Câu 3: Tìm số nguyên tố có ba chữ số, biết rằng nếu viết số đó theo thứ tự ngược lại thì ta được một số là lập phương của một số tự nhiên.. Giải.[r]
(1)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang |
CÁC DẠNG BÀI TẬP NÂNG CAO VỀ SỐ NGUYÊN TỐ 1 Phương pháp giải
Phương pháp: Cách tìm chữ số tận • Các chữ số cuối 1n
• Các chữ số cuối 5n với n>0
• Các chữ số cuối 2n lặp lại theo chu kì 4k + 1, với k số tự nhiên = 0,3 , tức là: + n=4,8,…,4k+0 có chung chữ số cuối 6;
+ n=1,5,9,…,4k+1 có chung chữ số cuối 2; + n=2,6,10,…,4k+2 có chung chữ số cuối 4; + n=3,7,11,…,4k+3 có chung chữ số cuối 8;
• Các chữ số cuối 3n lặp lại theo chu kì 4k+1, với k số tự nhiên 1= 0,3 , tức là: + n=0,4,8,…,4k+0 có chung chữ số cuối 1;
+ n=1,5,9,…,4k+1 có chung chữ số cuối 3; + n=2,6,10,…,4k+2 có chung chữ số cuối 9; + n=3,7,11,…,4k+3 có chung chữ số cuối 7;
• Các chữ số cuối 7n lặp lại theo chu kì 4k+1, với k số tự nhiên 1= 0,3 , tức là: + n=0,4,8,…,4k+0 có chung chữ số cuối 1;
+ n=1,5,9,…,4k+1 có chung chữ số cuối 7; + n=2,6,10,…,4k+2 có chung chữ số cuối 9; + n=3,7,11,…,4k+3 có chung chữ số cuối 3;
• số có chữ số tận 0,1,5,6 nâng lên lũy thừa bậc chữ số tận khơng thay đổi
• số có chữ số tận 4,9 nâng lên lũy thừa bậc lẻ chữ số tận khơng thay đổi • số có chữ số tận 3,7,9 nâng lên lùy thừa bận 4n (n số tự nhiên) chữ số tận • số có chữ số tận 2,4,8 nâng lên lũy thừa bậc 4n (n số tự nhiên) chữ số tận
2 Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Chứng minh số sau hợp số: a) 27+311+513+717+1119
b) 1+2123+23124+25125
Hướng dẫn giải
a) Ta có: 27+311+513+717+1119 Theo quy ước ta có:
(2)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 1119 ln có chữ số tận
Ta có: 27+311+513+717+1119 có chữ số tận Suy 27+311+513+717+1119 chia hết cho
Vậy, hợp số
b) Ta có :1+2123+23124+25125 2123 có chữ số tận
23124 có chữ số tận ( số có chữ số tận nâng lên lũy thừa bậc 4n (n số tự nhiên) có chữ số tận Số cho có số mũ 124 = 4.31)
25125 ln có chữ số tận
Nên 1+2123+23124+25125 có chữ số tận suy 1+2123+23124+25125 chia hết cho vậy, hợp số
Ví dụ 2: Chứng minh ba số a, a+k, a+2k số nguyên tố lớn 3, k chia hết cho
Hướng dẫn giải:
Do a, a + k, a + 2k nguyên tố lớn nên số lẻ khơng chia hết cho • Vì a a + k lẻ nên a + k - a = k ⋮ (1)
• Vì a, a + k, a + 2k không chia hết chia cho hai số có số dư, đó: + Nếu a a + k có số dư, suy ra: (a+k) - a = k ⋮
+ Nếu a + k a + 2k có số dư, suy ra: (a+2k )- (a+k)= k ⋮ + Nếu a a + 2k có số dư, suy ra:
( a + 2k ) - a = 2k (2,3) = nên k Vậy, ta ln có k chia hết cho (2)
Từ (1),(2) (2,3)=1 ta suy k ⋮ 6, đpcm
Nhận xét: Trong lời giải trên, ta định hướng để chứng minh k ⋮ cần chứng minh k ⋮ k ⋮ đó:
• Việc chứng minh k ⋮ đánh giá thông qua nhận định a, a + k,a + 2k nguyên tố lẻ k đơn vị
• Việc chứng minh k ⋮ đánh giá thông qua nhận định “ba số lẻ khơng chia hết cho có hai số có số dư” hiệu hai số chia hết cho
Ví dụ 3: Ta biết có 25 số ngun tố nhỏ 100 Tổng 25 số nguyên tố số chẵn hay lẻ?
Hướng dẫn giải:
Ta thấy 25 số nguyên tố có số chẵn lại 24 số lẻ Tổng 24 số lẻ số chẵn nên tổng 25 số nguyên tố nhỏ 100 số chẵn
Ví dụ 4: Tổng ba số nguyên tố 1012 Tìm số nhỏ ba số nguyên tố
Hướng dẫn giải:
(3)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang |
3 Bài tập
Câu 1: Tìm bốn số nguyên tố liên tiếp, cho tổng chúng số nguyên tố
Giải
Tổng số nguyên tố số nguyên tố ⇒ tổng số nguyên tố số lẻ ⇒ số tồn số nguyên tố chẵn Mà số nguyên tố chẵn Vậy số nguyên tố cần tìm là: 2; 3; 5;
Câu 2: Tổng hai số nguyên tố 2003 khơng?
Giải
Vì tổng số nguyên tố 2003, nên số nguyên tố tồn số nguyên tố chẵn Mà số nguyên tố chẵn Do số nguyên tố lại 2001 Do 2001 chia hết cho 2001 > Suy 2001 số nguyên tố ⇒ Tổng hai số nguyên tố 2003
Câu 3: Tìm số ngun tố có ba chữ số, biết viết số theo thứ tự ngược lại ta số lập phương số tự nhiên
Giải
Gọi số tự nhiên a
Ta có 103 = 1000; 53 = 125 ⇒ 125 ≤ a < 1000 ⇒ ≤ a < 10 Ta có bảng sau:
a
a3 125 216 343 512 729
Số cần tìm 521 612 343 215 927
Kết luận TM loại loại loại loại
Vậy số cần tìm 521
Câu 4: Cho p số nguyên tố lớn Biết p + số nguyên tố Chứng minh p + chia hết cho
Giải
Vì p số nguyên tố lớn nên p có dạng 6k-1 6k+1nếu p=6k+1 p+2=6k+3=3(2k+1)chia hết cho lớn nên hợp số(vô lí) p=6k-1⇒p+1=6k chia hết cho 6(đpcm)
Câu 5: Một số nguyên tố p chia cho 42 có số dư r hợp số Tìm số dư r
Giải
Ta có:
p = 42.k + r = 2.3.7.k + r
Vì r hợp số r < 42 nên r phải tích số r = x.y
x y 2, 3, số chia hết cho 2, 3, p khơng số ngun tố
(4)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | Nếu x=5 y=11 r = x.y =55 > 42
Vậy trường hợp x = 5, y = Khi r = 25
Câu 6: Hai số nguyên tố sinh đôi hai số nguyên tố đơn vị Tìm hai số nguyên tố sinh đôi nhỏ 50
Giải
Các số nguyên tố sinh đôi nhỏ 50 là:3 5; 7; 11 13; 17 19; 29 31; 41 43
Câu 7: Tìm số nguyên tố, biết số tổng hai chữ số nguyên tố hiệu hai số nguyên tố
Giải
Giả sử a, b, c, d, e số nguyên tố (d > e) Theo ta có: a = b + c = d – e (*)
Từ (*) ⇒ a > ⇒ a số nguyên tố lẻ
+ b + c = d – e số lẻ.do b, d số nguyên tố ⇒ b, d số lẻ ⇒ c, e số chẵn + c = e = (do e, c số nguyên tố)
+ a = b + = d – ⇒ d = b + 4,vậy ta cần tìm số nguyên tố b cho b + 2, b + số nguyên tố + b =
(5)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | Website HOC247 cung cấp mơi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội
dung giảng biên soạn công phu giảng dạy giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, giỏi kiến thức chuyên môn lẫn kỹ sư phạm đến từ trường Đại học trường chuyên danh tiếng
I.Luyện Thi Online
- Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ Trường ĐH THPT danh tiếng xây
dựng khóa luyện thi THPTQG mơn: Tốn, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học Sinh Học
- Luyện thi vào lớp 10 chun Tốn: Ơn thi HSG lớp luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán trường
PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An trường Chuyên khác TS.Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo Thầy Nguyễn Đức Tấn
II.Khoá Học Nâng Cao HSG
- Tốn Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Tốn Nâng Cao, Toán Chuyên dành cho em HS
THCS lớp 6, 7, 8, u thích mơn Tốn phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập trường đạt điểm tốt kỳ thi HSG
- Bồi dưỡng HSG Toán: Bồi dưỡng phân mơn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học Tổ Hợp dành
cho học sinh khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn đôi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia
III.Kênh học tập miễn phí
- HOC247 NET: Website hoc miễn phí học theo chương trình SGK từ lớp đến lớp 12 tất
môn học với nội dung giảng chi tiết, sửa tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham khảo phong phú cộng đồng hỏi đáp sôi động
- HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp Video giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa tập, sửa đề thi
miễn phí từ lớp đến lớp 12 tất mơn Tốn- Lý - Hoá, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học Tiếng Anh
Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai
Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90%
Học Toán Online Chuyên Gia
I.Luyện Thi Online - Luyên thi ĐH, THPT QG: - Luyện thi vào lớp 10 chun Tốn: Ơn thi II.Khố Học Nâng Cao HSG III.Kênh học tập miễn phí - HOC247 TV: