = − + − = . Bài 16. a) Tính góc của 2 ( ) mp P và ( ) Q cùng đi qua điểm ( ) 2;1; 3I − , ( ) P chứa trục Oy, ( ) Q chứa trục Ox. b) Tìm tập hợp các điểm cách đều 2 ( ) mp P , ( ) Q nói trên. Bài 17. Trong không gian Oxyz. Xét AOB∆ đều, nằm trong ( ) mp Oxy có cạnh a, đường thẳng AB song song trục tung. Điểm A nằm trên phần tư thứ nhất trong ( ) mp Oxy . Cho 0;0; 3 a S    ÷   . a) Xác định A, B và trung điểm E của OA, viết phương trình ( ) mp P chứa SE và song song với trục hoành. b) Tính ( ) ( ) ;d O P . Suy ra ( ) ;d Ox SE . Bài 18. Trong không gian Oxyz cho các điểm ( ) ( ) ( ) 1;4;5 , 0;3;1 , 2; 1;0A B C − và ( ) :3 3 2 15 0mp P x y z− − − = . Gọi G là trọng tâm của ABC∆ . Chứng minh điều kiện cần và đủ để điểm M nằm trên ( ) mp P 3 . ) 2 2 2 2 : 0A x B y C z D β + + + = có PVT ( ) ( ) 2 2 2 ; ;n A B C β = r Gọi ( ) ( ) ( ) ( ) 0 ; 0 90 ϕ α β ϕ = ≤ ≤ thì: ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 2. chú: Nếu 2 2 2 2 , , , 0A B C D ≠ thì: * ( ) α cắt ( ) β 1 1 1 2 2 2 A B C A B C ⇔ ≠ ≠ ( chỉ cần một dấu ≠ ). * ( ) ( ) // α β 1 1 1 1 2 2 2 2 A B C D