hoäi nghò chaát löôïng laàn iv “naêng suaát chaát löôïng chìa khoaù ñeå caïnh tranh vaø hoäi nhaäp” 211101 boä moân toaùn öùng duïng ñhbk toaùn 4 chuoãi vaø phöông trình vi phaân baøi 2 chuoãi luyõ

2– CHUOÃI LUYÕ THÖØA – BAÙN KÍNH & MIEÀN HOÄI TUÏ. 3– COÂNG THÖÙC BAÙN KÍNH HOÄI TUÏ[r]

BỘ MƠN TỐN ỨNG DỤNG - ĐHBK

-TỐN 4

CHUỖI VÀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

•

BÀI 2: CHUỖI LUỸ THỪA

NOÄI DUNG

2– CHUỖI LUỸ THỪA – BÁN KÍNH & MIỀN HỘI TỤ

3– CƠNG THỨC BÁN KÍNH HỘI TỤ

4– TÍNH CHẤT CHUỖI LUỸ THỪA

5– CHUOÃI TAYLOR

6– KHAI TRIỂN HÀM THÀNH CHUỖI TAYLOR

7– CHUỖI LUỸ THỪA PHỨC

TỔNG QUAN VỀ CHUỖI HÀM

-Dãy số {un}, n = 1, …, un  R  Chuoãi soá un

Miền hội tụ: Tập hợp giá trị x để chuỗi số un(x) hội tụ

Dãy hàm {un(x)}, n = 1, …, x  D  Chuỗi hàm un(x)

 Miền hội tụ đơn giản, dễ tìm

 Có thể đạo hàm, tích phân chuỗi

 Khai triển hàm f(x) thành chuỗi luỹ thừa CHUỖI

LUỸ THỪA













0

0

n

n

n x x

a

 



 

  

 

  

   

 

 





 



b

a n

n n

n x u x dx

u dx

d

0

, VD: + x + x2 + … = xn, x  R VD:





0

n

nx

e VD:





1

1

CHUỖI LUỸ THỪA

-Chuỗi luỹ thừa n=0 an(x – a)n, a0 , … an …  R: hệ số Trường hợp đặc biệt: a =   anxn: tâm x = 0

 







 







 



             

0

3 1 3 n n n n n n n x x x

e  

VD: Nhận dạng chuỗi luỹ thừa, hệ số an chuỗi

 



        n n n x x x x

d  

 





01

1

n xn

a

 





1 

2 n n n x x

b

 







     1 n x n n c

 



      ?

2 5 ?

KHOẢNG HỘI TỤ CHUỖI LUỸ THỪA

-Abel: Chuỗi luỹ thừa  anxn (1) hội tụ x = x0  Chuỗi (1) hội tụ (tuyệt đối) x với | x | < | x0 |

0 x0

x0

x1 x1

|x| < |x0|: hội tụ R

|x| > |x1|: phân kỳ |x| > |x1|: phân kỳ an(x – a)n (1) hội tụ x = a + x0  (1) hội tụ (tuyệt đối) tại x với | x –a | < | x0 | Tương tự, (1) phân kỳ x = a + x1  (1) phân kỳ x với | x – a | > | x1 |

BÁN KÍNH HỘI TỤ

-Chuỗi luỹ thừa

 (*) hội tụ tuyệt đối | x–a | < R  a – R < x < a + R

 









 













a x

a a

a x

a

n

n

n

0

: *

Luoân  số R (0  R  ) – bán kính hội

tụ:

 (*) phân kỳ | x–a | > R  x < a –R x > a + R  đầu khoảng hội tụ x = a  R: chưa kết luận

Khoảng hội tụ

Phân kỳ Bán kính h/tụ Phân kỳ

a a + R

MIỀN HỘI TỤ

-Chuỗi luỹ thừa tâm 0:  anxn  Khoảng hội tụ | x | < R

VD: Chuỗi luỹ thừa + x + x2 + … + xn + … = xn: R = ???

Miền hội tụ (MHT): Khoảng hội tụ | x – a | < R (chuỗi tâm 0: | x | < R) & Điểm biên khả nghi – khảo sát thêm:

Tâm a: an(x–a)n MHTụ:



a  R,a  R





a  R,a  R





a  R,a  R





a  R,a  R



a R

a  a  R

R ?

?

Tâm 0: anxn MHTụ:



 R, R





 R, R





 R,R





 R, R



0

R

 R

R ?

CƠNG THỨC BÁN KÍNH HỘI TỤ

-

         1 : VD n n n x n



 





     : VD n n n n n x

hoặc n

n

n a

R lim

1





n n n n n n a a R a x a lim        



Chuoãi

VD: Miền hội tụ chuỗi luỹ thừa







      , , n n n n n n n x n x x

Điểm biên: t/chuẩn so sánh, Lebnitz, điều kiện cần

 Khơng dùng D’Alambert Côsi xét biên

CHUỖI KHUYẾT LUỸ THỪA

-  

  

 

 

  

 

 







xn x x aa n an nn n k k

n n n

n

2 ,

2

1

,

0

: VD

2

2

2



 N0  n  N0 : an =  Khuyết luỹ thừa

Hướng giải thực tế: Đổi biến

???

2 :

VD

7

3

1

 

 











t x

x x

n x

n

n

biến Đổi



Chuỗi chứa luỹ thừa bậc chẵn  Đổi biến

TÍNH CHẤT CHUỖI LUỸ THỪA

-Hàm f(x) =  anxn (1) với khoảng hội tụ (–R, R) (R > 0)

VD: Tính tổng chuỗi

 

 











 



 



0

0

1 ,

n

n n

n S x n x

x x

S

Trong khoảng hội tụ (–R, R): Có quyền đạo hàm, lấy tích phân trên đoạn [, ]  (–R,R) Đồng thời, đạo hàm tổng = tổng đạo hàm, tích phân  =  tích phân



 









 

 



 

   

 

1

1

0

'

n

n n n

n n n

n

nx a x na x

a dx

d

 

 



 



 

  

 

0

0 n

n

n

nx dx

a



 





CHUOÃI TAYLOR – CHUOÃI MACLAURINT

-Hàm f(x) có đạo hàm cấp x = a  Chuỗi Taylor:

 





 





 

 











 

 

 



0

! !

2 '' )

( '

n

n n

a x

n a f

a x

a f

a x

a f a

f 

Hay gặp: a =  Chuỗi Maclaurint hàm f(x):

 

 

 

 







 

 

0

! !

2 '' )

0 ( '

n

n n

x n

f x

f x

f

f 

VD: Chuỗi Taylor quanh a = haøm

 

x x

f 1

Định nghĩa: DÀI! Khai triển Taylor (Tốn 1)  Chuỗi! VD: Viết chuỗi Maclaurint: a / ex

x

PHƯƠNG PHÁP KHAI TRIỂN TAYLOR, MACLAURINT

-Sử dụng khai triển (đã biết) hàm sơ cấp miền hội tụ chuỗi tương ứng



          ! ! ! ! n n n x n x n x x x x

e    

 



















           2 ! ! ! ! cos n n n n n n x n x x x

x  



















               2 ! ! ! ! sin n n n n n n x n x x x x

x  











         2 ! ! ! ! cosh n n n n x n x x x

x  

 

 

PHƯƠNG PHÁP KHAI TRIỂN MAC – LAURINT

-Đưa f(x) tổng, hiệu, đạo hàm, tích phân hàm

3 ) ( 2    x x x f x x x g    1 ln ) ( K/triển chuỗi Mac – Laurint

Khai triển Mac – Laurint hàm R MHT



          0 1 n n n x x x x

x  











              0

2 1 1

1 1 n n n n n x x x x

x  







  





















! ! 1

1 x  x   x    x















             1

2 1 1

2 ln n n n n n n x n x x x

x  



1,1



1 



1,1



1 

1



1,1



CHUỖI SỐ PHỨC

-Chuỗi số phức zn = (an + ibn) = an + ibn hội tụ 

Hai chuỗi số thực an bn hội tụ

VD: Chứng minh hội tụ tính tổng chuỗi số phức sau:











   



 



0

1

1

n n

n

n i

Chuỗi số phức zn hội tụ tuyệt đối  Chuỗi số dương | zn| hội tụ | z |: môđun số phức z = a + bi  z  a2 b2













0

2

n n

n

ne i

CHUỖI LUỸ THỪA PHỨC

-Chuỗi luỹ thừa phức (1) anzn (an  C)

 Ln  bán kính hội tụ R (0  R  ) với tính chất: | z | < R  (1) hội tụ (tuyệt đối); | z | > R  (1) phân kỳ

Định nghĩa hàm biến phức qua CLT: ez, cosz, sinz …

Công thức Euler: eix = cosx + isinx  x  

R R

z 

R z 

Xác định bán kính hội tụ: Tương tự chuỗi luỹ thừa thực

n n n

n n

n a R a

a

R 

 

 

lim c lim

1 1 hoặ









  



1

: VD

n n

n

n n