Đề thi chọn học sinh giỏi cấp trường môn Toán 8 năm 2017-2018 có đáp án – Trường THCS Quảng Phú

Tức là điều giả sử là sai.[r]

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG THCS QUẢNG PHÚ KÌ THI KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG Năm học 2017 - 2018 Mơn: Tốn

Ngày thi: 18 - 01 - 2018 Thời gian làm bài: 120 phút Bài (2,0 điểm)

Cho biểu thức:

2

2

x + x x +1 1 2 - x

P = : + +

x - 2x +1 x x -1 x - x

 

 

  (Với x ≠ x ≠ ±1) a) Rút gọn P;

b) Tìm x để P =

2

 Bài 2(2,0 điểm)

a) Phân tích đa thức x3

– 5x2 + 8x – thành nhân tử

b) Cho f(x) đa thức có hệ số nguyên Biết f(0) f(1) số lẻ, chứng minh đa thức f(x) khơng có nghiệm ngun

Bài (1,5 điểm)

a) Giải phƣơng trình sau:

15 1

1 12

3 4 3

x

x x x x

 

    

     

b) Tìm số nguyên x, y thỏa mãn: 2

x  x y 

Bài 4: ( 3,5 điểm )

Cho hình thang ABCD cóAD = 900, CD = 2AD = 2AB Gọi H hình chiếu D lên AC; M, P, Q lần lƣợt trung điểm CD, HC HD

a) Chứng minh tứ giác ABMD hình vng tam giác BCD tam giác vng cân

b) Chứng minh tứ giác DMPQ hình bình hành c) Chứng minh AQ vng góc với DP

d) Chứng minh SABCD 6SABC

Bài : (1 điểm)

a) Chứng minh bất đẳng thức sau : x y

y x ( với x,y dấu )

b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức :

2

2

x y x y

P

y x y x

 

     

PHÒNG GD & ĐT LƢƠNG TÀI

TRƯỜNG THCS QUẢNG PHÚ HƯỚNG DẪN CHẤM Mơn thi: Tốn- Lớp

Bài (2,0 điểm)

1 (2,0)

   

2

1 ( 1)( 1)

) :

( 1) ( 1) ( 1)

1

x x x x x x

a P

x x x x x x

x

     

    

  

   Với x ≠ x ≠ ±1 0,25

   

2

2

1

:

( 1)

x x x x x

P

x x x

     



 0,5

   

   

2

2

1 1 ( 1)

:

( 1) 1

1

x x x x x x x x

P

x x x x

x x

   

   

  

  0.5

1 )

2

b P  

2

1

x x

 



2

2x x

   

2x x

   

0.25

2x 2x x

    

2x 1x 1

    0.25

x=1/2 ( thỏa mãn ĐKXĐ), x = -1 ( không thỏa mãn ĐKXĐ) Vậy với

2

x th P

ì  0.25

Bài (2,0 điểm)

2 (2 đ)

a) x3 – 5x2 + 8x – = = (x3 - x2 ) - (4x2 - 4x) + (4x - 4) = x2(x - 1) - 4x(x - 1) + 4(x - 1)

= (x - 1)(x2 - 4x + 4) = (x - 1)(x - 2)2

0,75 0,5 b) Giả sử x = a nghiệm nguyên f(x)

Khi f(x) = (x - a) Q(x), Q(x) đa thức có hệ số nguyên Vì f(0) = (- a).Q(0) (*); f(1) = (1 - a).Q(1) (**)

Vì f(0) số lẻ nên từ (*) suy a số lẻ Vì f(1) số lẻ nên từ (**) suy 1- a số lẻ Nghĩa a 1- a hai số lẻ, mâu thuẫn Tức điều giả sử sai

Vậy f(x) khơng có nghiệm ngun

Bài 3: (1,5 điểm)

3 (1,5)

a) ĐK: x1;x4

 

) ( ); (

0

4

3 4 15

2

2

loai x

tm x

x x

x x

x x x PT

  



  

       

Vậy phƣơng trình có nghiệm x =

0,25 0,25 0,25 a) Ta có

   

    

2

2 2

0 4 2

2 2 1 *

x x y x x y x y

x y x y

          

     

0,25

Vì x, y nguyên nên từ (*)

2 1

2 1

2 1

2 1

x y x

x y y

x y x

x y y

     

 

     

 

 

 

     

 

 

    

 

 

Vậy     x y;  0;0 ; 1;0 HS đưa  

1

x x y biên luận theo tích số nguyên liên tiếp là SCP

0,5

Bài 5: (3,5 điểm)

Phần Nội dung đáp án Điểm

Vẽ hình ghi đầy đủ GT-KL

0,5đ

a) 1đ

+/ Chứng minh cho tứ giác ABMD có cạnh

lại có A=900 nên ABMD hình vng 0,5 +/ BMD có BM đƣờng trung tuyến ứng với cạnh DC

BM =

2DCBMD vuông B

0,25 lại có BDM= 450  BMD vng cân B 0,25

b) 0,5đ

 tứ giác DMPQ hình bình hành 0,25

c) 0,5đ

Chứng minh Q trực tâm tam giác ADP 0,25 AQDP 0,25

d) 1đ

Chứng minh ABC = AMC (c.c.c)SABC SAMC 0,25

mà

AMC

1

S

2AD MC 4AD

  0,25

Lại có 2

2

ABCD ABMD BCM

S S S  AD  AD  AD 0,25

2

2

2 6 6

1 ABCD

ABCD ABC ABC

AD S

S S

S  AD    0,25

Bài (1 điểm

Ý Nội dung đáp án Điểm

a) Chứng minh đƣợc x y 2

y x với x,y dấu

0,5 đ b) Đặt x y

t

y x

  Đƣa đƣợc t2

– 3t + = (t-2) (t-1) +

Với x, y khác dấu t < => t-2 t-1 số âm  (t-2) (t-1) > => (t-2)(t-1) + >

Với x, y dấu t ≥ 2; => t-2 ≥ 0; t-1 >0  (t-2)(t-1) ≥

 (t-2) (t-1) + ≥

(t-2) ( t-1) đạt giá trị nhỏ t = hay x = y Vậy giá trị nhỏ biểu thức P x22 y22 x y

y x y x

 

     

  x = y

0,25

0,25