Lý thuyết và bài tập về Phương trình elip Toán 10

- HOC247 NET: Website hoc miễn phí các bài học theo chƣơng trình SGK từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễ[r]

Trang |

LÝ THUYẾT VÀ BÀI TẬP VỀ PHƢƠNG TRÌNH ELIP TỐN 10

I Lý thuyết 1 Định nghĩa

Elip tập hợp tất điểm thuộc mặt phẳng tổng khoảng cách tới hai điểm cố định số dương không đổi 2a

Khi đó:

+ F , F1 2 gọi tiêu điểm elip

+ F F1 2 2c 0  c a gọi tiêu cự elip + Tỉ số e c

a

  gọi tâm sai

Ví dụ 1: Cho đường tròn  C 1  C2 thỏa mãn  C2 qua tâm  C Tập hợp tâm đường trịn tiếp xúc ngồi với  C2 tiếp xúc với  C 1

A. đường thẳng B. đường tròn

C. đường parabol D. đường elip

Lời giải

+ Gọi đường tròn tiếp xúc với  C2 tiếp xúc với  C 1  Cm có tâm M bán kính R

 C có tâm I1 bán kính R1  C2 có tâm I bán kính R

+ Do  Cm tiếp xúc với  C1 MI1R1R  Cm tiếp xúc với  C2 MI2 R2R

 

1 2

MI MI R R *

   

Do    C , C cố định nên 1 2 I , I cố định R1R2 2a0 số không đổi nên  *  Tổng khoảng

cách từ M đến điểm cố định I , I số dương không đổi 2aR1R2  Tập hợp M đường elip (tiêu điểm I , I ) 1 2

Đáp án D

Trang | + Trong mặt phẳng Oxy, cho F1c;0 , F c;0  2 độ dài không đổi 2a với a  c M x; y  thỏa

mãn MF1MF2 2a ta

 

2

cx MF a

a cx MF a

a

  

 

  



gọi bán kính qua tiêu điểm M

+ Từ MF1 a cx x c2 y2 a cx a2 c2x2 a x2 a2 c2a2

a a

           

Đặt  

2

2 2 2 2 2

2

x y

b a c b x a y a b

a b

        

Phương trình (2) gọi phương trình tắc elip có: + Tiêu điểm F1c;0 ; F c;0  2

+ Tiêu cự F F1 2c c1 2

+ Tâm sai e c a



Lƣu ý: (1) chứng minh sách giáo khoa Hình học lớp 10 nâng cao

Ví dụ 2: Cho  

2

x y

E :

2516  Một tiêu điểm (E) có tọa độ

A. F 3;0 1  B F 0; 31   C. F13;0 D. F 0;5 1 

Lời giải

Ta có c2 a2b2 25 16    9 c F13;0

Đáp án C Ví dụ 3: Cho  

2

x y

E :

2516  Có điểm M E cho MF1 2MF2

A. B 1 C. D.

Lời giải

Gọi M x; y    E

Ta có a 5; b 4; c MF1 a cx 3x; MF2 a cx 3x

a a

           

2

2

1

25

3x 3x 25 y 14

MF 2MF 5 x y

5 25 16

   

   

Trang | Vậy có điểm M thỏa mãn

Đáp án C

3 Dạng elip

- Tính đối xứng:

Cho          

2

2

2

0

0

1 0

2 2 2

x y

x y

x y

E : M x ; y E 1

a b a b a b

 

         

   

2 0 0

M x ; y , M x ; y M4x ; y0 0 thuộc (E)

(E) đối xứng qua hai trục tọa độ gốc tọa độ để chứng minh tính chất (E) ta có quyền giả sử x, y số không âm

- Giao điểm với trục:

  22 22

x y

E :

a b  cắt Ox A1a;0 , A 2 a;0 cắt Oy B 0; b , B 0; b1   2 

A A 2a

  trục lớn (E)

B B 2b trục nhỏ (E)

- Hình chữ nhật sở hình chữ nhật ABCD với Aa; b , B a; b , C a; b , D       a; b  Diện tích hình chữ nhật sở SABCD2a.2b4ab

Ví dụ 4: (E) có tiêu điểm F2;0 đỉnh A 5;0 có phương trình  

A.

2

x y 25  B

2

x y

1

2521 C.

2

x y

1

4 25 D.

2

x y

1 2125

Lời giải

Gọi elip cần tìm  

2

2

x y

E :

a b  với 2 a, b, c

b a c

 



 



Tiêu điểm F2;0 c Đỉnh A 5;0  a

Có  

2

2 2 x y

b a c 25 21 E :

25 21

       

Đáp án B Lƣu ý: Với bạn giải cách thử phương án tìm tiêu điểm đỉnh kiểm tra lại với giả thiết kết luận

Ví dụ 5: Elip có phương trình  

2

2

x y

E :

a b  biết (E) có tâm sai

Trang | 20 Khi giá trị a 2b

A. 35 B – C. D.

Lời giải

Ta có  

2

2

x y

E :

a b  với 2 2  a, b, c

b a c

 

   

Tâm sai (E) c c 5a 2 

3  a  

Chu vi hình chữ nhật sở 20 2 2a 2b20     a b b a 3 

Thế (2), (3) vào (1) 5 a2 a2 5a2 a a 15

 

     





- Với a  3 b thỏa mãn  a 2b27 (đáp án C) - Với a15  b 10 (loại) a, b, c0

Đáp án C

II Bài tập

Bài 1: Trong mặt phẳng Oxy, elip (E) có tiêu cự 12 tâm sai e

 Cho mệnh đề sau:

(1) (E) có tiêu điểm F18;0 F 8;0 2  (2) (E) có độ dài trục nhỏ 16

(3) (E) có đỉnh A210;0

Trong mệnh đề trên, mệnh đề sai?

A (1) (2) B (2) (3) C. (1), (2) (3) D. (1) (3)

Lời giải

(E) có tiêu cự 12 2c 12  c Tâm sai e c a 10 b

a

     

Vậy mệnh đề (1), (3) mệnh đề sai

Đáp án D Bài 2: Trong mặt phẳng Oxy, elip  

2

x y

E :

8149 Tìm khẳng định đúng?

Trang |

B (E) có dộ dài trục bé

C. (E) có dộ dài trục lớn 18

D. (E) có diện tích hình chữ nhật sở 63

Lời giải

  x2 y2 2

E : a 9; b c a b

8149        

Độ dài trục lớn 2a 18

Đáp án C Bài 3: Tìm phương trình tắc elip có tâm sai e

3

 hình chữ nhật sở có chu vi 20

A

2

x y   B

2

x y

0

9   C.

2

x y

1

9   D.

2

x y

1  

Lời giải

Gọi phương trình tắc elip    

2

2

x y

E : a, b

a b  

Tâm sai e c  1

3 a

  

Hình chữ nhật sở có chu vi 20 2 2a 2b20 2  Có c2 a2b2  3

Từ        

2

a

x y

1 , , b E :

9

c

  

      



Đáp án C Bài 4: Trong mặt phẳng Oxy, cho elip (E) có độ dài trục nhỏ 8, tâm sai e

5

 Khi hình chữ nhật sở có diện tích bằng:

A 20 (đvdt) B 80 (đvdt) C. 18 (đvdt) D. 36 (đvdt)

Lời giải

Độ dài trục nhỏ 2b  8 b Tâm sai e c c 3a

5 a 5

Trang | Có

 

2

2 2 a

a c b a a 16

a loai                 

Diện tích hình chữ nhật sở là: S2a.2b2.5.2.480(đvdt)

Đáp án B Bài 5: Tìm phương trình elip qua hai điểm M  3;3 , N 3 3;1

A. 2

30x 10y 1 B.

2

x y

1 3010 

C.

2

x y

3010  D.

2

x y

0 3010 

Lời giải

Giả sử    

2

2

x y

E : a, b

a b  

Vì M, N E nên ta có hệ    

2 2

2

2

2

3

a 30 x y

a b

I : E :

27 b 10 30 10

1 a b                   

Đáp án B Bài 6: Trong mặt phẳng Oxy, cho elip  

2

x y

E :

16  Điểm M E thỏa mãn bán kính qua tiêu điểm trái lần bán kính qua tiêu điểm phải Điểm M thuộc cung phần tư thứ mấy?

A I III B I II C. I IV D. II III

Lời giải

(E) có a4; b2 2; c2  E

 có hai tiêu điểm F12 2; 0 F 2;0 2  Giả sử M x; y    E điểm cần tìm

Khi  

2

1

3a 3a 3.4 12 MF 4MF a ex a ex

5e 5c 5.2

        

Vì  

2

2 x 18 56 14

M E y 8 y y

16 25 25

    

           

 

 

Trang |

1

12 2 14 12 2 14

M ; ; M ;

5 5

    

   

   

   

Đáp án C Bài 7: Trong mặt phẳng Oxy, cho elip  

2

x y

E :

10025  Tìm M E cho

0

F MF 120 (F , F1 2 hai tiêu điểm elip)?

A M 0;5   B M 0; 5  

C. M 5;0 1  M25;0 D. Cả A B

Lời giải

(E) có a10; b  5 c  E

 có hai tiêu điểm F15 3;0 ; F 3;0 2  Giả sử M x; y    E

Có MF1 10 3x; MF2 10 3x

2

   

Có F F1 22 MF12MF222.MF MF cos F MF1 2 1 2

 2 2

0

3 3

10 10 x 10 x 10 x 10 x cos120

2 2

      

            

      

2 2

3 3

300 100 x 10 3x 100 x 10 3x 100 x

4 4

                  

x y

    

   

1

M 0;5 ; M 0;

 

Đáp án D Bài 8: Trong mặt phẳng Oxy, cho hình thoi ABCD có AC2BD đường trịn tiếp xúc với cạnh hình thoi có phương trình 2

x y 4 Viết phương trình tắc elip (E) qua đỉnh A, B, C, D hình thoi Biết AOx

A x2 4y2 20 B

2

x y

1

2025 C.

2

x y

1

20  D.

2

x y

1 20 

Lời giải

Giả sử    

2

2

x y

E : a b

Trang | Hình thoi ABCD có

 

AC 2BD

OA 2OB

A, B, C, D E



  

 



Giả sử A a;0   B 0;a

     

H hình chiếu vng góc O AB

 OH bán kính đường trịn  C : x2y2  4 OH2 Ta có: 2 12 12 12 12 a2 20

OH OA OB a a  4 

Có

2

2 2 OA

OA 20 OB b

4

    

Vậy phương trình tắc  

2

x y

E :

20 

Trang | Website HOC247 cung cấp môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thơng minh, nội dung giảng biên soạn công phu giảng dạy giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, giỏi kiến thức chuyên môn lẫn kỹ sƣ phạm đến từ trường Đại học trường chuyên danh tiếng

I. Luyện Thi Online

- Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ Trường ĐH THPT danh tiếng xây dựng khóa luyện thi THPTQG các mơn: Tốn, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học Sinh Học

- Luyện thi vào lớp 10 chun Tốn: Ơn thi HSG lớp 9 luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An trường Chuyên khác TS.Trần Nam Dũng, TS Phạm Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo Thầy Nguyễn Đức Tấn

II. Khoá Học Nâng Cao HSG

- Toán Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Tốn Nâng Cao, Tốn Chun dành cho em HS THCS lớp 6, 7, 8, u thích mơn Tốn phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập trường đạt điểm tốt kỳ thi HSG

- Bồi dƣỡng HSG Tốn: Bồi dưỡng phân mơn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học và Tổ Hợp

dành cho học sinh khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Phạm Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn đơi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia

III. Kênh học tập miễn phí

- HOC247 NET: Website hoc miễn phí học theo chƣơng trình SGK từ lớp đến lớp 12 tất môn học với nội dung giảng chi tiết, sửa tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham khảo phong phú cộng đồng hỏi đáp sôi động

- HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp Video giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa tập, sửa đề thi miễn phí từ lớp đến lớp 12 tất mơn Tốn- Lý - Hố, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học Tiếng Anh

Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai

Học lúc, nơi, thiết bi – Tiết kiệm 90%

Học Toán Online Chuyên Gia