LIEÂN TUÏC (SINH VIEÂN). • TS.[r]
(1)BỘ MƠN TỐN ỨNG DỤNG - ĐHBK
-TỐN HK1 0708
• BAØI 4: VCBÉ – VCLỚN LIÊN TỤC (SINH VIÊN)
(2)VÔ CÙNG BÉ
- lim
0
x x
x
Đại lượng (x) – vô bé (VCB) x x0:
VCB (x 0): Lượng giác x sin x ,1 cos x , tgx
Muõ, ln: ex x
1, ln Lũy thừa: 1 x VD: 13x
x0: Không quan trọng VCB x :
x
1 VCB x 1: sin(x–1) …
VD:
x x
c x
x b
x a
x x
x
sin lim
/ sin
lim /
sin lim
/
0
0
(x), (x) – VCB x x0
(x) (x) , (x)(x): VCB C(x)(x): VCB
(x) VCB, C(x) bị chặn
BT: x x
x sin sin
lim
(3)SO SÁNH VÔ CÙNG BÉ
-(x), (x) – VCB, x x0 vaø
x c x
x
x
0
lim So sánh được
VD: So saùnh VCB: sin x,1 cos x, tgx
1/ c = : (x) – VCB cấp cao so với (x): (x) = o((x))
2/ c = : Ngược lại trường hợp c = (x) = o((x))
3/ c 0, c : voâ bé cấp
Cách nói khác: (x) – VCB cấp thấp hơn
VCB cấp thấp: Chứa “thừa số 0” VD: sin2x, x3
(4)VÔ CÙNG BÉ TƯƠNG ĐƯƠNG – (QUAN TRỌNG)
-(x), (x) – VCB tương đương x x0
lim
0
x
x
x x
VD: Tìm số C để: tgx sin x ~ Cx , x 0
VCB tương đương: Được phép thay thừa số tương đương vào tích & thương (nhưng khơng thay vào tổng & hiệu!)
VCB lượng giác: , 0
2 ~ cos
1 , ~ tg , ~ sin
2
x x x
x x
x x
VCB muõ, ln: ex 1 ~ x, ln1 x ~ x, x 0
VCB lũy thừa (căn): 1 x 1~ x, x 0 VD:
3 ~
(5)DÙNG VƠ CÙNG BÉ TÍNH GIỚI HẠN -3 tg sin lim x x x x : VD
~ & 1 ~ 1 x x0 1 ~ 1
VD: Tìm
x x x x sin tg ln lim
1/
e x
x
x
x sin
3 cos ln lim / 2
x x0 VD: Tìm
x x x x
x x lim 2
Aùp dụng: Dùng vô bé tương đương tính giới hạn
x x x x x x x x x x x x x x 1 1 0 0 lim lim ~ , ~
Tìm lim: Có thể thay VCB tđương vào TÍCH (THƯƠNG)
(6)QUY TẮC NGẮT BỎ VÔ CÙNG BÉ
-, – VCB khaùc cấp + tương đương VCB cấp thấp hôn
Quy tắc ngắt bỏ VCB cấp cao: (x), (x) – tổng VCB khác cấp lim / = lim (tỷ số hai VCB cấp thấp tử & mẫu)
VD:
3 ln
2 cos ln lim x x x x x x x x x
x sin
tg
2 sin
lim 3 2
0 & iff ~ , ~ , ~ x x g f a x x g a x x f
Thay VCB tương đương vào tổng: VCB dạng luỹ thừa & 0
x x x x
x x x
x
x
2/ lim
sin lim
/
0
0
(7)VÔ CÙNG LỚN – SO SÁNH VCL- NGẮT BỎ VCL
-Hàm y = f(x) – vô lớn (VCL) x x0 :
x f x
xlim0
Tổng vô lớn khác cấp tương đương VCL cấp cao nhất Thay VCL tương đương vào TÍCH (THƯƠNG) tính lim
So sánh VCL: f(x), g(x) – VCL x x0 giới hạn f/g
c x
g x f
x
x ( )
) ( lim
0
VD: 3x2 4x 1 ~ 3x2
x
log 1, 0
x a
x a
x x
x
c 0, : f(x), g(x) – VCL cấp
c = 1: f, g – VCL tương đương : f ~ g
(8)KẾT LUẬN
-Với giới hạn chứa Vô Cùng Bé (chẳng hạn dạng 0/0 …):
Dạng tích (thương) Thay THỪA SỐ biểu
thức tương đương & đơn giản hơn
x h
x g x f x
h
x g x f
x x x
x
1 1
0
lim lim
với f(x) ~ f1(x), g(x) ~ g1(x) …
Dạng tổng VCB khác cấp Thay VCB cấp thấp 1
Dạng tổng VCB tổng quát fi(x) Thay fi(x) baèng
VCB tương đương dạng luỹ thừa: f x ~ C x i & C x i 0
i i
i
Giới hạn chứa Vô Cùng Bé (dạng / …): 1/ Thay tương đương
(9)HAØM LIÊN TỤC
-Hàm sơ cấp (định nghĩa qua biểu thức) liên tục xác định
VD: Tìm a để hàm liên tục x = 0:
, , sin x a x x x y
f(x) xác định x0
0
0
lim f x f x
x
x
Hàm f(x) liên tục x0: Hàm liên tục/[a, b] (C): đường liền
Gián đoạn!
VD: Khảo sát tính liên tục hàm soá:
1 tg / 2 x x x y a x x y
b / sin
, 1 , ) ( / x x x x x f c
(10)LIÊN TỤC MỘT PHÍA
-Hàm f(x) liên tục x0 Liên tục trái & liên tục phải x0
0
0
lim f x f x
x f x
x
f(x) liên tục phải x0 xác định x0 và
0
0
lim f x f x
x f x
x
f(x) liên tục trái x0 xác định x0 và
Tương tự giới hạn phía: Hàm ghép, chứa trị tuyệt … Khảo sát
VD: Khaûo sát tính liên tục:
1 ,
1
1 ,
1 )
(
1
x
x e
x
f x Chú ý: lim ?
(11)PHÂN LOẠI ĐIỂM GIÁN ĐOẠN
-Hàm f xác định & gián đoạn x0 Khơng có
Hoặc lim f f(x0), lim– lim+, lim f: trường hợp!
0
0
lim f x f x
x
x
Loại 1:
Điểm khử được:
0
0
lim f x f x
x
x
Điểm nhảy:
x f x f
x x x
xlim 0 lim 0
Bước nhảy: f x f x
x x x
xlim 0 lim 0
Loại 2: f x f x
x x x
x
0
lim
lim
(Hoặc không tồn ghạn phía) f(x) gián
(12)VÍ DỤ
-Điểm x0 = có phải điểm gián đoạn? Hãy phân loại
0 ,
0 ,
sin
x a
x x
x x
(13)VÍ DỤ
-
0 ,
1
0 ,
sin
x x x
x x
f
(14)VÍ DỤ
-Biện luận tính chất điểm gián đoạn hàm số sau theo a
0 ,
0 ,
1 sin
x a
x x
x f
a f
(15)TÍNH CHẤT HAØM LIÊN TỤC TRÊN MỘT ĐOẠN
-f bị chặn [a, b]: m, M
& m f(x) M x [a,
b]
f đạt GTLN, BN [a, b]:
x0, x1 [a, b]: f(x0) = m, …
f nhận giá trị trung gian:
k & GTBN k GTLN c [a, b]: f(c) = k
(Hay sử dụng) Định lý giá trị hai đầu trái dấu: f(a).f(b) <
c (a, b) : f(c) = 0
Chú ý: Không thể thay đoạn
bằng khoảng!
(16)VÍ DỤ
-2/ Chứng minh phương trình sau có nghiệm âm
x x5 1
1/ Tìm a, b để hàm số
sau liên tục treân R
1 ,
1
,
0 ,
1
x x
x b
ax
x x
x
f f liên tục tại & 1
a/ Bao nhiêu hàm số f(x) xác định treân R: f2(x) = x R
b/ Bao nhiêu hàm số f(x) liên tục R: f2(x) = x R