muốn giới thiệu ñến các em học sinh những kỹ thuật ñơn giản nhất nhưng vô cùng hiệu quả trong quá trình tính toán, thông qua ñó hy vọng các em học sinh sẽ rèn luyện tính ñược tính linh[r]
(1)PHƯƠNG PHÁP TÍNH MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP TÍCH PHÂN
Biên soạn GV Nguyễn Trung Kiên 0988844088
PHẦN MỘT: CÁC BÀI TOÁN CƠ BẢN CẦN NẮM CHẮC:
Bài toán 1: Tính I 2 2 dx x a =
+
∫
Phương pháp: Đặt
2
2
a(tan 1) 1 x
atant dx=a(tan 1) arctan
(tan 1) a
t dt
x t dt I dt t C C
a t a a a
+
= ⇒ + ⇒ = + = = + = +
∫ ∫
Chú ý: Khi tính tích phân đổi biến ta phải đổi cận Ví dụ1) Tính tích phân sau 2
0
3
I dx
x =
+
∫
Đặt
3 tan 3(tan 1)
x= t⇒dx= t+ dt arctan x
3
t=
Đối cận
2
4 4
0
0
3(tan 1) 3
|
3(tan 1) 3 12
t
I dt dt t
t
π + π π π
⇒ = = = =
+
∫ ∫
Ví dụ 2) Tính tích phân
2
1
2
I dx
x
=
+
∫
Ta có
1
2
2
1
2 1
2
I dx
x =
+
∫ Đặt tan (tan2 1)
2
x= t⇒dx= t+
( )
arctan
t= x
Đổi cận
x 3
t
4 π
x
2
t
(2)2
4 4
0
0 2
1 (tan 1) 2
|
2 (tan 1) 2
2
t dt
I dt t
t
π + π π π
⇒ = = = =
+
∫ ∫
Mở rộng tốn 1: Tính 2 ax
dx bx c + +
∫
ax + + =bx c 0 vô nghiệm Biến ñổi
2
2
ax
2
2
b dx
bx c a x I
a a a b
x
a a
∆
+ + = + − ⇒ =
∆
+ −
∫
Đặt 2 tan
2
b
x t
a a
−∆
+ = ñưa tốn dạng để tính Ví dụ1: Tính tích phân 2
2
dx I
x x
=
+ +
∫
Ta có
( )2
1
1
I dx
x =
+ +
∫ Đặt
2
2
2 (tan 1) 2
1 tan (tan 1)
2(tan 1) 2
2 x+1
arctan
2
t dt
x t dx t dt I dt t C
t C
+
+ = ⇒ = + ⇒ = = = +
+
= +
∫ ∫
Ví dụ 2: Tính tích phân 2
2
dx I
x x
=
+ +
∫
Ta có 2
2
1
3
2 3 31
2 4 16
dx dx
I
x x x
= =
+ + + +
∫ ∫ Đặt
( )
3 31 31
tan tan
4 4
x+ = t⇒dx= t+ dt
Và
4x+3 arctan
11
t=
( )
( )
2 31
tan
1 4 2 4x+3
arctan 31
2 tan 1 31 31 31 31
16
t dt
I dt t C C
t
+
⇒ = = = + = +
+
∫ ∫
Ví dụ 3: Tính tích phân 2
1
2
I dx
x x
=
− +
(3)Ta có
( )
4
2
1
dx I
x =
− +
∫ Đặt tan tan( 1) ; arctan x-1
3
x− = t⇒dx= t+ dt t=
Đổi cận
Ta có
2
3
3
2
6 6
3(tan 1) 3
|
3(tan 1) 3
t dt
I dt t
t
π
π π
π π π π
− + − −
= = = =
+
∫ ∫
Bài tốn 2: Tính tích phân I 2 2 dx x a =
−
∫
Biến ñổi
( )( )
2
1 1
ln
2
dx dx x a
I dx C
x a x a x a a x a x a a x a
−
= − = − + = − − + = + +
∫ ∫ ∫
Ví dụ 1) Tính tích phân 21
I dx
x =
−
∫
Ta có
( )(1 ) 1 1 ln
2 3 3
3
x
I dx dx C
x x x
x x
−
= = − = +
− + +
− +
∫ ∫
Ví dụ 2) Tính tích phân
3
3 3
2
2 2
0
0 2
1
1 1 1 1 2
ln | ln
1
2 2 1 2 2
2 2 2 2
x
I dx dx dx
x
x x x x
−
−
= = = − = =
− − +
− + +
∫ ∫ ∫
Mở rộng toán 2: Tính tích phân 2 ax
I dx
bx c =
+ +
∫ ax2 + + =bx c 0có nghiệm x= ∨ =x1 x x2
Phân tích
1
1 2 2
1 1 1
ln
( )( ) ( ) ( )
x x
I dx dx C
a x x x x a x x x x x x a x x x x
−
= = − = +
− − − − − − −
∫ ∫
Ví dụ 1) Tính tích phân 2
5
I dx
x x
=
− +
∫
x
t
6 π −
(4)Ta có
( 3)(1 2) 13 12 ln 32
x
I dx dx C
x x x x x
−
= − − = − − − = − +
∫ ∫
Ví dụ 2) Tính tích phân sau 2
1
2
I dx
x x
=
− +
∫
Ta có
( )
3 3
3 2
2 2
1 1 1 2
ln ln ln ln
1
2 2 5
1
2
x
I dx dx dx
x x x x x
x x
−
= = = − = = − =
− + − − − − −
∫ ∫ ∫
Chú ý: Khi phương trình bậc ax2+ + =bx c 0 có nghiệm kép ta ln phân tích ñược
2
2
1 1
ax
( )
2
b
I dx dx x dx C
b b
bx c a a
a x a x
a a
−
= = = + = − +
+ + + +
∫ ∫ ∫
PHẦN HAI: TÍNH CÁC TÍCH PHÂN DẠNG PHÂN THỨC
Đây dạng tập chiếm số lượng lớn tốn tính tích phân Tác giả
muốn giới thiệu ñến em học sinh kỹ thuật đơn giản vơ hiệu q trình tính tốn, thơng qua hy vọng em học sinh rèn luyện tính tính linh hoạt giải tốn
Nguyên tắc bản:
Khi tính tích phân dạng ( )
( )
P x
I dx
Q x
=∫ mà bậc cao ẩn ña thức
P(x) nhỏ bậc cao ẩn ña thức Q(x) ta tiến hành:
*) Phân tích tử số P(x) thành đa thức R(x) + H(x) R(x) đạo hàm Q(x) sau tách tích phân ban đầu thành hai tích phân ñơn giản ñể tính
*) Việc tách R(x) nghệ thuật chủ yếu dựa kỹ thêm bớt số hạng *) Ngồi ta dùng kỹ thuật cộng trừ biểu thức phụ
Ta xét ví dụ sau đây:
Ví dụ 1) Tính tích phân sau 22
2
x
I dx
x x
+ =
+ +
∫
Ta có 22 22 2 1 2
2 2 2
x x
I dx dx dx I I
x x x x x x
+ + +
= = + = +
+ + + + + +
∫ ∫ ∫
Rõ ràng hai tích phân dễ tính nhiều
( )
2
2
1 2
( 2)
ln( 2);
2 1 1
d x x
I x x I dx
x x x
+ +
= = + + =
+ + + +
∫ ∫ tốn mở rộng
bài 1mục1( Học sinh tự tính)
Ví dụ 2) Tính tích phân sau 31
I dx
x =
+
(5)Ta có
2 2
3 3 3
1 1 1 ( 1)
1 1 1
x x x x x d x
I dx dx dx dx dx
x x x x x x x
− + − − +
= = = − + = − +
+ + + + − + +
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
3
2
2 2
1
(2 1)
1 (2 1)
2 ln 1 ln 1
1 2 1 3
2
x
d x dx
I dx x C x C
x x x x
x
− − −
⇔ = − + + + = − + + + +
− + − +
− +
∫ ∫ ∫
= 1ln( 1) 1ln
2 x x x J
− − + + + + Với J= 2
2
2 1 3
2
dx
x
− +
∫
Việc tính J dựa tốn mở rộng mục 1( Hs tự làm) Ví dụ 3) Tính tích phân sau 6
0 1
dx I
x =
+
∫
Ta có 6
0 1
dx I
x =
+
∫ =
2 2
1 1
6
0 0
1
1 1
x x x
dx dx dx
x x x x
+ − = −
+ − + +
∫ ∫ ∫ =J+K
Xét
J= 4 2
1
1dx x − +x
∫ =
1 1
2 2 2 2
0 0
1 ax+b
( )
( 1) ( 1)( 1) ( 1) ( 1)
cx d
dx dx dx
x x x x x x x x x x
+
= = + =
+ − − + + + − + + +
∫ ∫ ∫
( )( )
3
2
( ) ( 3 ) ( 3 )
3
a c x b c a c x a b c d x b d
x x x x
+ + + + − + + + − + +
− + + + ⇒
0
( 3 )
( 3 )
1
a c
b c a c
a b c d
b d
+ =
+ + − =
+ + − =
+ =
Từ tìm ñược a,b,c,d thay vào ta tính tích phân đơn giản hơn, việc tính K hồn tồn đơn giản
Ví dụ 4) Tính tích phân 4
1
I dx
x =
+
(6)Ta có
2 2 2 2
2 2 2
4 4
1 1 1 2 2
2
1
1
1 1 1 1 1
1
1 2 2
x x x x x x
I dx dx dx dx dx dx
x x x x x x
x x
− +
− + + − +
= = = + = +
+ + + + + +
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫
2
2 2
2
1 2 2 1
2
1
1
1
1 1
1
2 2 1 1
2
d x d x
x x
x dx x dx J Q
x x x x
x x x x
+ −
− +
= − + = − + = +
+ + + − − +
∫ ∫ ∫ ∫
Việc tính J Q hồn tồn đơn giản Dành cho học sinh
Khi tính tích phân dạng ( )
( )
P x
I dx
Q x
=∫ mà bậc cao ẩn ña thức
P(x) lớn bậc cao ẩn ña thức Q(x) ta tiến hành: Thực phép chia ña thức ñưa dạng
( ) ( ) ( )
( ( ) ) ( ) )
( ) ( ) ( )
P x g x g x
I dx h x dx h x dx dx
Q x Q x Q x
=∫ =∫ + =∫ +∫
Việc tính ∫h x dx( ) hồn tồn đơn giản h(x) đa thức, Việc tính ( )) ( )
g x dx Q x
∫ dựa
cách tính trình bày mục Ví dụ1: Tính tích phân
3
1
x
I dx
x
= +
∫
Ta có
( )
3 2
2
2 2
1
1
ln( 1)
1 2
d x
x x x x x x x
I dx dx xdx dx x C
x x x x
+ + −
= = = − = − = − + +
+ + + +
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
Ví dụ 2: Tính tích phân
Phần hai:PHƯƠNG PHÁP TÍNH MỘT SỐ TÍCH PHÂN LƯỢNG GIÁC
Dạng 1:
Tính tích phân ∫sinnx.cosmxdx
- Nếu n lẻ, m chẵn Đặt cosx=t - Nếu n chẵn, m lẻ Đặt sinx=t
- Nếu m chẵn, n chẵn hạ bậc đưa tích phân đơn giản
2 cos 2 cos
sin ; cos
2
x x
x= − x= +
Chú ý: cos cos 1[cos( ) cos( )]
x y= x+ +y x−y Ví dụ1: Tính I =∫sin3x.cos2xdx
Đặt cosx=t ⇒ dt=-sinxdx
2 2 2
sin sin cos (1 cos ) cos sin ( 1) ( )
(7)5
cos cos
5
t t x x
C C
= − + = − +
Ví dụ 2: Tính I =∫sin2x.cos 22 xdx
Ta có: cos cos (1 cos cos cos cos )
2
x x
I = − + dx= − x+ x− x x dx
∫ ∫
[ ]
1 1 sin sin 1
1 cos cos cos cos sin sin
4 16 48 16
x x
x x x x dx x x x C
= − + − + = − + − − +
∫
1 sin
sin sin
4 16 16 48
x
x x x
= − + − +C
Ví dụ 3: ∫sin3x.cos3xdx
( ) ( )
3 3
sin x.cos x.cosxdx sin x(1 sin ) cosxdx sin x sin x d sinx
=∫ =∫ − =∫ −
4
sin sin
4
x x
C
= − +
Ví dụ 4) Tính tích phân
3 sin cos
x
I dx
x
= +
∫
Ta có ( )
2
3
4 4
1 os
sin
sin
1 cos 1+cos
c x
x t
I dx xdx dt
x x t
− −
= = =
+ +
∫ ∫ ∫ với t=cosx
2 2
2
4
2
1
1 1
1
1
1 1
2
dt
t t t dv
dt dt
t v
t t
t t
−
−
− = = =
+ + + − −
∫ ∫ ∫ ∫ với v t
t = +
2 dv v −
∫ 1 1 ln
2 2 2 2
v
dv C
v v v
−
= − = +
− + +
∫ Thay cos
cos
v x
x
= + vào
ta có kết cần tìm
Dạng 2: ∫ f a( sin2x b+ cos2x) sin 2xdx
Đặt t=asin2x b+ cos2x⇒dt=(a b− )sin 2xdx
Nếu biểu thức có chứa nasin2x bc+ os2x ta đặt
t=n asin2x bc+ os2x ⇒tn =asin2x bc+ os2x⇒ntn−1dt=(a b− )sin 2xdx Ví dụ 1) Tính tích phân
2
0
sin 5sin cos
x
I dx
x x
π
=
+
∫
Ta có:
2
0
sin 5sin cos
x
I dx
x x
π
=
+
∫ Đặt
(8)X
2 π
T 5
Ta có: 15
1
1 1
( 1)
2 2
tdt
I t
t
= ∫ = = −
Dạng 3: ∫ f(s inx+cosx,sinx.cosx)(cosx-sinx)dx (s inx-cosx,sinx.cosx)(cosx+sinx)dx
f
∫
Đặt t=s inx+cosx⇒dt=(cosx-sinx)dx
2
t
s inx.cosx=
−
thay vào để tính Hoặc đặt t =s inx-cosx⇒dt=(cosx+sinx)dx
2 1-t s inx.cosx=
2 Ví dụ 1) Tính tích phân
0
os2x sinx+cosx+sin2x
c
I dx
π
=∫
Ta có 4 ( )( )
0
osx-sinx osx+sinx os2x
sinx+cosx+sin2x sinx+cosx+sin2x
c c
c
I dx dx
π π
=∫ =∫
Đặt sinx c+ osx=t⇒dt=(cosx-sinx)dx
2 t s inx.cosx=
2 − Đổi cận
Ta có
2 2 2
2 2 2
1 1 1
2 (2 2) (2 2)
2
1 2 2
2
tdt tdt t dt t dt dt
I
t t t t t t t t t
t
+ − +
= = = = − =
− + − + − + − + −
+
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
2
2
( 1)
2
2
d t t
J t + −+ − −t
∫
Ta có
2
2
1
1
( 1) 2
ln ln
2
d t t
t t
t t
+ − = + − = +
+ −
∫
Xét J=
( )( )
2 2
2
1 1
1 1
2 1 2 2 2
dt dt
dt
t t t t t t
= = −
+ − + + + − + − + +
∫ ∫ ∫ =
x
4 π
(9)2
1 2
ln ln( ) ln( )
2 2 2 2
t t
+ − = − −
+ + + +
Từ ñó ta có I = ln 2
+
-2(
1 2
ln( ) ln( )
1 2 2
− −
+ + )
Ví dụ 2) Tính tích phân sau
0
s inx+cosx 2-sin2x
I dx
π
=∫
Ta có
s inx+cosx 2-sin2x
I dx
π
=∫ Đặt
s inx-cosx dt=(cosx+sinx)dx, 2sinx.cosx=1-t
t= ⇒
Đổi cận
0
2
1
2 (1 )
dt dt
I
t t
− −
= =
− − +
∫ ∫ Đặt t=tanu⇒dt=(tan2u+1)du
Đổi cận
2
0 2 0
2
2
4 4 4
(tan 1) osu osu
tan
cos cos sin
tan
u c c
I du u du du du du
u u u
u
π π π π π
− − − − −
+
= = + = = = =
− +
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
0
0
4 4
(sin ) 1 1 sin 1 2
(sin ) ln ln
sin sin sin sin 2
d u u
d u
u u u u
π π π
− − −
− +
− = − = = −
− − + + −
∫ ∫
Dạng 4) Tính số tích phân quy tích phân lượng giác +)∫ f ( x2+a2)dx Đặt x=atant
+) ∫ f ( x2−a2)dx Đặt
sin ost
a a
x x
t c
= ∨ =
+) ∫ f ( a2−x2)dx Đặt x=asint x=acost
x
4 π
t -1
t -1
u
4 π
(10)+) f a x dx a x
−
+
∫ Đặt x=acost Ví dụ: Tính tích phân sau
0 2
x
I x dx
x
− =
+
∫
Đặt x=2cost ( 0;
t∈ π
⇒dx= −2 sintdt Đổi cận
2
2
2 2
0 0
sin
2 2 ost 2
2 ost sin sin cos 2 sin cos
t
2 2+2cost os
2
t
x c t
I x dx c tdt t tdt tdt
x c
π π π
− −
= + = = = =
∫ ∫ ∫ ∫
( )
2 2 2 2
0 0
0 0 0
sin 2 ost ostdt=2 ostdt- os tdt=2 ostdt- (1 os2t)dt sin
2 t
c c c c c c t t
π π π π π π π π
− + = − − =
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
2
I π
⇒ = −
Dạng 5) Tính tích phân cách cộng trừ biểu thức liên kết
Biểu thức liên kết biểu thức mà ta cộng trừ vào biểu thức cần tính ta được biểu thức tích phân đơn giản
Ví dụ như: Khi tính
( )
2
2
s inx sinx+cosx
I dx
π
=∫ tích phân liên kết
( )
2
2
cosx sinx+cosx
J dx
π
=∫
Khi tính tích phân
2
0
sin s inx+ osx
x
I dx
c
π
=∫ tích phân liên kết
2
cos s inx+ osx
x
J dx
c
π
=∫ ………
Ta xét ví dụ sau: Tính tích phân sau
2
0
sin s inx- osx
x
I dx
c
π
=∫
Ta xét tích phân liên kết
2
0
cos s inx- osx
x
J dx
c
π
=∫
x
t
2
(11)Ta có
6 6
0 0
2 sin
1 1 1
2 2
s inx- osx sin sin
s inx- osx
3
2
x
I J dx dx dx dx
c x x
c
π π π π π
π π
−
+ = = = =
− −
∫ ∫ ∫ ∫
6
0
2
1 1 1
os x- ( ) os
x-2
1 os os x- os x-
3 3
d c d c
c x c c
π π π π
π π π
= − −
− − − +
∫ ∫
6
os x-
1 3 1 3
ln (ln ln ) ln
4 3
os x-
3 c
c
π
π π
−
− −
− = − − = −
+ + +
(1)
Ta có
2
6
6
0
0
sin os
3 (s inx+ osx) ( osx+ s inx)
s inx- osx
x c x
I J dx c dx c
c
π
π − π
− =∫ =∫ = − = (2)
Từ (1) (2) giải hệ ta tính I;J
Lấy I-J ta tính tích phân
os2x sinx- osx
c
K dx
c
π
=∫ Dạng 6) Tính tích phân dạng ∫ f(s inx,cosx)dx
Phương pháp chung ñể tính tích phân dạng Đặt
2
x 2t 1-t
t=tan s inx= ; osx=
2 1+t c t
⇒
+
Sau thay vào tính tích phân theo t Ví dụ: Tính tích phân sau inx
2+cosx s I =∫ + dx
Ta có inx s inx
2+cosx osx 2+cosx
s
I dx dx dx J Q
c +
= = + = +
+
∫ ∫ ∫
Xét
osx+2
J dx
c
=∫ ñặt tan 1(tan2 1) 22
2 2
x x dt
t dt dx dx
t
= ⇒ = + ⇒ =
(12)( ) 2
2
1
2
osx+2
1
1
dt dt
J dx
c t t
t
t
= = =
+
−
+ + +
∫ ∫ ∫ ñặt
2
3 tan 3(tan 1)
3
u
t= u⇒dt= u+ du⇒I = ∫du= +C Với
tan
t 2
arctan arctan
3
x u
= =
Xét s inx ( osx+2) ln( osx+2)
cosx+2 cosx+2
d c
Q=∫ dx=∫ = c Từ ta suy I=J+Q
Dạng 7) Tính tích phân
0 xf( s inx)dx
π
∫
Đổi biến x= −π t
Ví dụ: Tính tích phân sau 2
s inx 1+cos
I x dx
x
π
=∫ Đặt x= −π t⇒dx= −dt Đổi cận
( ) (2( ) ) 2
0 0
sin sin sin sin
1 os os os os
t t t t t
I t dt dt dt dt I
c t c t c t c t
π π π π π
π π π
π −
= − = − = −
+ − + + +
∫ ∫ ∫ ∫
2
sin
2 os
t
I dt
c t
π
π =
+
∫ Đặt c tos =tanu⇒−sin dt=(tant 2u+1)du
Đổi cận
( ) 2
4
2
4
tan
2 tan
u
I du du
u
π π
π π
π π π
− −
+
= = =
+
∫ ∫
x π
t π
t π
u
4 π
(13)Phần ba: Tính tích phân hàm siêu việt
Dạng1) ∫ f e dx( )x
Đặt x x
t=e ⇒dt=e dx
Chú ý cần tính I =∫ f e( u x( ))dx việc phải đổi biến u(x)=t Ví dụ 1) Tính tích phân sau ln
0
1 x
I dx
e
=
+
∫
Đặt
1
x x x
e + =t⇒t = +e ⇒ tdt=e dx; ex = −t2 Đổi cận
( )
2 2
2
2
2
2 2
2 1 1
2 ln ln ln
1 1
1
t dt t
I dt dx
t t t t
t t
− −
= = − = − − + = + = −
+
−
∫ ∫ ∫
Ví dụ 2) Tính tích phân sau sin2 sin cos
x
I e x xdx
π
=∫ Đặt
sin x=t⇒dt=2s inx.cosxdx Đổi cận
Ta có sin2 sin2 ( )
0 0
1
.sin cos 2sin osx 1-sin (1 )
2
x x t
I e x xdx e xc x dx e t dt
π π
=∫ = ∫ = ∫ −
1 1
2
0 0
1 1
(1 )
2 2
t t t
e t dt e dt t e dt
= ∫ − = ∫ − ∫ Việc tính I lúc hồn tồn đơn giản(Dành cho Hs tự giải)
Dạng 2) Tính tích phân f(ln )x dx x
∫
Đặt lnx=t biểu thức chứa lnx ta thường khử cách ñặt biểu thức chứa t
x Ln3
t 2
x
2 π
(14)Ví dụ; Tính tích phân I=
1
ln ln
e x x
dx x
+
∫
Đặt lnx t t2 lnx 2tdt 2dx tdt dx
x x
+ = ⇒ = + ⇒ = ⇔ =
Đổi cận
Ta có ( )
2
3
3
3
3
3 1 81 27 9
3
2 2 2 2 2
t t t
tdt t t dt
−
= − = − = − − − =
∫ ∫
Phần bốn: Tích phân phần
Học sinh cần nắm công thức sau
udv=uv− vdu
∫ ∫ b ba b
audv=uv − avdu
∫ ∫
Các dạng bản: Dạng 1) ∫ f x( ) lnxdx
Đặt lnx u du 1dx f x dx; ( ) dv v f x dx( ) x
= ⇒ = = ⇒ =∫
Ví dụ1) Tính tích phân sau
3 ln e e
x
I dx
x =∫ Đặt ln x u du 1dx
x
= ⇒ = ; 13 13 12
2
dx dv v dx
x = ⇒ =∫x = − x
3
3
3 2 6
ln 1 3 3 1 7
ln
2 2 2 4 4
e e
e e
e e
e e
x
I dx x dx
x x x e e x e e e e e e
−
=∫ = − + ∫ = − + − = − + − + = +
Dạng 2) ∫ f x c( ) osxdx ∫ f x( ) s inxdx Đặt f(x)=u;cosxdx=dv sinxdx=dv
Ví dụ 1) Tính tích phân I =∫(x+1) sin 2xdx
Ta có ( 1) sin sin sin os2x
2 c I =∫ x+ xdx=∫x xdx+∫ xdx= −J Xét J =∫xsin 2xdx
Đặt ;sin os2x
2 c x=u⇒du=dx xdx=dv⇒v= −
x e3
(15)os2x os2x sin os2xdx
2 2
x c x c x
J − c − C
⇒ = + ∫ = + +
Ví dụ 2) Tính tích phân sau 2 os
I xc xdx
π
=∫ Ta có
2
2 2 2
0
0 0 0
1 os2x 1
os os2x os2xdx
2 2
c x
I xc xdx x dx xdx xc dx xc
π π + π π π π
= = = + = +
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
2 2J π
= +
Xét J=
0 xcos2xdx
π ∫
Đặt ; os2xdx=dv v=sin2x
2
x=u⇒dx=du c ⇒
2 2
0 0
sin sin os2x
0
2
x x c
J x dx
π π π
= −∫ = = Vậy
2
I =π
Dạng 3) ∫ f x e dx( ) x Đặt f(x)=u; exdx=dv Ví dụ 1) I =∫x e2 2x+1dx
Đặt 2 ; 1
2
x x
x =u⇒du= xdx e +dx=dv⇒v= e +
2
2 2
2
x x
x
e e
I x xe dx x J
+ +
+
= −∫ = −
Xét J =∫xe2x+1dx Đặt ; 1 2
x x
x=u e +dx=dv⇒v= e + Ta có
2
2
1
2 2
x x
x x
e e
J x e dx x e
+ +
+ +
= − ∫ = − 2
2 x
x e I
+
⇒ = −
2
2 1
2
x
x
e
x e
+
+ + Dạng 4) ∫s inxe dxx ∫cosxe dxx đặt sinx=u, cosx=u ex=u Ví dụ 1) Tính tích phân sau I =∫sin ex xdx
Đặt x
sin 2x=u⇒du=2 os2xdx;ec dx=dv⇒v=ex
Ta có I =∫sin ex xdx=sin 2x.ex−2∫cos2x.exdx=sin 2x.ex −2J Với J =∫cos2x.exdx
Xét J =∫cos2x.exdx Đặt os2x=uc ⇒du=-2sin2xdx e dx; x =dv⇒v=ex
Ta có J =∫cos2x.exdx=cos2x.ex +2 sin ∫ x e dxx =cos2x.ex +2I
Từ ta có
x x x
sin os2x.e sin os2x.e sin os2x.e
5
x x x
I = x e − c − I⇒ I = x e − c ⇒I = x e − c
Ví dụ 2) Tính tích phân sau 2 os
x
I c x e dx
π
(16)Ta có 2 2 x
0 0
1 os2x 1 1
os os2x.e
2 2 2
x c x x x
I c x e dx e dx e dx c dx e J
π π + π π π
= = = + = +
∫ ∫ ∫ ∫
Xét x
0 os2xe
J c dx
π
=∫ Đặt os2x=uc ⇒du=-2sin2xdx e dx; x =dv⇒v=ex
x 2
0
os2x.e sin x
J c x e dx e K
π π π
= + ∫ = − − +
Xét
0 sin x
K x e dx
π
=∫ Đặt sin 2x=u⇒du=2 os2xdx;ec xdx=dv⇒v=ex
Ta có
x
2
0 0
sin x os2x.e
K x e c dx J
π π
= − ∫ = −
2 1 4 5 1 1
5
J e J J e J e
π π π
⇒ = − − − ⇒ = − − ⇒ = − −
Từ ta có 1
2 10
I e
π
= − +
2 1 e
π
− −
Phụ lục:
Tính số tích phân lượng giác bản:
2
1 s inx s inxdx 1 1 osx-1
( osx)= ln
s inx sin 1-cos osx-1 osx+1 cosx+1
c
I dx dx d c C
x x c c
= = = = − +
∫ ∫ ∫ ∫
2
1 osx osx 1 1 s inx-1
(s inx)= ln
osx cos 1-sin s inx-1 s inx+1 sinx+1
c c
J dx dx dx d C
c x x
= = = = − − − +
∫ ∫ ∫ ∫
sinx ( osx)
t anxdx= ln osx
cosx osx
d c
K dx c C
c
=∫ ∫ = −∫ = − +
2
2
1 os
tan ( 1) t anx-x+C
os os
c x
L xdx dx dx
c x c x
−
=∫ =∫ =∫ − =
( ) ( )
3 2
tan [ tan t anx-tanx]dx= tan t anx t anxdx
M =∫ xdx=∫ x+ ∫ x+ dx−∫
2 d(cosx) tan
t anxd(tanx)+ ln osx
cosx
x
c C
=∫ ∫ = + +
1 1 1
os
s inx+cosx 2
2 sin os os
4 4
N dx dx d c x
x c x c x
π
π π π
= = = − +
+ + − + +
∫ ∫ ∫
os x+
1
ln 2
os x+
4 c
C c
π π
−
= +
+
(17)( )2
2
1 1
cot
2
s inx+cosx 2 sin
4
P dx dx x C
x
π π
= = = − + +
+
∫ ∫
2
os x+ sin
3
1 1
2 2
s inx+ osx
sin sin os x+
3 3
d c x
Q dx dx dx
c
x x c
π π
π π π
+
= = = =
+ + −
∫ ∫ ∫ ∫
os x+
1
ln
os x+
3 c
C c
π π
−
= +
+
ĐỀ THI ĐẠI HỌC PHẦN TÍCH PHÂN Thi chung Năm 2010
Khối A: Tính tích phân
2
1
2
x x
x
x e x e
dx e
+ + +
∫
Khối B:Tính tích phân
( )2
1 ln ln
e x
dx
x + x
∫
Khối D: Tính tích phân
3
2 ln
e
x xdx
x
−
∫
Thi chung Năm 2009
Khối A: Tính tích phân 2( ) cos x osc xdx
π
−
∫
Khối B:Tính tích phân
( )
3
2
3 ln
x dx x +
+
∫
Khối D: Tính tích phân x 1
dx e −
∫
Thi chung Năm 2008:
Khối A: Tính tích phân dx x x
∫6
0 cos tan
π
Khối B: Tính tích phân
( )
∫ + + +
−
0sin2 21 sin cos sin
π π
dx x x
x
x
Khối D: Tính tích phân ∫
3 ln
dx x
x Thi Chung Năm 2007:
(18)( )e x
y= +1 ; y=( )1+ex x
Khối B: Cho hình phẳng H giới hạn ñường
e x y x x
y = ln , =0, = Tính thể tích khối trịn tạo thành quay hình H quanh trục Ox
Khối D: =∫ e
xdx x
I
2
ln Thi Chung năm 2006:
Khối A: ∫
+ =
0
2
sin cos
2 sin
π
dx x x
x I
Khối B: ∫
− +
= −
5 ln
3
ln
x x
e e
dx I
Khối D: =∫( − )
0
2 2e dx x
I x
Thi chung năm 2005: Khối A: ∫
+ + =
0 3cos sin sin
π
dx x
x x
I
Khối B: ∫ + =
0 cos cos sin
π
dx x
x x I
Khối D: =∫( + )
0 sin
cos cos
π
xdx x
e
I x
Thi chung năm 2004: Khối A: ∫
− + =
2
11
dx x x I
Khối B: =∫ + e
dx x
x x I
1
ln ln
Khối D: =∫ ( − )
2
ln x xdx I
Thi chung năm 2003: Khối A: ∫
+ =
3
5
4
x x
dx I
Khối B: ∫ + − =
0
2 sin
sin
π
dx x
(19)Khối D: =∫ −
2 dx x x I Thi chung năm 2002:
Khối A: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường
4 − +
= x x
y , y =x+3
Khối B: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường
4
x
y = −
2
2
x y=
Khối D: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường cong
1
− − − =
x x
y hai trục toạ ñộ Tốt nghiệp: Tìm nguyên hàm F(x) hàm số
( )
1
1 3
2
+ +
− + + =
x x
x x x x f
Thi năm 2001 -> 1997 1. An Giang 2. An Ninh
[1997-A]: ∫ + =π
0
2 cos
sin dx x x x
I [1998-A] =∫( + )
2
3
sin cos
π
dx x x
I
[2001-A] ∫ +
= dx
x x I
3
1 3. Bách khoa
[1997-A] =∫
2 tan
π
xdx x
I
[1998-B]
1.Tính diện tích hình phẳng giới hạn parabol (P) có phương trình
4 − + =x x
y hai tiếp tuyến (P) kẻ hai ñiểm A(1;2) B(4;5)
2 =∫ ( + )
2
4
cos sin
2 cos
π
dx x x
x I
[1999-A] Tìm họ nguyên hàm g( )x =sinxsin2xcos5x
[2000-A]
1.Tìm họ nguyên hàm ( )
x x
x g
cos sin
2
− + = Tính tích phân ∫
+ =
2 ln
0
1 dx e
e I
x x
(20)4. Phân viện báo chí tuyên truyền [1998-A] =∫( )
e
dx x x I
1
2
ln [1999-A] =∫ +
e
dx x
x x
I
3
ln ln
5. Cảnh sát
[2001-A] Tính diện tích phần mặt phẳng giới hạn ñường
1
0 =
= x
x , trục ox ñường cong
4 x
x y
− = 6. Cần thơ
[1998-B] ∫
+ =
1
3 1dx x
x
I ∫
+ =
1
3 cos
cos dx x
x I
[1998-D] ∫ + + =
0
1
dx x x
I [2000-D] ∫
+ =
0
4
cos sin
4 sin
π
dx x x
x I
7. Học viện cơng nghệ bưu viễn Thơng
[1998-A] ∫ + =
0
2 cos
cos sin
π
dx x
x x
I [1999-A] ∫
− + =
1
4
1 dx
x
I x
[2000-A] Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường
3 sin
1 x
I = − ;
π x I =1+12 ;
2 π = x
[2001] Tính diện tích hình phẳng giới hạn ñường x
xe
y = ;y=0;x=−1;x=2 8.Dược
[2001-A] = ∫ 10
2 lg xdx x
I 8. Đà Lạt
[2000-D] =∫ x
x
xdx e
I
sin 9. Đà Nẵng
[1997-A] ∫
+ + =
7
2 x dx
I [1997-B] ∫
+ =
3 ln
0
x e
dx I
[1997-D] Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường cong có phương trình
( )x x x
f
y = = −2 y=g( )x = x
[1998-A] ∫ + =
0 cos2 cos
π
dx x x I
[1998-B] ∫ + =
0
sin
cos
π
(21)11.Giao thông
[1997-A]
( )
∫
− + + +
=
0
5
3
1
1
2 sin
5 dx
x x
x
I x
[98-A] ∫ + + =
7
0
1
1
dx x x
I ∫
−
− =
2
2 10 sin x dx
I
x
π [1999-A] ∫
− − =
1 1
4 x dx
x I
[2000-A] ∫ − −
+ =
2
2 sin
cos
π
π
dx x x x
I
[2001-A]
( )
∫ +−
=
3 sin cos
sin cos
π
dx x x
x x
I
12 Học viện hành quốc gia [2001-A] =∫ −
1
2
1 x dx x
I 14 Huế
[1998-D] =∫
2 ln
dx x
x I
[2000-A] Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường
=
x ;x=e;y=0;
x x y= 1+ln
14 Kinh tế quốc dân [1997-A] =∫ ( − )
1
6
1 x dx x
I
[1998-D] Cho miền D ñược giới hạn hai ñường x2 +y−5;x+ y−3 Tính thể tích khối trịn xoay tạo nên quay miền D xung quanh trục hoành
[1999-A] ( )
1 2
1 − + + + =
x x
tgx x f
15 Kiến trúc
[1997-A] Cho ñường congy2 =2x đường thẳngx−2y+2=0.Tính diện tích hình phẳng giới hạn hai ñường trục Ox
[1999-A] =∫
3 sin
cos sin
π
xdx x
e
(22)[2001-A]
( )
∫
=
3 sin
π
dx x I
16 Học viện kỹ thuật quân
[1997-A] =∫ −
2
3
3
3
cot sin
sin sin
π
π
gxdx x
x x I
[1998-A] ∫
− + + + =
11 x x2 dx I
[2000-A] Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường x
y 2
sin
= ;
x
y 2
cos
= ;
6 π =
x ;
3 π = x [2001-A]
( )
∫
+ − =
b
dx x a
x a I
0
2
2
17 Luật HN
[1998-A]Tính diện tích hình phẳng giới hạn ñường y= x ; y=2−x2
[1999-A] Chứng minh ( ) ( 0)
1
1
cot
2
2 + + >
+
= ∫ ∫ tga
x x
dx dx
x x I
taga
e
ga
e 18 Luật TPHCM
[2001-A] =∫ −
0
3
1 x dx x
I 19 Mỏ- Địa Chất
[1998-A] Trên mặt phẳng toạ ñộ chuẩn Oxy, D miền ñươợ giới hạn đường thẳng có phương trình
x y = ;
27
x
y= ;
x
y = 27Tính diện tích D
[2000-A] = ∫ + −
3
6
2
2 cot
π π
dx x g x
tg I
[2001-A ] ∫
− +
+ =
4
6
1
cos sin
π π
dx x x
I x
20 Học viện Ngân hàng [1998-D] =∫
π
0
2 cos sinx xdx x
I
[1999-D] ∫
+
= dx
x x
x I
cos sin
cos2
(23)[1998-D] = ∫ 2 2 cos cos π xdx x
I = ∫
2 2 cos sin π xdx x I
1 Tính I+J I – J Tính I J 22 Ngoại ngữ HN
[1997-D] ( ) ∫ + = e e dx x x I ln
[1998-D] Tính = ∫ 2 cos cos π xdx x I
[1999-D] ∫ + + = 3 dx x x I
[2001-D] =∫( − − )
0
2
1 x x dx
I
23 Ngoại thương HN [1998-A] ( )
x x x x f − − = [1999-A] ( ) ∫ + + = 2 3x x dx I [2000-A] ( ) ∫ + + = cos sin cos π dx x x x
I [01-A] ∫
+ = 6 cos sin sin π dx x x x I
24 Ngoại thương TPHCM [2001-A] ( )
x gx x f 9 sin cot + = 25 Nông nghiệp I
[1997-A] =∫( − − )
π 2 cos cos sin sin
2 x x x xdx
I [1998-A] Tính ∫
+ + + = cos sin cos sin π π dx x x x x
I ; ∫( )
+ + = 2 1 dx e e I x x
2 Tính diện tích hình phẳng giới hạn
ln x x
y = ;y=0;x=1;x=e
3 Chứng minh ≤∫ − ≤ 2 2 e dx e e x x
4 Tính thể tích hình tròn xoay quay phần mặt phẳng bị giới hạn ñường cong
x
(24)[1999-A] Cho D miền bị giới hạn ñường cong 2
1 x y
+
=
2
x y =
1 Tính diện tích miền D
2 Tính thể tích vật thể trịng xoay tạo thành cho D quay quanh trục Ox [2000-A]
( )
∫ +
=
3 x x
dx I
[2001-A] = ∫
4
6 sin cos
π π
dx x x I
26 Nông Lâm TPHCM [2001-A] = ∫
2
2 sin cos
π
xdx x
I
Chứng minh ∫ = ∫
2
5
0
6 sin sin cos
cos cos
π π
xdx x
x xdx
x tính
∫
=
5
7 cos cos
π
xdx x
I
27 Học viện quan hệ quốc Tế
[1997-A] Tính nguyên hàm f( )x =(sin4 x+cos4 x)(.sin6 x+cos6 x)
[1998-A] Tính nguyên hàm f( )x =sin3 x.cos3x+cos3xsin3x
[2000-A] Tính nguyên hàm ( )
x x x
f
sin cos = 28 Học viện quân y
29 Quốc gia HN
[1997-A] ∫ + =
0
2 cos
sin
π
dx x x
I [1997-A] ∫
+ + =1
0 x x
dx I
[1997-D] ∫ − =1
0 2 x dx
x
I [1998-A] ∫
+ =1
0
x e
dx I
[1998-B] Tìm số A B để hàm số f( )x = Asinπx+B Thoả mãn ñồn thời ñiều kiện f′( )1 =2 ( )
2
=
∫ f x dx [1998-D] ∫
+ =
1
2 1dx x
x I
(25)[1999-D] Tìm họ nguyên hàm ∫ − −
= x x
e e
dx I
4 [2000-A] Tìm họ nguyên hàm ( ) (
)
x x x
f
2 sin
sin + = [2000-D] Tìm họ nguyên hàm ( )
+ =
4 cos cos
1 π x x x
f
[2001-A] Tìm họ nguyên hàm ∫( )( )
+ − +
+
−
= dx
x x x x
x I
1
1 2
2
[2001-B] ∫
+
+
= tg x g x dx
I
6 cot
3
π π
30 Quốc gia TPHCM [1997-A] ∫
− =
1
0
4 1dx
x x I
[1998-A] ∫ + =1
0
dx x x
I ; = ∫
2
3
cos sin
π
xdx x
J
[1999-A] Cho số nguyên dương p q Tính = ∫
π
2
cos cospx qxdx
I hai
trường hợp p = q p khác q
[2000-A] Cho D miền kín giới hạn đường x
y = ;y=2−x;y=0 Tính diện tích miền
2 Tính vật thể trịn xoay quay D quanh trục Oy [2001-A] Đặt ∫
+ =
0
2 cos sin
sin
π
dx x x
x
I ∫
+ =
0
2 cos sin
cos
π
dx x x
x J
1 Tính I – 3J tính I + J
2 Từ kết trên, tính giá trị J, J ∫
− =
5
2
3 cos 3sin cos
π
π x x
xdx K
31 Sư Phạm I Hà Nội [1999-D] =∫
π
0
sin xdx x
I
[2000-A] Tính diện tích hình phẳng giới hạn ñường y= x2 −1
+ = x
y mặt phẳng toạ ñộ XoY [2000-B] =∫ −
a
dx x a x I
0
(26)[2001-B] =∫ −
0
2
1 x dx x
I
32 Sư Phạm II Hà Nội
[1999-A] Trong mặt phẳng với hệ toạ ñộ trực chuẩn Oxy, cho hình giới hạn ñường thẳng y= x;y= x;x=5 Tính thể tích khối trịn tạo thành quay hình phẳng D quanh trục Ox
[2000-A] =∫( + − )
2
4 10
10
sin cos sin
cos
π
dx x x x
x I
[2001-A] Tính thể tích khối trịn xoay tạo thành quay xung quanh trục Oy hình phẳng giới hạn nửa đường trịn (x−a)2 + y2 =b2 với 0<b<a 33 Sư Phạm Hải Phòng
[2001-B] =∫ ( + )
0 log
π
dx tgx I
34 Sư Phạm Quy nhơn 35 Sư Phạm TPHCM
[2000-A] ∫
+ +
+ =
0
6
11
π
dx x x
x
I =∫
π
0 cos xdx J
[2001-D]
( )
∫ +
=
2 cos sin
π
x x
dx I
36 Sư Phạm Vinh
[1998-D] Chứng minh ∫ −
≤ ≤
1
4
1 x3dx Tính ∫
+ + =
3
2
1 2t dt t
t I
[1999-A] ∫ + + =
2
4 1
dx x x
I [1999-B] =∫ +
1
2 1dx x I
[2000-D] ∫
+ + =
0
2
dx x x
x I
[2001-A] ∫ ( )
+ +
= +
0
cos cos
sin ln
π
dx x x I
x
2
sin os
x x
J dx
c x
π
π − = ∫
[2001-D] =∫ −
2 sin
π
dx x I
(27)∫
− =
2
0
2
dx x x I
38 Thái Nguyên [1997-D] ∫
+ − =
2
4 1
dx x x
I [2000-D] ∫( )
−
+ =
1
2 sin
2
dx x e x e
I x x
39 Thương Mại [1997-A] ∫
+ =
0
3
3
dx x x
I ; ∫
+ − =ln2
0 1
dx e e
I x
x
[1998-A]
1.Tìm họ nguyên hàm hàm số f( )x =tg4x
2.Tính tích phân ∫ + =
2 ln
0
x e
dx I
[1999-A]
( )
∫ +
=
2 x x
dx
I
2 tính diện tích hình phẳng giới hạn ñường x=1; x=2; y=0
x x y= −2
[2000-A]
( )
∫ +
=
3 cos sin
sin
π
dx x x
x I
40 Thuỷ Lợi [1997-A]
1 =∫ +
π
0
2 cos
1 xdx
I
2 Vẽ tính diện tích hình phẳng giới hạn y=4−x2 y =x2 −2x
[1998-A] Tính diện tích hình phẳng giới hạn ñường cong
4 x
y= ; y x 3x
1 + − = 41 Văn hoá
[2001-D] ∫
+ =
0sin2 cos2 cos sin
π
dx x x
x x I
42 Xây dựng [2001-A] ∫
− − − =
1
2
12dx x
x x I
(28)1 (x x ) C x
dx
I = + + +
+
=∫ ln
3
2
2 Tìm F( )x =∫ x +3dx
2
2 = ∫
2 sin
π
π x
dx I
[2000-B] Tính tích phân sau cách thêm bớt vào tử số
∫
+ − =
1
2 12 7x x
dx x I
2 =∫
4
π
π
xdx tg I
[2001-B]
1 = ∫ −
3
2 1dx
x I
2 Tính diện tích hình phẳng giới hạn ñường
x y = ;
8
x y= ;
x y= 27 44 Y Thái Bình
[1997-B]
f( )x = ex +e−x−2 =∫ +
2 1dx x I
[2000-B] ∫
− − =
1
x x
dx
I ∫
− =
0
2 cos
π
x dx I
45 Y - Dược TPHCM [1997-B] =∫ −
1
1 xdx x
I
[1998-B] < ∫ <
4
2 sin
4
π π
dx x
x
[2001-B] Gọi (D) miền ñược giới hạn ñường y=−3x+10; y=1;
x
y = ; x>0 D nằm ngồi parabol y =x2 Tính vật thể trịn xoay tạo nên quay (D) xung quanh trục Ox
(29)ĐÁP SỐ TP KIÊN A.2010
1 1
ln
3
e
I = + +
B 2010) ln3
3
I = − + D 2010)
2
e
I = −
A 2009) 15 I = −π B 2009)
3 27 ln 4 16 I = +
D 2009)
( )
ln
I = e + + −e
A 2008)
( )
1 10
ln
2
I = + −
B 2008) 4
I = −
D 2008) ln 16 I = − A 2007)
2 e S = − B 2007)
( )
5
27
e
V =π −
D 2007)
4
5
32
e
I = −
A 2006) I = B 2006) ln3
2 I = D.2006)
2
4
e I = −
A 2005) 34 27 I =
B 2005) I =2 ln 1− D 2005)
4 I = + −e π
A 2004) 11 ln
I = − B 2004) 116
135 I =
D 2004) I =3ln 2− A 2003) 1ln5
4
I = B 2003) 1ln
2 I = D 2003) I =1 A 2002) 109
6 I =
B 2002) S = π + D 2002) ln4
3 S = − + Bách khoa: 1997)
2
ln
4 32
I = −π −π
1998)
S = ; I =0 1999) I =0
2000) 2
I =
2001) 13
S = π+
Báo chí tuyên truyền 1997)
27 27
I = e − 1998) 3( )
2
I = −
Cảnh sát: 2001)
2 S =π Cần thơ 1998) B,
5 ln
I = − ,
4 I = π − D) 106
15 I =
2000) I =ln
Học viện Bưu viễn thơng:
1998) 1ln 2 I = − 1999)
5 I =
2000) 2 S = π − 2001) S e2
e = + − Đại học Dược 2001)
1 99
50 50
ln10 ln10
I = − −
Đại học Đà nẵng: 1997)
A: I = −2 ln 2 ln 3+ B: 1ln9
2
I = D:
2 S = 1998) A:
4 I =π
Đại học giao thông 1997)
(3 )
4
1 11
5 cot
3ln 18
1 5
ln sin1
4 16
I = − − +
+ −
1998) Giao thông
1
46 36
;
15 10 ln10
I = I =
1999) I = 2000) 1ln
2 I = 2001)
(30)Đại học kinh tế quốc dân
1997) 168 I = 1998) 1531
5
V = π
Đại học kiến trúc 1997)
3 S = 1999)
2 e I = − 2001) I =3π−6 Học viện kỹ thuật Quân sự:
1997)
1
I = −
1998) I =1
2000)
S = −
2001) I b 2 (a 0) a b
= >
+ Luật Hà Nội 1998)
3 S = 1999) I =1 Mỏ Địa Chất: 1998) S =27 ln 2000) ln
3
I =
2001) 32 I = π
Học viện Ngân Hàng: 1998)
3 I =π 1999)
1 ln tan
8
1
cos
2
x I
x C
π π
= +
− + +
Học viện Ngân Hàng TP Hồ Chí Minh: 1998)
2 I = =J π Ngoại ngữ Hà Nội: 1997) I =0
1998) I =0 1999) 46
15 I = 2001) 11
30 I =
Ngoại thương Hà Nội 1998)
2
2
ln
2
2 ln
x
I x
x C
= − −
+ +
1999)
4 ln 2 ln 3
I = − +
2000)
( )3
8
27 2 2
I = − +
+ 2001) 2ln1
3
I = −
Ngoaị thương TPHCM 2001)
9
1 sin
ln sin
x
I C
x
= +
+
Nông nghiệp I Hà Nội 1997)
2 I =π 1998) 1)
1; arctan
I = I = − + +π e 2) S
e = − 4)
10 V = π
1999)
; S = −π
2
4
V =π + π
2000) 1ln4
3
I =
2001) 23 12 I = π − Đại học Quốc gia TPHCM
2001)
3
ln
16
1
ln
16
I
J
−
= −
−
= +
Sư Phạm TPHCM 2000) ln9;
2
I = J = π 2001)
6 I = Sư phạm Vinh 1998) 3ln
4 − 1999)
A. arctan
2 2
I =
B
( )
1
2 ln 2
I = + + 2000)
( )
4
2 ln 1; ln 3
I = − J = π − +
Sư phạm Vinh 2001D)
2 2
2
I = −
Đại học Thương Mại 1997) 141; ln8
20
(31)1998)
tan tan
1 12 ln
5
I x x x C
I
= − + +
=
1999) ln ;5
4