Trọn bộ đề thi các năm vào lớp 10 môn toán thành phố Hà Nội

Mục lục ĐỀ THI VÀO HỆ PHỔ THÔNG Sở Giáo dục Đào tạo Hà Nội, năm 1988 - 1989 Sở Giáo dục Đào tạo Hà Nội, năm 1989 - 1990 Sở Giáo dục Đào tạo Hà Nội, năm 1990 - 1991 Sở Giáo dục Đào tạo Hà Nội, năm 1991 - 1992 Sở Giáo dục Đào tạo Hà Nội, năm 1992 - 1993 Sở Giáo dục Đào tạo Hà Nội, năm 1993 - 1994 10 Sở Giáo dục Đào tạo Hà Nội, năm 1994 - 1995 11 Sở Giáo dục Đào tạo Hà Nội, năm 1995 - 1996 12 Sở Giáo dục Đào tạo Hà Nội, năm 1995 - 1996 13 10 Sở Giáo dục Đào tạo Hà Nội, năm 1996 - 1997 14 11 Sở Giáo dục Đào tạo Hà Nội, năm 1996 - 1997 15 12 Sở Giáo dục Đào tạo Hà Nội, năm 1997 - 1998 16 13 Sở Giáo dục Đào tạo Hà Nội, năm 1997 - 1998 17 14 Sở Giáo dục Đào tạo Hà Nội, năm 1998 - 1999 18 15 Sở Giáo dục Đào tạo Hà Nội, năm 1999 - 2000 19 16 Sở Giáo dục Đào tạo Hà Nội, năm 2000 - 2001 20 17 Sở Giáo dục Đào tạo Hà Nội, năm 2002 - 2003 21 18 Sở Giáo dục Đào tạo Hà Nội, năm 2003 - 2004 22 19 Sở Giáo dục Đào tạo Hà Nội, năm 2004 - 2005 23 20 Sở Giáo dục Đào tạo Hà Nội, năm 2005 - 2006 24 21 Sở Giáo dục Đào tạo Hà Nội, năm 2006 - 2007 25 22 Sở Giáo dục Đào tạo Hà Nội, năm 2007 - 2008 26 23 Sở Giáo dục Đào tạo Hà Nội, năm 2008 - 2009 27 24 Sở Giáo dục Đào tạo Hà Nội, năm 2009 - 2010 28 25 Sở Giáo dục Đào tạo Hà Nội, năm 2010 - 2011 29 26 Sở Giáo dục Đào tạo Hà Nội, năm 2011 - 2012 30 27 Sở Giáo dục Đào tạo Hà Nội, năm 2012 - 2013 31 28 Sở Giáo dục Đào tạo Hà Nội, năm 2013 - 2014 32 29 Sở Giáo dục Đào tạo Hà Nội, năm 2014 - 2015 33 30 Sở Giáo dục Đào tạo Hà Nội, năm 2015 - 2016 34 31 Sở Giáo dục Đào tạo Hà Nội, năm 2016 - 2017 35 32 Sở Giáo dục Đào tạo Hà Nội, năm 2017 - 2018 36 New think - New life ĐỀ THI VÀO HỆ CHUYÊN 37 Sở Giáo dục Đào tạo Hà Nội, năm 1997 - 1998 (Ngày thứ 1) 38 Sở Giáo dục Đào tạo Hà Nội, năm 1997 - 1998 (Ngày thứ 2) 39 Sở Giáo dục Đào tạo Hà Nội, năm 1998 - 1999 (Ngày thứ 1) 40 Sở Giáo dục Đào tạo Hà Nội, năm 1998 - 1999 (Ngày thứ 2) 41 Sở Giáo dục Đào tạo Hà Nội, năm 1999 - 2000 (Ngày thứ 1) 42 Sở Giáo dục Đào tạo Hà Nội, năm 1999 - 2000 (Ngày thứ 2) 43 Sở Giáo dục Đào tạo Hà Nội, năm 2000 - 2001 (Ngày thứ 1) 44 Sở Giáo dục Đào tạo Hà Nội, năm 2000 - 2001 (Ngày thứ 2) Sở Giáo dục Đào tạo Hà Nội, năm 2001 - 2002 (Ngày thứ 1) 46 10 Sở Giáo dục Đào tạo Hà Nội, năm 2001 - 2002 (Ngày thứ 2) 47 11 Sở Giáo dục Đào tạo Hà Nội, năm 2002 - 2003 (Ngày thứ 1) 48 12 Sở Giáo dục Đào tạo Hà Nội, năm 2002 - 2003(Ngày thứ 2) 49 13 Sở Giáo dục Đào tạo Hà Nội, năm 2003 - 2004 (Ngày thứ 1) 50 14 Sở Giáo dục Đào tạo Hà Nội, năm 2003 - 2004 (Ngày thứ 2) 51 15 Sở Giáo dục Đào tạo Hà Nội, năm 2004 - 2005 (Ngày thứ 1) 52 16 Sở Giáo dục Đào tạo Hà Nội, năm 2004 - 2005 (Ngày thứ 2) 53 17 Sở Giáo dục Đào tạo Hà Nội, năm 2005 - 2006 (Ngày thứ 1) 54 18 Sở Giáo dục Đào tạo Hà Nội, năm 2005 - 2006 (Ngày thứ 2) 55 19 Sở Giáo dục Đào tạo Hà Nội, năm 2006 - 2007 (Ngày thứ 2) 56 20 Sở Giáo dục Đào tạo Hà Nội, năm 2007 - 2008 (Ngày thứ 2) 57 21 Sở Giáo dục Đào tạo Hà Nội, năm 2008 - 2009 (Ngày thứ 2) 58 22 Sở Giáo dục Đào tạo Hà Nội, năm 2009 - 2010 (Ngày thứ 2) 59 23 Sở Giáo dục Đào tạo Hà Nội, năm 2010 - 2011 (Ngày thứ 2) 60 24 Sở Giáo dục Đào tạo Hà Nội, năm 2011 - 2012 (Ngày thứ 2) 61 25 Sở Giáo dục Đào tạo Hà Nội, năm 2012 - 2013 (Ngày thứ 2) 62 26 Sở Giáo dục Đào tạo Hà Nội, năm 2013 - 2014 (Ngày thứ 2) 63 27 Sở Giáo dục Đào tạo Hà Nội, năm 2014 - 2015 (Ngày thứ 2) 64 28 Sở Giáo dục Đào tạo Hà Nội, năm 2015 - 2016 (Ngày thứ 2) 65 29 Sở Giáo dục Đào tạo Hà Nội, năm 2015 - 2016 (Ngày thứ 2) 66 30 Sở Giáo dục Đào tạo Hà Nội, năm 2016 - 2017 (Ngày thứ 2) 67 31 Sở Giáo dục Đào tạo Hà Nội, năm 2016 - 2017 (Ngày thứ 2) 68 32 Sở Giáo dục Đào tạo Hà Nội, năm 2017 - 2018 (Ngày thứ 2) 69 33 Sở Giáo dục Đào tạo Hà Nội, năm 2017 - 2018 (Ngày thứ 2) 70 ∗∗ ∗∗ AMS ∗ ∗∗ ∗ 45 New think - New life ĐỀ THI VÀO LỚP 10 Sở Giáo dục Đào tạo Hà Nội, năm 1988 - 1989 Câu Cho biểu thức A = 2+x 2−x 4x2 − − 2−x 2+x x −4 : x−3 2x − x2 Rút gọn biểu thức A Tìm giá trị A |x| = Câu Một xe tải từ tỉnh A đến tỉnh B với vận tốc 40 km/h Sau 30 phút, xe khởi hành từ tỉnh A đến tỉnh B với vận tốc 60 km/h Hai xe gặp chúng nửa quãng đường AB Tính quãng đường AB Câu Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn P trung điểm cung AB không chứa C D Hai dây P C P D cắt AB E F Các dây AD P C kéo dài cắt I; dây BC P D kéo dài cắt K Chứng minh CID = CKD Chứng minh tứ giác CDEF nội tiếp đường tròn Chứng minh IK AB Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác AF D tiếp xúc với P A A Câu Tìm giá trị x để biểu thức M = 2x − ∗∗ ∗∗ AMS ∗ ∗∗ ∗ − 2x − + đạt giá trị nhỏ New think - New life ĐỀ THI VÀO LỚP 10 Sở Giáo dục Đào tạo Hà Nội, năm 1989 - 1990 Câu Cho biểu thức A = − 5x − − + 2x 4x2 − 1 − 2x : x−1 4x2 + 4x + 1 Rút gọn biểu thức A nêu điều kiện phải có x Tìm giá trị x để A = − 2 quãng đường với vận tốc đó, đường khó nên người lái xe phải giảm vận tốc 10 km qng đường cịn lại Do tô đến B chậm Câu Một ô tô dự định từ A đến B với vận tốc 50 km/h Sau 30 phút so với dự định Tính qng đường AB Câu Cho hình vuông ABCD E điểm cạnh BC Tia Ax vng góc với AE cắt cạnh CD kéo dài F Kẻ trung tuyến AI tam giác AEF kéo dài cắt cạnh CD K Đường thẳng qua E song song với AB cắt AI G Chứng minh AE = AF Chứng minh tứ giác EGF K hình thoi Chứng minh tam giác AKF tam giác CAF đồng dạng AF = KF · CF Giả sử E chuyển động cạnh BC, chứng minh F K = BE + DK chu vi tam giác ECK không đổi Câu Tìm giá trị x để biểu thức M = x2 − 2x + 1989 (với x = 0) đạt giá trị nhỏ tìm giá trị nhỏ x2 ∗∗ ∗∗ AMS ∗ ∗∗ ∗ New think - New life ĐỀ THI VÀO LỚP 10 Sở Giáo dục Đào tạo Hà Nội, năm 1990 - 1991 Câu Cho biểu thức P = √ √ x−1 x √ − √ + x − x + 9x − : √ x−2 1− √ x+1 Rút gọn biểu thức P Tìm giá trị x để P = Câu Một xe tải xe khởi hành từ tỉnh A đến tỉnh B Xe tải với vận tốc 30 km/h, xe với vận tốc 45 km/h Sau quãng đường AB, xe tăng vận tốc thêm km/h quãng đường cịn lại Tính qng đường AB, biết xe đến tỉnh B sớm xe tải 20 phút Câu Cho đường tròn O , dây AB điểm C nằm đường trịn tia AB Từ điểm cung lớn AB kẻ đường kính P Q đường trịn, cắt dây AB D Tia CP cắt đường tròn điểm thứ hai I Các dây AB QI cắt K Chứng minh tứ giác P DKI nội tiếp đường tròn Chứng minh CI · CP = CK · CD Chứng minh IC tia phân giác góc ngồi đỉnh I tam giác AIB Giả sử A, B, C cố định Chứng minh đường tròn O thay đổi qua B đường thẳng QI ln qua điểm cố định Câu Tìm giá trị x để biểu thức M = x − ∗∗ ∗∗ AMS ∗ ∗∗ ∗ √ x − 1991 đạt giá trị nhỏ tìm giá trị nhỏ New think - New life ĐỀ THI VÀO LỚP 10 Sở Giáo dục Đào tạo Hà Nội, năm 1991 - 1992 Câu Cho biểu thức Q = √ x−3 x −1 x−9 : √ √ x−3 x+2 9−x +√ −√ √ √ x − x+1 x+3 x−2 Rút gọn biểu thức Q Tìm giá trị x để Q < Câu Một đoàn xe vận tải dự định điều số xe loại vận chuyển 40 hàng Lúc khởi hành, đoàn xe giao thêm 14 Do đó, phải điều thêm xe loại xe phải chở thêm0, Tính số lượng xe phải điều theo dự định Biết xe trở số hàng Câu Cho đoạn thẳng AB điểm C nằm A, B Người ta kẻ nửa bờ mặt phẳng bờ AB hai tia Ax By vng góc với AB tia Ax lấy điểm I Tia vng góc với CI C cắt tia By K Đường trịn đường kính IC cắt IK P Chứng minh tứ giác CP KB nội tiếp đường tròn Chứng minh AI · BK = AC · CB Chứng minh tam giác AP B vuông Giả sử A, B, I cố định Hãy xác định vị trí điểm C cho diện tích hình thang vng ABKI lớn Câu Chứng minh đường thẳng có phương trình y = m − x + 6m − 1991 (m tham số) qua điểm mà ta xác định tọa độ ∗∗ ∗∗ AMS ∗ ∗∗ ∗ New think - New life ĐỀ THI VÀO LỚP 10 Sở Giáo dục Đào tạo Hà Nội, năm 1992 - 1993 Câu Cho biểu thức B = √ x+2 x √ −√ x x−1 x−1 √ : 1− x+ x+2 √ x+1 Rút gọn biểu thức B Tìm √ √ B x = + Câu Hai người thợ làm cơng việc 12 phút xong Nếu người thứ làm giờ, người thứ hai làm hai người làm công việc Hỏi người làm cơng việc xong Câu Cho nửa đường trịn đường trịn đường kính AB K điểm cung AB Trên cung KB lấy điểm M (M khác K B) Trên tia AM lấy điểm N cho AN = BM Kẻ dây BP song song với KM Gọi Q giao điểm đường thẳng AP BM So sánh tam giác AKN tam giác BKM Chứng minh tam giác KM N vuông cân Tứ giác AKN P hình gì? Tại sao? Gọi R, S giao điểm thứ hai QA QB với đường tròn ngoại tiếp tam giác OM P , chứng minh M di động cung KB trung điểm I RS ln nằm đường trịn cố định √ 2+ x √ = Câu Giải phương trình: + 1+x 1+ x 2x ∗∗ ∗∗ AMS ∗ ∗∗ ∗ New think - New life ĐỀ THI VÀO LỚP 10 Sở Giáo dục Đào tạo Hà Nội, năm 1993 - 1994 Câu Cho biểu thức M = √ √ √ x+1 2x + x √ + √ −1 2x + 2x − : √ √ √ x+1 2x + x 1+ √ − √ 2x + 2x − 1 Rút gọn biểu thức M Tính M x = √ 3+2 Câu Hai vịi nước chảy vào bể khơng có nước chảy đầy bể 48 phút Nếu chảy riêng vịi thứ chảy đầy bể nhanh vòi thứ hai Hỏi chảy riêng vịi chảy đầy bể bao lâu? Câu Cho hai đường tròn O1 O2 tiếp xúc A tiếp chung Ax Một đường thẳng d tiếp xúc với O1 , O2 điểm B, C cắt Ax Kẻ đường kính BO1 D, CO2 E Chứng minh M trung điểm BC Chứng minh tam giác O1 M O2 vuông Chứng minh ba điểm B, A, E thẳng hàng ba điểm C, A, D thẳng hàng Gọi I trung điểm DE Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác IO1 O2 tiếp xúc với đường thẳng BC Câu Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm:   x2 − 2m − x + =  2x2 + x + m − = ∗∗ ∗∗ AMS ∗ ∗∗ ∗ 10 New think - New life ĐỀ THI VÀO LỚP 10 Sở Giáo dục Đào tạo Hà Nội, năm 1994 - 1995 Câu Cho biểu thức P = √ a 2a + √ √ − a + a+1 a −1 · √ + a3 √ √ − a 1+ a Rút gọn biểu thức P Xét dấu biểu thức P · √ − a Câu Giải tốn cách lập phương trình Một ca nơ xi từ A đến B với vận tốc 30 km/h, sau lại ngược từ B A Thời gian xi thời gian ngược 20 phút Tính khoảng cách hai bến A B biết vận tốc dòng nước km/h vận tốc riêng ca nơ xi dịng ngược dịng Câu Cho tam giác ABC cân A (A < 90◦ ), cung tròn BC nằm tam giác ABC tiếp xúc với AB, AC B C Trên cung BC lấy điểm M hạ đường vng góc M I, M H, M K xuống cạnh tương ứng BC, CA, AB Gọi P giao điểm BM , IK Q giao điểm M C IH Chứng minh tứ giác BIM K, CIM H nội tiếp đường tròn Chứng minh tia đối tia M I phân giác góc HM K Chứng minh tứ giác M P IQ nội tiếp đường tròn P Q BC Gọi O1 đường tròn qua ba điểm M , P , K, O2 đường tròn qua ba điểm M , Q, H; N giao điểm thứ hai O1 O2 D trung điểm BC Chứng minh ba điểm M , N , D thẳng hàng √ Câu Tìm tất cặp số x; y thỏa mãn phương trình sau: 5x − x + y + y + = ∗∗ ∗∗ AMS ∗ ∗∗ ∗ 11 New think - New life ĐỀ THI VÀO LỚP 10 Sở Giáo dục Đào tạo Hà Nội, năm 1995 - 1996 A Lý thuyết Học sinh chọn đề: Đề 1: Phát biểu định nghĩa nêu tính chất hàm số bậc Trong hai hàm số sau đây, hàm số hàm số bậc nhất? Vì sao? y = − 2x ; y =x+ x Đề 2: Phát biểu dấu hiệu nhận biết hình bình hành B Bài tập bắt buộc Câu Cho biểu thức B = √ √ √ a+1 a−1 a √ −√ − a−1 a+1 a−1 √ : a−a−3 −√ a−1 a−1 Rút gọn biểu thức B So sánh B với Câu Giải tốn cách lập phương trình Nếu hai vịi nước chảy vào bể, sau đầy bể Nếu vòi thứ chảy 20 phút vòi thứ hai chảy 30 phút bể Hỏi vịi chảy phải đầy bể? Câu Cho nửa đường trịn đường kính AB hai điểm C, D tuộc nửa đường tròn cho cung AC < 90◦ góc COD = 90◦ Gọi M điểm nửa đường tròn, choC điểm cung AM Các dây AM BM cắt OC, OD E, F Chứng minh tứ giác OEM F hình gì? Tại sao? Chứng minh D điểm cung M B Đường thẳng d tiếp xúc với nửa đường tròn M cắt tia OC, OD I K Chứng minh tứ giác OBKM OAIM nội tiếp đường tròn ∗∗ ∗∗ AMS ∗ ∗∗ ∗ 12 New think - New life ĐỀ THI VÀO LỚP 10 - HỆ CHUYÊN AMSTERDAM - CHU VĂN AN 19 Sở Giáo dục Đào tạo Hà Nội, năm 2006 - 2007 (Ngày thứ 2) Câu (2,0 điểm) Cho phương trình ẩn x: x2 − x6 − − 2a + + 2a − = x x (∗) Giải phương trình (∗) a = Tìm a để phương trình có nhiều hai nghiệm dương phân biệt Câu (2,0 điểm) Cho dãy số tự nhiên 2, 6, 30, 210, · · · xác định sau: Số hàng thứ k tích k số nguyên tố (k = 1, 2, 3, · · · ) Biết tồn hai số hạng dãy số có hiệu 30000 Tìm hai số hạng Câu (2,0 điểm) Tìm số nguyên x, y, z thỏa mãn :  √   2xy − z ≥ √   −x2 y + 8xy + − x2 − ≥ x+ x Câu (3,0 điểm) Cho nửa đường trịn đường kính AB = 2R Gọi C điểm tùy ý nửa đường tròn, D hình chiếu vng góc C AB Tia phân giác góc ACD cắt đường trịn đường kính AC điểm thứ hai E, tia phân giác góc ABC H Chứng minh AE BH Tia phân giác giác CAB cắt đường trịn đường kính AC điểm thứ hai F , cắt CE I Tính diện tích tam gaics F ID trường hợp tam giác Trên đoạn BH lấy điểm K cho HK = HD Gọi J giao điểm AF BH Xác định vị trí C để tổng khoảng cách từ điểm I, J, K đến đường thẳng AB đạt giá trị lớn Câu (1,0 điểm) Chứng minh 2007 số khác tùy ý lấy từ tập A = 1, 2, 3, · · · , 20062007 có hai số x, y √ √ thỏa mãn: < 2007 x − 2007 y < ∗∗ ∗∗ AMS ∗ ∗∗ ∗ 56 New think - New life ĐỀ THI VÀO LỚP 10 - HỆ CHUYÊN AMSTERDAM - CHU VĂN AN 20 Sở Giáo dục Đào tạo Hà Nội, năm 2007 - 2008 (Ngày thứ 2) Câu (3,0 điểm) Cho phương trình: x2 − 3y + 2xy − 2x − 10y + = (1) Tìm nghiệm x; y phương trình (1) thỏa mãn x2 + y = 10 Tìm nghiệm nguyên phương trình (1) Câu (4,0 điểm) Cho điểm A di chuyển đường tròn tâm O, đường kính BC = 2R (A khơng trùng với B C) Trên tia AB lấy điểm M cho B trung điểm AM Gọi H hình chiếu vng góc A lên BC I trung điểm HC Chứng minh M chuyển động đường tròn cố định Chứng minh tam giác AHM đồng dạng với tam giác CIA Chứng minh M H ⊥ AI M H cắt đường tròn O E F , AI cắt đường tròn O điểm thứ hai G Chứng minh tổng bình phương cạnh tứ giác AEGF khơng đổi Câu (1,0 điểm) Tìm số nhỏ số nguyên dương bội 2007 có chữ số cuối 2008 Câu (1,0 điểm) Cho lưới hình vng kích thước × Người ta điền vào ô lưới số −1; 0; Xét tổng số tính theo cột, theo hàng theo đường chéo Chứng minh tất tổng ln tồn hai tổng có giá trị Câu (1,0 điểm) Tính tổng sau theo n (n thuộc tập hợp số tự nhiên khác 0): S = 2n−1 + · 2n−3 + · · · + n − · + n ∗∗ ∗∗ AMS ∗ ∗∗ ∗ 57 New think - New life ĐỀ THI VÀO LỚP 10 - HỆ CHUYÊN AMSTERDAM - CHU VĂN AN 21 Sở Giáo dục Đào tạo Hà Nội, năm 2008 - 2009 (Ngày thứ 2) Câu (2,0 điểm)   √x + 19 − √y + = m − 2008 y + Cho hệ phương trình: √ √   y + 19 − x + = m − 2008 x + 1 Giải hệ phương trình m = 2008 Chứng minh hệ phương trình cho có khơng q nghiệm m ≥ 2008 Câu (2,0 điểm) Với số tự nhiên n, ta đặt an = 3n2 − 6n + 13 Chứng minh hai số , ak không chia hết cho chia cho dư khác + ak chia hết cho Tìm số tự nhiên n lẻ để an số phương Câu (2,0 điểm) Cho a số thay đổi thỏa mãn −1 ≤ a ≤ Tìm giá trị lớn b cho bất đẳng thức sau đúng: − a4 + b − 1 + a2 − − a2 + b − ≤ Câu (3,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông A Vẽ hai đường trịn O1 , O2 có đường kính AB AC Gọi H giao điểm thứ hai O1 O2 Đường thẳng d thay đổi qua A cắt đường tròn O1 O2 điểm D, E cho A nằm D E Chứng minh đường trung trực đoạn DE qua điểm cố định đường thẳng d thay đổi Xác định vị trí đường thẳng d để diện tích tứ giác BDEC đạt giá trị lớn Tính giá trị lớn theo b c, với b = AC, c = AB Đường thẳng qua trung điểm đoạn DE vng góc với BC cắt BC K Chứng minh KB = BD2 + KH Câu (1,0 điểm) Cho A tập hợp gồm phần tử tập hợp 0; 1; 2; · · · ; 14 Chứng minh tồn hai tập hợp B1 B2 tập hợp A (B1 , B2 khác khác tập hợp rỗng) cho tổng hợp tất phần tử tập hợp B1 tổng tất phần tử tập hợp B2 ∗∗ ∗∗ AMS ∗ ∗∗ ∗ 58 New think - New life ĐỀ THI VÀO LỚP 10 - HỆ CHUYÊN AMSTERDAM - CHU VĂN AN 22 Sở Giáo dục Đào tạo Hà Nội, năm 2009 - 2010 (Ngày thứ 2) Câu (3,0 điểm) Tìm số nguyên dương n để A = n − − 48 có giá trị số ngun dương n+5 Tìm số nguyên dương x, y thỏa mã đẳng thức x2 + y y + y − 3x = Câu (2,0 điểm)    x2 + y = 2x2    Giải hệ phương trình: y + z = 2y      z + x = 2z Câu (3,0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường trịn O Gọi BD CE hai đường cao tam giác ABC Chứng minh AD · AC = AE · AB Tia AO cắt BC A1 cắt cung nhỏ BC A2 , tia BO cắt AC B1 v cắt cung nhỏ AC B2 Tia B1 B2 C1 C2 A1 A2 + + = CO cắt AB C1 cắt cung nhỏ AB C2 Chứng minh A1 A B1 B C1 C Từ A vẽ tia Ax vng góc với DE Cho BC cố định, điểm A di động cung lớn BC cho tam giác ABC ln có góc nhọn Chứng minh tia Ax qua điểm cố định Câu (1,0 điểm) Cho đa thức P x = x4 + ax3 + bx2 + cx + d (a, b, c, d số) Biết P = 10, P = 20, P = 30 P 12 + P − + 25 Hãy tính giá trị biểu thức 10 Câu (1,0 điểm) Chứng minh ba điểm A, B, C khơng có điểm nằm ngồi đường trịn O cho tam giác ABC có góc nhọn chu vi đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC không lớn chu vi đường tròn O ∗∗ ∗∗ AMS ∗ ∗∗ ∗ 59 New think - New life ĐỀ THI VÀO LỚP 10 - HỆ CHUYÊN AMSTERDAM - CHU VĂN AN 23 Sở Giáo dục Đào tạo Hà Nội, năm 2010 - 2011 (Ngày thứ 2) Câu (2,0 điểm) Cho n số nguyên, chứng minh A = n3 + 11n chia hết cho Tìm tất số tự nhiên n để B = n4 − 3n2 + số nguyên tố Câu (2,0 điểm) Cho phương trình: m2 + 2m + x2 − m2 − 2m + x − = Gọi x1 , x2 hai nghiệm phương trình cho Tìm tất giá trị m để x21 + x22 = 2x1 x2 2x1 x2 − Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức S = x1 + x2 Câu (2,0 điểm) a2010 + 2010 > Cho a bất kỳ, chứng minh rằng: √ a2010 + 2009 Tìm số nguyên x, y thỏa mãn phương trình: y − x x − x2 − 2x + = Câu (3,0 điểm) Cho đường tròn O; R điểm M nằm ngồi đường trịn Đường trịn đường kính OM cắt đường trịn O; R hai điểm E, F Chứng minh giao điểm I đoạn thẳng OM với đường tròn O; R tâm đường tròn nội tiếp tam giác M EF Cho A điểm thuộc cung EF chứa điểm M đường trịn đường kính OM (A khác E F ) Đoạn thẳng OA cắt đoạn thẳng EF điểm B Chứng minh OA · OB = R2 Cho biết OM = 2R N điểm thuộc cung EF chứa điểm I đường tròn O; R (N khác E F ) Gọi d đường thẳng qua F vng góc với đường thẳng EN điểm P , d cắt đường trịn đường kính OM điểm K (K khác F ) Hai đường thẳng F N KE cắt điểm Q √ R Chứng minh rằng: P K · P K + QN · QK ≤ Câu (1,0 điểm) Giải phương trình: x8 − x7 + x5 − x4 + x3 − x + = ∗∗ ∗∗ AMS ∗ ∗∗ ∗ 60 New think - New life ĐỀ THI VÀO LỚP 10 - HỆ CHUYÊN AMSTERDAM - CHU VĂN AN 24 Sở Giáo dục Đào tạo Hà Nội, năm 2011 - 2012 (Ngày thứ 2) Câu (2,0 điểm) Với a = ±b giải phương trình: a4 − b4 x2 − a3 − b3 x + a2 − b2 =  √  x − y − xy = + 2 Giải hệ phương trình:  x + y = Câu (2,0 điểm) Tìm tất số nguyên dương n cho n2 − 9n − chia hết cho n − 11 Cho ba số x, y, z không âm thỏa mãn x + y + z = Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức: A = x2 + y + z Câu (3,5 điểm) Trên đường tròn tâm O đường kính AB = 2R lấy điểm N cho AN = R điểm M thay đổi cung nhỏ BN (M không trùng với B, N ) Gọi I giao điểm AM BN Đường thẳng qua điểm I vng góc với AB cắt tia AN điểm C Chứng minh ba điểm B, C, M thẳng hàng Xác định vị trí điểm M để chu vi tứ giác ABM N lớn Chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác M HN thuộc đường thẳng cố định M thay đổi cung nhỏ BN Đường thẳng qua M điểm cung AB không chứa điểm M cắt AB điểm D Chứng MD MD minh + không đổi M thay đổi cung nhỏ BN đường tròn O; R MA MB Câu (1,5 điểm) Tìm tất ba số nguyên dương x, y, z thỏa mãn: xyz = x2 − 2z + Câu (1,0 điểm) Chứng minh từ 53 số tự nhiên chọn dược 27 số mà tổng chúng chia hết cho 27 ∗∗ ∗∗ AMS ∗ ∗∗ ∗ 61 New think - New life ĐỀ THI VÀO LỚP 10 - HỆ CHUYÊN AMSTERDAM - CHU VĂN AN 25 Sở Giáo dục Đào tạo Hà Nội, năm 2012 - 2013 (Ngày thứ 2) Câu (2,0 điểm) Chứng minh n số nguyên n5 + n3 − 6n chia hết cho 30 Giả sử n số tự nhiên thỏa mãn điều kiện n n + + không chia hết cho Chứng minh 2n2 + n + khơng số phương Câu (3,0 điểm)   x − 2y − + = x Giải hệ phương trình:  x2 − 4xy + 4y − + = x2 Xét số x, y, z thỏa mãn điều kiện x2 +y +z = 2012 Tìm giá trị nhỏ biểu thức M = 2xy−yz−zx Câu (3,0 điểm) Cho đường tròn O; R dây cung BC cố định (BC < 2R) Điểm A di động đường tròn O; R cho tam giác ABC tam giác nhọn Gọi AD đường cao H trực tâm tam giác ABC Đường thẳng chứa phân giác góc BHC cắt AB, AC điểm M , N Chứng minh tam giác AM N tam giác cân Gọi E, F hình chiếu D đường thẳngBH, CH Chứng minh OA ⊥ EF Đường tròn ngoại tiếp tam giác AM N cắt đường phân giác góc BAC K Chứng minh đường thẳng HK qua điểm cố định Câu (1,0 điểm) Tìm số nguyên dương x, y, z thỏa mãn điều kiện: x + y + z = xyz + Câu (1,0 điểm) Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường trịn bán kính cm Chứng minh số 17 điểm A1 , A2 , · · · , A17 nằm tứ giác ABCD ln tìm hai điểm mà khoảng cách hai điểm khơng lớn cm ∗∗ ∗∗ AMS ∗ ∗∗ ∗ 62 New think - New life ĐỀ THI VÀO LỚP 10 - HỆ CHUYÊN AMSTERDAM - CHU VĂN AN 26 Sở Giáo dục Đào tạo Hà Nội, năm 2013 - 2014 (Ngày thứ 2) Câu (2,5 điểm) Tìm tất số tự nhiên n để 72013 + 3n có chữa số hàng đơn vị Cho a, b số tự nhiên lớn p số tự nhiên thỏa mãn 1 = + Chứng minh p số p a b phương Câu (2,0 điểm) Tìm số nguyên x, y thỏa mãn x2 − 3y + 2xy − 2x + 6y − =   2x2 + xy + 3y − 2y − = Giải hệ phương trình:  3x2 + 5y + 4x − 12 = Câu (1,5 điểm) Với a, b số thực thỏa mãn a + b + 4ab = 4a2 + 4b2 Tìm giá trị lớn A = 20 a3 + b3 − a2 + b2 + 2013 Câu (3,0 điểm) Cho tam giác ABC khơng cân Đường trịn O tiếp xúc với BC, AC, AB M , N , P Đường thẳng N P cắt BO, CO E, F Chứng minh góc OEN , OCA bù Chứng minh bốn điểm B, C, E, F thuộc đường tròn Gọi K tâm đường tròn nội tiếp tam giác OEF Chứng minh O, M , K thẳng hàng Câu (1,0 điểm) Trong mặt phẳng cho điểm A1 , A2 , A3 , A4 , A5 , A6 khơng có điểm thẳng hàng điểm ln có điểm có khoảng cách nhỏ 671 Chứng minh điểm cho tồn điểm đỉnh tam giác có chu vi nhỏ 2013 ∗∗ ∗∗ AMS ∗ ∗∗ ∗ 63 New think - New life ĐỀ THI VÀO LỚP 10 - HỆ CHUYÊN AMSTERDAM - CHU VĂN AN 27 Sở Giáo dục Đào tạo Hà Nội, năm 2014 - 2015 (Ngày thứ 2) Câu (2,0 điểm) √ Giải phương trình x 5x3 + + 2x + − =   x2 4y + − 2y = −3 Giải hệ phương trình:  y x2 − 12y + 4y = Câu (2,5 điểm) Chứng minh n số nguyên dương 25n + 7n − 4n 3n + 5n chia hết cho 65 Tìm cặp số nguyên x, y thỏa mãn x2 y + xy − 2x2 − 3x + = Tìm số tự nhiên a1 ; a2 ; a3 ; · · · ; a2014 thỏa mãn   a1 + a2 + a3 + · · · + a2014 ≥ 20142  a21 + a22 + a23 + · · · + a22014 ≥ 20143 + Câu (1,5 điểm) Cho số thực dương x, y, z thỏa mãn x + y + z = Tìm giá trị lớn biểu thức Q= x+ y z x √ √ √ + + x + yz y + y + zx z + z + xy Câu (3,0 điểm) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn O , H trung điểm BC M điểm thuộc đoạn thẳng BH (M khác B) Lấy điểm N thuộc đoạn thẳng CA cho CN = BM Gọi I trung điểm M N Chứng minh bốn điểm O, M , H, I thuộc đường tròn Gọi P giao điểm OI AB Chứng minh tam giác M N P tam giác Xác định vị trí điểm M để tam giác IAB có chi vi nhỏ Câu (1,0 điểm) Cho bảng vng kích thước × n (3 hàng, n cột, n số tự nhiên lớn 1) tạo ô vuông nhỏ kích thước × Mỗi vng nhỏ tơ màu xanh đỏ Tìm số n bé để với cách tô màu ln tìm hình chữ nhật tạo ô vuông nhỏ cho ô vuông nhỏ góc hình chữ nhật màu ∗∗ ∗∗ AMS ∗ ∗∗ ∗ 64 New think - New life ĐỀ THI VÀO LỚP 10 - HỆ CHUYÊN AMSTERDAM - CHU VĂN AN - TIN 28 Sở Giáo dục Đào tạo Hà Nội, năm 2015 - 2016 (Ngày thứ 2) Câu (2,0 điểm) Giải phương trình 2x2 − 6x + 2x −   x2 + xy + y = Giải hệ phương trình:  2x3 = x − y =1 Câu (2,5 điểm) Tìm tất số tự nhiên x, y thỏa mãn x2 − 2xy + 3y = x + y Tìm tất số nguyên dương n cho số 4n − số hữu tỉ n+5 Cho a, b, c, d số nguyên dương thỏa mãn ab = cd Chứng minh số a + b + c + d không số nguyên tố Câu (1,5 điểm) Cho x, y, z số thực dương, nhỏ thỏa mãn xyz = − x − y − z Chứng minh ba số xbig(1 − y , y − z , z − x có số không nhỏ Câu (3,0 điểm) Cho đường trịn O đường kính AB Gọi I điểm đoạn thẳng AO (I khác A, I khác O) Đường thẳng qua I vng góc với AB cắt đường trịn O điểm C D Gọi E điểm đường trịn O cho D điểm cung AE Gọi K giao điểm AE CD Chứng minh đường thẳng OK qua trung điểm CE Đường thẳng qua I song song với CE cắt AE, BE P Q Chứng minh tứ giác DP EQ hình chữ nhật Tìm vị trí điểm I đoạn AO cho KC = KA + KO Câu (1,0 điểm) Cho 2015 số nguyên dương phân biệt không vượt 3019 Chứng minh 2015 số tồn bố số a, b, c, d cho a + b + c = d ∗∗ ∗∗ AMS ∗ ∗∗ ∗ 65 New think - New life ĐỀ THI VÀO LỚP 10 - HỆ CHUYÊN AMSTERDAM - CHU VĂN AN - TOÁN 29 Sở Giáo dục Đào tạo Hà Nội, năm 2015 - 2016 (Ngày thứ 2) Câu (2,0 điểm) Giải phương trình x − Giải hệ phương trình: √ √ x−8−3 x+1=0   x + y =  x3 + 2y = 10x − 10y Câu (2,5 điểm) Cho số nguyên dương n thỏa mãn n 10 hai số nguyên tố Chứng minh n4 − chia hết cho 40 Tìm tất số nguyên tố p số nguyên dương x, y thỏa mãn   p − = 2x x +  p2 − = 2y y + Tìm tất số nguyên dương n cho tồn số nguyên dương x, y, z thỏa mãn x3 +y +z = nx2 y z Câu (1,5 điểm) Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b b + c c + a = Chứng minh ab + bc + ca ≤ Câu (3,0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, nội tiếp đường tròn O Các đường cao AM , BN , CP tam giác ABC qua điểm H Gọi Q điểm cung nhỏ BC (Q khác B, Q khác C) Gọi E, F theo thứ tự điểm đối xứng Q qua đường thẳng AB AC Chứng minh M H · M A = M P · M N Chứng minh ba điểm E, H, F thẳng hàng Gọi J giao điểm QE AB, I giao điểm QF AC Tìm vị trí điểm Q cung nhỏ BC AB AC để + nhỏ QJ QI Câu (1,0 điểm) √ √ Chứng minh tồn số nguyên a, b, c cho < a + b + c < ∗∗ ∗∗ AMS ∗ ∗∗ ∗ 66 1000 New think - New life ĐỀ THI VÀO LỚP 10 - HỆ CHUYÊN AMSTERDAM - CHU VĂN AN - TOÁN 30 Sở Giáo dục Đào tạo Hà Nội, năm 2016 - 2017 (Ngày thứ 2) Câu (2,0 điểm) Giải phương trình x4 − 2x3 + x − Giải hệ phương trình: x2 − x =   x2 + 2y − 4x =  4x2 − 4xy + y − 2y + = Câu (2,0 điểm) Cho số thực a, b, c đôi khác thỏa mãn a3 + b3 + c3 = 3abc abc = Tính P = ab2 bc2 ca2 + + a2 + b2 − c2 b2 + c2 − a2 c2 + a2 − b2 Tìm tất cặp số tự nhiên x; y thỏa mãn 2x · x2 = 9y + 6y + 16 Câu (2,0 điểm) Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn a2 + b2 + c2 = Chứng minh 2a2 2b2 2c2 + + ≥a+b+c 2 a+b b+c c + a2 √ √ Cho số nguyên dương n thỏa mãn + 12n2 + số nguyên Chứng minh + 12n2 + số phương Câu (3,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC có AB < AC nội tiếp đường tròn O Các đường cao BB , CC cắt điểm H Gọi M trung điểm cạnh BC Tia M H cắt đường tròn O điểm P Chứng minh hai tam giác BP C CP B đồng dạng Các đường phân giác góc BP C , CP B cắt AB, AC điểm E F Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF ; K giao điểm HM AO a) Chứng minh tứ giác P EKF nội tiếp b) Chứng minh tiếp tuyến E F tròn O cắt điểm nằm đường tròn O Câu (1,0 điểm) Cho 2017 số hữu tỉ dương viết đường tròn Chứng minh tồn hai số viết cạnh đường tròn cho bỏ hai số 2015 số cịn lại khơng thể chia thành hai nhóm mà tổng số nhóm ∗∗ ∗∗ AMS ∗ ∗∗ ∗ 67 New think - New life ĐỀ THI VÀO LỚP 10 - HỆ CHUYÊN AMSTERDAM - CHU VĂN AN - TIN 31 Sở Giáo dục Đào tạo Hà Nội, năm 2016 - 2017 (Ngày thứ 2) Câu (2,0 điểm) √ Giải phương trình 2x − − = x2 − x   x2 − y − 2x + 4y = Giải hệ phương trình:  4x2 − 4xy + y − 2y + = Câu (2,0 điểm) Cho số thực a, b, c đôi khác thỏa mãn a3 + b3 + c3 = 3abc a + b + c = Tính P = a2 b2 c2 + + b2 + c c2 + a2 a2 + b2 Tìm tất cặp số tự nhiên x; y thỏa mãn x2 + 2y + 3xy − 2x − 4y − = Câu (2,0 điểm) Tìm tất cặp số nguyên dương m; n cho 2m − n 2n − m Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = Chứng minh a b c 1 1 + + + + ≤ a + b2 b + c2 c + a2 a b c Câu (3,0 điểm) Cho đường trịn O điểm M nằm ngồi đường tròn Từ M kẻ tiếp tuyến M A, M B với đường (A, B tiếp điểm) Đường thẳng qua M cắt đường tròn O C D (M C < M D) cho điểm O nằm tam giác BCD Gọi E điểm đối xứng C qua O Gọi S giao điểm EA BC Chứng minh hai tam giác OAC M AS đồng dạng Đường thẳng SD cắt O điểm thứ hai K Chứng minh tam giác BKC cân Gọi N giao điểm M O AE Chứng minh N D ⊥ DA Câu (1,0 điểm) Cho 101 số nguyên dương có tổng 300 viết đường tròn.Chứng minh tồn dãy số viết liền có tổng 100 ∗∗ ∗∗ AMS ∗ ∗∗ ∗ 68 New think - New life ĐỀ THI VÀO LỚP 10 - HỆ CHUYÊN AMSTERDAM - CHU VĂN AN - TIN 32 Sở Giáo dục Đào tạo Hà Nội, năm 2017 - 2018 (Ngày thứ 2) Câu (2,0 điểm) √ 5x − x2 + 2x2 − 10x + =   x + y + xy = Giải hệ phương trình: √   x + √y = Giải phương trình Câu (2,5 điểm) Tìm tất số nguyên dương x, y, z thỏa mãn x + y − z = 3x2 + 2y − z = 13 Cho số nguyên dương a, b, c thỏa mãn a2 + b2 = c2 Chứng minh ab chia hết cho a + b + c Tìm tất số tự nhiên n thỏa mãn 2n + 1, 3n + số phương 2n + số nguyên tố Câu (1,5 điểm) Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn 1 + + = Tìm giá trị lớn biểu thức a2 b c P = 2a + b + c + 2b + c + a + 2c + a + b Câu (3,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC (với AB < AC) nội tiếp đường tròn O Gọi D trung điểm cạnh BC, E hình chiếu điểm A cạnh BC H trực tâm tam giác ABC Đường thẳng AD cắt đường tròn O điểm thứ hai F Chứng minh BC = · DA · DF Tia DH cắt đường tròn O điểm G Chứng minh bốn điểm A, G, E D nằm đường tròn Đường thẳng F E cắt đường tròn O điểm thứ hai K Chứng minh đường thẳng BC tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác GKE Câu (1,0 điểm) Viết lên bảng 99 số tự nhiên liên tiếp 1, 2, 3, · · · , 99 Ta thực thao tác sau: Xóa ba số a, b, c bảng lại viết lên bảng số abc + ab + bc + ca + a + b + c Tiếp tục thực thao tác trên bảng lại số Tìm số cịn lại ∗∗ ∗∗ AMS ∗ ∗∗ ∗ 69 New think - New life ĐỀ THI VÀO LỚP 10 - HỆ CHUYÊN AMSTERDAM - CHU VĂN AN - TOÁN 33 Sở Giáo dục Đào tạo Hà Nội, năm 2017 - 2018 (Ngày thứ 2) Câu (2,0 điểm) √ 6x − x2 + 2x2 − 12x + 15 =   4x2 = y + y Giải hệ phương trình:  4y = x + x Giải phương trình Câu (2,5 điểm) Cho p làm số nguyên tố lớn Chứng minh 2017 − p3 chia hết cho 24 √ Cho a, b, c số nguyên dương Chứng minh a + b + ab + c2 số nguyên tố Câu (1,5 điểm) Cho số thực dương x, y, z thỏa mãn x2 + y + z = Chứng minh x y z + + ≤ − yz − zx − xy Câu (3,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC (với AB < AC) nội tiếp đường tròn O Gọi I tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC, D hình chiếu điểm I đường thẳng BC G giao điểm thứ hai đường thẳng AD với đường tròn O Gọi F điểm cung lớn BC đường tròn O Đường thẳng F G cắt đường thẳng ID điểm H Chứng minh tứ giác IBHC tứ giác nội tiếp Gọi J giao điểm thứ hai đường thẳng AI với đường tròn ngoại tiếp tam giác BIC Chứng minh BH = CJ Gọi N giao điểm thứ hai đường thẳng F H với đường tròn ngoại tiếp tam giác BIC Chứng minh đường thẳng N J qua trung điểm cạnh BC Câu (1,0 điểm) Xét tập hợp S gồm số nguyên dương có tính chất: với hai phần tử phân biệt x, y thuộc S, ta ln có 30 x − y ≥ xy Hỏi tập hợp S có nhiều phần tử? ∗∗ ∗∗ AMS ∗ ∗∗ ∗ 70 ... 13 New think - New life ĐỀ THI VÀO LỚP 10 10 Sở Giáo dục Đào tạo Hà Nội, năm 1996 - 1997 A Lý thuyết (2,0 điểm) Học sinh chọn đề: √ a a Đề 1: Hãy chứng minh công thức = √ với a ≥ b > b b Đề 2:... + cos2 B + cos2 C = − S S Câu Xét số tạo thành cách viết 2n chữ số xen kẽ với (2n + 1) chữ số có dạng sau: 101 01; 101 0 1101 01; · · · ; 101 0 · · · 101 01; · · · với n số nguyên dương Chứng minh... ∗∗ ∗ 17 New think - New life ĐỀ THI VÀO LỚP 10 14 Sở Giáo dục Đào tạo Hà Nội, năm 1998 - 1999 A Lý thuyết (2,0 điểm) Học sinh chọn đề: Đề 1: Phát biểu tính chất phân thức đại số Các đẳng thức